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黑龙江省鹤岗一中2016-2017学年高二上学期期中考试试题 数学(理) Word版含答案


鹤岗一中 2016—2017 学年度上学期期中 高二数学试卷(理科)
命题:姜广千 审核:冯春明 2016.11.2
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的,请把正确答案填在答题卡上)

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 1. 双曲线 10 2
A. 3 2 B. 4 2



C. 3 3

D. 4 3 )

2.已知抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 的准线经过点 ? ?1 ,? 1? ,则抛物线的焦点坐标为( A. ? 0,1? B. ? 0 ,2 ? C. ?1 , 0? D. ? 2 , 0? ) D.

1 3.已知椭圆的一个焦点为 F(1,0),离心率 e= ,则椭圆的标准方程为 ( 2 A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

y2 ? x2 ? 1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

y 2 x2 ? ?1 4 3

4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近 5 年的广告支出 m 与销售额 t (单位:百 万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:

t m

30
2

40
4

p

5

50 6

70 8

经测算,年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程 ? t ? 6.5m ? 17.5 ,则 p 的值为 A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

5.已知圆 M : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则圆 M 与圆 N 的公切线条数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D .4 6.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示, 则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为 ( ) A.85,86 B.85,85, C.86,85 D.86,86

7 .如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输 入的 a,b 分别为 16,28,则输出的 a=( ) A.0 B.2

-1-

C.4

D.14

8.焦点是 ? 0 ,? 2 ? ,且与双曲线 A. x2 ?

x2 y 2 ? ? 1 有相同的渐近线的双曲线的方程是( 3 3 x2 ?1 3



y2 ?1 3

B. y 2 ?

C. x 2 ? y 2 ? 2

D. y 2 ? x2 ? 2 )

9.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是(

x ? 36 x2 ? C. 6
A.

2

y ? 1 (x≠0) 20 y2 ? 1 (x≠0) 20

2

y x ? ? 1 (x≠0) 20 36 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) D. 20 6
B.

2

2

10.设抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F ,经过点 P ?1,5? 的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且点

P 恰为线段 AB 的中点,则 AF + BF =(
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10



x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线于椭圆相交,一个交点为 11.椭圆 4 P , PF2 =
A.

7 2

B.4

C. 3

D.

3 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的中心的直线交双曲线于点 A, B .在双曲线上 a 2 b2 任取与点 A, B 不重合点 P ,记直线 PA, PB, AB 的斜率分别为 k1 , k2 , k ,若 k1k2 ? k 恒成立,
12、已知过双曲线 C : 则离心率的取值范围是( A. 1, 2 ) C.

?

?

B. 1, 2 ?

?

?

?

2, ??

?

D. ? 2, ??

?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案写在答题卡上) 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,400,300 名学生.为了解学生的就业 倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的学 生人数为________. 14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2
2

15.已知点 P(2,1),若抛物线 y ? 4 x 的一条弦 AB 恰好是以 P 为中点,则弦 AB 所在直线方程是 ____________. 16.以下三个关于圆锥曲线的命题中:

-2-

①A、B 为两个定点,K 为非零常数,若|PA|-|PB|=K,则动点 P 的轨迹是双曲线。 ②方程 2 x 2 -5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

③双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点。 25 9 35

④已知抛物线 y2=2px,以过焦点的一条弦 AB 为直径作圆,则此圆与准线相切 其中真命题为(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 已知两直线 l1 : x ? 8 y ? 7 ? 0 和 l2 : 2x ? y ?1 ? 0 . (1)求 l1 与 l 2 交点坐标; (2)求过 l1 与 l 2 交点且与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程。 18. 已 知 直 线 l : kx ? y ? 3k ? 0 与 圆 M :

x 2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 9 ? 0 .
(1)直线过定点 A ,求 A 点坐标; (2)求证:直线 l 与圆 M 必相交; (3)当圆 M 截直线 l 所得弦长最小时,求 k 的值. 19.某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时 间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,若上班路上所需时间的范 围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . (1)求直方图中 a 的值; (2) 如果上班路上所需时间不少于 1 小时的工人可申请在 工厂住宿,若招工 2400 人,请估计所招工人中有多少名工 人可以申请住宿; (3)该工厂工人上班路上所需的平均时间大约是多少分 钟。 20. P 为椭圆 如图所示. (1)若 PF1 的中点为 M ,求证: MO ? 5 ?

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点, 右焦点, F1 , F2 为左、 25 16

1 PF1 2

0 (2)若∠ F |PF2|之值; 1PF 2 ? 60 ,求|PF1|·

-3-

→ → (3)椭圆上是否存在点 P,使PF1· PF2=0,若存在,求出 P 点的坐标,若不存在,试说明理由 21.如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F . 过点 P(2, 0) 的直线 交抛物线于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 两点,直线 AF,BF 分别与抛 物线交于点 M,N . (Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的 斜率为 k 2 证明:

k1 为定值 k2

22. 如图 , 点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :
2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶 a 2 b2

点 , C1 的长轴是圆 C2 : x ? y ? 4 的直径 . l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线 , 其中 l1 交圆

C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

高二数学理答案
一、选择题 1-5 DACDB 二、填空题 13. 16 三、解答题 14. 2 15. 2 x ? y ? 3 ? 0 16. ②③④ 6-10 BCDBB 11-12 AD

17、(1) ?1, ?1?

----------------------5 分

-4-

(2) x ? y ? 0

-----------------------10 分

18、 (1)直线 l 恒过点 A (3,0) , (2)此点在圆内,所以直线 l 与圆 M 必相交; (3)当直线垂直圆心与点 A 连线时,弦长最短 所以 k ? ?1

----------3 分
-----------6 分 -------------9 分

--------12 分

19(1)由直方图可得: 0.125 ? 20 ? a ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 , 解得: a ? 0.025 . --------4 分 (2)工人上班所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 2400 ? 0.12 ? 288 , 所以所招 2400 名工人中有 288 名工人可以申请住宿. ---------8 分 (3)该工厂工人上班路上所需的平均时间为:

10 ? 0.25 ? 30 ? 0.5 ? 50 ? 0.13 ? 70 ? 0.06 ? 90 ? 0.06 ? 33.6 (分钟). --------12 分

20.(1)证明:在△ F1PF2 中,MO 为中位线, |PF2| 2a-|PF1| |PF1| 1 ∴|MO|= = =a- =5- |PF1|. 2 2 2 2 (2)解:∵ |PF1|+|PF2|=10, ∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|· |PF2|, --------------4 分

-----8 分

---12 分

21. 证 明 : (Ⅰ)依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 ? m ? 0? .将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,整理

-5-

得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 .从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)AF: y ?

------------------5 分

y y1 ( x ? 1) 与 y 2 ? 4x 联立,得 1 y 2 ? (1 ? x1 ) y ? y1 ? 0 4 x1 ? 1

由韦达定理得, y1 yM ? ?4 ? yM ? ?

4 , y1

-----------------8 分

同理, yN ? ?

4 y2

4 k1 yM ? yN y ? y2 yy ? ? 1 ? ? 1 2 ? 2 (定值) . 4 k2 yM ? y N 4 y1 ? y2
22、解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 , 所以椭圆的方程是

-------------12 分

x2 ? y2 ? 1; 4

--------------4 分

(Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,直线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 k

,









(

0

,到 0 直) 线

l1 : ?y

? k1 x ?

? k的距离为 1 x ? 0dy? ?
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k
2

,所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截

的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

;

----------6 分

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以---------8 分 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S?ABD

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4 k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 ? | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3

?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 13

-6-

4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 , ?k ?? 2 2
10 x ?1 2

当时等号成立,此时直线 l1 : y ? ?

-------------12 分

-7-


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