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【2013石景山一模】北京市石景山区2013届高三一模数学理试题Word版含答案_图文

北京市石景山区 2013 届高三统一测试

数学(理)试题

本试卷共 150 分,考试时长 120 分钟,请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷 (选择题共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项.

1.设集合 M= {x|x2≤4),N={x|log2 x≥1},则 M N 等于( )

A. [-2,2]

B.{2}

C.[2,+ ? )

D. [-2,+ ? )

2.若复数(a-i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( )

A. 1

B.-1

C. 2

D.- 2

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为

n,向量 p =(m,n),q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率

为( )

A. 1 3

B. 1 4

C. 1 6

D. 1 12

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( )

A.-3

B.2

C. ? 1 2

D. 1 3

5. 如图,直线 AM 与圆相切于点 M, ABC 与 ADE 是圆的两条割

线,且 BD⊥AD,连接 MD、EC。则下面结论中,错.误.的结

论是( ) A.∠ECA = 90o

B.∠CEM=∠DMA+∠DBA C.AM2 = AD·AE

D.AD·DE = AB·BC

6.在(2x2- 1 )5 的二项展开式中,x 的系数为( ) x

A.-10

B.10

C.-40

D.40 7.对于直线 l:y=k (x+1)与抛物线 C:y2= 4x,k=±1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的( )

条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要条件

D.既不充分也不必



8.若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件:①p、Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②p、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”).

已知函数

f(x)=

?1og2x(x ? 0) ???x2 ? 4x(x ?

0)

,则此函数的“友好点对”有(

A. 0

B. 1

C.2

)对. D. 3

第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9 . 直 线 2p sin ? =1 与 圆 ? =2 cos ? 相 交 弦 的 长 度





10.在△ABC 中,若∠B= ? ,b= 2a ,则∠C=



4

11.在等差数列{an}中,al=-2013,其前

n

项和为

Sn,若

S12 12

?

S10 10

=2,

则 S2013 的值等于



12.某四棱锥的三视图如图所示,

则最长的一条侧棱长度是



13.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC =2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在

边 CD 上,若 AB ·AF = 2 ,则 AE ·BF 的值是____



14.对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,…,in)(n 是不小于 3 的正整 数),若对任意的 p,q∈{1,2,3,…,n},当 p<q 时有 ip>iq,则称 ip,

iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组

(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于

;若数组(i1,

i2,i3,…,in)的逆序数为 n,则数组(in,in-l…,i1)的逆序数为



三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题满分 13 分)

已知函数 f(x)=sin(2x+ ? )+cos 2x. 6

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间。

(Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 3 ,a=2,B= ? ,

2

3

求△ABC 的面积.

16.(本小题满分 13 分) PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方米 之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算 出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
(Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天 数,求? 的分布列及期望.
17.(本小题满分 14 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面 ABCD,
AD =1,AB= 3 ,BC =4。
(I)求证:BD⊥PC; (II)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角;
(Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE∥平面 PAB,求 ? 的值.
18.(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a?R.
(I)讨论函数 f(x)的单调区间:
(II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ? x∈(0,+ ? ),f(x)≥bx-2 恒成立,求
实数 b 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)

设椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,上顶点为 A,在

x 轴负半

轴上有一点 B,满足 BF1 ? F1F2 ,且 AB⊥AF2.
(I)求椭圆 C 的离心率;
(II)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 l:x ? 3y ? 3 =0 相切,求椭圆 C 的方程;
(Ⅲ)在(II)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点, 线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,O),求实数 m 的取值范围。

20.(本小题满分 13 分) 给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且 xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合 A={(xi,xj)|1≤i, j≤n,且 i,j∈N*}.若对任意点 A1∈A,存在点 A2∈A 使得 OA1⊥OA2(O 为坐标原点), 则称数列{xn}具有性质 P。 (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l,1,3 是否具有性质 P,简述理由。 (II)若数列{xn}具有性质 P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ②若 x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l。 (Ⅲ)若数列{xn}只有 2013 项且具有性质 P,x1=-1,x3 =2,求{xn}的所有项和 S2013.