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100测评网高二数学练习卷高中空间向量试题

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上杭二中 2006—2007 学年第二学期

高二数学单元试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知向量 a= (1, 1, 0) , b= (-1, 0, 2) , 且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直, 则 k 的值是 ( 1 3 7 A. 1 B. C. D. 5 5 5
2.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b 的数量积等于( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 )



3.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A、B、 C 一定共面的是 A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? ( B. OM ? 2OA ? OB ? OC )

1 1 1 1 1 OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 3 3 3 4.已知向量 a=(0,2,1) ,b=(-1,1,-2) ,则 a 与 b 的夹角为 (



A. 0° B. 45° C. 90° D.180° 5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线 长为 A.2 B .3 C .4 D.5 ( )

6.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线, 则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三 向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数 为( ) A. 0 B.1 C. 2 D.3
? ?? ? ??? ? 1 ??? 7. 已知空间四边形 ABCD, M、 G 分别是 BC、 CD 的中点, 连结 AM、 AG、 MG, 则 AB + ( BD ? BC ) 2

等于(



欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. A. AG C. BC D. 2 BC ??? ? ??? ? ???? ? ???? 8.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c , 则 A1 B ? (
? ??

B. CG

? ??

? ??

1

? ??



???? ? ???? ? 9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1
A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量

A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

C. ?a ? b ? c

D. ?a ? b ? c 是 ( )

???? ??? ? 10.已知点 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 3| AC |?| AB | ,则点的坐标
是 ( ) B.

7 1 5 A. ( , ? , ) 2 2 2

3 ( ,? 3 , 2 ) 8

10 7 C. ( , ?1, ) 3 3

5 7 3 D. ( , ? , ) 2 2 2

11.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 , 则△BCD 是 ( A.钝角三角形 ) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定

12. (文科)在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那 么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( A. ? ) C.

2 5

B.

2 5

3 5

D.

10 10

(理科)已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,则点 B 到平面 EFG 的距离为( A. ) C.

10 10

B.

2 11 11

3 5

D. 1

二.填空题(本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知向量 a=( ? +1,0,2 ? ),b=(6,2 ? -1,2),若 a∥b,则 ? 与 ? 的值分别是
14. 已知 a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底, m=a+b,n=b-c,则 m, n 的夹角为

. . .

? )c ? ? bc (? a ) ? 15. 已知向量 a 和 c 不共线, 向量 b≠0, 且 (ab

, d=a+c, 则 ? d , b? =

16. (如图)一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为 端点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,那么以这
?

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。

上杭二中 2006—2007 学年第二学期

高二数学单元测试答题卷
一.选择题

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 B

6 A

7 A

8 D

9 C

10 C

11 C

12 B

二.填空题
13.________、_________

1 1 、 .14.____________________.60° 5 2

15._________________.90°16._____________________. 6

三.解答题(本大题 6 小题,共 74 分)
17. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标 系. (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值.
解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2) → → → (2)∵ AB1 =(0, -2, 2),ED1 =(0, 1, 2) ∴ |AB1 |=2 2 , → → → |ED1 |= 5 ,AB1 ·ED1 =0-2+4=2, → → → → AB1 ·ED1 2 10 ∴ cos ?AB1 ,ED1 ? = = = .∴ 10 → → 2 2× 5 |AB1 |·|ED1 | AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 10 . 10

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18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE; z (2)cos EF, CB1 .
解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) , D1 (0,0,1) , E(1,1,

D1 B1 E D F x A B

C1

A1

1 2

) ,F(0,

1 2

,0) ,

1 则 D1 F =(0, ,-1) , D A =(1,0,0) , 2 1 , 则 D1 F ? DA =0, AE =(0,1, ) 2

C

y

D1 F ? AE =0, ? D1 F ? DA , D1 F ? AE . ? D1 F ? 平面 ADE.
(2) B1 (1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) , EF =(-1,-

1 2

,-

1 2

) ,

? EF ? CB1 =-1+0-

1 2

=-

3 2
3 2



EF ? 1 ?

1 1 3 , CB ? ? ? 1 4 4 2

2,

则 cos EF , CB ? EF ? CB1 ? 1

?

EF ? CB1

3 ? 2 2

??

3. 2

EF, CB1 ? 150?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥ 平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD. 解:
解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点.设 DC (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G.连结 EG. 依题意得

? a.

a a A(a, 0, 0), P (0, 0, a ), E (0, , ) 2 2 ? 底面 ABCD 是正方形, ? G 是此正方形的中心, a a ??? ? ??? ? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( a , 0, ? a ). 2 2 2 2

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??? ? ??? ? ? PA ? 2EG . 这表明 PA∥EG . 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA∥ 平面 EDB。 ???? ??? ? a a a2 a2 (2)证明:依题意得 B(a, a,0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ?0 2 2 2 2

? PB ? DE ,

由已知 EF

? PB ,且 EF ? DE ? E, 所以 PB ? 平面 EFD.

20. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, SA⊥平面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= (1)求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦. 解:
B

1 . 2
S

z

y

C

(1)

6 3

(2)

6 3

A

D

x

21. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD= 2a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明 PA⊥平面 ABCD; (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小
P

(1)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)解 作 EG//PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角. 又 PE : ED=2 : 1 , 所 以

E A B C

D

1 2 3 EG ? a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3

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从而

t an ??

EG 3 ? , GH 3

? ? 30?.

22. (本小题满分 14 分) P 是平面 ABCD 外的点,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ? 2, ?1, ?4 ? , AD ? ? 4, 2,0 ? ,

??? ?

????

??? ? AP ? ? ?1, 2, ?1? .
(1)求证:PA ? 平面 ABCD. (2)对于向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,定义一种运算:

?

?

? ? ? (a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1z3 ? x3 y2 z1 ,
试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运 算 ( AB ? AD) ? AP 的 绝 对 值 的 几 何 意 义 ( 几 何 体 P-ABCD 叫 四 棱 锥 , 锥 体 体 积 公 式 : V= ? 底面积 ? 高 ).

??? ? ???? ??? ?

??? ? ???? ??? ?

1 3

解: (1) AP ? AB ? (2, ?1, ?4) ? (?1, 2, ?1) ? ?2 ? (?2) ? 4 ? 0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? AP ? AB即AP ? AB

??? ? ??? ? AP ? AD ? (?1, 2, ?1) ? (4, 2,0) ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0
??? ? ???? ? AP ? AD即PA ? AD ? AD ? 面ABCD
(2) AB ? AD ? AP ? 48, 又cos AB ? AD ?

?

??? ? ???? ??? ?

?

??? ? ????

3 105

? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? AB ? AD ? sin AB ? AD ? AP ? 16 3 ??? ? ???? ??? ? 猜测: AB ? AD ? AP 在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积 (或以 AB,AD,AP
V=

?

?

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