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人教版高数必修五第10讲:不等关系与不等式(教师版)

不等关系与不等式

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

教学重点: 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点: 理解不等式性质的证明范围

1. 不等式 (1) 用数学符号 " ? "" ? "" ? "" ? "" ? " 连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系。 (2) 含有不等号的式子,叫做不等式。 2. 实数的大小关系 (1) 实数集与数轴上的点集一一对应; (2) 数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大; (3) 对于任意两个实数 a 和 b ,在 a ? b, a ? b, a ? b 三种关系中有且仅有一种关系成立; (4) 在数学中,两个实数的大小可以通过作差比较

a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b
3. 不等式的性质 (1) 对称性:如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b ; (2) 传递性:如果 a ? b 且 b ? c ,则 a ? c ; (3) 加法法则:如果 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; (4) 乘法法则:如果 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ;如果 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc

1

类型一: 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例 1.用不等号表示下列关系 (1) a 与 b 的和是非负数 (2)实数 x 不小于 3 解析: (1) a ? b ? 0 (2) x ? 3 答案: (1) a ? b ? 0 (2) x ? 3 练习 1.(1)实数 m 小于 5,但不小于-2 (2) x 与 y 的差的绝对值大于 2,且小于或等于 6 答案: (1) ?2 ? m ? 5 (2) 2 ? x ? y ? 6 练习 2.已知 a , b 分别对应数轴上的 A, B 两点,且 A 在原点右侧, B 在原点左侧,则下列不等式成 立的是() A. a ? b ? 0 答案:D
2 例 2.比较 x ? 2 x 与 x ? 2 的大小

B. a ? b ? 0

C. a ? b

D. a ? b ? 0

解析:

?x

2

?2 x ? ?? x ?2?

??

x ?? 1 ?

x? ? 2 当

?

x ?1? 0 x ? 2?0



?

x ?1? 0 x ? 2? 0

即 x ? 1 或 x ? ?2 时 ,

? x ?1?? x ? 2 ??

2 , 当 ?2 ? x ? 1 时, 此时 x ? 2 x ? x ? 2 0此时 x2 ? 2 x ? x ? 2 ; ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ,

2 2 答案: x ? 1 或 x ? ?2 时, x ? 2 x ? x ? 2 ;当 ?2 ? x ? 1 时, x ? 2 x ? x ? 2

练习 3.比较 a a bb 与 abb a ( a , b 为不相等的正数)的大小
a b b a 答案: a b ? a b

练习 4.已知 a ? b ? 0 ,则 答案: ?

a 2 ? b2 a?b _________ (填 ?, ?, ? ) 2 2 a?b a ?b

类型二: 不等式性质的证明应用 例 3.已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 求证

a b ? d c

解析:? c ? d ? 0,??c ? ?d ? 0 又 a ? b ? 0,??ac ? ?bd ? 0,? ac ? bd 又

c ? d ? 0,? cd ? 0 ?
答案:见解析

ac bd a b ? ,即 ? cd cd d c

2

练习 5.已知 c ? a ? b ? 0, 求证

a b ? c ?a c ?b

? c ? a ? b ? 0,? c ? a ? 0, c ? b ? 0, ?a ? ?b,? 0 ? c ? a ? c ? b 答案: 1 1 a b ? ? ? 0,? a ? b ? 0,? ? c ?a c ?b c ?a c ?b
练习 6.已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 求证 3 答案:

a 3b ? d c

1 1 a b a b a b ? c ? d ? 0, ?c ? ?d ? 0 ? 0 ? ? ? ? , a ? b ? 0 ?? ? ? ? 0,? 3 ? ? 3 ? ,? 3 ? 3 c d d c d c d c
类型三: 利用不等式的性质求取值范围 例 4.已知 1 ? a ? b ? 5, ?1 ? a ? b ? 3 (1) 求 a , b 的范围; (2) 求 3a ? 2b 的范围。

1 1 ,b ? ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ?? ? a ? b ? ? ? a ? b ?? ? ? ? ?1 ? a ? b ? 5, ?1 ? a ? b ? 3, 2 2? 1 ? 0 ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 8, ?2 ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 6,? 0 ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ?? ??4 2? 1 ?1 ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ?? ? ? 3,? 0 ? a ? 4, ?1 ? b ? 3 2?
解析: (1) a ? (3) 设 3a ? 2b ? m ? a ? b ? ? n ? a ? b ? ?
? a ? b ?5 ??1 ?1? a ?b ?3 ,??2 ?

?

m ? n ?3 m ? n ??2

? m? 1 1 5 ? ? 52 ? 3a ? 2b ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 2 ? n? 2

1 5 ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 10, ??2 ? 3a ? 2b ? 10 2 2

答案: (1) 0 ? a ? 4, ?1 ? b ? 3 (2) ?2 ? 3a ? 2b ? 10 练习 7.已知 ? , ? 满足 ?1 ? ? ? ? ? 1,1 ? ? ? 2? ? 3 (1) 求 ? 的范围 (2) 求 ? ? 3? 的范围 答案: (1) 0 ? ? ? 4 (2) 1 ? ? ? 3? ? 7 练习 8.若 ? , ? 满足 ? 答案: ? ? ? ,

?
2

?? ? ? ?

?
2

, 则 2? ? ? 的取值范围____________

? 3 ? 2

??
? 2?
3

练习 9.设变量 x, y 满足 答案: ? ?3,3? 练习 10.已知 ? 答案: ? ?

?

?1? x ? y ?1 ?1? x ? y ?1

则 2 x ? 3 y 的取值范围_____________

?
2

?? ? ? ?

?
2



? ??
2

的取值范围是___________

? ? ? ,0? ? 2 ?

1. 实数 m 不超过 2,是指( A.m> 2 答案:D

) C.m< 2 D.m≤ 2

B.m≥ 2

2. 设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M>N 答案:A B.M=N C.M<N

) D.与 x 有关

3. 已知 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,那么下列各式正确的是( A.a<b<c 答案:A 4. 已知 a、b、c、d 均为实数,有下列命题 c d ①若 ab<0,bc-ad>0,则 - >0; a b c d ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b c d ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. a b 其中正确命题的个数是( A.0 答案: C 5. 若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( 1 1 A. > a b 答案:B 6. 设 a+b<0,且 a>0,则( A.a <-ab<b 答案:A
2 2 2

) D.c<a<b

B.a<c<b

C.b<a<c

) C.2 D.3

B.1

) C.|a|>|b| 1 1 D.( )a>( )b 2 2

B.2a>2b

) C.a2<b2<-ab D.ab<b2<a2

B.b <-ab<a2

4

7. 已知 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a2>a>-a2>-a 答案:B B.-a>a2>-a2>a

) D.a2>-a>a>-a2

C.-a>a2>a>-a2

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固 1. 已知 a<b<c,且 a+b+c=0,则( A.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 答案:A 1 2. 已知 P= 2 ,Q=a2-a+1,则 P、Q 的大小关系为( a +a+1 A.P>Q C.P≤Q 答案:C 1 3. 已知|a|<1,则 与 1-a 的大小关系为( a+1 A. 1 <1-a a+1 ) 1 B. >1-a a+1 1 D. ≤1-a a+1 B.P<Q D.无法确定 ) ) B.b2-4ac=0 D.b2-4ac 的正负不确定

1 C. ≥1-a a+1 答案:C 4. 若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( b b+1 A. > a a+1 1 1 C.a+ >b+ b a 答案:C

) 1 1 B.a+ >b+ a b 2a+ b a D. > a+2b b

c d 5. 已知三个不等式:①ab>0;② > ;③bc>aD.以其中两个作条件,余下一个为结论,写出两个 a b 能成立的不等式命题________.
5

答案:

①? ①? ②? ? ? ? ??③, ??②, ??①中任选两个即可. ? ? ? ②? ③? ③?

6. 实数 a、b、c、d 满足下列两个条件:①d>c;②a+d<b+C.则 a、b 的大小关系为________. 答案:a<b 7. 设 m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则 m、n 的大小关系是________. 答案:m≥n 8. 若(a+1)2>(a+1)3(a≠-1),则实数 a 的取值范围是________. 答案:a<0 且 a≠-1 9. 某矿山车队有 4 辆载重为 10t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每 天至少要运 360t 矿石至冶炼厂,已知甲型卡车每辆每天往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次, 写出满足上述所有不等关系的不等式. 答案:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意,得

?10×6x+6×8y≥360 ?0≤x≤4 ?0≤y≤7 ?x∈N ?y∈N
x+y≤9

?5x+4y≥30 ?0≤x≤4 ,即? 0≤y≤7 ?x∈N ?y∈N
x+y≤9

a b 10. (1)已知 c>a>b>0.求证: > . c-a c-b a+m a (2)已知 a、b、m 均为正数,且 a<b,求证: > . b+m b 答案:(1)∵c>a>b>0∴c-a>0,c-b>0, 1 1 ? 由a>b>0? < ? a b??c <c a b ? c>0 ? ? c-a c-b < a b c-a>0 c-b>0

? ? a b ??c-a>c-b. ? ?

a+m a m?b-a? (2)证法一: - = , b+m b b?b+m? m?b-a? a+m a ∵0<a<b,m>0,∴ >0,∴ > . b?b+m? b+m b a+m a+b+m-b a-b b-a 证法二: = =1+ =1- > b+m b+m b+m b+m
6

b-a a 1- = . b b a+m a 证法三:∵a、b、m 均为正数,∴要证 > , b+m b 只需证(a+m)b>a(b+m), 只需证 ab+bm>ab+am, 只要证 bm>am, 要证 bm>am,只需证 b>a,又已知 b>a, ∴原不等式成立.

能力提升 11. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘. 根 据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式有多少种?( A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 )

答案:C 12. 如图,在一个面积为 200 m2 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长 a 大于宽 b 的 4 倍,则表示上面叙述的不等关系正确的是( )

A.a>4b
? ?a>4b C.? ??a+4??b+4?=200 ?

B.(a+4)(b+4)=200
? ?a>4b D.? ?4ab=200 ?

答案:C 13. 已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<b2 答案:C π π 14. 若- <α<β< ,则 α-β 的取值范围是( 2 2 A.(-π,π) B.(0,π)
7

) b a D. < a b

B.ab2<a2b

C.

1 1 < ab2 a2b

) C.(-π,0) D.{0}

答案: C 15. 已知函数 f(x)=x3, x1、 x2、 x3∈R, x1+x2<0, x2+x3<0, x3+x1<0, 那么 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( A.一定大于 0 C.等于 0 答案:B 1 1 b a 16. 若 < <0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2.其中正确的有( a b a b A.1 个 答案:B 17. 若 a>0,b>0 则 a+ b________ a+b(填上适当的等号或不等号). 答案:> b+m a+n b a 18. 设 a>b>0,m>0,n>0,则 p= ,q= ,r= ,s= 的大小顺序是________________. a b a+m b+n 答案:p<r<s<q 19. 若 a>b,则 a3 与 b3 的大小关系是________. 答案:a3>b3 20. 若 x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则 x 与 y 的大小关系是________. 答案:x<y 21. 已知 a、b 为正实数,试比较 答案:解法一:( a b + 与 a+ b的大小. b a B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) B.一定小于 0 D.正负都有可能 )

a-b b-a ?a-b?? a- b? a b a b + )-( a+ b)=( - b)+( - a)= + = b a b a b a ab

? a+ b?? a- b?2 = . ab ∵a、b 为正实数,∴ a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0. ? a+ b?? a- b?2 ∴ ≥0,当且仅当 a=b 时,等号成立. ab ∴ a b + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时取等号. b a a b a2 b2 + )2= + +2 ab, b a b a

解法二:(

( a+ b)2=a+b+2 ab, ∴( a3+b3-ab?a+b? a b a2 b2 + )2-( a+ b)2= + +2 ab-(a+b+2 ab)= b a ab b a

?a+b??a2-ab+b2?-ab?a+b? = ab ?a+b??a-b?2 = . ab
8

?a+b??a-b?2 ∵a、b 为正实数,∴ ≥0, ab ∴( a b + )2≥( a+ b)2. b a a b + >0, a+ b>0, b a

又∵ ∴

a b + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时取等号 b a

22. 设 f(x)=1+logx 3,g(x)=2logx 2,其中 x>0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 答案:f(x)-g(x)=(1+logx3)-2logx2 3x =logx(3x)-logx4=logx . 4 4 3x (1)当 x> 时,logx >0,故 f(x)>g(x); 3 4 4 3x (2)当 x= 时,logx =0,故 f(x)=g(x); 3 4 4 3x (3)当 1<x< 时,logx <0, 3 4 所以 f(x)<g(x); 3x (4)当 0<x<1 时,logx >0, 4 所以 f(x)>g(x). 4 综上知:当 x> 或 0<x<1 时,f(x)>g(x); 3 4 当 1<x< 时,f(x)<g(x); 3 4 当 x= 时,f(x)=g(x). 3

x 23. 如果 30<x<42,16<y<24.分别求 x+y、x-2y 及 的取值范围. y 答案: 46<x+y<66;-48<-2y<-32; ∴-18<x-2y<10; 1 1 1 30 x 42 ∵30<x<42, < < ,∴ < < , 24 y 16 24 y 16 5 x 21 即 < < . 4 y 8 24. 已知 a>0,b>0,a≠b,n∈N 且 n≥2,比较 an+bn 与 an 1b+abn
- - - - - - -1

的大小.

答案:(an+bn)-(an 1b+abn 1)=an 1(a-b)+bn 1(b-a)=(a-b)(an 1-bn 1),


(1)当 a>b>0 时,an 1>bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

(2)当 0<a<b 时,an 1<bn 1,∴(a-b)(an 1-bn 1)>0,
- - - -

9

∴对任意 a>0,b>0,a≠b,总有(a-b)(an 1-bn 1)>0.∴an+bn>an 1b+abn 1.
- - - -

25. 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享 受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两车队的收费标准、车型 都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠. 答案:设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 1 3 4 则 y1=x+ x· (n-1)= x+ xn,y2= xn, 4 4 4 5 1 3 4 y1-y2= x+ xn- xn 4 4 5 1 1 1 n = x- xn= x(1- ). 4 20 4 5 当 n=5 时,y1=y2;当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此,当此单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,选甲车队更优惠;少于 5 人时,选乙车队更优惠.

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