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高二下学期数学文科复习专题一 平面向量修改


高二下学期数学文科复习专题一
题型一:向量的概念、向量的基本定理

平面向量
?

如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一 ... 对实数 λ1、λ2,使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 注意:若 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量, ... ? ? 例 1 直角坐标系 xOy 中,i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角 三角形 ABC 中,若 AB ? 2 i ? j , A.1 B.2
?

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
C.3 D.4



OB OC 变式: 如图, 平面内有三个向量 OA 、 、 ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,
| OC | = 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R), 则λ +μ 的值为 . .

??? ?

? ? ? ? ? ? 0 变式 2.已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 5a ? b |?
题型二:向量的运算

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹 角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。 例 2 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 解:(a+2b) (1, ?2) ? 2(?3, 4) ? (?5,6) ,(a+2b)·c ? (?5,6) ? (3, 2) ? ?3 ,选 C 变式 1。已知平面向量 a ? (1,2),b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =( ) A. (-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 变式 2.已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , , A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

?

?

? ?

?



题型三:定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所 成比时,可借助图形来帮助理解。 例 3. 设 D 、 E 、 F 分 别 是 △ ABC 的 三 边 BC 、 CA 、 AB 上 的 点 , 且

? ? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ??? ??? DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC (
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直

)

D.既不平行也不垂直

变式 1:已知两点 M ? 3, 2? , N ? ?5, ?5? , MP ? A. ? ?8,1? 正确答案: B. ? ?1, ? ?

????

? 1 ???? MN ,则 P 点坐标是 ( 2
D. ?8, ?1?
B



? ?

3? 2?

C. ?1, ?

? 3? ? 2?

变式 2:如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点, ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 若 OA =a, OB =b,则 OP = , a? b 3 3 ???? 1 2 OQ = a ? b (用 a、b 表示) 3 3 课后练习:

Q P

b a O

1、若 AB ? (3,5) , AC ? (1,7) , 则 BC ? ( ) A. (-2,-2) B. (-2,2) C. (4,12) D. (-4,-12) 1→ 3→ → → 2、已知平面向量 a =(1,1), b =(1,-1),则向量 a - b = ( ) 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? ? 3、已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , ,
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4、若平面向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180°,且| b |= 3 5 ,则 b =( A. (-1,2) C. (3,-6) B. (-3,6) D. (-3,6)或(3,-6) )

A、(-2,-1)

B、(-2,1)

C、(-1,0)

D、(-1,2)



?

?

?

?



2 5、在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 是(

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B. 直角三角形 D.等腰直角三角形

6、直角坐标平面内三点 A?1, 2?、B ?3, ?2?、C ?9,7 ? ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点, 则 AE · AF =( ) (A)20 (B)21 (C)22 (D)23

7.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四 边形 ABCD 为( A.平行四边形 ) B.矩形 C.梯形 D.菱形

? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? 3, b ? 4, a ? b ? a ? 2b ? 23, 那么 a 与 b 夹角为

?

??

?

A、 60?

D、 150? ? ? ? 9.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC = a , CA = b , AB = c , ? 1 ? 1 ? 1 ? 则下列各式: ① EF = c - b ② BE = a + b
2 1 ? 1 ? ③ CF =- a + b 2 2 2 2
④ AD + BE + CF = 0

B、 90?

C、 120?

?

其中正确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知向量 a=(3,-4) ,b=(2,x) c=(2,y)且 a∥b,a ? c.求|b-c|的值. , 11.设向量 2t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 12.四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3) (1)若 BC// DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。

九、平面向量
一、选择题 ??? ??? ??? ? ? ? 1.(四川理 4)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF = A.0 B. BE

??? ? ????? ????? 2. 山东理 12) A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, A A ? ? A A ( 设 若 1 3 1 2 ?? ?? ? ? 1 1 (λ∈R) A , A ?A ,且 ? ? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知 ? 2 (μ∈R) A 14 1 ? ?

??? ?

C. AD

????

D. CF

平面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是 A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 3.(全国新课标理 10)已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

p1 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0,

2? ) 3

p2 : | a? b? ? ? ? | 1

2? ( ?, 3

]

p13 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0, ) 3
其中真命题是 (A) p1, p4 (B) p1 , p3

?

p4 :| a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] 3
(C) p2 , p3 (D) p2 , p4

?

4.(全国大纲理 12)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a ?b = ? 1 , a ? c, b ? c = 60 0 ,则 c B. 3 C. 2 D.1 5.(辽宁理 10)若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为 (A) 2 ? 1 (B)1 (C) 2 (D)2 6.(湖北理 8)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 x ? y ? 1 , 则 z 的取值范围为 A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] 7.(广东理 3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 B.3 C.2 D.0 的最大值等于 A.2

2

?0 ? x ? 2 ? 8.(广东理 5)已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定。若 ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? M ( x, y) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

?x ? y ? 2 9.(福建理 8)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 ,上 ? ?y ? 2 ? ??? ???? ? ? 的一个动点,则 OA · OM 的取值范围是
A.[-1.0] 二、填空题 B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2] 10.(重庆理 12)已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e ? e ? __________ 1 2 11.(浙江理 14)若平面向量α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边的

1 ,则α 与β 的夹角 的取值范围是 。 ? 2 12.(天津理 14)已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 900 , AD ? 2, BC ? 1 , P 是 ??? ? ??? ? 腰 DC 上的动点,则 PA ? 3PB 的最小值为____________.
平行四边形的面积为 13. ( 上 海 理 11 ) 在 正 三 角 形 ABC 中 , D 是 BC 上 的 点 , AB ? 3, BD ? 1 , 则

??? ???? ? A B? A D ?
14.(江苏 10)已知
? ?



2 ? ? ? ? ? ? ? ? e1 , e 2 是夹角为 3 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若
.

a? b ? 0

,则 k 的值为

15.(安徽理 13)已知向量 a , b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 a ? 1 , b ? 2 , . 则 a 与 b 的夹角为 16.(北京理 10)已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) 。若 a-2b 与 c 共线, 则 k=__________。 【答案】1 17. ( 湖 南 理 14 ) 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? 2BD,CA ? 3CE, 则 ???? ??? __________________. ? AD ? BE ? 18.(江西理 11)已知 a ? b ? 2 , (a ? 2b) · a ? b =-2,则 a 与 b 的夹角为 ( )

??? ?

???? ??? ? ?

??? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

习题
一. 选择题:
??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 1.(全国一 5)在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =
( )
5 2 B. c ? b 3 3 2 1 C. b ? c 3 3 1 2 D. b ? c 3 3

2 1 A. b ? c 3 3

??? ? ??? ? 2.(安徽卷 2)若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,
A. (1,1) B. (-1,-1)

??? ? 则 BC ? (
C. (3,7)

) D. (-3,-7) )

3. (安徽卷 5) 在三角形 ABC 中,AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为 ( A.
2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3


4.(北京卷 4)已知 △ ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , B ? 60? ,那么角 A 等于( A. 135? B. 90? C. 45? D. 30?
2 2 2

5.(福建卷 8)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c -b 则角 B 的值为

3 ac,

? 5? ? 2? 或 D. 或 6 3 6 3 ? ? ? ? ? ? 6.(广东卷 3)已知平面向量 a ? (1,2) ,b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( )
A.

? 6

B.

? 3

C.

A、 (?5, ?10)

B、 (?4, ?8)

C、 (?3, ?6)

D、 (?2, ?4)

? ? ? ? ? 7.(海南卷 5)已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 , ,

? 是(

) B. 1

C. -2 D. 2 ? ? 8.(海南卷 9)平面向量 a , b 共线的充要条件是( )

A. -1

? ? A. a , b 方向相同
? ? b ? ?a

? ? B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

C. ?? ? R ,

D. 存 在 不 全 为 零 的 实 数 ?1 , ?2 ,

?1 a ? ?2 b ? 0
9.(湖北卷设 1) a ? (1,?2) , b ? (?3,4) ,则 (a ? 2b) ? c ? A. (?15,12) B. 0 C. ?3 D. ?11 )

?

?

?

??? ??? ? ? 10.(湖南卷 7)在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? (
A. ?
3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D.

3 2

2) ? , 11.(辽宁卷 5)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0, , B(?1, 2) , C (31) ,且

??? ? ???? BC ? 2 AD ,则顶点 D 的坐标为(
? 7? A. ? 2, ? ? 2? 1? ? B. ? 2, ? ? 2? ?

) D. (1, 3)

2) C. (3,

12.(山东卷 8)已知 a, b, c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量
bs c n i c 若 且 o m ? ( 3,1),n ? (cos A, A) . m ? n , a cs B ?o A s ? C ? sin

, 则角 A,B

的大小分别为(
π π A. , 6 3

) B.
2π π , 3 6

π π π π C. , D. , 3 6 3 3 ? ? ? ? 13.(四川卷 3)设平面向量 a ? ? 3,5? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ? ( )

(A) ? 7,3?

(B) ? 7, 7 ?

(C) ?1,7 ?

(D) ?1,3?

14. ( 四 川 卷 7 ) ?ABC 的 三 内 角 A, B, C 的 对 边 边 长 分 别 为 a, b, c , 若
a? 5 b, A ? 2 B ,则 cos B ? ( ) 2
5 3

(A)

(B)

5 4

(C)

5 5

(D)

5 6

??? ? ??? ? 1 15.(重庆卷 4)若点 P 分有向线段 AB 所成的比为- ,则点 B 分有向线段 PA 所 3

成的比是 (A)3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)3

二. 填空题:
2) 3) 若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共线, ? 1. (全国二 13) 设向量 a ? (1,,b ? (2, ,

则? ?

. 2.(北京卷 11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那 .

么 a ? b 的值为

3.(湖北卷 12)在△ ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边,已知

a ? 3, b ? 3, c ? 30? ,则 A=

.

4. 湖南卷 11) ( 已知向量 a ? (1, 3) , ? (?2,0) , a ? b =_____________________ 则 b

? ? ? ? ? ? 5.(江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ?

. .

6.(江苏卷 13)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值 7.(江西卷 16)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: ??? ??? ? ? ??? ? A. AC ? AF ? 2BC

E

D

??? ? ???? ??? ? ? B. AD ? 2 AB ? 2 AF
??? ???? ???? ??? ? ? C. AC ? AD ? AD ? AB
F

C

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF )
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

A

B

8.(陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
6) ①若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 .

③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60? . 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) ? ? ? ? ? ? ? b 9. ( 上 海 卷 5 ) 若 向 量 a , b 满 足 a ? 1, ? 2 且 a 与 b 的 夹 角 为 , 则 3 ? ? a?b ? .
4) 2) b 10.(天津卷 14)已知平面向量 a ? (2, , b ? (?1, ,若 c ? a ? (a ? )b ,则

c?



11.(浙江卷 14)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? 3b ? c?cosA ? a cosC ,则 cos A ?
的取值范围是 。



? ? ? ? ? ? 12.(浙江卷 16)已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b? a ? b) ? 0 ,则 | b | (


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