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2013高考数学(理)二轮复习课件:专题1


专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语
第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的 图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模型及 其应用 第4讲 不等式与简单的线性规划 第5讲 导数在研究函数性质中的

应用

专题一 集合与常用逻辑用 语、函数与导数、不等式

第1讲

集合与常用逻辑用语

第1讲 │ 云览高考

[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 集 2012 陕西卷 1(A), 合的概念、 选择(8) 2012 浙江卷 1(A), 关系与运算 2012 广东卷 2(A) 考点 2 命 选择(3) 2012 山东卷 3(A), 题及其关 系、逻辑联 解答(1) 2012 陕西卷 18(C) 结词

第1讲 │ 云览高考

考点 3 充 2012 天津卷 2(A), 要条件的判 选择(5) 2012 安徽卷 6(B) 断 考点 4 全 称量词、存 选择(3) 2012 福建卷 3(A) 在量词与命 题的否定 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题. 频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第1讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:该部分的命题通常围绕三个点展开,第一个点 是围绕集合的概念、基本关系和运算展开,设计考查集合的意 义、根据集合之间的关系求参数范围、集合的运算等试题,目 的是考查集合的基础知识和基本方法;第二个点是围绕命题(包 括特称命题和全称命题)、充要条件、逻辑联结词展开,设计判 断命题之间的关系、命题之间的充分性与必要性的判断等试题, 目的是考查对常用逻辑用语基础知识的掌握程度、逻辑知识在 数学中的应用;第三个点是围绕集合命制新定义试题,目的是 考查在新的环境中使用数学知识分析问题、解决问题的创新能 力.

第1讲 │ 二轮复习建议

预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计 试题,考查集合与常用逻辑用语的基础知识,试题会在知识网 络交汇上下工夫,使试题能够考查到更多的知识点,但试题的 难度为容易或者中等. 复习建议:1.强化对集合意义的复习,使学生能够正确地处 理各种情况下集合表达的是什么数学问题,重点加强对集合的 运算的复习,注意集合之间关系的等价转化,如 A?B?A∩B =A?A∪B=B. 2.强化命题真假的判断、充要条件的判断的训练,重点加 强对在知识交汇处命制的试题的分析,引导学生注意知识的融 会贯通.

第1讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第1讲 │ 主干知识整合

1.集合的概念、关系与运算 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含 参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A? B,B? C? A? C,空集是 任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2n. (3)集合的运算: U(A∪B)=(?UA)∩(?UB), U(A∩B)=(?UA) ? ? ∪(?UB),?U(?UA)=A. 2.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题 同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情 况处理.

第1讲 │ 主干知识整合

3.充分条件与必要条件 若p? q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p? q,则p,q互为充要条件. 4.简单的逻辑联结词 (1)命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只 有p,q均为真,才为真;綈p和p为真假对立的命题. (2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q);命题p∧q的否定是(綈 p)∨(綈q).

第1讲 │ 主干知识整合

5.含有量词的命题的否定 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈p(x0)”;“?x0∈ M,p(x0)”的否定为“?x∈M,綈p(x)”.

第1讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 集合的概念、关系和基本运算 例1 (1)[2012· 课程标准卷] 已知集合A={1,2,3,4,5},B= {(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.10 (2)已知集合A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|= 2},则A∩B=( ) A.{1+ 3i,1- 3i} B.{ 3-i} C.{1+2 3i,1-2 3i} D.{1- 3i}

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)理解集合 B 的特征 ? (推理)求出集合 B ? (结论)得出集合 B 中元素的个数. (2)(分析)理解集合 A, 的特征 ? (推理)A∩B 中的元素同 B ? ? ?1-2ai?=2, 时具有 A, 的特征, B 问题等价于? a∈R 时的 z ? (结 ? 论)列方程求出 a.

第1讲│ 要点热点探究
[答案] (1)D (2)A

[解析] (1)方法1:x=2时,y=1,此时x-y=1,此时 (x,y)=(2,1),(x,y)有1个; x=3时,y=1,2,此时x-y=2,1,(x,y)有2个; x=4时,y=1,2,3,此时x-y=3,2,1,(x,y)有3个; x=5时,y=1,2,3,4,此时x-y=4,3,2,1,(x,y)有4个. 所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10. 方法2:在平面直角坐标系中列出x,y∈A的点对,其中 在直线x-y=a(a∈A)上的点即为集合B中元素的个数.如 图,容易计算出其中是集合B的元素的共有10个.

第1讲│ 要点热点探究

(2)根据交集的意义,A∩B 中的元素 z 满足|1-2ai|=2,即 1+4a2=2, 解得 2a=± 3, 所以 z=1± 3i.所以 A∩B={1+ 3 i,1- 3i}.

第1讲│ 要点热点探究

[点评] 集合是一种数学语言,使用集合可以表示函数的 定义域、值域、方程的解集、不等式的解集、平面区域等, 在复习时要注意集合的这个特点,准确地把集合表达的数学 问题翻译为普通的数学问题,看下面的变式.

第1讲│ 要点热点探究

变式题 (1)已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5}, 则集合 B=( ) A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} (2)已知集合 M={y|y=2x},集合 N={x|y=lg(2x-x2)},则 M∩N=( ) A.(0,2) B.(2,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

第1讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B (2)A

[解析] (1)全集A={0,1,2,3,4,5},所以B={0,2,4}. (2)集合M为函数y=2x的值域,即M=(0,+∞);集合N 是函数y=lg(2x-x2)的定义域,由不等式2x-x2>0解得N= (0,2).所以M∩N=(0,2).

第1讲│ 要点热点探究
命题的认识及其真假判断 π 例2 (1)[2012· 湖南卷] 命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命 4 题是( ) π π A.若α≠ ,则tanα≠1 B.若α= ,则tanα≠1 4 4 π π C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 4 4 (2)已知命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“?x0∈ R,x 2 +2ax0+2-a=0”.若命题“(綈p)∧q”是真命题,则实数 0 a的取值范围是( ) A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a>1 D.-2≤a≤1 ? 探究点二

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)回顾逆否命题的结构 ? (推理)否定条件 得p否定结论得q ? (结论)若q,则p. (2)(分析)“(綈p)∧q”为真命题说明了綈p与q的真假性 ? (推 理)由p真时a的取值范围,得出綈p为真时a的取值范围M,由q为 真求出a的取值范围N ? (结论)M,N的公共部分即为所求.

第1讲│ 要点热点探究

[答案] (1)C

(2)C
π ,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1, 4

[解析] (1)“若α=

π 则α≠ ”. 4 (2)命题p为真时a≤1;“?x0∈R,x 2 +2ax0+2-a=0”为真, 0 2 即方程x +2ax+2-a=0有实根,故Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≥1 或a≤-2.(綈p)∧q为真命题,即綈p真且q真,即a>1且a≥1,即a>1.

第1讲│ 要点热点探究

[点评] 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题是根据原命 题得出的形式上的命题,其中逆否命题是把原命题中的结论否 定作为条件,条件否定作为结论得到的形式上的命题,这个命 题与原命题等价;p∨q 为真只要 p,q 至少有一个真即可;p∧ q 为真必需 p,q 同时为真;p,綈 p 一真一假.对第 2 题注意: 理解题目中命题的含义,命题 p 等价于 a≤x2 在[1,2]上恒成立; 命题 q 等价于方程 x2+2ax+2-a=0 有实根.如果是?x,ax2 +bx+c=0,则等价于方程 ax2+bx+c=0 恒成立,则必须 a =b=c=0;如果是?x0, x2-a≥0,x∈[1,2],则等价于 0 [x2]max≥a.

第1讲│ 要点热点探究
? 探究点三 充分条件、必要条件的推理与判断 例 3 (1)[2012· 山东卷] 设 a>0 且 a≠1, 则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若条件 p:-3≤x≤1,条件 q:x2+2x-3<0,则綈 p 是綈 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲判断充分条件、必要条件,需把两 个命题中 a 的取值集合求出 ? (推理)求函数 f(x)在 R 上是减函 数的实数 a 的集合 M, 求函数 g(x)在 R 上是增函数的实数 a 的 集合 N ? (结论)根据 M,N 的相互包含关系,作出判断. (2)(分析)欲判断充要条件需看命题的互相推出情况 ? (推 理)转为 p 与 q 的关系, 找到两个集合之间的包含关系 ? (结论) 根据充要条件的概念进行判断.

第1讲│ 要点热点探究

[答案] (1)A

(2)A

[解析] (1)当 f???x???=ax 为 R 上的减函数时,0<a<1,2-a>0,此时 g(x) =(2-a)x3 在 R 上为增函数成立;当 g(x)=(2-a)x3 为增函数时,2 -a>0,即 a<2,但 1<a<2 时,f???x???=ax 为 R 上的减函数不成立,故选 A.(2)等价转换法 p:-3≤x≤1,q:x2+2x-3<0?-3<x<1,原命题 “若綈 p 则綈 q”的逆否命题为“若 q 则 p”;逆命题“若綈 q 则綈 p”的逆否命题为“若 p 则 q”.因为 q 所对应的集合是 p 所对应的 集合的真子集,故原命题的逆否命题为真,即原命题为真;逆命题的 逆否命题为假,即逆命题为假.所以 q 是 p 的充分不必要条件,綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.答案为 A.

第1讲│ 要点热点探究

[点评] 充分条件、必要条件的推理与判断有三种方 法.一、定义法:直接推断若 p 则 q,若 q 则 p 是否成立;二、 集合法: 即若命题 p 成立的集合为 A, 命题 q 成立的集合为 B, 若 A 是 B 的真子集,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 B 是 A 的真子集,则 p 是 q 的必要不充分条件,若 A=B,则 p 与 q 互为充要条件;三、等价转化法:根据一个命题与其逆否命题 等价, 把判断 p 是 q 的什么条件转化为判断綈 q 是綈 p 的什么 π 条件, α≠ 是 tanα≠ 3的什么条件等价于判断 tanα= 3是 如 3 π α= 的什么条件(必要不充分条件). 3

第1讲│ 要点热点探究

? 例4

探究点四 量词与命题的否定 [2012· 辽宁卷] 已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)- )

f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是(

A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲得命题的否定需看已知命题 ? (推理) 已知命题是全称命题 ? (结论)否定为特称命题.
[答案] C

[解析] 本小题主要考查特称命题与全称命题的关系.解 题的突破口为全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定 是全称命题. 故?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0的否定是?x1, x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故而答案选C.

第1讲│ 要点热点探究

[点评] 由于全称命题是对某个集合中的所有元素都成立 的一个命题,那么只要在这个集合中找出一个元素使结论不 成立,就否定了这个命题,这就是为什么全称命题的否定是 特称命题.同理理解为什么特称命题的否定是全称命题.注 意:一个命题的否定是否定这个命题的结论,否命题是把原 命题的条件和结论都否定后得到的形式上的命题.

第1讲│ 要点热点探究

变式题 命题: “对任意 a∈R, 方程 ax2-3x+2=0 有正 实根”的否定是( ) A.对任意 a∈R,方程 ax2-3x+2=0 无正实根 B.对任意 a∈R,方程 ax2-3x+2=0 有负实根 C.存在 a∈R,方程 ax2-3x+2=0 有负实根 D.存在 a∈R,方程 ax2-3x+2=0 无正实根

第1讲│ 要点热点探究

[答案]

D

[解析] 任意的否定是存在,有正实根的否定是无正实 根.故命题:对任意a∈R,方程ax2-3x+2=0有正实根的否 定是“存在a∈R,方程ax2-3x+2=0无正实根”.

第1讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 对否定形式给出的充要条件的判断可以根据命题与其 逆否命题等价转化为肯定形式给出的充要条件的判断,如x≠2是 x2≠4的什么条件,可以转化为判断x2=4是x=2的什么条件. ?技巧 集合{x|y=f(x)}为函数y=f(x)的定义域,集合{y|y=f(x)} 为函数y=f(x)的值域,集合{x|f(x)=0}为方程f(x)=0的解集,集 合{x|f(x)>0}为不等式f(x)>0的解集,集合{(x,y)|f(x,y)=0}为方 程f(x,y)=0的解集,也表示方程f(x,y)=0所表示的曲线上的点 集等. ?易错 空集是任何集合的子集,在判断两个集合之间的关系时 不要忘记其中的集合可能是空集的情况.

第1讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
抽象概括能力——集合中三种语言的转换 1 示例 设平面点集A=(x,y) (y-x)· x ≥0,B= y- ?x,y?|?x-1?2+?y-1?2≤1 ,则A∩B所表示的平面图形的面积为 ( ) 3 3 4 π A. π B. π C. π D. 4 5 7 2
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第1讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为抽象概括数学语言的能力,数学语 言的考查体现在文字语言、符号语言、图形语言三者之间的互相 ? 转化 1? ?y- ?≥0(符号语言) 转化.条件1:(y-x) 不等式的解集(文字 x? ? 转化 语言) 平面坐标系中平面区域表示(图形语言);条件2同条件 转化 1;结论:A∩B(符号语言) 表示条件1与条件2图形的公共点 转化 (文字语言) 平面坐标系中平面区域表示(图形语言).

第1讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲求A∩B的面积,需求出A∩B表示的区 域 ? (推理)画出集合A表示的平面区域,画出集合B表示的平面 区域 ? (结论)求公共部分的面积.

图1-1-1

第1讲│ 命题立意追溯

[答案] D
[解析] D
? 1? 集合A是不等式(y-x)?y-x?≥0的解集,即不等式 ? ?

?y-x≥0, ?y-x<0, ? ? 组? 1 或? 1 的解集,集合B是不等式(x-1)2+ ?y-x≥0 ?y-x<0 ? ? (y-1)2≤1的解集,A∩B是图中区域A,B.根据对称性,区域A的 面积等于区域C的面积,故区域A,B的面积之和等于区域B,C 1 π 2 2 的面积之和,即圆(x-1) +(y-1) =1面积的 ,即 .故选D. 2 2

第1讲│ 命题立意追溯

[跟踪练]
? ? x ? ? 1.集合M= ?x?x-1>0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ,集合N= ?y?y=x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? ?

M∩N=( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1},B={(x,y)|- 1≤x≤1,-1≤y≤1},则集合N={(x,y)|x=x1+x2,y =y1+y2,(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}表示的区域的面积 是________.

第1讲│ 命题立意追溯

1.[答案]

B

x [解析] 依题意,解不等式 >0 得 x<0 或 x>1,即 M= x-1 1 (-∞,0)∪(1,+∞).求函数 y=x 的值域得 y≥0,即 N= 2 [0,+∞).在数轴上画出不等式的解集得 M∩N=(1,+∞).故 选 B.

第1讲│ 命题立意追溯
2.[答案] 12+π

[解析] x1=x-x2,y1=y-y2,代入 x2+y2≤1,得(x-x2)2 1 1 +(y-y2)2≤1,其中圆心在区域{(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1} 内变动,变动过程中形成如图所示的平面区域,这个区域含有 原有的正方形区域,以及四个四分之一圆形区域,四个长、宽 为 2、1 的矩形区域,故其面积是 4+4×2×1+π=12+π.

第1讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例题1说明集合表述问题的广泛性,例2说明充要 条件的判断方法以及函数是偶函数的充要条件,例3说明逻辑用 语应用的广泛性,通过这几个题目向学生阐明高考中集合与常用 逻辑用语考查时涉及的知识是非常全面的,使学生认识到集合与 常用逻辑用语与数学其他知识的广泛联系.

第1讲│ 教师备用例题

[2011· 陕西卷] 设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈ ?? 1 ? ?? R},N=x? x- i ?< 2,i为虚数单位,x∈R,则M∩N为( ) ? ? ? ? A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 例1

第1讲│ 教师备用例题

[答案] C
[解析] 对于 M,由二倍角公式得 y=|cos2x-sin2x|= ? 1? 1 |cos2x|, 0≤y≤1.对于 N, 故 因为 x- =x+i, ?x- i ?< 2, 由 i ? ? 得 x2+1< 2,所以-1<x<1,故 M∩N=[0,1),故答案为 C.

第1讲│ 教师备用例题

例2 [2012· 天津卷] 设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)= cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第1讲│ 教师备用例题

[答案] A

[解析] 本题考查命题及充要条件,考查推理论证能力, 容易题. 当 φ=0 时,f(x)=cos(x+φ)=cosx 为偶函数成立;但 当 f(x)=cos(x+φ)为偶函数时,φ=kπ,k∈Z, φ=0 不一定 成立.

第1讲│ 教师备用例题

例 3 [2012· 江西卷] 下列命题中,假命题为( A.存在四边相等的四边形不是正方形 .

)

B.z1,z2∈C,z1+z2 为实数的充分必要条件是 z1,z2 互为共 轭复数 C.若 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 至少有一个大于 1 D.对于任意 n∈N*,C0 +C1 +?+Cn都是偶数 n n n

第1讲│ 教师备用例题

[答案] B
[解析] 考查命题的真假的判断、含量词命题真假的判断、组 合数性质以及逻辑推理能力等. ∵菱形四边相等, 但不是正方形, ∴A 为真命题;∵z1,z2 为任意实数时,z1+z2 为实数,∴B 为假命题;∵x,y 都小于等于 1 时,x+y≤2,∴C 为真命题; ∵C0 +C1 +C2 +?+Cn=2n,又 n∈N*,∴D 为真命题.故选 B. n n n n

第2讲 函数、基本初等函 数Ⅰ的图象与性质

第2讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 函数概念的理解和 2012 安徽卷 2(A),2012 选择(4) 性质的应用 广东卷 4(A) 2012 四川卷 5(B),2012 考点 2 函数图象的分析与 选择(4) 重庆卷 7(B), 2012 陕西卷 判断 2(A) 2012 广东卷 4(A),2012 考点 3 基本初等函数的性 选择(5) 课程标准卷 12(C),2012 质及应用 山东卷 8(B) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第2讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议

命题角度:函数部分的命题通常围绕三个方面进行.第一个方面是 围绕函数概念、函数的解析式、函数的性质(单调性、奇偶性、周期性) 展开, 主要考查对函数概念的理解、 函数定义域的求解、 函数值的求解(一 般是分段函数)、函数的最值的求解、函数性质在解题中的综合运用等; 第二个方面是围绕函数图象展开,主要考查根据函数的解析式判断函数 图象的大致形状,根据函数图象通过数形结合的方法解决一些问题等; 第三个方面是围绕指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质的运用展 开,主要考查这三个函数的图象与性质在解决问题中的应用,如比较含 有指数与对数的数的大小、含有指数函数与对数函数的分段函数的最值 等.预计 2013 年基本的考点不会发生变化,仍然会从函数概念、性质、 图象的应用等方面进行考查,但函数试题有非常大的灵活性,安徽卷主 要以思想方法的创新为主,陕西和广东可能会出现一些创新性试题.

第2讲 │ 二轮复习建议

复习建议:函数是高中数学最重要的基础知识,在一套 高考试卷中考查到函数以及与函数相关问题的试题数量是较 多的,但在本节中我们主要是研究函数概念、 函数表示方法、 函数性质,以及指数函数、对数函数、幂函数本身的问题, 在复习时要以此为重点.函数问题中的重点是函数的性质, 难点是函数性质的综合运用,特别是在抽象函数中函数性质 的综合运用,在复习中注意引导学生抓住这个重点,通过例、 习题掌握使用函数性质分析问题、解决问题的基本方法.

第2讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第2讲 │ 主干知识整合
1.函数的概念及其表示 函数的定义域和值域均为非空的数集,定义域和对应关 系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证 明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下 结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函 数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上 具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关 于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性;

第2讲 │ 主干知识整合

(3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函 数满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|. 3.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0, a≠1)的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两函 数图象中的两种情况的公共性质; (2)幂函数y=xα的图象和性质,分幂指数α>0,α<0两种 情

第2讲│ 要点热点探究
要点热点探究
函数的概念的理解和性质的应用 1 例1 (1)[2012· 山东卷] 函数f(x)= + 4-x2 的 ln?x+1? 定义域为( ) A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] ?1,x为有理数, ? (2)[2012· 福建卷] 设函数D(x)= ? 则下列 ?0,x为无理数, ? 结论错误的是( ) A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 ? 探究点一

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)观察所给函数解析式的形式 ? (推理) 利用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ? (结论) 解不等式组并求交集得出函数的定义域. (2)(分析)欲判断选项结论需根据新函数定义和函数性质进 行 ? (推理)根据D(x)的定义,利用函数值域、偶函数、周期 函数、函数单调性概念,逐项作出判断 ? (结论)参照选项作 出选择.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B

(2)C

[解析] (1)方法一(特值法):当x=-2时,ln(x+1)无意 义,排除A,C;当x=0时,ln(0+1)=ln1=0,不能充当分 母,所以排除D.故选B. 方法二:要使函数有意义,则有 ?x>-1, ? ?x≠0, ?-2≤x≤2, ? ?x+1>0, ? ?ln?x+1?≠0, ?4-x2≥0, ? 即

即-1<x<0或0<x≤2.故选B.

第2讲│ 要点热点探究

(2)考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等,解决本题 利用定义、图象等解决.若当x为无理数时,x+T也为无理 数,则D(x+T)=D(x);故D(x)是周期函数,故C错误; 若x为有理数,则-x也为有理数,则D(-x)=D(x),若x 为无理数,则-x也为无理数,则D(-x)=D(x),故D(x)是偶 函数,故B正确;结合函数的图象,A选项D(x)的值域为 {0,1},正确;且D(x)不是单调函数也正确,所以C错误.

第2讲│ 要点热点探究
[点评] 本例第二题是历史上有名的函数“狄利克雷”函 数,这个函数的著名的性质之一就是其为周期函数,任何非零 实数都是其周期,这个函数没有最小正周期.函数的奇偶性和 周期性都是函数在其定义域上的整体性质,即对定义域内任意 的一个自变量都满足的性质,在证明函数的奇偶性和周期性 时,一定要注意这个特点,如本题中我们在证明D(x)为偶函数 时,就是对定义域内任意无理数证明其满足偶函数的定义,也 得证明对定义域内任意有理数也满足偶函数的定义,缺少任何 一个方面的证明都是不完整的,作出的结论也就可能是错误 的.本例第一题是求函数的定义域,求函数定义域的主要依 据:①分式的分母不为零;②偶次方根被开方数不小于零;③ 对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必 须大于零且不等于1.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 已知函数 f(x)和 f(x+2)都是定义在 R 上的偶函 数,当 x∈[-2,2]时,f(x)=g(x).则当 x∈[-4n-2,-4n+ 2],n∈Z 时,f(x)的解析式为( ) A.g(x) B.g(x+2n) C.g(x+4n) D.g(x-4n)

第2讲│ 要点热点探究

[答案] C

[解析] 根据已知f(x)=f(-x),f(2+x)=f(2-x),故f(4+x) =f(2-(2+x))=f(-x)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期 函数,当x∈[-4n-2,-4n+2]时,x+4n∈[-2,2],f(x)= f(x+4n)=g(x+4n).

第2讲│ 要点热点探究

(

? 探究点二 函数的图象的分析与判断 例2 (1)设a<b,则函数y=(a-x)(x-b)2的图象可能是 )

图1-2-1

第2讲│ 要点热点探究

1 (2)[2012· 课程标准卷] 已知函数f(x)= ,则y ln?x+1?-x =f(x)的图象大致为( )

图1-2-2

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ? (推理)函数有两个零点,从函数零点的位臵和性质考虑 ? (结论)结合选项图象作出判断. (2)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ? (推理)从 函数的整体性质考虑,函数的定义域、值域、单调性 ? (结 论)结合选项图象作出判断.

第2讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)B

(2)B

[解析] (1)方法1:从各个选项看a>0,此时x=0时,y= ab2>0,即函数图象与y轴正半轴有一个交点;x=a是函数的 变号零点,x=b是函数的不变号零点.综合上述特征,只能 是选项B中的图象. 方法2:函数是一个三次项为负的三次函数,这类函数的 基本特征是从左到右先单调递减,再单调递增(如果无极值点 则仍然单调递减),再单调递减,由此看只能是选项A,B中 的图象,再结合y′= -(x-b)2+(a-x)· 2(x-b)=(x-b)[-3x+2a+b]得出函 数有一个极值点x=b,即可确定只能是选项B中的图象.

第2讲│ 要点热点探究
(2)方法1:函数f(x)满足x+1>0且ln(x+1)-x≠0,即x> 1 -1且ln(x+1)-x≠0,设g(x)=ln(x+1)-x,则g′(x)= x+1 -x -1= ,由于x+1>0,显然当-1<x<0时,g′(x)>0,当 x+1 x>0时g′(x)<0,故函数g(x)在x=0处取得极大值,也是最大 值,故g(x)≤g(0)=0,当且仅当x=0时g(x)=0,故函数f(x)的 定义域是 (-1,0)∪(0,+∞),且函数g(x)在(-1,0)∪(0,+∞)的 值域为(-∞,0),故函数f(x)的值域也是(-∞,0),且在x= 0附近函数值无限小,观察各个选项中的函数图象,只有选项 B中的图象符合要求.

第2讲│ 要点热点探究

方法2:(特殊值检验法)x=0时,函数无意义,排除选项 ?1 ? 1 1 ? -1?= D中的图象,x= -1时,f e ?=-e<0,排除 e 1 ?1 ? ? ln -?e-1? e ? ? 选项A,C中的图象,故只能是选项B中的图象.注:这里选 1 取特殊值x= -1∈(-1,0),这个值可以直接检验选项A, e C,这种取特值的技巧在解题中很有用处

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 根据函数的解析式判断函数图象,要从定义域、 值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进 行全面分析,有时可结合部分特殊函数值进行辅助推断,这 是解决函数图象判断类试题的基本方法.

第2讲│ 要点热点探究

变式题

函数

?1? y=ln?x?与 ? ?

y=- x2+1在同一平面直角坐

标系内的大致图象为(

)

图 1-2-3

第2讲│ 要点热点探究

[答案] C
[解析] 函数
?1? y=ln?x?=-ln|x|,是偶函数,且在 ? ?

x>0 时,函

数单调递减,排除选项 A,B;函数 y= - x2+1中 y≤-1,排除选项 D 中的图象,只能是选项 C 中的图象.

第2讲│ 要点热点探究

? 例3

探究点三

基本初等函数的性质及其应用
?x2+1,x≤1, ? 若函数f(x)= ? ?lgx,x>1, ?

(1)[2012· 江西卷]



f(f(10))=( ) A.lg101 B.2 C.1 D.0 ?1? (2)设a= ?2? 0.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小 ? ? 关系是( ) A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)求函数值需要根据解析式 ? (推理)求 解的是一个复合函数值 ?(结论)由内层到外层逐次计算即可. (2)(分析)欲比较大小就需知函数性质 ?(推理)构造指数函 数、对数函数和幂函数,根据单调性作出判断 ?(结论)综合比 较a,b,c的大小.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B

(2)C

[解析] (1)f(10)=lg10=1,所以f(f(10))=f(1)=12+1= 2,选B. (2)根据幂函数y=x0.5的单调性可得0.30.5<0.50.5<10.5=1, 即b<a<1;根据对数函数y=log0.3x的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 在计算复合函数值时要注意从内层到外层逐次计 算,如果已知的函数是分段的,在求解时要不断判断求解的 函数值使用哪段的解析式.在指数式、对数式比较大小时, 要根据实际情况构造适当的函数,使用函数的单调性进 行.如果是指数相同、底数不同则构造幂函数,如果是底数 相同、指数不同则构造指数函数.比较大小的一个基本技巧 是寻找中间值,如0,1等,把要比较的对象的取值画在不同的 区间,这样就可以根据取值的情况对比较的对象作出判断.

第2讲│ 要点热点探究

变式题

若 x∈ e

? -1 ? ?

?1? ,1 , a=lnx, ?2?lnx, lnx, b= c=e 则( ? ?
? ? ?

)

A.c>b>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.b>c>a

第2讲│ 要点热点探究

[答案] D
?1? 1)时,a=lnx∈(-1,0),b=?2?lnx>1,c ? ?

[解析] x∈(e ,

-1

=elnx=x∈(e-1,1).所以 b>c>a.

第2讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼

第2讲│ 规律技巧提炼

第2讲│ 规律技巧提炼

?技巧 当奇函数在 x=0 处有定义时, 一定有 f(0)=0(反 之不真);在函数的奇偶性问题中使用函数奇偶性的定 义是对函数定义域内任意 x 恒成立(当然对定义域内的 特殊值也成立)得到关于 x 的恒等式,从而确定函数解 析式中的字母参数问题(在选择题和填空题中也可以使 用特殊的函数值). ?易错 忽视函数的定义域,分段函数中分段点处混用 函数解析式,复合函数值计算层次混乱.

第2讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
推理论证能力——函数问题中的代数推理
示例 [2012· 福建卷] 函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a, ?x1+x2? 1 ?≤ [f(x1)+f(x2)],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) b],有 f? 2 ? 2 ? 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x2)在[1, 3]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; x1+x2+x3+x4 1 ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f( )≤ [f(x1) 4 4 +f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④

第2讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题以函数为背景给出了一个新定义,目 的是考查学生利用反例否定命题、利用演绎推理证明一般 命题的能力,重点考查在代数问题中进行逻辑推理的能 力.

第2讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲判断各个命题是否为真,只需举反 例否定或演绎证明为真 ? ①推理:根据定义构建函数,图 象不连续但符合定义 ? (结论)对命题①的真假作出判断; ②推理:根据定义构造函数f(x),f(x)符合定义要求但f(x2)不 符合定义要求 ? (结论)对命题②的真假作出判断;③推 理:证明f(x)=1,只要证明f(x)≤1且f(x)≥1 ? (结论)对命 题③的真假作出判断;④推理:x1,x2,x3,x4∈[1,3]? x1+x2 x3+x4 , ∈[1,3],代入定义中的不等式 ? (结论)对命 2 2 题④的真假作出判断.

第2讲│ 命题立意追溯
[答案] D
[解析] 考虑函数

?1,1≤x<3; ? f(x)=? ?2,x=3. ?

否定命题①;

考虑函数 f(x)=-x,x∈[1,3],否定命题②; ?x+?4-x?? 1 ? 设 x∈[1,3], 4-x∈[1,3], 则 根据定义 f? ? ?≤2[f(x) 2 ? ? +f(4-x)], f(x)+f(4-x)≥2, 即 根据已知 f(x)的最大值为 1, 所以 f(x)≤1,f(4-x)≤1,即只能 f(x)=1,所以③是真命题; x1+x2 x3+x4 x1,x2,x3,x4∈[1,3]时, , ∈[1,3],代入可 2 2 ?x1+x2+x3+x4? f?x1?+f?x2?+f?x3?+f?x4? ? 得 f? ,所以④是真 ? ?≤ 4 4 ? ? 命题.

第2讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 1.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y= f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2 012)=( ) A.0 B.-4 C.-8 D.-16 ? 3? 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f ?x+2? =-f(x),且函数y ? ? ? 3? =f ?x-4? 为奇函数,给出三个结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的 ? ? ? 3 ? 图象关于点 ?-4,0? 对称;③f(x)是偶函数.其中正确结论的个数 ? ? 为( ) A.3 B.2 C.1 D.0

第2讲│ 命题立意追溯

1. [答案]

B

[解析] 由 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称可知,f(x)的图 象关于点(0,0)对称,即为奇函数,令 x=-3 可知,f(3)+f(-3) =2f(3),进而 f(-3)=f(3),又 f(-3)=-f(3),可知 f(3)=0,所 以 f(6+x)+f(x)=0,可知 f(x)是一个周期为 12 的周期函数,所以 f(2 012)=f(-4)=-f(4)=-4.故选 B.

第2讲│ 命题立意追溯

2.[答案]

A
? 3? f?x+2?=-f(x),得 ? ? ? 3? f(x+3)=-f?x+2?=f(x), ? ?

[解析] 由

可得 3 是函数 f(x)的一个周期,故结论①正确;由于函数 y= ? 3? f?x-4?为奇函数,其图象关于坐标原点对称,把这个函数图象 ? ? 3 向左平移 个单位即得函数 y=f(x)的图象,此时对称中心移到 4 ? 3 ? ? 3 ? 点?-4,0?,故 f(x)的图象关于点?-4,0?对称,结论②正确; ? ? ? ?

第2讲│ 命题立意追溯

? ? 3? 3? ? 3? 由于函数 y=f?x-4?为奇函数,故-f?x-4?=f?-x-4?,以 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 3? 3? 3 + 代换 x 得-f(x)=f?-x-2?, f?x+2?=-f(x), 又 所以 f?x+2? 4 ? ? ? ? ? ? ? 3? 3 ?-x- ?,以 x- 代换 x 得 f(x)=f(-x),故 f(x)是偶函数, =f 2? 2 ?

结论③正确.(注:f(x+a)为奇函数??x,f(-x+a)=-f(x +a))

第2讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例1为指数函数、三角函数交汇类试题,解题中 要研究函数的奇偶性以及函数值的变化规律,才能较好地作出判 断,该题对学生解答图象分析类试题具有较好的示范作用;例2 考查指数函数、对数函数和不等式等,其中最值的求解方法很丰 富,是一题多解的好题;例3的主要思想是函数与方程,把问题 转化为方程的解,是一个训练学生等价转化问题方法的较好题 目.这三个题目可作为探究点二、三的补充.

第2讲│ 教师备用例题

例1

cos6x [2012· 山东卷] 函数y= x 的图象大致为( 2 -2-x

)

第2讲│ 教师备用例题

[答案] D

cos6x [解析]由函数 y= x - 为奇函数,排除选项 A, 2 -2 x 当 x 无限大时,y 趋向于 0,排除选项 C,当 x 从正数 趋向于 0 时,y 趋向于正无穷大,故选 D.

第2讲│ 教师备用例题

例2

[2012· 湖南卷]

已知两条直线l1:y=m和l2:y=

8 (m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点 2m+1 A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D. 记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化 b 时,a的最小值为( ) 3 3 A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

第2讲│ 教师备用例题

[答案] B

[解析]考查函数的图象变换、均值不等式和对数方程,以及 数形结合和函数与方程思想,综合程度高,难度也较大,关键是 转化为关于 m 的代数式最值问题. 线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,由已知可 ? -m 8 ? ? 求出 ABCD 四点的横坐标得 a=|xA-xC|=?2 -2-2m+1?, ? ? ? ? m 8 ? ? b=|xB-xD|=?2 -22m+1?, ? ? ?

第2讲│ 教师备用例题
? m 8 ? ? ? 2 -2 ? 2m+1? ? ?

8 2m+1? ? ? ? ? 1? 1? 4 8 4 1 1 ?m+ ? 令 t=m+ =?m+2?+ - ≥2 - = 2? 1 2 1 2 2m+1 ? ? ? m+ m+ 2 2 1 4- , 2 b 8 1 a=2m+2m+1≥24-2=8 2,所以最小值为 8 2.

b 所以a=? ? -m ?2 -2-

8 ?=2m+2m+1, ?

第2讲│ 教师备用例题

例3 对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M= [a,b]?D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间 M为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=2x;②f(x)=x3;③f(x)=sinx;④f(x)=log2x +1. 则存在“等值区间”的函数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第2讲│ 教师备用例题

[答案] B

[解析] 问题等价于方程 f(x)=x 在函数的定义域内是否存 在至少两个不相等实根.由于 2x>x,故函数 f(x)=2x 不存在等 值区间;由于 x3=x 有三个不相等实根 x=-1,0,1,故函数 f(x) =x3 存在三个等值区间[-1,0],[0,1],[-1,1];由于 sinx=x 只有唯一的实根 x=0,故函数 f(x)=sinx 不存在等值区间;由 于 log2x+1=x 有实根 x=1, x=2, 故函数 f(x)=log2x+1 存在 等值区间[1,2]. (注: x>0 时 sinx<x 恒成立, x<0 时 sinx>x 在 在 恒成立,只有在 x=0 时,sinx=x,这个结论可以使用导数的 方法进行证明.函数 y=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,这既可 以看作是幂函数的性质的应用,也可以使用导数的方法进行证 明)

第3讲 函数与方程、函数 模型及其应用

第3讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频 率) 考例(难度)

考点 1 函数的零点 2012 天津卷 4(B),2012 湖南 选择(4) 与方程根的分布 卷 9(B),2012 湖北卷 9(B) 考点 2 二分法求方 0 程的近似解 考点 3 函数模型及 2012 课程标准卷 18(1)A,2012 解答(2) 其应用 江苏卷 17(C) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第3讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:从五年来课程标准卷的考情看,该部分的命题通常围绕 两个点展开. 第一个点是围绕函数图象的交点展开,通过函数图象的交 1 点问题命制综合性较强的试题, 2011 年的试题是求“函数 y= 如 的 x-1 图象与函数 y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和”,把 函数的零点问题以图象的交点坐标的形式进行表述, 而不直接给出函数 考查函数的零点(五年没有一次提到函数零点问题);第二个点是围绕函 数建模展开, 一般是解答题的一个部分, 特别值得指出的是课程标准卷 五年来考查的两次函数建模都是与概率统计交汇进行的, 这是课程标准 卷的一个命题特点,而安徽, 陕西和广东等自主命题省份很少把函数图 象与性质与其他知识结合.

第3讲 │ 二轮复习建议

预计 2013 年上述情况会得到延续, 但出现变化的可能性 也很大,即有可能直接考查函数的零点,可能在选择题或者 填空题中直接考查函数建模,或者在解答题中以函数建模、 导数解模为主考查函数模型及其应用. 复习建议:该讲的重点是函数与方程的关系,函数零点 的存在性定理,函数建模的基本方法,导数在解决函数模型 中的应用,复习时要围绕这两个重点内容展开.在第一个点 上要注意以数形结合思想为指导,引导学生掌握解决问题的 方法;在第二个点上要注意建模的一般过程的训练,使学生 掌握函数建模的基本方法.

第3讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第3讲 │ 主干知识整合

1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系:函数y=f(x)的零点就是 方程f(x)=0的实数根,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横 坐标.方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点. (2)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的 函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值 的方法叫做二分法.

第3讲 │ 主干知识整合

2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模 型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)审清题意:分析 出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数 学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关 系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学 结果;(4)检验数学结果是否满足实际情况;(5)实际问题作 答:将数学问题的结果转译成实际问题作出解答.

第3讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 函数的零点和方程根的分布 例1 (1)[2012· 天津卷] 函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x ? 2? ∈[-2,0]时,f(x)= ? ? x-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程 ? 2 ? ? ? f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根,则实 数a的取值范围是( ) ?1 ? A.?4,1? B.(1,4) C.(1,8) D.(8,+∞) ? ?

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲判断零点个数需研究函数性质和使 用零点存在性定理 ? (推理)判断函数的单调性,使用函数在 开区间内零点的存在性定理进行判断 ? (结论)得出函数零点 的个数. (2)(分析)欲求实数a的范围需要知道a满足的不等式 ? (推 理)推断函数的周期性,根据奇偶性与周期性拓展函数图象, 数形结合得出a满足的不等式 ? (结论)解不等式得出所求范 围.

第3讲│ 要点热点探究
[答案] (1)B (2)D

[解析] (1)法一:∵f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增, 且f(0)×f(1)=-1×1=-1<0,∴函数f(x)=2x+x3-2在(0,1) 上有一个零点. 法二:将2x+x3-2=0化为2x=2-x3,在同一坐标系内 画出y=2x与y=2-x3的图象,如图所示,结合图象可知函数 f(x)=2x+x3-2在(0,1)上有一个零点.

第3讲│ 要点热点探究
(2)由f(2+x)=f(2-x)得f(4+x)=f(-x),再根据函数是偶函数 得f(4+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的函数.由于函数在[-2,0]上 ? 2?x 的解析式为f(x)=? ? -1,所以函数在(0,2]上的解析式为f(x)= ? 2 ? ? 2? -x ? ? -1,作出函数在[-2,2]上的图象,根据周期性把函数图 ? 2 ? 象拓展到区间(-2,6]上,再画出函数y=loga(x+2)的图象.显然在 0<a<1时,两个函数图象只有一个交点,不符合要求;当a>1时,要 使两个函数的图象有4个公共点,只要f(6)>loga(6+2)即可, ? 2?-(6-4) 即? ? -1>loga8,即loga8<1,即a>8.(注意区间的端点值) ? 2 ?

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图象 的交点,数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点 个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题 时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存 在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结 合起来.

第3讲│ 要点热点探究

变式题

?x+1,x≤0, ? (1)已知函数 f(x)=? ?log2x,x>0, ?

则函数 y=f[f(x)

+1]的零点个数是( A.2 B.3

) C.4

D.5

(2)当直线 y=kx 与曲线 y=e|lnx|-|x-2|有 3 个公共点时, 实数 k 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

第3讲│ 要点热点探究

[答案] (1)C (2)A

[解析] (1)f(x)=0时,x=-1或x=1,故f[f(x)+1]=0 时,f(x)+1=-1或1.当f(x)+1=-1,即f(x)=-2时,解得x 1 =-3或x= ;当f(x)+1=1,即f(x)=0时,解得x=-1或x=1. 4 故函数y=f[f(x)+1]有四个不同的零点.

第3讲│ 要点热点探究
?1 ? +x-2,0<x<1; ?x |lnx| (2) y=e -|x-2|=?2x-2,1≤x<2; ? ?2,x≥2. ?

画出这个函

数的图象以及函数y=kx的图象如图,如果两个函数图象有3个 公共点,则直线的斜率必须介于0,1之间.(本题主要是分段函 数与数形结合思想)

第3讲│ 要点热点探究

二分法求方程的近似解 1 例2 用二分法求方程lnx= x 在[1,2]上的近似解,取中点c= 1.5,则下一个有根区间是________.

?

探究点二

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲得到下一个有根区间需要知道三 个函数值 ? (推理)计算三个点x=1,1.5,2的函数值 ? (结论) 根据零点存在性定理判断下一个有根的区间.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] [1.5,2]
1 [解析] 令f(x)=lnx-x, 1 2 f(1)=-1<0,f(2)=ln2- =ln >ln1=0,f(1.5)= 2 e 2 1 ?? ln1.53-2??? ,因为1.53=3.375,e2>4>1.53,故 ln1.5- = ? 3 3 1 1 3 f(1.5)= (ln1.5 -2)< (lne2-2)=0,f(1.5)f(2)<0,下一个有 3 3 根区间是[1.5,2].

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 用二分法求方程近似解时,每一次取中点后,下 一个有根区间的判断原则是:若中点函数值为零,则这个中 点就是方程的解,若中点函数值不等于零,则下一个有根区 间是中点与和这个中点函数值不同号的端点组成的区间.在 用二分法求方程的近似解时,有时需要根据精确度确定近似 解.

第3讲│ 要点热点探究

? 探究点三 函数的模型及其应用 例3 受全球经济疲软的影响,某旅游公司经济效益出现 了一定程度的滑坡.现需要对某一景点进行改造升级,从而 扩大内需,提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值y万 51 x x 2 元与投入x万元之间满足:y= x-ax -ln , ∈[t, 50 10 2x-12 1 +∞),其中t为大于 的常数.当x=10万元时,y=9.2万元. 2 (1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围; (2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值.

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)点(10,9.2)在函数图象上,且

x 2x-12

1 ≥t> ? (目标)求出a值与x的取值范围 ? (方法)解方程、解不 2 等式; (2)(条件)函数解析式 ? (目标)求函数的最大值对应的自 变量 ? (方法)求导后根据函数定义域和极值点进行讨论.

第3讲│ 要点热点探究
51 解:(1)当x=10时,y=9.2,即 ×10-a×102-ln1= 50 1 51 x2 x 9.2,解得a= ,∴f(x)= x- -ln . 100 50 100 10 x 1 12t ∵ ≥t且t> ,∴6<x≤ ,即投入x的取值范围是 2 2x-12 2t-1 ? 12t ? ? ? 6, ? 2t-1?. ? ? x -51x+50 51 x 1 (2)对f(x)求导,得f′(x)= - - x =- =- 50 50 50x ?x-1??x-50? .令f′(x)=0,得x=50或x=1(舍去), 50x
2

第3讲│ 要点热点探究
当x∈(6,50)时,f′(x)>0,且f(x)在(6,50)上连续,因此,f(x) 在(6,50)上是增函数; 当x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且f(x)在(50,+∞)上连续, 因此,f(x)在(50,+∞)上是减函数. ∴x=50为极大值点. ?1 25? 12t 当 ≥50,即t∈ ?2,44? 时,投入50万元改造时旅游取得最 2t-1 ? ? 大增加值; ?25 ? 12t 12t ? ,+∞? 时,投入 当6< <50,即t∈ 44 万元改造时旅 2t-1 2t-1 ? ? 游取得最大增加值.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 本题给出了函数的模型,但函数模型中含有未知 参数,需要根据已知的试验数据确定未知参数,这也是高考 中命制函数建模试题常见的方式之一.在使用导数求解定义 域有限制的函数的极值时,一般是先把函数的单调性和极值 点求出,再根据函数极值点与函数定义域的相对位置关系进 行分类讨论,讨论的标准是函数的极值点在函数定义域内与 不在函数的定义域内.实际问题中的函数大多是单峰函数, 即在问题的实际范围内函数只有一个极值点,那么这个极值 点就是最值点.

第3讲│ 要点热点探究

变式题 某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的 资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费 t(百万元)可增加 销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内, 则应投 入多少广告费,才能使集团由广告费而产生的收益最大? (2)现在该集团准备投入三百万元, 分别用于广告促销和技 术改造.经预算,每投入技术改造费 x(百万元),可增加的销 1 3 售额约为- x +x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案, 3 使该集团由这两项共同产生的收效最大.

第3讲│ 要点热点探究

解:(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加收益为f(t)(百万 元),则 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3). ∴当t=2时,f(t)max=4. 即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费 而产生的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告的费 用为(3-x)(百万元),则由此两项所增加的收益为 ? 1 3 ? 2 g(x)=?-3x +x +3x?+[-(3-x)2+5(3-x)]-3= ? ? 1 3 - x +4x+3(0≤x≤3). 3

第3讲│ 要点热点探究

对g(x)求导,得g′(x)=-x2+4,令g′(x)=-x2+4= 0,得x=2或x=-2(舍去). 当0≤x<2时,g′(x)>0,即g(x)在[0,2)上单调递增;当 2<x≤3时,g′(x)<0,即g(x)在(2,3]上单调递减. 25 ∴当x=2时,g(x)max=g(2)= . 3 故在三百万元资金中,两百万元用于技术改造,一百万 元用于广告促销,这样集团由此所增加的收益最大,最大收 25 益为 百万元. 3

第3讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 在区间(a,b)上单调的函数,如果在这个区间上存在零 点 x0,则只有一个零点,而且区间(a,x0)上函数值符号相同,在 区间(x0,b)上函数值同号且与在区间(a,x0)的函数值异号.二分 法求方程的近似解时, 如果初始区间的长度为 l,则计算 n 次后得 l 到的近似解其精确度为 n. 2 ?技巧 在判断函数零点个数时, 如果一个函数能够分解为两个函 数的差,则可以构造两个函数,然后通过研究两个函数图象交点 的个数得出函数零点的个数,在解决由函数零点个数求参数范围 问题中这种方法更有效. ?易错 分段函数的零点判断中忽视对分界点的正确处理, 实际应 用问题中忽视函数的定义域.

第3讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
应用意识——合理转化实际问题为抽象数学问题 示例 某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中的酒精含量 f(x)(毫克/ 毫 升 ) 随 时 间 x( 小 时 ) 变 化 的 规 律 近 似 满 足 表 达 式 f(x) =
- ?5x 2,0≤x≤1, ? ?3 ?1?x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》 ? ? ,x>1, ?5· ? ? ?3 规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升.此驾驶员 至少要过________小时后才能开车(不足 1 小时部分算 1 小时,结 果精确到 1 小时).

第3讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为数学应用意识,通过建立数学 模型去解决实际应用问题(或利用给出的函数数学模型去进一 步求解实际情景问题).

第3讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)题设条件给出的分段函数模型 ? (推理)利 用分段函数求解满足条件的x的取值范围 ? (结论)由x的取值范 围得出驾驶员至少要过多少小时才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯

[答案] 4
[解析] ∵0≤x≤1时,-2≤x-2≤-1, ∴5-2≤5x-2≤5-1, 而5-2>0.02, ?1? 3 ?1?x 1 1 ? ? ≤ ,得? ?x≤ ,∴x≥4. 又x>1时,由 · 5 ?3? 50 30 ?3? 故至少要过4小时后才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] [2012· 湖南卷] 某企业接到生产3 000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部 件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分 别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成 正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种 部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的 值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的 人数分组方案.

第3讲│ 命题立意追溯
解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单 位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 2×3 000 1 000 T1(x)= = x , 6x 2 000 T2(x)= kx , 1 500 T3(x)= , 200-?1+k?x 其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数. (2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)}, ? ? ? 200 ? ? *? 其定义域为 ?x?0<x<1+k, x∈N ? .易知,T1(x),T2(x)为减函 ? ? ? ? ? 2 数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)=kT1(x),于是

第3讲│ 命题立意追溯
①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时 f(x)=max{T1(x),T3(x)} ?1 000 1 500 ? ? ? ? ? , =max x 200-3x?. ? ? ? 1 000 1 500 = 时f(x) x 200-3x 400 400 取得最小值,解得x= .由于44< <45,而f(44)=T1(44) 9 9 250 300 = ,f(45)=T3(45)= ,f(44)<f(45).故当x=44时完成订 11 13 250 单任务的时间最短,且最短时间为f(44)= . 11 由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当

第3讲│ 命题立意追溯
②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时 1 500 1 500 375 ≥ = . 200-?1+k?x 200-?1+3?x 50-x 375 记T(x)= ,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数, 50-x 则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x), ?1 000 375 ? T(x)}=φ(x)=max? x ,50-x?. ? ? 1 000 375 由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 x = 时φ(x)取最小 50-x 400 400 250 250 值,解得x= .由于36< <37,而φ(36)=T1(36)= > , 11 11 9 11 375 250 250 φ(37)=T(37)= > .此时完成订单任务的最短时间大于 . 13 11 11

第3讲│ 命题立意追溯

③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,此 时 000 750 ? ? ?. , x 100-x? ? 2 000 750 由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 x = 时f(x)取 100-x 800 最小值,解得x= ,类似(1)的讨论,此时完成订单任务的最 11 250 250 短时间为 ,大于 .综上所述,当k=2时,完成订单任务 9 11 的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为 44,88,68.
?2 ? f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max? ? ?

第3讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例1是一道考查函数与方程的难度极大的题目, 这个题目背景是三次方程根与系数的关系,对开阔学生思路有一 定的价值;例2考查分段函数,一元二次方程以及求最值的综 合,也是一道难度较大的试题;例3重在考查函数解析式的求解 以及数形结合思想.这三道题目均可作为探究点一的深化补充.

第3讲│ 教师备用例题
1 例1 [2012· 山东卷] 设函数f(x)= x ,g(x)=ax2+bx(a,b∈ R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的 公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0

[答案] B

第3讲│ 教师备用例题
[解析]本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力, 偏难. 当 y=f(x)的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共 点时,a<0 时,其图象为

作出点 A 关于原点的对称点 C, C 点坐标为(-x1, 1), 则 -y 由图象知-x1<x2,-y1>y2,故 x1+x2>0,y1+y2<0,同理当 a>0 时,有 x1+x2<0,y1+y2>0,故选 B.

第3讲│ 教师备用例题

例2 [2012· 福建卷] 对于实数a和b,定义运算“*”:a*b ?a2-ab,a≤b, ? =? 2 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方 ?b -ab,a>b. ? 程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则 x1x2x3的取值范围是________.

第3讲│ 教师备用例题
?1- ? ? 16 ? ? 3 ? ,0? ?

[答案]

[解析] 根据新运算符号得到函数f(x)的解析式,即为: f(x)=(2x-1)*(x-1)= ??2x-1?2-?2x-1??x-1?,?2x-1≤x-1?, ? ? 化简得: 2 ? ??x-1? -?2x-1??x-1?,?2x-1>x-1?, f(x)= 示),
?2x2-x,?x≤0?, ? ? 2 ? ?-x +x,?x>0?,

画出函数f(x)的图象(如下图所

第3讲│ 教师备用例题
如果f(x)=m有三个不同的实数解,即直线y=m与函数 f(x)的图象有三个交点,如图,当直线y=m过抛物线f(x)= -x2+x的顶点且与x轴平行时,此时有两个交点,抛物线 1 的顶点纵坐标是:y= .设三个交点分别为:x1,x2,x3, 4 1 2 且依次是从小到大的顺序排列,所以x1即为方程2x -x= 4 1- 3 1 小于0的解,解得x1= ,此时x2=x3= ,所以x1·2·3 x x 4 2 1- 3 1 1 1- 3 = × × = ,y=m与函数f(x)有2个交点的最低 4 2 2 16 位置是当y=m与x轴重合时,此时x1·2·3=0,所以当方程 x x ?1- 3 ? ? ? f(x)=m有三个不等实根时,x1·2·3∈? x x ,0?. ? 16 ?

第3讲│ 教师备用例题

|x2-1| 例3 [2012· 天津卷] 已知函数y= 的图象与函数y=kx x-1 -2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.

第3讲│ 教师备用例题

[答案] (0,1)∪(1,4)

[解析] 识,偏难.

本题考查函数的表示及图象应用,考查应用意

|x2-1| ?-?x+1?,-1≤x<1, ? y= =? ?x+1,x<-1或x>1, x-1 ? |x2-1| 出y=kx-2与y= 的图象如图, x-1

在同一坐标系内画

第3讲│ 教师备用例题

|x2-1| 结合图象当直线y=kx-2斜率从0增到1时,与y= x-1 在x轴下方的图象有两公共点;当斜率从1增到4时,与y= |x2-1| 的图象在x轴上下方各有一个公共点. x-1

第4讲

不等式与简单的线 性规划

第4讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 一元二 选择(3) 2012 天津卷 9(B),2012 重 次不等式的解 填空(2) 庆卷 2(A) 法 考点 2 基本不 2012 浙江卷 9(B),2012 福 选择(5) 等式的应用 建卷 5(B), 2012 湖北卷 6(C) 2012 四川卷 9(B),2012 课 考点 3 简单的 程标准卷 14(A),2012 广东 选择(8) 线性规划问题 卷 5(B) 2012 安徽卷 11(A) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题. 频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第4讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:由于课程标准卷中有选考内容《不等式选讲》 , 而不等式的解法可以放在导数试题中考查,因此在该部分的命 题主要从两个方面入手.第一个方面是从简单不等式的应用入 手, 考查基本不等式在求简单的二元函数最值中的应用, 2008 如 年宁夏、海南卷第 12 题就是综合空间几何体的三视图和基本不 等式的应用命制的一道试题;第二个方面是从线性规划入手, 考查二元一次不等式表示的平面区域,以及简单的线性规划问 题的解法. 预计 2013 年该部分的考查情况仍然会是这个趋势,重点放 在不等式性质、基本不等式的应用和简单的线性规划问题方面.

第4讲 │ 二轮复习建议

复习建议:该讲的重点是不等式性质、基本不等式的应 用和简单的线性规划问题,要突出这两个重点,但考虑到不 等式的解法在导数试题中的应用,适度照顾一元二次不等式 的解法.

第4讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第4讲 │ 主干知识整合

第4讲 │ 主干知识整合

1.不等式的基本性质 (1)a>b,b>c?a>c(传递性); (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc(伸缩性); (3)a>b?a+c>b+c(可加性); (4)a>b,c>d?a+c>b+d(叠加性); (5)a>b>0,c>d>0?ac>bd(叠积性); (6)a>b>0,n∈N ,n>1?a >b ; 性).
* n n

n

a>

n

b (可幂性,开方

第4讲 │ 主干知识整合

2.基本不等式 a+b 基本不等式 ab≤ (a>0,b>0). 2 常见的其他不等式有:a+b≥2
?a+b? ? ab(a,b>0);ab≤ ? ? 2 ? ? ?
2 2

a+b a +b 2ab 2 (a,b∈R); ≤ ab≤ ≤ (a,b>0). 2 2 a+b 3.几种不等式的解法 解一元二次不等式可利用一元二次方程、一元二次不等 式和二次函数间的关系.简单分式不等式变形为一元二次不 等式的形式解决.简单指数不等式与对数不等式可利用单调 性变形为一元二次不等式解决.

第4讲 │ 主干知识整合

4.二元一次不等式组和简单的线性规划 (1)二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区 域.二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的 平面区域的公共部分. (2)线性规划问题的主要概念:约束条件、目标函数、可 行解、可行域、最优解. (3)线性规划问题一般利用图象法求解.

第4讲│ 要点热点探究
要点热点探究

? 探究点一 一元二次不等式的解法 例1 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0, +∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c 的值为________.

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲求c的值需得c的方程 ? (推理)解集为 (m,m+6)说明这个不等式解区间的长度为6,函数f(x)的值域 为[0,+∞)说明y=f(x)图象与x轴相切,得出a,b关系后解不 等式f(x)<c ? (结论)根据解区间的长度得出关于c的方程解 之.

第4讲│ 要点热点探究

[答案] 9
[解析] 方法1:由f(x)值域为[0,+∞),得Δ=a2-4b =0. 不等式f(x)<c,即不等式x2+ax+b-c<0,根据求根公式 -a- a2-4?b-c? -a+ a2-4?b-c? 得 <x< ,把a2-4b=0代 2 2 a a 入得- c- <x< c- , 2 2 ? a? ? c- ? ∵不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),∴ - 2? ? ? a? ?- c- ?=2 c=6,解得c=9. 2? ?

第4讲│ 要点热点探究

? a? 2 a2 方法2:配方得f(x)= ?x+2? +b- ,由于函数f(x)的值域 4 ? ? ? a? 2 a2 为[0,+∞),所以b- =0,此时f(x)= ?x+2? ,不等式 4 ? ? ? a? 2 a a ?x+ ? <c,解得- c<x+ < c,即- c- f(x)<c,即不等式 2? 2 2 ?

a <x< c- ,下同方法1. 2

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 本例是解一个含有字母参数的一元二次不等式,基 本方法是求根法(直接分解因式求根、求根公式求根)和配方法.

第4讲│ 要点热点探究
x-1 变式题 (1)不等式 ≤0 的解集为( ) 2x+1 ? 1 ? ? 1 ? A.?-2,1? B.?-2,1? ? ? ? ? ? ? 1? 1? C.?-∞,-2?∪[1,+∞) D.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? ? ? 2 (2)使不等式 2x -5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件是 ) A.x≥0 B.x<0 或 x>2 1 1 C.x<- D.x≤- 或 x≥3 2 2

(

第4讲│ 要点热点探究

[答案] (1)A (2)C

[解析] (1)原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0, ? 1 ? 1 即- <x<1或x=1,所以原不等式的解集为?-2,1?,选A. 2 ? ? 1 (2)不等式即(2x+1)(x-3)≥0,解得x≤- 或x≥3,选项 2 中是该解的真子集的即为所求,只有选项C满足.

第4讲│ 要点热点探究
? 探究点二 基本不等式的应用 例2 (1)[2012· 福建卷] 下列不等式一定成立的是( ) ? 1? 2 A.lg?x +4?>lgx(x>0) ? ? 1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sinx C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 (2)已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x),且有g(a)g(b)=16,若 4 1 a>0,b>0,则a+b的最小值为( ) 9 A.9 B. C.4 D.5 4

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲判断各个选项是否成立需考虑不 等式能够成立的条件 ? (推理)如果条件是充分的则不等式成 立,否则不成立 ? (结论)根据各选项作出判断. 4 1 (2)(分析)欲求 a + b 的最小值需要a,b的关系 ? (推理)根 据g(a)g(b)=16确定a,b关系,进行常数代换 ? (结论)应用 基本不等式得最值.

第4讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)C

(2)B

[解析] (1)本题考查不等式的性质以及基本不等式的应 用,解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条 ? 1? 1 2 件.对于A选项,当x= 时,lg ?x +4? =lgx;所以A不一定正 2 ? ? 确;B选项,需要满足当sinx>0时,不等式成立,所以B也不 正确;C选项显然正确;D选项不正确,∵x2+1≥1,∴ 1 0< 2 ≤1,所以正确的是C. x +1

第4讲│ 要点热点探究

(2)函数g(x)=2x,g(a)g(b)=2a·b=2a b=16,所以a+b= 2 4.
?4 1? 4 1 1 1 ? 4b a? 1 方法1: a + b = (a+b) ?a+b? = ?5+ a +b? ≥ 4 4? 4 ? ? ? ? 4b a 8 4b a? 9 ? ? = ,等号当且仅当 a = b ,即a=2b,即a= , ?5+2 3 a ·? 4 b? ? 4 b= 时取得. 3



第4讲│ 要点热点探究

4 1 4 1 方法2:由a+b=4,得b=4-a,所以 a + b = a + , 4-a 4 1 4 1 令f(a)= a + (0<a<4),则f′(a)=- 2 + 2 = a 4-a ?4-a? a2-4?4-a?2 8 2 2 ,令f′(a)=0,解得在区间(0,4)的a= ,此即为 3 a ?4-a? 函数f(a)的极小值点,也是最小值点,代入可得f(a)的最小值 9 为 . 4

第4讲│ 要点热点探究

方法3:设a=4cos α,b=4sin

2

2

? π? α,α∈?0, 2 ?, ? ?

cos2α+sin2α cos2α+sin2α 4 1 1 1 则a+b= 2 + = + cos α 4sin2α cos2α 4sin2α 1 sin2α cos2α 1 9 =1+ + + ≥1+ +1= ,等号当且仅当 4 cos2α 4sin2α 4 4 sin2α cos2α 8 2 2 = ,即cos α=2sin α时成立,解得此时a= ,b= cos2α 4sin2α 3 4 . 3

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 本例第一题要求对不等式成立的条件有精确的掌 握,基本不等式有其成立的限制条件,缺少了使其成立的条 件,则使用基本不等式就会出现错误的结论;第二题中方法1 使用的是常数代换法,这个方法是解决这类问题最简单有效 的方法.

第4讲│ 要点热点探究

变式题 已知a,b为正实数且ab=1,若不等式(x+ ?a b? y) ?x+ y ? >M对任意正实数x,y恒成立,则M的取值范围 ? ? 是( ) A.[4,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,4] D.(-∞,4)

第4讲│ 要点热点探究

[答案]

D
?a b? ? + ? ?x y ?

ay bx [解析] 因为(x+y) =a+b+ x + y ≥a+b+ ay bx 2≥2 ab+2=4,等号成立当且仅当a=b, x = y ,即a= b,x=y,故只要M<4即可.正确选项D.(注:如果在两个 括号内分别使用基本不等式,则造成等号可能不同时成立 的情况)

第4讲│ 要点热点探究

?

探究点三

简单的线性规划问题

?x≥0, ? 例 3 (1)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ?2x+y≤3, ? 值范围是________.

则 x-y 的取

第4讲│ 要点热点探究
(2)[2012· 江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积 不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜 的产量、成本和售价如下表: 年产量/ 年种植 每吨售价 亩 成本/亩 黄 4吨 1.2万元 0.55万元 瓜 韭 6吨 0.9万元 0.3万元 菜 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种 植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求 z=x-y 的取值范围,需求(x,y) 所在区域和 z 的几何意义或边界点对应的 z 值 ? (推理)画出不 等式组表示的区域,确立目标函数 z 的几何意义 ? (结论)数形 结合寻找其最大值和最小值. (2)(分析)欲得求解目标需要变量满足的条件和目标解析 式 ? (推理)设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y,列出 x,y 满足的不等式组,用 x,y 表示种植总利润 z ? (结论)按照一般 线性规划的解法求解其最大值.

第4讲│ 要点热点探究
[答案] (1)[-3,0] (2)B [解析] (1)本题考查线性规划的应用.设 z=x-y.作出约束条

?x≥0, ? 件?x+2y≥3, ?2x+y≤3 ?

表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).

易知当直线 z=x-y 经过点 A(0,3)时, 直线在 y 轴上截距最大, 目标函数 z 取得最小值, zmin=-3, 且 当直线 z=x-y 经过点 C(1,1) 时,直线在 y 轴上截距最小,目标函数 z 取得最大值,即 zmax=0, 所以 x-y∈[-3,0].

第4讲│ 要点热点探究
(2)设种植黄瓜x亩,种植韭菜y亩,因此,原问题转化为在条

?x+y≤50, ? 件 ?1.2x+0.9y≤54, ?x≥0,y≥0 ?

下,求z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y

=x+0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线性规划知识可知, ?x+y=50, ? 当x,y取? 的交点(30,20)时,z取得最大值.故选B. ? ?1.2x+0.9y=54

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 在线性约束条件下,线性约束条件所表示的区域 一般是一个多边形区域或者一个以直线为边界的无限区域, 如果目标函数是线性的,则可以根据目标函数的几何意义确 定目标函数取得最大 值和最小值的位置,如目标函数为z=-x+y,变换后即 y=x+z,则目标函数z的几何意义即直线y=x+z在y轴上的截 距,截距最大(小)时的位置就是目标函数取得最大(小)值的位 置.

第4讲│ 要点热点探究

变式题

[2012· 陕西卷] 设函数

?lnx, x>0, ? f(x)=? ?-2x-1,x≤0, ?

D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________.

第4讲│ 要点热点探究

[答案] 2
[解析] 对于函数在 x=1 的导数, 可只对函数 y=lnx 求导, 1 有 y′=x,所以在 x=1 处的切线的斜率为 k=1,在 x=1 处 的切线方程为 y=x-1.此时可画出可行域.当目标函数过点 (0,-1)时 z 取得最大值 2.

第4讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼

?规律 解线性规划问题的一般步骤是:(1)画:画出线 性约束条件所表示的可行域及目标函数;(2)理:整理约 束条件使其达到最简,整理目标函数找到其几何意义; (3)看:通过目标函数的几何意义,由点在可行域内自由 移动观察出边界;(4)求:解方程组求出最优解;(5)答: 写出答案.

第4讲│ 规律技巧提炼

y-y0 2. z= 的几何意义是已知区域内的点与点(x0, 0)连线 y x-x0 的斜率;z=(x-a)2+(y-b)2 是已知区域内的点到点(a,b) |Ax+By+C| 的距离的平方;z= 2 2 表示区域内的点到直线 Ax A +B +By+C=0 的距离.

第4讲│ 规律技巧提炼

?技巧 使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函 数或者二元函数最值时,基本的技巧是创造使用这些不等 式的条件,如各变数都是正数,某些变数之积或者之和为 常数,灵活利用“1”等. ?易错 使用基本不等式求函数的最值、二元函数最值时 注意等号成立的条件,避免二次使用基本不等式.平面区 域问题中要注意是否包含有边界.

第4讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

创新意识——非线性规划问题的解决方法 示例 [2012· 江苏卷] 已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a, b clnb≥a+clnc,则a的取值范围是________.

第4讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题不是线性规划问题,需要根据已知的 线性规划问题的基本思想方法把问题转化为可以使用线性 规划问题方法解决的问题,考查的是创造性解决问题的创 新意识.

第4讲│ 命题立意追溯
[思考流程] (分析)欲得所求范围需要变换已知和目标 ? (推理)不等式组两端同时除以 c 后进行换元,不等式组转化 为二元不等式组,在平面直角坐标系中画出这个区域 ? (结 b 论)确定目标函数 z=a的几何意义后计算求解.

图 1-4-1

第4讲│ 命题立意追溯
?3a b ? + ≥5, [答案] [e,7] ?c c ?a b [解析] 题设条件可转化为?c+c ≤4, ? ?b a ?c≥ec , ? ?3x+y≥5, ? ?x+y≤4, b y= c ,则? y≥ex, ? ?x,y>0, ?

a 记 x=c ,

y 且目标函数为 z=x,上述区域

表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的 曲边形.

第4讲│ 命题立意追溯

?3x+y=5, ? 由方程组? ?x+y=4, ?

得交点坐标为

?1 7? C?2,2?, 此时 zmax ? ?

=7. 又过原点作曲线 y=ex 的切线,切点为(x0,y0),因 y′ =ex,故切线斜率 k=ex0,切线方程为 y=ex0x,而 y0=ex0 且 y0=ex0x0,解之得 x0=1,故切线方程为 y=ex,从而 zmin =e,所求取值范围为[e,7].

第4讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] ?x+y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, 设点 P(x,y)满足: ? ?x≥1, ?y≥1, ? ( )
?3 ? A.?2,+∞? ? ? ? 3 ? C.?-2,1? ? ? ? 3 3? B.?-2,2? ? ?

y x 则 x - y 的取值范围是

D.[-1,1]

第4讲│ 命题立意追溯

?x+y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, [解析] 不等式组? ?x≥1, ?y≥1 ?

[答案] B

所表示平面区域

y 如图所示,设x=t,根据 t 的几何意义,t 值即为区域 1 内的点与坐标原点连线的斜率,显然 OA 的斜率 最 2 1 小,OB 的斜率 2 最大,即 ≤t≤2. 2

第4讲│ 命题立意追溯
? 1 ?1 3 3 ? ,2?上单调递增,故- ≤f(t)≤ ,即 由于函数 f(t)=t- t 在 2 2 2 ? ? 3 y x 3 - ≤x-y ≤ . 2 2

第4讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例 1 代表了一类二元最值的解法,可以在探究点 二中使用;例 2 为基本不等式在解决实际问题中的应用,在探究 点二中为突出基本不等式这个重点,没有加入这类题目,本例可 作为探究点二的补充;例 3 是把方程根的分布与线性规划问题交 汇,重点考查数形结合得出不等式组的能力,可在探究点三中使 用.

第4讲│ 教师备用例题

例1 设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最 大值是________.

第4讲│ 教师备用例题
2 10 [答案] 5

[解析] ∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1, 3 2 即(2x+y) - · 2xy=1, 2 3 ?2x+y?2 8 ? ? 2 2 ∴(2x+y) - · ≤1,解之得(2x+y) ≤ , 2? 2 ? 5 ? ? 2 10 即 2x+y≤ . 5

第4讲│ 教师备用例题

例 2 某工厂生产一种产品的原材料费用为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保 养等费用为每件 0.05x 元, 又该厂职工工资固定支出 12 500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的 函数,并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3 000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x) 与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170-0.05x,试问生产多 少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

第4讲│ 教师备用例题
12 500 解:(1)P(x)= x +40+0.05x, 由基本不等式得 P(x)≥2 12 500×0.05+40=90, 12 500 当且仅当 x =0.05x, 即 x=500 时,等号成立. 12 500 ∴P(x)= x +40+0.05x,每件的最低成本为 90 元. (2)设总利润为 y 元,则 y=xQ(x)-xP(x)=-0.1x2+130x-12 500 =-0.1(x-650)2+29 750, 当 x=650 时,ymax=29 750. 答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29 750 元.

第4讲│ 教师备用例题

1 3 1 2 例 3 已知函数 f(x)= x + ax +bx+c 在 x1 处取得极 3 2 大值,在 x2 处取得极小值,满足 x1∈(-1,1),x2∈(2,4), 则 a+2b 的取值范围是( ) A.(-11,-3) B.(-6,-4) C.(-11,3) D.(-16,-8)

第4讲│ 教师备用例题
[答案] C
[解析] f′(x)=x2+ax+b,由题意可知: ?f′?-1?=?-1?2+a?-1?+b=1-a+b>0, ? ?f′?1?=12+a· 1+b=1+a+b<0, ? f′?2?=22+a· 2+b=4+2a+b<0, ? ?f′?4?=42+a· 4+b=16+4a+b>0, ?

第4讲│ 教师备用例题

所构成的区域即为图中阴影部分,四边形的四个顶点坐标 分别为:(-3,-4),(-1,-2),(-3,2),(-5,4), 可验证得: a=-5, 当 b=4 时, z=a+2b 取得最大值为 3; 当 a=-3,b=-4 时, z=a+2b 取得最小值为-11.于是 z=a+2b 的取值范围是 (-11,3).故选 C.

第5讲 导数在研究函数性 质中的应用

第5讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 导数的 几何意义 题型(频率) 选择(3) 填空(1) 解答(3) 考例(难度) 2012 课 程 标 准 卷 12(B),2012 广东卷 12(A),2012 陕西卷 14(C),2012 安徽卷 19(2)(B) 2012 课程标准卷 21(1)(B),2012 重庆 卷 8(B), 2012 陕西卷 7(B)

考点 2 导数在 研究函数性质 中的应用

选择(4) 解答(3)

第5讲 │ 云览高考

考点 3 导数研 2012 课程标准卷 究不等式与方 解答(5) 21(2)(C),2012 山东 程 卷 22(C) 考点 4 定积分 选择(2) 2012 江西卷 11(A), 及其应用 填空(3) 2012 山东卷 15(B) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题. 频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第5讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点 是围绕导数的几何意义展开,设计求曲线的切线方程,根据切线方 程求参数值等问题,这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查 导数的运算、函数等知识,试题的难度不大;第二个点是围绕利用 导数研究函数的单调性、极值(最值)展开,设计求函数的单调区间、 极值、最值,已知单调区间求参数或者参数范围等问题,在考查导 数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数 学思想方法;第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开,涉及不 等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题,主要考查通过 转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等 问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的 核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用;第四个点是围

第5讲 │ 二轮复习建议

数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能 力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心 是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用;第四个点是围 绕定积分及其应用展开,设计考查求解定积分的值,使用定积 分计算曲边形面积的方法,试题一般是选择题或者填空题,难 度也不大. 预计 2013 年对导数及其应用的考查不会出现大的变动,仍 然会在选择题和填空题中考查导数的几何意义及其简单应用、 定积分及其简单应用,在解答题中作为压轴题综合考查导数在 研究函数性质中的应用、导数研究不等式和方程等问题.

第5讲 │ 二轮复习建议

绕定积分及其应用展开,设计考查求解定积分的值,使用定积分计算曲 边形面积的方法,试题一般是选择题或者填空题,难度也不大. 预计 2013 年对导数及其应用的考查不会出现大的变动,仍然会在 选择题和填空题中考查导数的几何意义及其简单应用、定积分及其简单 应用,在解答题中作为压轴题综合考查导数在研究函数性质中的应用、 导数研究不等式和方程等问题. 其中课程标准卷解答题难度较大, 安徽、 广东和陕西卷为中等偏上难度. 复习建议:该讲是二轮复习的重点讲次之一,复习时要注意两个方 面:第一个方面是基础,即导数的几何意义的应用、导数直接研究函数 的性质的方法、定积分及其简单应用,这对绝大多数学生是高考得分的 主要阵地, 基础方面的复习一定要到位; 第二个方面是导数研究不等式、 方程等问题,主要在解决问题的思想方法方面,要引导学生掌握解决该 类问题的转化方法(其本质还是导数研究函数的性质),这样才能使学生 面对高考试题时有解决问题的方法.建议本讲 2 课时完成.

第5讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第5讲 │ 主干知识整合

第5讲 │ 主干知识整合

1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x -x0). 2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件, 如函数 f(x) =x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0; (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数 在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常数,函数不具有单调 性.

第5讲 │ 主干知识整合

3.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是 对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题; (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能没有; (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定 有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.

第5讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 导数的几何意义及其应用 例1 (1)[2012· 广东卷] 曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的 切线方程为________. 1 x (2)[2012· 课程标准卷] 设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲 2 线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.1+ln2 D. 2(1+ln2)

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求切线方程需求切线斜率 ? (推理) 求函数 y=x3-x+3 在点 x=1 处的导数 ? (结论)点斜式写出切 线方程. (2)(分析)欲求|PQ|的最小值需知道两曲线的特征 ? (推理) 两个函数图象关于直线 y=x 对称,与直线 y=x 平行的两曲线 的切线到直线 y=x 的距离之和最小 ? (结论)两个切点就是使 |PQ|最小的点,求出切点坐标即可求出最小值.

第5讲│ 要点热点探究

[答案] (1)2x-y+1=0

(2)B

[解析] (1)y′=3x2-1,当 x=1 时,y′=2,所以所求 切线的斜率 k=2,故切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1 =0. 1 x (2)方法 1:交换 y= e 中 x,y 的位置可得 y=ln(2x),这 2 1 x 说明两曲线关于直线 y=x 对称, 所以当曲线 y= e 和 y=ln(2x) 2 的切线的斜率都为 1 时, 两条切线间的距离即为|PQ|的最小值 (如图).

第5讲│ 要点热点探究

1 x 1 x 令 y′= e =1,得 x=ln2.所以 y= e 的斜率为 1 的切线 2 2 的切点是(ln2,1),所以切点(ln2,1)到直线 y=x 的距离为 d= |ln2-1| 1-ln2 1-ln2 ? ? ?1-ln2? .故选 = .所以|PQ|min =2d=2· = 2? ? 2 2 2 B.

第5讲│ 要点热点探究
1 方法 2:交换 y= ex 中 x,y 的位置可得 y=ln(2x),这说 2 明两曲线关于直线 y=x 对称,这说明|PQ|的最小值为曲线 y= 1 x 1 x e 上的点到直线 y=x 最小距离的 2 倍.函数 y= e 上的点 2 2 ?1 x ? ? e -x? ? ? 1 ?2 ? ?x, ex?到直线 y=x 的距离 d= P . 2 ? ? 2 1 x 1 x 设函数 g(x)= e -x,由 g′(x)= e -1=0,得 x=ln2, 2 2 当 x<ln2 时,g′(x)<0,当 x>ln2 时,g′(x)>0,所以 x=ln2 是函数 g(x)在其定义域上唯一的极小值点也是最小值点, 所以, g(x)min=1-ln2>0.由图象关于 y=x 对称得: |PQ|最小值为 2dmin = 2(1-ln2).

第5讲│ 要点热点探究

[点评] 本例第一题是导数几何意义的直接运用, 要注意所求 的是曲线上一点处的切线方程,这与过某点的曲线的切线方程是 不同的;本例第二题对数形结合的思想意识要求较高,其难点有 两处,一个是判定两曲线关于直线 y=x 对称,在解析中我们使 1 x 用的是证明一般曲线关于直线 y=x 对称的方法,实际上 y= e 2 和 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称(这个判断高于新课 标教材中指数函数与对数函数互为反函数的要求), 第二个难点是 把求解的最小值转化为求切点或者求曲线上的点到直线 y=x 的 距离问题,以及问题的解决方法.

第5讲│ 要点热点探究

变式题 点 P 是曲线 x2-y-2ln x=0 上任意一点,则点 P 到直线 4x+4y+1=0 的最小距离是( ) 2 2 A. (1-ln2) B. (1+ln2) 2 2 ? 2?1 1 ? +ln2? C. 2 D. (1+ln2) 2? 2 ?

第5讲│ 要点热点探究

[答案] B

1 [解析] 曲线即 y=x -lnx(x>0),y′=2x- ,令 y′=- x 1 1 得 x= 或 x=-1(舍去),由此可得曲线 x2-y-2ln x=0 的 2 ?1 1 ? 斜率为-1 的切线的切点坐标为?2,4+ln2?,该点到直线 4x+ ? ? 4y+1=0 的距离即为曲线上的点到直线距离的最小值, 即所求 |2+1+4ln2+1| 2 的最小值为 = (1+ln2). 2 4 2
2

第5讲│ 要点热点探究

?

探究点二

导数在研究函数性质中的应用

例2

[2012· 课程标准卷] 已知函数 f(x)满足 f(x)= 1 2 x-1 f′(1)e -f(0)x+ x . 2 (1)求 f(x)的解析式及单调区间; 1 2 (2)若 f(x)≥ x +ax+b,求(a+1)b 的最大值. 2

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)函数满足方程 f(x)=f′(1)ex 1 - 1 2 f(0)x+ x ? (目标)函数解析式和单调区间 ? (方法)方程方 2 法、导数与函数单调性的关系; 1 2 (2)(条件)f(x)≥ x +ax+b ? (目标)求(a+1)b 的最大值 2 1 2 ? (方法)构造函数 g(x)=f(x)- x -ax→g(x)min≥b 得出含有 2 a,b 的不等式,再构造函数求解(a+1)b 的最大值.



第5讲│ 要点热点探究

导数在研究函数性质中的应用 - 解:(1)由已知得 f′(x)=f′(1)ex 1-f(0)+x. 所以 f′(1)=f′(1)-f(0)+1,即 f(0)=1. 又 f(0)=f′(1)e-1,所以 f′(1)=e. 1 2 x 从而 f(x)=e -x+ x .(2 分) 2 由于 f′(x)=ex-1+x,故当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 从而, f(x)在(-∞, 0)单调递减, 在(0, +∞)单调递增. (3 分)

第5讲│ 要点热点探究
(2)由已知条件得 ex-(a+1)x≥b. ①(4 分) 1-b (i)若 a+1<0,则对任意常数 b,当 x<0,且 x< 时, a+1 可得 ex-(a+1)x<b, 因此①式不成立.(5 分) (ii)若 a+1=0,则(a+1)b=0.(6 分) (iii)若 a+1>0,设 g(x)=ex-(a+1)x, 则 g′(x)=ex-(a+1). 当 x∈(-∞,ln(a+1))时,g′(x)<0; 当 x∈(ln(a+1),+∞)时,g′(x)>0. 从而 g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞) 单调递增.

第5讲│ 要点热点探究
故 g(x)有最小值 g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1). 分) (8 1 2 所以 f(x)≥ x +ax+b 等价于 2 b≤a+1-(a+1)ln(a+1). ② 因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).(9 分) 设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则 h′(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)). 1 1 所以 h(a)在(-1,e -1)单调递增,在(e -1,+∞)单调 2 2 1 e 递减,故 h(a)在 a=e -1 处取得最大值.从而 h(a)≤ ,即(a 2 2 e +1)b≤ . (10 分) 2

第5讲│ 要点热点探究

1 e 2 1 当 a=e -1,b= 时,②式等号成立, 2 2 1 2 故 f(x)≥ x +ax+b.(11 分) 2 e 综合得,(a+1)b 的最大值为 .(12 分) 2

第5讲│ 要点热点探究
[规范评析] 本题具有较大的难度.第一问中,首先函数 解析式中含有 f(0),f′(1),需要求导后使用特殊值法求出这 两个值, 如果对特殊值法和方程思想掌握不好, 第一步的解析 式就求不出来,后续问题更是无法谈起;其次解不等式 f′(x) =ex-1+x>0 也是个不大不小的难点, 明显看出这个函数有零 点 x=0,函数是两个单调递增函数之和,函数是递增的,就 可得到在(-∞, 0)上 f′(x)<f′(0)=0, 在(0, +∞)上 f′(x)>0, 也可以在同一个坐标系中画出函数 y=ex,y=1-x 的图象确 定不等式的解集,该点对思维的灵活性有较高要求. 第二问是 试题的拔高部分,把参数 b 分离出来,问题转化为求 g(x)的最 小值大于或者等于 b,而 g(x)的最小值可以使用参数 a 表达,

第5讲│ 要点热点探究

这个就可以得出用参数 a 表达的(a+1)b≤h(a), 再求 h(a) 的最大值, 得到问题的结果, 其中对参数 a 采用了逐步缩小其 取值范围的方法. 本题对学生分析问题、 解决问题的能力有很 高的要求, 解析中各种解题思想方法非常丰富, 要认真体会本 题.

第5讲│ 要点热点探究

ln?1+x? 变式题 已知 f(x)= . x (1)确定 y=f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)设 h(x)=xf(x)-x-ax3 在(0,2)上有极值,求 a 的 取值范围.

第5讲│ 要点热点探究
x -ln?1+x? x+1 解:(1)由题知 f′(x)= , x2 x 1 设 g(x)= -ln(1+x)(x>0),则 g′(x)= - x+1 ?x+1?2 -x 1 = 2<0 在(0,+∞)上恒成立, x+1 ?x+1? ∴g(x) 在 (0 , + ∞) 上 单 调 递 减 , ∴g(x)<g(0) = 0 , ∴f′(x)<0, 因此 f(x)在(0,+∞)上单调递减.

第5讲│ 要点热点探究
(2)由 h(x)=xf(x)-x-ax3=ln(1+x)-x-ax3 可得, -x?3ax2+3ax+1? 1 h′(x)= -1-3ax2= , x+1 x+1 若 a≥0,对任意 x∈(0,2),h′(x)<0,∴h(x)在(0,2)上 单调递减,则 f(x)在(0,2)上无极值. 若 a<0,h(x)=xf(x)-x-ax3 在(0,2)上有极值的充要条 件是 φ(x)=3ax2+3ax+1 在(0,2)上有变号零点, ? 1 ? 又 φ(x)在?-2,+∞?上单调,∴φ(0)·φ(2)<0,解得 a< ? ? 1 - . 18 ? 1? 综上,a 的取值范围是?-∞,-18?. ? ?

第5讲│ 要点热点探究

?

探究点三

导数研究不等式问题

例 3 已知函数 f(x)=2x2 ,g(x)=alnx(a>0),且不等式 f(x)≥g(x)恒成立. (1)求 a 的取值范围; ln24 ln34 lnn4 2 (2)求证: 4 + 4 +?+ 4 < (其中 e 为无理数,约为 2 3 n e 2.718 28).

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (条件)函数解析式 ? (目标)一个是不等式恒成 立、一个是证明不等式 ? (方法)构造函数,然后使用导数研究 函数的性质,根据函数性质即可得出参数范围和所证不等式.

第5讲│ 要点热点探究
导数研究不等式问题 解:(1)令 F(x)=f(x)-g(x)=2x2-alnx, a F′(x)=4x- ,(3 分) x ? a a? ? 令 F′(x)=0,得 x= ,所以 f(x)的减区间为?0, ?, 2 2? ? ? ? a ? ? ? 增区间为? ,+∞?,(5 分) ? 2 ? ? a? a a a a ? ? F(x)min =F(x) 极小值 =F? ? = -aln ,只要 -aln ≥0 2 2 2 ? 2 ? 2 即可, 得 a≤4e 且 a>0,即 a∈(0,4e].(6 分)

第5讲│ 要点热点探究

4lnx 2 (2)证明:由(1)得 2x ≥4elnx,即 4 ≤ 2,(8 分) x ex 1? ln24 ln34 lnn4 2? 1 1 所以 4 + 4 +?+ 4 ≤ e?22+32+?+n2?< 2 3 n ? ? 1 1 ? 2 2? 1 ? ? + +?+ n?n-1??<e .(12 分) e ?1×2 2×3 ? ?
2

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 本题通过导数研究不等式,达到求参数取值 范围,证明不等式的目的,其基本思想是构造出函数,通过对 函数性质(极值, 最值)的研究, 得一关于参数恒成立的不等式, 最后求出参数的取值范围.第(2)问的证明根据第(1)问的结果 可以轻松得证.

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点四 导数研究方程问题 1 2 例 4 设函数 f(x)=clnx+ x +bx(b,c∈R,c≠0),且 x 2 =1 为 f(x)的极值点. (1)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表 示); (2)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)x=1 为 f(x)的极大值点 ? (目标)确 定函数 f(x)的单调区间 ? (方法)利用 f′(1)=0 使用 c 表示 b 后确定导数大于零和小于零的区间; (2)(条件)使用 c 表达的函数解析式 ? (目标)c 的取值范围 ? (方法)讨论函数的单调性和极值点,根据极值点的位臵和极 值大小确定方程有解的条件.

第5讲│ 要点热点探究

导数研究方程问题 x2+bx+c c 解:f′(x)= +x+b= ,(2 分) x x ?x-1??x-c? 又 f′(1)=0, 所以 b+c+1=0, 所以 f′(x)= x 且 c≠1.(3 分) (1)因为 x=1 为 f(x)的极大值点,所以 c>1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<c 时,f′(x)<0;当 x>c 时,f′(x)>0, 所以 f(x)的递增区间为(0,1),(c,+∞);递减区间为(1, c).(5 分)

第5讲│ 要点热点探究
(2)①若 c<0,则 f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 且 x→0 时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→+∞,恰有两解, 1 1 则只要 f(1)<0,即 +b<0,所以- <c<0;(7 分) 2 2 1 2 ②若 0<c<1, f(x)极大=f(c)=clnc+ c +bc, 极小=f(1) 则 f(x) 2 1 = +b, 2 c2 因为 b=-1-c,则 f(x)极大=clnc+ +c(-1-c)=clnc- 2 c2 1 c- <0,f(x)极小=- -c<0,x→0 时 f(x)→-∞,x→+∞时, 2 2 f(x)→+∞,从而 f(x)=0 只有一解;(9 分)

第5讲│ 要点热点探究

c2 c2 ③若 c>1,则 f(x)极小=clnc+ +c(-1-c)=clnc-c- 2 2 1 <0,f(x)极大=- -c<0,则 f(x)=0 只有一解.(11 分) 2 1 综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的范围为- <c<0.(12 分) 2

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是 数形结合(虽然没有画出函数图象,在解函数试题时不画函数 图象,头脑中也要有函数图象),在定义域区间端点函数值达 到无穷大的, 有两个极值点的函数类似三次函数, 当其中两个 极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点, 当其中一个 极值等于零时函数有两个零点, 当极大值大于零、 极小值小于 零时有三个零点. 如果函数在定义域区间端点的函数值不是无 穷的,还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.

第5讲│ 要点热点探究

?

探究点五
?1 ? ? ?0

定积分及其应用

例5

8 (1) π 1-x2+6x2dx=________.

(2)[2012· 山东卷] 设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a, y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求定积分需使用微积分基本定理 ? (推理)由定积分的几何意义求?1 1-x2dx,再找到一个函数 ? ?
?0

使其导数等于 6x2 ? (结论)具体计算,得出定积分的值. (2)(分析)欲求 a 需得 a 的方程 ? (推理)根据定积分的几何 意义得定积分,根据微积分基本定理求定积分 ? (结论)得关 于 a 的方程解之.

第5讲│ 要点热点探究
4 (2) 9
?1? ? ? ? ?0

[答案] (1)4

?8

[解析] (1)根据定积分的性质
2
?1 ? ? ?0

π 1-x +6x

2

2

? 8 ?1 ? ? dx= π ? ?

?0

? π 8 3 1 1-x dx+2 3x dx=π× 4+2×x ?0=4. ?
2

(2)由题意得 a =

2

?a ? ? ?0

2 3?a 2 3 4 xdx= 3x2?0= a ,解之得 a= . 3 2 9 ?

第5讲│ 要点热点探究

[点评] 定积分的基本考点就是使用微积分基本定理求解 定积分和使用定积分求曲边形的面积. 使用微积分基本定理的 关键是找到一个函数, 这个函数的导数等于被积函数, 这是导 数的一个逆运算, 在计算中可以使用导数公式进行验证. 求曲 边形面积时要画出草图, 确定求解的面积是哪个函数的定积分 以及积分限. 有时也可以使用定积分的几何意义辅助计算定积 分.

第5讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 1.函数 f(x)在一个区间 D 上单调递增(减)时, 只要 f′(x)>0(<0),在区间上离散点处导数等于零,不影 响函数的单调性,如函数 y=x+sinx. 2. 奇函数的导数是偶函数, 偶函数的导数是奇函数, 周期函数的导数还是周期函数. 3. 在区间[-a, a]上, f(x)是偶函数, ?a-af(x)dx 若 则? =2?af(x)dx,若函数是奇函数,则?a-af(x)dx=0. ? ? ?
?0

第5讲│ 规律技巧提炼

?技巧 1.讨论在定义域上可导函数的单调性,以导数等 于零的点为分界点对定义域分段,在各个段上讨论导数 的符号. 2.使用导数研究不等式与方程时要构造函数,通 过研究函数的性质(单调性、 极值、 最值)解决不等式和方 程问题,必要时画出函数的草图辅助思考. ?易错 一个函数的两个不同的单调区间写成了并集的 形式;求函数的极值点时忽视在该点附近导数异号的讨 论;求曲线的切线方程时忽视点在曲线上,还是点不在 曲线上.

第5讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
应用意识——利用导数研究生活中的优化问题 示例 如图 1-5-1①,OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直 的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防洪 堤.为观光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA, OB 平行的栈桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面 的三角形观光平台 MGK.建立如图②所示的直角坐标系, 测得 CD 的方程是 x+2y=20(0≤x≤20), 曲线 EF 的方程是 xy=200(x>0), 设点 M 的坐标为(s,t).(题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防 洪堤都不计宽度)

第5讲│ 命题立意追溯

(1)用 s,t 表示三角形观光平台 MGK 面积的表达式 S△MGK; (2)求 S△MGK 的最小值.

图 1-5-1

第5讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为利用导数作为解题工具研究 生活中的优化问题,体现数学的应用意识.本题的问题背 景是在湖面上建立一个符合条件的跨越水面的三角形观光 平台,解决问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把 “问题情境”转化为数学语言,抽象为数学问题,即建立 一个符合题意的三角形 MGK 面积的目标函数解析式,求 解的目标是利用导数作为工具求出其最小值.本题的命题 思考是关注新课程改革,突出数学的应用价值,体现新课 标的“数学生活化,生活数学化”的理念.

第5讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (条件)图①所示的实际问题情境 ? (目标)建 立三角形观光台 MGK 面积的表达式 S△MGK 及其最小值 ? (方法)三角形面积公式表示面积关系,导数作工具求面积函 数的最小值.

第5讲│ 命题立意追溯
? ?200 ? 200? K?s, s ?,G? t ,t?(s>0,t>0). ? ? ? ?

解:(1)由题意,得

因为 M(s,t)在线段 CD:x+2y=20(0≤x≤20)上, 所以 s+2t=20(0≤s≤20). ? 40 000 1 1? 于是 S△MGK= MG· MK= ?st+ st -400?. 2 2? ? 由 20=s+2t≥2 2st(当且仅当 s=10,t=5 时,“=” 成立),得 0<st≤50. ? 40 000 1? 故 S△MGK= ?st+ st -400?(st∈(0,50]). 2? ?

第5讲│ 命题立意追溯

1 40 000 (2)令 st=u,由(1)得 f(u)=S△MGK= u+ -400, 2 u u∈(0,50]. 1? 40 000? 又 f′(u)= ?1- u2 ?<0,所以 f(u)在(0,50]上单调递 2? ? 减,所以 f(u)min=f(50)=225,此时 s=10,t=5. 故 S△MGK 的最小值为 225 平方米.

第5讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 根据环保部门测定,化工厂的烟囱向其周围地区散落烟尘造 成环境污染.已知 A,B 两座烟囱相距 20 km,其中 B 烟囱喷出 的烟尘量是 A 烟囱的 8 倍,经环境检测表明:落在地面上某处的 烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘 量成正比,比例系数为 k(k>0).若 C 是 AB 连线上的点,设 AC =x km,C 点的烟尘浓度记为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式; (2)是否存在这样的点 C,使该点的烟尘浓度最低?若存在, 求出 AC 的距离;若不存在,说明理由.

第5讲│ 命题立意追溯

解:(1)不妨设 A 烟囱喷出的烟尘量为 1,则 B 烟囱喷 出的烟尘量为 8, AC=x(0<x<20), BC=20-x.依题意, 由 得 k 8k 点 C 处的烟尘浓度 y 的函数表达式为:y= 2 + x ?20-x?2 (k>0,0<x<20). 2k 16k (2) 对 (1) 中 的 函 数 求 导 , 得 y′ = - 3 + = x ?20-x?3 2k?3x-20??3x2+400? . x3?20-x?3

第5讲│ 命题立意追溯

? 20? 20 令 y′=0,得 x= ,又 0<x<20,当 x∈?0, 3 ?时, 3 ? ? ?20 ? y′<0;当 x∈? 3 ,20?时,y′>0. ? ? 20 所以当 x= 时,y 取最小值. 3 20 故存在点 C, AC= 当 km 时, 该点的烟尘浓度最低. 3

第5讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:为突出高考试题的特点,我们在探究点二中选用 了 2012 年课程标准卷的试题,这道试题虽然很有“味道”,但是 难度太大,下面给出了两道例题,难度适中,可以在探究点二、 三中使用.

第5讲│ 教师备用例题

例 1 已知函数 f(x)=ax2-lnx,x∈(0,e],其中 e 是自然对 数的底数,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间与极值; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的 值;若不存在,说明理由.

第5讲│ 教师备用例题
1 解:(1)a=1 时,f(x)=x -lnx,f′(x)=2x-x= 2x2-1 x ,x∈(0,e], 2 令 f′(x)>0,得 <x<e, 2 2 令 f′(x)<0,得 0<x< , 2 ? 2 ? ? ∴f(x)的单调递增区间是? ,e?,单调递减区间 ? ? 2 ? ? 2? ? 为?0, ?. 2? ? ? ? 2? 1 2 1 1 ? ? f(x)的极小值为 f? ?= -ln = + ln2,无极 2 2 2 ? 2 ? 2 大值.
2

第5讲│ 教师备用例题
(2)假设存在实数 a,使 f(x)=ax2-lnx(x∈(0,e])有最 小值 3, 2ax2-1 1 f′(x)=2ax-x= x . ①当 a≤0 时,x∈(0,e],所以 f′(x)<0,所以 f(x)在 (0,e]上单调递减, ∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3, 4 a= 2(舍去). e 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=0 得 x= . 2a 1 1 (i)当 0< <e,即 a> 2时, 2a 2e

第5讲│ 教师备用例题

? ? f(x)在?0, ?

? ? 1? 1 ? ? ? 上单调递减,在? ,e?上单调递增, 2a? 2a ? ? ? ? 1 e5 1? 1 ? ? ∴f(x)min=f? =3,得 a= . ?=2-ln 2a 2 2a? ? 1 1 (ii)当 ≥e,即 0<a≤ 2时, 2a 2e x∈(0,e]时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0,e]上单调递减, 4 2 ∴f(x)min=f(e)=ae -1=3,a= 2(舍去). e e5 综上,存在实数 a= ,使得当 x∈(0,e]时,f(x)有最小值 2

3.

第5讲│ 教师备用例题

例 2 已知函数 g(x)=x2-(2a+1)x+alnx. (1)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调增区间; (2)求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值; (3)在(1)的条件下,设 f(x)=g(x)+4x-x2-2lnx, n 3n2-n-2 1 证明: ? > (n≥2). k-f?k? n?n+1? k=2

第5讲│ 教师备用例题
解:(1)当 a=1 时,g(x)=x2-3x+lnx, 2x2-3x+1 1 令 g′(x)= >0,得 x>1 或 0<x< . x 2 ? 1? 故函数 f(x)的单调增区间为?0,2?,(1,+∞). ? ? a (2)g(x)=x -(2a+1)x+alnx,g′(x)=2x-(2a+1)+ x = 2x2-?2a+1?x+a ?2x-1??x-a? = . x x 当 a≤1,x∈[1,e]时,g′(x)≥0,g(x)单调增,g(x)min= g(1)=-2a. 当 1<a<e,x∈(1,a)时,g′(x)<0,g(x)单调减,x∈(a, e)时,
2

第5讲│ 教师备用例题
g′(x)>0,g(x)单调增.g(x)min=g(a)=-a2-a+alna. 当 a≥e,x∈[1,e]时,g′(x)≤0,g(x)单调减,g(x)min= g(e)=e2-(2a+1)e+a, ?-2a,a≤1, ? ?-a2-a+alna,1<a<e, g(x)min= ?e2-?2a+1?e+a,a≥e. ? 1 2 (3)f(x)=x-lnx.令 h(x)=lnx- (x -1), 4 2-x2 ∵x∈[2,+∞),h′(x)= <0, 2x 3 1 2 ∴h(x)≤h(2)=ln2- <0,即 lnx< (x -1). 4 4

第5讲│ 教师备用例题

? 1 1 ? 1 4 ? ? ∴ > =2?x-1-x+1?, lnx ?x-1??x+1? ? ?
n 1 1 1 1 1 k-f(k)=lnk,? = = + +?+ > lnn k-f?k? k?2 lnk ln2 ln3 = k= 2 n

1 1 1 1 1 1 1 21 - + - + ? + -n+ - = 3 2 4 n-2 n-1 n+1 ? 1 1 1 ? 3n2-n-2 2?1+2-n-n+1?= (n≥2). ? ? n?n+1? ? ?


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