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3.3.2 直线的交点坐标与距离公式(2)


3.3 直线的交点坐标与距离公式(2)
教学目标: 知识与技能: 1.使学生初步掌握两点间距离公式, 2.用坐标法证明简单的几何问题。 过程与方法:培养学生数形结合、转化的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能 力,及研究探索的能力。 情感态度与价值观:体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题 教学重点:两点间距离公式的推导 教学方法:讲解法 教学用具:多媒体 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 一、引入: 前面我们从倾斜程度的角度研究了两条直线的位置关系,今天我们开始研究距离问 题。 二、讲解新课: 回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题: 已知平面直角坐标系中两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,如何求得 P 1, P 2 距离 | PP 1 2 |? 从 P 1, P 2 分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别为
新疆 学案

王新敞

教学难点:应用两点间距离公式证明几何问题

N1 ? 0,y 1?,M 2 0 ?x , 1 1与P 2 N2 相交于点 Q。 2 ? ,直线 PN
在直角 ? ABC 中, PP 1 2
2

? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 1

2

2

P1 向 x 轴作垂线,垂足为 M1 ? x1, 0? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为

N2 ? 0,y2 ? ,于是有:

1

PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 1
所以, P 1P 2
2

2

2

2

2

2

2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1

2

2

2

2

由此得到两点间的距离公式

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

在教学过程中,提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 三、讲解范例: 例 1 以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 值。 解:设所求点 P(x,0) ,于是有

PA 的

? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2



PA ? PB 得

x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。
所以,所求点 P(1,0)且

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对两点间距离公式理解,应用。 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数 运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间 的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题 的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系, 有A(0,0) 。

2

设B( a ,0) ,D( b ,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为( a +b,c) ,因 为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC

2

2

2

2

AC ? ? a ? b ? ? c 2
2


| BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2

所以, AB + CD + AD + BC =2 a +b +c





?







?

AC + BD =2 ? a2 +b2 +c2? 所以,
2 2

AB + CD + AD + BC = AC + BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它建立坐标系的方法?

练习:课本 106 页练习 1,2 四、小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几 何问题,建立直角坐标系的重要性。 五、板书设计 课题 1、 问题 例1 例2

2、 两点距离公式

六、课后反思:

3


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