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立体几何和平面解析几何知识点


必修 2
第1章
§ 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

数学基础知识
立体几何初步

§1.1.2

圆柱、圆锥、圆台和球

§1.1.3 中心投影和平行投影 三视图:主视图(从前向后);左视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 主视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 长对正 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 高平齐 左视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度; 宽相等

已知几何体的三视图时,通常以正方体为载体画出该几何体的直观图 §1.1.4 直观图画法 斜二测画法:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行且长度为原来的一半. § 1.2.1 平面的基本性质 1. 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 在直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ? l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面 ? 内,记作 l ? ? ;直线 l 不在平面 ? 内,记作 l ? ? 2. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (即直线在平面内,或者平面经过直线) 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? 3. 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ②经过两条相交直线,有且只有一个平面; ③经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据; ②它是证明平面重合的依据 4. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若平面 ? 和平面 ? 相交,交线是 l ,记作 ? ? ? ? l . 用符号语言表示公理 3:P∈ ? , P∈ ? 且 ? ? ? ? l ? P∈l. 公理 3 的作用:①它是判定两个平面相交的方法; ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点;

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据. §1.2.2 空间两条直线的位置关系 1. 平行关系 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这 个两角相等 2. 异面直线 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行,又不相交. 异面直线所成的角: 直线 a、 b 是异面直线, 经过空间任意一点 O, 分别引直线 a′∥a, b′∥b, 则把直线 a′ 和 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成 的角. 两条异面直线所成角的取值范围是(0° ,90° ]. 若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂 直. §1.2.3 直线与平面的位置关系 1. 三种位置关系 直线在平面内――有无数个公共点. 直线不在平面内(即直线在平面外):①相交――只有一个公共点;② 平行――没有公共点; a ?? ? A; 三种位置关系的符号表示: a ? ? ; a ∥? . 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行 ?线面平行 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行. 线面平行 ? 线线平行 3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个 平面. 线线垂直 ? 线面垂直 性质定理:①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直 线. 线面垂直 ? 线线垂直 ②如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是[0° ,90° ]. §1.2.4 平面与平面的位置关系 1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理: ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(线面平 行 ? 面面平行); ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行 ? 面面平行); ③垂直于同一条直线的两个平面平行; 性质定理: ①如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行;(面面平 行 ? 线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(面面平 行 ? 线线平行) 2. 两平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(线面 垂直 ? 面面垂直)

性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面. (面面垂直 ? 线面垂直) 3. 二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 所组成的图形叫做二面角,这条 直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 记作 ? ? l ? ? . ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线, 这两条射线所成的角叫二面角的平面角. ③二面角的取值范围[ 0° , 180°], 平面角是直角的二面角叫直二面角. §1.3.1 空间几何体的表面积 空间几何体的表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h′为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch
1 S正 棱 台 侧 面 ? (c1 ? c2 )h' 积 2

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

§1.3.2 空间几何体的体积 1. 柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3

V圆柱 ? S h ? ? 2r h
1 ' 1 ' V圆锥 ? ?r 2 h V台 ? (S ? S S ? S )h 3 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3 2 2. 球体的表面积和体积公式 V 球 = 4 ? R3 ;S 球面 = 4? R
3

3. 若多面体的表面积为 S,内切球的半径为 R , 则该多面体的体积 V ?

1 SR 3

第2章

平面解析几何初步

§2.1.1 直线的斜率 1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0° . 因此,直线倾斜角的取值范围 是[0° ,180° ). 2. 直线的斜率 ①定义:倾斜角 ? 不是 90° 的直线, ? 的正切叫做这条直线的斜率. 直线的斜率通常用 k 表示. 即 k ? tan ? . 当 ? =0° 时,k=0;当 ? ∈(0° , 90° )时,k>0;当 ? ∈(90° , 180° )时,k<0;当 ? = 90° 时,k 不存在. ②经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率公式: k ? §2.1.2 直线的方程 1. 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率为 k,且过点(x1, y1).

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意:当直线的倾斜角为 0° 时,直线的斜率 k=0,直线的方程是 y=y1; 当直线的倾斜角为 90° 时,直线的斜率不存在,直线的方程是 x=x1; 2. 斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b(b∈R) 3. 两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) y2 ? y1 x2 ? x1

4. 截矩式:

x y ? ? 1 直线 l 过点 (a,0) 和点 (0, b) , 即 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a , b . a b

(a≠0 且 b≠0) 注意:直线 l 在坐标轴上的截距相等时,斜率为-1 或经过原点; 直线 l 在坐标轴上的截距互为相反数时,斜率为 1 或经过原点; 5. 一般式:Ax+By+C=0(A , B 不全为 0) 注意: ①平行于 x 轴的直线:y=b(b 为常数), 直线的斜率为 0; ②平行于 y 轴的直线:x=a(a 为常数), 直线的斜率不存在; ③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 §2.1.3 两条直线的平行与垂直 设直线 l1: y ? k1 x ? b1 ,直线 l2: y ? k 2 x ? b2 . 则 ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行或垂直时,要注意斜率的存在与否. §2.1.4 两条直线的交点 1. 若直线 l1:A1x+B1y+C1=0 ,与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 相交

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 则交点坐标为方程组 ? 的一组解. 方程组无解 ? l1 // l 2 ;方程组有 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
无数解 ? l1 与 l2 重合 2. 过定点的直线系 ①斜率为 k 且过定点(x0 , y0)的直线系方程为 y-y0=k (x-x0); ②过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0 ,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1)+ ? ( A2x+B2y+C2)=0( ? 为参数),其中直线 l2 不在直线系中. §2.1.5 平面上两点间的距离 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是平面直角坐标系中的两点,则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 若线段 AB 的中点为 M(x0 ,y0) , §2.1.6 点到直线的距离 则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

1. 点到直线距离公式:点 P(x0 , y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | C1 ? C2 | A2 ? B 2

2. 两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 ,l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d ?

§2.2.1

圆的方程

1. 标准方程 2. 一般方程
2 2

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心坐标为(a, b),半径为 r; x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E , ? ) ,半径为 2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 坐 标 为 ( ?

r?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2
2 2 2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何 图形. §2.2.2 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系有三种情况:相离,相切,相交;可由下列两种方法判断: ①设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为

d?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

则有 d>r ? l 与 C 相离;d=r ? l 与 C 相切;d<r ? l 与 C 相交; ②设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,先将方程联立消元, 得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为△, 则有△<0 ? l 与 C 相离;△=0 ? l 与 C 相切;△>0 ? l 与 C 相交; 2. 直线 l 被圆 C 截得的弦长公式: AB ? 2 r 2 ? d 2 3. 过圆 C:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2 4. 过圆 C:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆 C 的两条切线 PA, PB(A, B 为切点), 切点弦 AB 所在直线的方程为 x0x+y0y=r2 §2.2.3 圆与圆的位置关系 设圆 C1: ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r ,
2 2 2

圆 C2: ( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? R .
2 2 2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(或差),与圆心距(d=C1C2)之间的大小比较来 确定. 当 d ? R?r 时,两圆相离; 当 d ? R?r 时,两圆外切; 当 R ? r ? d ? R ? r 时,两圆相交; 当 d ? R ? r 时,两圆内切; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d=0 时,为同

心圆. §2.3.1 空间直角坐标系 如右图,ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体. 以 A 为坐标原点 O, 分别以 OB, OD,OA1 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴,y 轴,z 轴. 这时建立了一个空间直角坐标系 O-xyz. 空间一点 M 的坐标可以表示为 M(x , y , z)
x

z B1 A1 C1 A (O) B C D y D1

(x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) §2.3.2 空间中两点间的距离 设空间中两点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z 2) 则 P1P2 =

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

; 线 段

P1P2

的 中 点

P0 (

x1 ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2


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