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2014江苏高考直通车二轮攻略30讲 第4讲 函数与方程


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2014 高考直通车高考二轮攻略 30 讲 第 4 讲 函数与方程 【课前诊断】 1.(2012· 天津改编)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是__________. 解析 先判断函数的单调性,再确定零点. 因为 f′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增, 且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有 1 个零点. 答案 1 2. (2012· 山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=__________. 解析 由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4) =0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+… +f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+…+f(2012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+ 335=338. 答案 338 3.(2012· 苏中三市调研)若函数 f(x)=|2x-1|,则函数 g(x)=f(f(x))+ln x 在(0,1)上不同的零点 个数为__________. 解析 考虑函数 y=f(f(x))=|2|2x-1|-1|与 y=-ln x 的图象交点, 而函数 y=f(f(x))=|2|2x

? 1 3 ?-4x+3,2 <x≤ , 4 -1|-1|=? 1 1 4x-1, ≤x≤ , 4 2 ? . ?-4x+1,x<1 4
答案 3
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3 4x-3,x> , 4

作图如图所示,可得 3 个交点.

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4.(2012· 天津)已知函数 y= |x -1| 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k x-1
2

的取值范围是________.
?x+1?x>1或x<-1?, |x2-1| ? 解析 根据绝对值的意义,y= =? x-1 ? ?-x-1?-1≤x<1?.

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示. 根据图象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点. 答案 (0,1)∪(1,4)

【例题探究】 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? 1 .
2

(1)若 a 为整数,且函数 f ( x) 在 (?2,?1) 上恰有一个零点,求 a 的值; (2)若 a 为正数,且方程 f ( x) ? 0 的两根均在 (0, 2) 内,求 a 的取值范围. 解: (1)法一: ① a ? 0时f ( x) ? ?2 x ? 1 (舍去) ② a ? 0时? ? a ? 4 ? 0 ? f (?2) ? f (?1) ? 0 , (6a ? 5)(2a ? 3) ? 0
2

?

3 5 ? a ? ? ,又 a ? Z ? a ? ?1. 2 6

法二: f ( x) ? 0 ? a ?

t ?1 2x ? 1 令 2 x ? 1 ? t , t ? (?5,?3) 则 x ? 2 2 x ?x

a?

4t 4 3 5 ? ,? a ? (? ,? ) , 又a ? Z ? a ? ?1. 1 2 6 t ?1 t? t
2

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?a ? 0 ?1 1 ? ? ? (0,2) 3 ?2 a (2) ? ?a? 2 ?? ? a ? 4 ? 0 2 ? f ( 0) ? 0 ? ? f ( 2) ? 0 ? ?

已知集合 M 是同时满足下列两个性质的函数 f ( x) 的全体:① f ( x) 在其定义域上是单调增 函数或单调减函数;②在 f ( x) 的定义域内存在区间 [a, b] ,使得 f ( x) 在 [a, b] 上值域是

1 1 [ a, b] . 2 2
(1)判断函数 y ? ? x 是否属于集合 M ?并说明理由,若是,请找出区间 [a, b] ;
3

(2)若函数 y ?

x ? 1 ? t ? M ,求实数 t 的取值范围.

解: (1) g ? x ? 的定义域是 R ,

g ? ? x ? ? ?3x 2 ,当 x ? R 时,恒有 g ? ? x ? ? 0 (仅在 x ? 0

时取等号) , 故 g ? x ? 在 其 定 义 域 上 是 单 调 减 函 数 ; 若 g ? x ? ? M , 当 x ? ? a, b ? 时 ,

b ? ? 3 b ? g ? a ? ? 2 , ??a ? 2 , ? ? ? a 2 2 2 2? ? ? 3 a ,b ? . 故满足②的闭区间是 ? ? , ? g ? b ? ? , 即 ??b ? , 解得 a ? ? ? 。至 2 2 2 2 ? 2 2 ? ? ? ?a ? b. ?a ? b. ? ? ? ?
此可知, g ? x ? 属于集合 M 。 ( 2 )函数 h ? x ? 的定义域是 ?1, ?? ? ,当 x ? 1 时, h? ? x ? ?

1 ? 0 ,故函数 h ? x ? 在 2 x ?1

?1, ?? ?
h ?a? ?

上 是 增 函 数 , 若 h ? x ? ? M , 则 存 在 a, b ? ?1, ?? ? , 且 a ? b , 使 得

a b , h ?b ? ? 2 2





a ? 2 a ? 1 ? 2t ? 0,



b ? 2 b ? 1 ? 2t ? 0,



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x ? 1 ? y ? x ? 1? ,则 y ? 0 ,
于是关于 y 的方程 y ? 2 y ? 1 ? 2t ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有两个不等的实根,
2

记 u ? y ? ? y ? 2 y ? 1 ? 2t ,? ?
2

? ?? ? 0, ? 1? ? t ? ? 0, ? 。 ? 2? ? ?u ? 0 ? ? 0.

(南京市 2010 届高三第三次模拟考试,20) 已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m. (1)求证:函数 f(x)-g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)-g(x)-1. ①若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数 m 的取值范围; ②是否存在整数 a,b,使得 a≤G(x)≤b 的解集恰好是[a,b].若存在,求出 a,b 的值; 若不存在,说明理由. (1)证明:f(x)-g(x)=-x2+(m-2)x+3-m.令 f(x)-g(x)=0. 则 Δ=(m-2)2-4(m-3)=m2-8m+16=(m-4)2≥0 恒成立. 所以方程 f(x)-g(x)=0 有解. 所以函数 f(x)-g(x)必有零点.………………………………………………………… 6 分 (2)解: (方法一)G(x)=f(x)-g(x)-1=-x2+(m-2)x+2-m. ①令 G(x)=0,Δ=(m-2)2-4(m-2)=(m-2) (m-6). 当 Δ≤0,即 2≤m≤6 时,G(x)=-x2+(m-2)x+2-m≤0 恒成立, 所以|G(x)|=x2-(m-2)x+m-2. m-2 因为|G(x)|在[-1,0]上是减函数,所以 ≥0.解得 m≥2. 2 所以 2≤m≤6.………………………………………………………………………… 8 分 当 Δ>0,即 m<2 或 m>6 时,|G(x)|=|x2-(m-2)x+m-2|.
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因为|G(x)|在[-1,0]上是减函数, 所以方程 x2-(m-2)x+m-2=0 的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且 m-2 x= ≤-1. 2

? ?m-2>0, ? ?m-2<0, 所以?m-2 或?m-2 …………………………………………………… 9 分 >0, ? ≤-1. ? ? 2 ? 2
解得 m>2 或 m≤0. 所以 m≤0 或 m>6.……………………………………………………………………10 分 综上可得,实数 m 的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞).………………………… 11 分 (方法二)G(x)=f(x)-g(x)-1=-x2+(m-2)x+2-m. 因为函数|G(x)|在[-1,0]上是减函数,

? ?m-2≤-1, ? ?m-2≥0, 所以? 2 或? 2 ………………………………………………… 9 分 ?G(0)≥0, ?G(0)≤0. ? ? ?m-2≤-1, ? ?m-2≥0, ? 2 即? 或? 2 ? ? ?2-m≥0, ?2-m≤0.
解得 m≤0 或 m≥2.……………………………………………………………… 11 分 所以实数 m 的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞). ②因为 a≤G(x)≤b 的解集恰好是[a,b], (a)=a, ?G G(b)=a , 所以? …………………………………………………… 12 分 4(2-m)+(m-2) ≤b. ?a≤ 4
2

?-a2+(m-2)a+2-m=a, 由? 2 ?-b +(m-2)b+2-m=a,

消去 m,得 ab-2a-b=0,显然 b≠2. b 2 所以 a= =1+ . b-2 b-2
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……………………………………………………… 14 分

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因为 a,b 均为整数,所以 b-2=±1 或 b-2=±2.
?a=3, ?a=-1, ?a=2, ?a=0, 解得? 或? 或? 或? ……………………………………… 15 分 ?b=3, ?b=1, ?b=4, ?b=0.

4(2-m)+(m-2)2 因为 a<b,且 a≤ ≤b 4
?a=-1, ?a=2, 所以? 或? ?b=1, ?b=4.

……………………………………………………… 16 分

冲刺强化练习(4) 1.(2012· 南京、盐城模拟)若函数 f(x)=a- 数,则 f(x)的值域为________. 1 1 1 解析 由题意可得 f(-1)=-f(1),解得 a=- ,所以 f(x)=- - x ,当 x≥1 时, 2 2 2 -1 1 3 1 得 f(x)为增函数,2x≥2,2x-1≥1,∴0< x ≤1,∴- ≤f(x)<- .由对称性知,当 x≤- 2 2 2 -1 3 1? ?1 3? 1 3 1 时, <f(x)≤ .综上,所求值域为? ?-2,-2?∪?2,2?. 2 2 3 1? ?1 3? 答案 ? ?-2,-2?∪?2,2? 2.关于 x 的方程 2+a-lgx=0,(a≥0)的实数根的个数是__________. 答案 0 3.(2006· 湖北卷)关于 x 的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题: ① 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 1 是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上的奇函 2x-1

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其中是假命题的是__________. 解析 法一:根据题意可令|x2-1|=t(t≥0),则方程化为 t2-t+k=0,(*) 作出函数 t=|x2-1|的图象,结合函数的图象可知:① 当 t=0 或 t>1 时,原方程有两上 不等的根,② 当 0<t<1 时,原方程有 4 个根,③ 当 t=1 时,原方程有 3 个根. (1)当 k=-2 时,方程(*)有一个正根 t=2,相应的原方程的解有 2 个; 1 1 (2)当 k= 时,方程(*)有两个相等正根 t= ,相应的原方程的解有 4 个; 4 2 (3)当 k=0 时,此时方程(*)有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根; 1 (4)当 0<k< 时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于 1,故相应 4 的满足方程|x2-1|=t 的解有 8 个. 法二:由函数 f(x)=(x2-1)2-|x2-1|的图象(如下图)及动直线 g(x)=k 可得出答案. 法三:设 t=|x2-1|(t≥0),t2-t+k=0,方程的判别式为 Δ=1-4k,由 k 的取值依据 Δ >0、Δ=0、Δ<0 从而得出解的个数.

法四:设函数 f(x)=

,利用

数轴标根法得出函数与 x 轴的交点个数为 5 个, 以及函数的单调性大体上画出函数的图 象. 答案 ④ 4.(2011· 山东卷改编)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)= x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为________. 解析 由 f(x)=0,x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1,即在一个周期内,函数的图象与 x 轴有两个交 点,在区间[0,6)上共有 6 个交点,当 x=6 时,也是符合要求的交点,故共有 7 个不同的交 点. 答案 7
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5.(2012· 上海春招)方程 4 -2 =0 的解为__________. 解析 ∵4x=22x,∴方程 4x-2x+1=0 可化为:22x=2x+1,∴2x=x+1,∴x=1. 答案 x=1 6.方程 sin x=ax(a 为常数,a≠0)的所有根的和为________. 解析 y=sin x 和 y=ax 是奇函数,所以两个图像都关于原点对称,方程的根就是图像的 交点对应的横坐标;因为对称性,当有一交点 (x,y)时,总有对称的交点(-x,-y),因此 所有的根之和是 0. 答案 0 7.已知三实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=m(m>0),则 b 的取值范围__________.
x x+1

1 m b . 解析 方法一 设三个实数为 , b, bx , 由 a+b+c=m, 得 b(1 ? x ? ) ? m , 从而b ? 1 x x 1? x ? x
当x ? 0时, x ? 1 1 1 1 ? 2;当x ? 0时,x ? ? ?2 , 从而1 ? x ? ? 3或1 ? x ? ? ?1 , x x x x m ? m? 又m ? 0, 所以0 ? b ? 或 ? m ? b ? 0 , 即b ? ? ?m, 0 ? ? 0, ? . 3 ? 3?

?a ? c ? m ? b 方法二 因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac,又 a+b+c=m,所以 ? , 2 ?ac ? b

则 a、c 是关于 x 的方程 x2-(m-b)x+b2=0 的两个实数根,所以 Δ=[-(m-b)]2-4b2≥0,
解之得, ? m ? b ? m (m ? 0), 又b ? 0 , 所以b ? ? ?m, 0 ? 3

? m? ? 0, ? ? 3?

8.对于满足 0≤p≤4 的实数 p,使 x2+px>4x+p-3 恒成立的 x 的取值范围是__________. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 x2+px>4x+p-3 对于 0≤p≤4 恒成立可以变形为 x2-4x+3+p(x-1)>0 对于 0≤p≤4 恒成立,所以一次函数 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3 在区间[0,4]上的最小值大于 0,即
2 ? ? x -4x+3>0 ? 2 ? x -1>0 ?

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所以 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
? ?|lg|x-1||>0,x≠1 9. (2007· 上海)设定义域为 R 的函数 f(x)=? , 则关于 x 的方程 f 2(x)+bf(x) ?0, x=1 ?

+c=0 有 7 个不同实数解的充要条件是__________.

? ?|lg(x-1)|,x>1 x=0,故函数 f(x)的图象如图. 解析 f(x)=?0 ? ?|lg(1-x)|,x<1
注意 f(0)=0 有三个根 x1=0,x2=1,x3=2,且有 f(x)≥0,令 f(x)=t≥0,则方 程为:t2+bt+c=0 有实数解(t≥0)需满足:t1+t2=-b≥0,即 b≤0,t1·t2=c ≥0,不妨令 b=-3,c=2,则方程为 t2-3t+2=0.解之 t1=1,t2=2. 即 f(x)=1,或 f(x)=2,由图知有 8 个根. 实际上当 b<0,且 c=0 时,f 2(x)+bf(x)=0,f(x)=0,或 f(x)=-b>0. 由 f(x)=-b>0,结合图象,此时有 4 个根,f(x)=0 有根为 0,1,2.共 7 个. 由 f(x)图象知要使方程有 7 解,应有 f(x) =0 有 3 解,f(x)≠0 有 4 解.则 c=0,b<0. 答案 b<0 且 c=0 |x| 10.已知函数 f(x)= ,如果关于 x 的方程 f(x)=kx2 有四个不同的实数解,求实数 k 的取 x+2 值范围. |x| |x| 解 ∵f(x)= ,∴原方程即 =kx2.(*) x+2 x+2 ①x=0 恒为方程(*)的一个解. -x ②当 x<0 且 x≠-2 时,若方程(*)有解,则 =kx2,kx2+2kx+1=0. x+2 当 k=0 时,方程 kx2+2kx+1=0 无解; 当 k≠0 时,Δ=4k2-4k≥0,即 k<0 或 k≥1 时,方程 kx2+2kx+1=0 有解. 设方程 kx2+2kx+1=0 的两个根分别是 x1、x2,

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1 则 x1+x2=-2,x1x2= . k 当 k>1 时,方程 kx2+2kx+1=0 有两个不等的负根; 当 k=1 时,方程 kx2+2kx+1=0 有两个相等的负根; 当 k<0 时,方程 kx2+2kx+1=0 有一个负根. x ③当 x>0 时,若方程(*)有解,则 =kx2,kx2+2kx-1=0. x+2 当 k=0 时,方程 kx2+2kx-1=0 无解; 当 k≠0 时,Δ=4k2+4k≥0,即 k≤-1 或 k>0 时,方程 kx2+2kx-1=0 有解. 设方程 kx2+2kx-1=0 的两个根分别是 x3、x4, 1 则 x3+x4=-2,x3x4=- . k 当 k>0 时,方程 kx2+2kx-1=0 有一个正根; 当 k≤-1 时,方程 kx2+2kx-1=0 没有正根. 综上可得,当 k∈(1,+∞)时,方程 f(x)=kx2 有四个不同的实数解. 11.(2005· 浙江)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)-λf(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解:(1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y), x =0 ?x + 2 ?y +y ? 2 =0
0 0



?x0=-x ? ,即 ? . ? ?y0=-y

∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上,∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2 +2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|≤0.当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无
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解. 1? 1 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤ .因此,原不等式的解集为? ?-1,2?. 2 (3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1. ①当 λ=-1 时,得 h(x)=4x+1 在[-1,1]上是增函数,符合题意,∴λ=-1. 1-λ ②当 λ≠-1 时,抛物线 h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1 的对称轴的方程为 x= . 1+λ 1-λ (ⅰ)当 λ<-1,且 ≤-1 时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得 λ<-1. 1+λ 1-λ (ⅱ)当 λ>-1,且 ≥1 时,h(x)在[-1,1]上是增函数,解得-1<λ≤0.综上,得 λ≤0. 1+λ 12.已知 f ? x ? ? ax ? x ? bx ? c?a, b, c ? R ? 在 ?? ?,0 ? 上是增函数,在[0,3]上是减函数,
3 2

且方程 f ? x ? ? 0 有三个实根,它们分别是 ? ,2, ? . (Ⅰ)求 b 的值,并求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: ? ? ? ?

5 . 2
2

解:(Ⅰ)∵ f ?? x ? ? 3ax ? 2 x ? b . f ? x ? 在 ?? ?,0 ? 上是增函数,在[0,3]上是减函数. ∴ 当 x=0 时 f ? x ? 取得极小值. ∴ f ??0 ? ? 0 . ∴b=0. ∵ f ?2 ? ? 0 . ∴ 8a ? 4 ? c ? 0 . ∵方程 f ? x ? ? 0 有三个实根, ∴a≠0. ∴ f ?? x ? ? 3ax ? 2 x ? b =0 的两根分别为 x1 ? 0, x 2 ?
2

2 . 3a

又 f ? x ? 在 ?? ?,0 ? 上是增函数,在[0,3]上是减函数. ∴ f ?? x ? ? 0 在 x ? ?? ?,0 ? 时恒成立, f ?? x ? ? 0 在 x ? ?0,3? 时恒成立.

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由二次函数的性质可知 a ? 0且

2 ? 3. 3a

∴0 ? a ?

2 . 9

故实数 a 的取值范围为 (0, ] . (Ⅱ)? ? ,2, ? 是方程f ? x ? ? 0的三个实根 . ∴ 可 设

2 9

f ?x ? ? a?x ? ? ??x ? 2??x ? ? ? ? ax 3 ? a?2 ? ? ? ? ?x 2 ? a?2? ? 2? ? ?? ?x ? 2a?? .
又 f ? x ? ? ax ? x ? bx ? c?a, b, c ? R ? 有 a (? ? ? ? 2) ? 1 ,
3 2

∴? ? ? ?

1 ?2. a

0?a ?

2 5 ?? ? ? ? . 9 2

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