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编号35学案2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
学时:1 学时 姓名: 班级:

【学习目标】
1.通过物理中“功”的实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会平面向量的数量 积与向量投影的关系. 2.理解并掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关判断和运算. 3.通过平面向量数量积的学习 , 认识向量数量积与向量线性运算的区别 , 经历数量积运算律与 实数乘法运算律的对比过程, 学会用数量积的定义和运算律来解决相关问题. 4.体会类比的数学思想和方法,进一步培养抽象概括能力和推理论证能力.

【学习情境】
在物理学习中,我们知道一个物体在力 F 的作用下所做的功由力和位移 s 及力与位移的夹 角来确定,功是一个标量,但是力和位移是两个向量,我们能否把“功”看成是这两个向量的 一种运算呢?

【问题导学】 阅读课本第 103 页—105 页,回答探究下列问题:
问题 1.前面学习了向量的线性运算,它们的运算结果是什么?数量还是向量?

问题 2. 初中物理中有关力学知识中“功”是如何定义的?定义中的力和位移是向量还是数量? 功是向量还是数量?

问题 3. 在物理中我们已经学习过力的合成与分解,一物体在力 F 的作用下产生位移 s,其中 力 F 与位移 s 的夹角为θ ,结合初中物理中“功”的定义,如何借助 F,s,θ 来表示力 F 对该物体所做的功呢?

问题 4. 通过问题 3,可以看到两向量通过这种新的运算后结果是数量,通过阅读课本,向量的 数量积(内积)的定义是什么?如何表示两个向量 a 与 b 的数量积?什么是向量 a 在 b 方向上 的投影?零向量与任一向量的数量积是如何规定的?

练习 1: (1)已知 a ? 5, b ? 4 , a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a·b; (2)已知 a ? 5, b ? 4 , (3)已知 a ? 5, b ? 4 , (4)已知 a ? 5, b ? 4 , a 与 b 的夹角 ? ? 30 ,求 a·b;
?

a 与 b 的夹角 ? ? 90 ,求 a·b;
?

a 与 b 的夹角 ? ? 180 ,求 a·b.
?

问题 5. 结合上述练习,向量的投影是数量还是向量?若投影是数量,是否可能为 0?是否可

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长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

能为负数?什么情况下会出现?

问题 6. 结合上述练习,从定义式 a·b=|a||b|cosθ,思考数量积 a·b 何时会出现正、负、零的情 形呢?

问题 7. 向量 a 与 b 的数量积 a·b 的几何意义是什么?

问题 8. 进一步观察公式 a·b=|a||b|cosθ(a 与 b 都是非零向量) ,思考下列问题: ①当 a⊥ b 时,a·b=?反之,对两非零向量 a 与 b 有 a·b=0 时,向量 a 与 b 位置关系如何呢? ②?

? 0? 时,a·b=?

? ? 180? 时,a·b=? 特别地,a·a=?

③|a· b|与|a||b|都是实数,大小关系如何?确定吗?

思考: 去掉“a 与 b 都是非零向量”这一条件限制后,由“a·b=0”能否得到“a⊥ b”呢?还 会有其它可能吗?

问题 9. 实数乘法运算中,我们学习过交换律、结合律、分配律,独立思考后小组探究,猜想 下列结论是否成立? 已知向量 a,b,c 和实数 ? : ① a· b=b· a; ② (λa)· b=λ(a· b)=a·(λb); ③ (a+b)· c=a· c+b· c; ④ (a·b)c=a(b·c).

思考:由 a·b=a·c 能否一定得出 b=c?

问题 10. 判断对任意向量 a, b 是否有下面结论?并说明理由. ① (a+b) =a + 2a·b+b ;
2 2 2

② (a+b)· (a-b) =a2-b2.

练习 2: (1)已知|a|=6,|b|=4, a 与 b 的夹角为 60° ,求(a+2b)· (a-3b

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主备人:李小燕

审核人:田鹏真

(2)已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直?

【思维导图】

【达标检测】
基础巩固: 1. 判断正误,并简要说明理由: (1)0·a=0; (2) a ? b ? a b ;
2 2

(3)若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a·b ? 0; (4)若 a 与 b 是两个单位向量,则 a ? b .

2.已知 a ? 6 , e 为单位向量,当 a, e 之间的夹角 ? 分别等于 45 ,90 ,135 时,画图表示向量 a 在向量 e 方向上的投影,并求其值.

3. 已知 ?ABC 中, AB ? a, AC ? b ,当 a ? b ? 0 时,试判断 ?ABC 的形状.

若改为 a ? b ? 0 呢?

(2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61 ,求 a 与 b 的夹角 ? . 4. 已知 a ? 4 , b ? 3 ,

能力提升:

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5.已知 a ? b ? 5 ,向量 a 与 b 的夹角

? ,求 a ? b , a - b 的值. 3

6.已知 a, b 是两个非零向量,且 ? a, b ? 为 60 , a ? 2, b ? 3 ,求 2a ? b 的值.
?

7.已知 a, b 是两个非零向量,同时满足 a ? b ? a ? b ,求向量 a 与向量 a ? b 的夹角.

变式:已知 a, b 是两个非零向量,同时满足 a ? b ? a ? b ,求向量 a 与向量 a ? b 的夹角.

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