当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年海南省文昌中学高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.i 是虚数单位,若 A. ﹣15 =a+bi(a,b∈R) ,则乘积 ab 的值是( B. ﹣3 C. 3 ) D. 15 )

2. 已知 x、 y 的取值如下表从所得的散点图分析, y 与 x 线性相关, 且 =0.95x+a, 则 a= (

x y

0 2.2 A. 2.1

1 4.3

3 4.8 B. 2.2

4 6.7 C. 2.4 D. 2.6

3.根据下面一组等式 S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, S7=22+23+24+25+26+27+28=175, … 可得 S1+S3+S5+…+S2n﹣1=( ) 2 3 A. 2n B. n C. 2n
3

D. n )

4

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为(

A. 7

B. 6

C. 5 =( )

D. 4

5.如图,已知 l1∥l2,AF:FB=2:5,BC:CD=4:1,则

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 )

6. 如图, PC 是⊙O 的切线, C 为切点, PAB 为割线, PC=2, PA=1, ∠P=60°, 则 BC= (

A. 3 7.点 M 的直角坐标是 A. D.

B. 2

C. 3 ,则点 M 的极坐标为( )

D. 2

B.

C.

8.“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9.函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0) )处的切线方程的倾斜角为( A. 0 B. C. 1 D.
x



10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|=6, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 11. 若关于 x 的不等式 x ﹣3x ﹣9x+2≥m 对任意 x∈[﹣2, 2]恒成立, 则 m 的取值范围是 ( ) A. (﹣∞,7] B. (﹣∞,﹣20] C. (﹣∞,0] D. [﹣12,7] 12.在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1 ﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L﹣距离”之和等于定值(大于 |F1F2|)的点的轨迹可以是( )
3 2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.若复数 z= (a∈R) ,且 z 是纯虚数,则|a+2i|等于 .

14. 如图所示, 直线 PB 与圆 O 相切于点 B, D 是弦 AC 上的点, ∠PBA=∠DBA. 若 AD=2, AC=8,则 AB= .

15.在极坐标系中,O 是极点,设点 线的距离是
2



,则 O 点到 AB 所在直


2 2

16.若下列两个方程 x +(a﹣1)x+a =0,x +2ax﹣2a=0 中至少有一个方程有实数根,则实 数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤.) 17.已知在极坐标系中,曲线 C1:2ρcosθ=1 与曲线 C2:ρ=2cosθ, (1)求出曲线 C1 与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求出曲线 C1 与曲线 C2 的相交的弦长. 18.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC;

(2)若△ABC 的面积 S= AD?AE,求∠BAC 的大小.

19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 2 ①sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12°; 2 2 ④sin (﹣30°)+cos 60°﹣sin(﹣30°)cos60°; 2 2 ⑤sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin(﹣25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广到一个三角恒等式,并证明你的结论. 20.如图,△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,过 E 作 圆的切线交 BC 于 D 点.连结 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:D 是 BC 的中点; (3)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.
2

21.已知椭圆 C:

(a>b>0)过点 A(2,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B(1,0)且斜率为 k(k≠0) )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E,F 两点,直线 AE, AF 分别交直线 x=3 于 M,N 两点,线段 MN 的中点为 P.记直线 PB 的斜率为 k′,求证: k?k′为定值. 22.设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; 2 (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围.
3 2

2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.i 是虚数单位,若 A. ﹣15 =a+bi(a,b∈R) ,则乘积 ab 的值是( B. ﹣3 C. 3 ) D. 15

考点:复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:先根据两个复数相除的除法法则化简 和 b 的值,即得乘积 ab 的值. 解答: 解:∵ = = =﹣1+3i ,再依据两个复数相等的充要条件求出 a

=a+bi,∴a=﹣1,b=3,∴ab=﹣1×3=﹣3. 故选 B. 点评:本题考查两个复数相除的方法,以及两个复数相等的充要条件的应用.

2. 已知 x、 y 的取值如下表从所得的散点图分析, y 与 x 线性相关, 且 =0.95x+a, 则 a= (



x y

0 2.2 A. 2.1

1 4.3

3 4.8 B. 2.2

4 6.7 C. 2.4 D. 2.6

考点:线性回归方程. 专题:计算题. 分析:本题考查的知识点是线性回归直线的性质, 由线性回归直线方程中系数的求法, 我们 可知 在回归直线上,满足回归直线的方程,我们根据已知表中数据计算出 ,再将点的坐标代入回归直线方程,即可求出对应的 a 值. 解答: 解:点 在回归直线上, 计算得 ; 代入得 a=2.6; 故选 D. 点评:统计也是高考新增的考点,回归直线方程的求法,又是统计中的一个重要知识点,其 系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用.

3.根据下面一组等式 S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, S7=22+23+24+25+26+27+28=175, … 可得 S1+S3+S5+…+S2n﹣1=( ) 2 3 A. 2n B. n C. 2n
3

D. n

4

考点:归纳推理. 专题:等差数列与等比数列;推理和证明. 3 分析:利用等差数列的通项公式与求和公式,可得 Sn=(n +n) ,再以 2n﹣1 代替 n,得 S2n 3 2 ﹣1=4n ﹣6n +4n﹣1,结合和的特点可以求解. 解答: 解:由题中数阵的排列特征,设第 i 行的第 1 个数记为 ai(i=1,2,3…n) 则 a2﹣a1=1 a3﹣a2=2 a4﹣a3=3 … an﹣an﹣1=n﹣1 以上 n﹣1 个式子相加可得,an﹣a1=1+2+…+(n﹣1)= ∴an= +1 +1,最大加数
3

×(n﹣1)=



Sn 共有 n 连续正整数相加,并且最小加数为 ∴Sn=n?× +
3



×(﹣1)= (n +n)
3 2

∴S2n﹣1= [(2n﹣1) +(2n﹣1)]=4n ﹣6n +4n﹣1, ∴S1=1 4 S1+S3=16=2 4 S1+S3+S5=81=3 3 2 4 ∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n ﹣6n +4n﹣1=n . 故选:D 点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为( )

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:利用循环结构可知道需要循环 4 次方可得到 S←2,因此输出的 n←4. 1 2 3 4 解答: 解:由程序框图可知:S=2=0+(﹣1) ×1+(﹣1) ×2+(﹣1) ×3+(﹣1) ×4, 因此当 n=4 时,S←2,满足判断框的条件,故跳出循环程序. 故输出的 n 的值为 4. 故选 D. 点评:正确理解循环结构的功能是解题的关键.

5.如图,已知 l1∥l2,AF:FB=2:5,BC:CD=4:1,则

=(



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

考点:平行线分线段成比例定理. 专题:选作题;推理和证明. 分析:由直线 l1∥l2,根据平行线分线段成比例定理,即可得 AF:FB=AG:BD=2:5,AE: EC=AG:CD,又由 BC:CD=4:1,根据比例的性质,即可求得答案. 解答: 解:∵直线 l1∥l2, ∴AF:FB=AG:BD=2:5,AE:EC=AG:CD, ∵BC:CD=4:1 ∴AG:CD=2:1, ∴AE:EC=2:1. 故选:A.

点评:此题考查了平行线分线段成比例定理. 此题比较简单, 解题的关键是注意比例线段的 对应关系与比例的性质. 6. 如图, PC 是⊙O 的切线, C 为切点, PAB 为割线, PC=2, PA=1, ∠P=60°, 则 BC= ( )

A. 3

B. 2

C. 3

D. 2

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析:利用切割线定理,求出 PB,△PBC 中,利用余弦定理求 BC. 解答: 解:∵PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PAB 为割线,PC=2,PA=1, ∴4=1×PB, ∴PB=4, △PBC 中,BC= =2 .

故选:D. 点评:本题考查切割线定理,余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题. 7.点 M 的直角坐标是 A. D. B. ,则点 M 的极坐标为( C. )

考点:极坐标刻画点的位置. 专题:计算题. 分析:利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,先将点 M 的直角坐标是 坐标即可. 2 2 2 2 解答: 解:由于 ρ =x +y ,得:ρ =4,ρ=2, 由 ρcosθ=x 得:cosθ= 则点 M 的极坐标为 ,结合点在第二象限得:θ= . ,
2 2 2

后化成极

故选 C. 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 2 2 2 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 8.“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆锥曲线的关系. 专题:探究型. 分析:先判断前者成立是否能推出后者成立; 反之后者成立是否能推出前者成立, 利用充要 条件的定义判断出结论. 解答: 解: 当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线 平行, 此时,“直线与双曲线相切”不成立 反之,“直线与双曲线相切”成立,一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点” 所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件 故选 C 点评:判断一个条件是另一个条件的什么条件, 一般利用充要条件的定义, 先判断前者成立 是否能推出后者成立;反之判断出后者成立能否推出前者成立. 9.函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0) )处的切线方程的倾斜角为( A. 0 B. C. 1 D.
x



考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 专题:导数的概念及应用. 分析:求导函数,可得 f′(0)=1,从而可求切线方程的倾斜角. x 解答: 解:求导函数,可得 f′(x)=e (cosx﹣sinx) ∴f′(0)=1 ∴函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0) )处的切线方程的倾斜角为 故选 B. 点评:本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|=6, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析:首先设抛物线的解析式 y =2px(p>0) ,写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线,然 后根据通径|AB|=2p,求出 p,△ABP 的面积是|AB|与 DP 乘积一半. 2 解答: 解:设抛物线的解析式为 y =2px(p>0) , 则焦点为 F( ,0) ,对称轴为 x 轴,准线为 x=﹣ ∵直线 l 经过抛物线的焦点,A、B 是 l 与 C 的交点, 又∵AB⊥x 轴, ∴|AB|=2p=6, ∴p=3,又∵点 P 在准线上
x

∴DP=( +|﹣ |)=p=3, ∴S△ABP= (DP?AB)= ×6×3=9, 故选:C.

点评:本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点;关于直线和圆锥曲线的 关系问题一般采取数形结合法. 11. 若关于 x 的不等式 x ﹣3x ﹣9x+2≥m 对任意 x∈[﹣2, 2]恒成立, 则 m 的取值范围是 ( ) A. (﹣∞,7] B. (﹣∞,﹣20] C. (﹣∞,0] D. [﹣12,7] 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题. 专题:计算题. 3 2 2 2 分析:设 y=x ﹣3x ﹣9x+2, 则 y′=3x ﹣6x﹣9, 令 y′=3x ﹣6x﹣9=0, 得 x1=﹣1, x2=3 (舍) , 3 2 由 f(﹣2)=0,f(﹣1)=7,f(2)=﹣20,知 y=x ﹣3x ﹣9x+2 在 x∈[﹣2,2]上的最大值 3 2 为 7,最小值为﹣20,由此能求出关于 x 的不等式 x ﹣3x ﹣9x+2≥m 对任意 x∈[﹣2,2]恒成 立的 m 的取值范围. 解答: 解:设 y=x ﹣3x ﹣9x+2,则 y′=3x ﹣6x﹣9, 2 令 y′=3x ﹣6x﹣9=0,得 x1=﹣1,x2=3, ∵3?[﹣2,2],∴x2=3(舍) , 列表讨论: x (﹣2,﹣1) ﹣1 (﹣1,2) f′(x) + 0 ﹣ f(x) ↑ 极大值 ↓ ∵f(﹣2)=﹣8﹣12+18+2=0, f(﹣1)=﹣1﹣3+9+2=7, f(2)=8﹣12﹣18+2=﹣20, 3 2 ∴y=x ﹣3x ﹣9x+2 在 x∈[﹣2,2]上的最大值为 7,最小值为﹣20, 3 2 ∵关于 x 的不等式 x ﹣3x ﹣9x+2≥m 对任意 x∈[﹣2,2]恒成立, ∴m≤﹣20, 故选 B. 点评:本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注 意合理地进行等价转化.
3 2 2 3 2

12.在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1 ﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L﹣距离”之和等于定值(大于 |F1F2|)的点的轨迹可以是( )

A.

B.

C.

D.

考点:轨迹方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设出 F1,F2 的坐标,在设出动点 M 的坐标,由新定义列式后分类讨论去绝对值,然 后结合选项得答案. 解答: 解:设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 再设动点 M(x,y) ,动点到定点 F1,F2 的“L﹣距离”之和等于 m(m>2c>0) , 由题意可得:|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m, 即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m. 当 x<﹣c,y≥0 时,方程化为 2x﹣2y+m=0; 当 x<﹣c,y<0 时,方程化为 2x+2y+m=0; 当﹣c≤x<c,y≥0 时,方程化为 y= ;

当﹣c≤x<c,y<0 时,方程化为 y=c﹣ ; 当 x≥c,y≥0 时,方程化为 2x+2y﹣m=0; 当 x≥c,y<0 时,方程化为 2x﹣2y﹣m=0. 结合题目中给出的四个选项可知,选项 A 中的图象符合要求. 故选:A. 点评:本题考查轨迹方程的求法, 考查了分类讨论的数学思想方法, 解答的关键是正确分类, 是中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.若复数 z= (a∈R) ,且 z 是纯虚数,则|a+2i|等于 2 .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:化简已知复数,由纯虚数的定义可得 a 值,再由复数的模长公式可得.

解答: 解:化简可得 z=

=

=

=



∵z 是纯虚数,∴a﹣6=0 且 2a+3≠0,解得 a=6, ∴|a+2i|=|6+2i|= =2

故答案为:2 点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的模长公式,属基础题. 14. 如图所示, 直线 PB 与圆 O 相切于点 B, D 是弦 AC 上的点, ∠PBA=∠DBA. 若 AD=2, AC=8,则 AB= 4 .

考点:与圆有关的比例线段;弦切角. 专题:推理和证明. 分析:直线 PB 与圆 O 相切于点 B,可得∠PBA=∠C.于是∠DBA=∠C.可得△ABD∽△ ACB,即可得出. 解答: 解:∵直线 PB 与圆 O 相切于点 B,∴∠PBA=∠C. 又∠PBA=∠DBA, ∴∠DBA=∠C. 又∠A 公用, ∴△ABD∽△ACB, ∴ ,

∴AB= = =4. 故答案为:4. 点评:本题考查了直线与圆相切的性质定理、 三角形相似的判定定理与性质定理, 考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

15.在极坐标系中,O 是极点,设点 线的距离是 .



,则 O 点到 AB 所在直

考点:点的极坐标和直角坐标的互化;点到直线的距离公式;极坐标刻画点的位置. 专题:计算题.

分析:通过 A,B 的极坐标求出 A,B 的直角坐标,求出 AB 的方程,利用点到直线的距离 公式求出距离即可. 解答: 解:因为在极坐标系中,O 是极点,设点 ( ) ,B( ) , 即 (4 +3)y=(4﹣3 )x+24, , ,所以 A

所以 AB 的方程为:

所以 O 点到 AB 所在直线的距离是:

=



故答案为:



点评:本题考查极坐标与直角坐标的互化,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力. 16.若下列两个方程 x +(a﹣1)x+a =0,x +2ax﹣2a=0 中至少有一个方程有实数根,则实 数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣2]∪[﹣1,+∞) . 考点:一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题:函数的性质及应用. 2 2 2 分析:先求出当两个方程 x +(a﹣1)x+a =0 和 x +2ax﹣2a=0 都没有实数根时 a 的范围, 再取补集,即得所求. 2 2 2 解答: 解:当两个方程 x +(a﹣1)x+a =0 和 x +2ax﹣2a=0 都没有实数根时, 2 2 2 (a﹣1) ﹣4a <0①,且 4a ﹣4(﹣2a)<0 ②. 解①求得 a<﹣1,或 a> ,解②求得﹣2<a<0. 可得此时实数 a 的取值范围为(﹣2,﹣1) . 故当 a∈(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,+∞)时, 2 2 2 两个方程 x +(a﹣1)x+a =0,x +2ax﹣2a=0 中至少有一个方程有实数根, 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪[﹣1,+∞) . 点评:本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系, 体现了转化的数学思想, 属于基 础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤.) 17.已知在极坐标系中,曲线 C1:2ρcosθ=1 与曲线 C2:ρ=2cosθ, (1)求出曲线 C1 与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求出曲线 C1 与曲线 C2 的相交的弦长. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程.
2 2 2

分析: (1)利用

即可得出;

(2)曲线 C1 与曲线 C2 的方程联立解出交点坐标即可得出. 解答: 解: (1)∵曲线 C1:2ρcosθ=1, ∴2x=1 即 .
2

∵曲线 C2:ρ=2cosθ,两边都乘上 ρ,可得 ρ =2ρcosθ. 2 2 ∴x +y =2x. (2)将极坐标方程化为普通方程为 联立方程组成方程组求出两交点的坐标 故弦长= = . 与 x +y =2x, 和 ,
2 2

点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、 圆与圆的相交弦长问题, 考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 18.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S= AD?AE,求∠BAC 的大小.

考点:圆內接多边形的性质与判定. 专题:计算题;证明题. 分析: (1)要判断两个三角形相似,可以根据三角形相似判定定理进行证明,但注意观 察已知条件中给出的是角的关系, 故采用判定定理 1 更合适, 故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理,易得满足条件的角. (2)根据(1)的结论,我们可得三角形对应对成比例,由此我们可以将△ABC 的面积 转化为 S= AB?AC,再结合三角形面积公式,不难得到∠BAC 的大小. 解答: 证明: (1)由已知△ABC 的角平分线为 AD, 可得∠BAE=∠CAD 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD 故△ABE∽△ADC. 解: (2)因为△ABE∽△ADC,

所以



即 AB?AC=AD?AE. 又 S= AB?ACsin∠BAC, 且 S= AD?AE, 故 AB?ACsin∠BAC=AD?AE. 则 sin∠BAC=1, 又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90°. 点评:相似三角形有三个判定定理:判定定理 1:两角对应相等的两个三角形相似; 判定 定理 2:三边对应成比例的两个三角形相似;判定定理 3:两边对应成比例,并且夹角相等 的两个三角形相似.在证明三角形相似时,要根据已知条件选择适当的定理. 19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12°; 2 2 ④sin (﹣30°)+cos 60°﹣sin(﹣30°)cos60°; 2 2 ⑤sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin(﹣25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广到一个三角恒等式,并证明你的结论. 考点:归纳推理. 专题:三角函数的求值;推理和证明. 分析: (1)这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题,主要是抓住“角”之间 的关系,联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果; 2 2 (2)依据式子的结构特点、角之间的关系,可以得到形如“sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos (30°﹣α)=C”的规律.然后利用和第(1)问类似的思路进行证明. 解答: 解: (1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos 15°=1﹣ sin30°=1﹣ = . (2)解法一: 三角恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= .
2 2 2 2 2 2

…(4 分)

证明如下: 2 2 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α) 2 2 =sin α+(cos 30°cos α+sin30°sinα) ﹣sinα(cos 30°cos α+sin30°sinα) =sin α+ cos α+
2 2 2 2

sinαcosα+ sin α﹣

2

sinαcosα﹣ sin α

2

= sin α+ cos α= …(12 分) 解法二:

三角恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= . 证明如下: 2 2 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α) = = = = . ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) (cos60°cos2α+sin60°sin2α)﹣

2

2

点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 20.如图,△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,过 E 作 圆的切线交 BC 于 D 点.连结 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:D 是 BC 的中点; 2 (3)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (1)连接 BE、OE,由 DE 为圆 O 的切线,证出∠OED=∠OBD=90°,利用圆内接 四边形形的判定定理得到 O、B、D、E 四点共圆; (2)证明:DB=DE=DC,可得 D 是 BC 的中点; 2 (3)延长 DO 交圆 O 于点 H,由 DE 为圆 O 的切线,从而得出 DE =DM?DH,再将 DH 分 解为 DO+OH,并利用 OH= AB 和 DO= AC,化简即可得到等式 2DE =DM?AC+DM?AB 成立. 解答: 证明: (1)如图,连结 OE、BE,则 ∵DE 为圆 O 的切线,∴OE⊥DE ∴∠OBD=∠OED=90°. ∴O、B、D、E 四点共圆.…(5 分) (2)∵DE 为圆 O 的切线,DB 为圆 O 的切线,∴DE=DB ∵三角形 BEC 是直角三角形 ∴DB=DE=DC 即 D 是 BC 的中点 …(8 分)
2

(3)延长 DO 交圆 O 于点 H, ∵DE⊥OE,OE 是半径,∴DE 为圆 O 的切线. 可得 DE =DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH. ∵OH= AB,OD 为△ABC 的中位线,得 DO= AC, ∴DE =DM?( AC)+DM?( AB) , 化简得 2DE =DM?AC+DM?AB …(12 分)
2 2 2

点评:本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、 直径所对的圆周角、 全等三角形的判定 与性质等知识,属于中档题.

21.已知椭圆 C:

(a>b>0)过点 A(2,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B(1,0)且斜率为 k(k≠0) )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E,F 两点,直线 AE, AF 分别交直线 x=3 于 M,N 两点,线段 MN 的中点为 P.记直线 PB 的斜率为 k′,求证: k?k′为定值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)利用椭圆的离心率计算公式 ,顶点 A(a,0) ,及其 a =b +c 即可得出 a,
2 2 2

b,c,于是得到椭圆的标准方程; (II)设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) .与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系,利用直 线 AE,AF 的方程即可得到点 M,N,及中点 P 的坐标,再利用斜率的计算公式即可证明.

解答: 解: (Ⅰ)依题得

解得 a =4,b =1.

2

2

所以椭圆 C 的方程为



(Ⅱ)根据已知可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) . 由 得(1+4k )x ﹣8k x+4k ﹣4=0.
2 2 2 2

设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,则





直线 AE,AF 的方程分别为: 令 x=3, 则M ,N





,所以 P



所以 k?k′=

=

=

=



点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、直线的方程、斜率的计算公式、中点坐标公式等基础知识,需要较强的推 理能力和计算能力、分析问题和解决问题的能力. 22.设函数 f(x)=2x +3ax +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;分类讨论. 分析: (1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可. 2 2 (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立?f(x)max<c 在区间[0,3]上成立,根 据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求 c 的取值范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)f'(x)=6x +6ax+3b, 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值,则有 f'(1)=0,f'(2)=0. 即 解得 a=﹣3,b=4. 3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x ﹣9x +12x+8c,f'(x)=6x ﹣18x+12=6(x﹣1) (x﹣2) . 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f'(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f'(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c.
2 3 2

则当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c 恒成立, 2 所以 9+8c<c , 解得 c<﹣1 或 c>9, 因此 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞) . 点评:本题考查了导数的应用:函数在某点存在极值的性质,函数恒成立问题,而函数①f (x)<c 在区间[a,b]上恒成立与②存在 x∈[a,b],使得 f(x)<c 是不同的问题.①?f 2 2 (x)max<c ,②?f(x)min<c ,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题.在 解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用.
2 2 2


赞助商链接
相关文章:
2016-2017学年海南省文昌中学高二(下)期末数学试卷(文科)
2016-2017 学年海南省文昌中学高二 (下) 期末数学试卷 (文科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.下列每小题有且只有一 个正确的...
海南省文昌中学2014-2015学年高二(下)期中物理试卷(文...
海南省文昌中学2014-2015学年高二(下)期中物理试卷(文科) (Word_理化生_高中教育_教育专区。2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期中物理试卷(文科) 一、选择...
【解析版】海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中...
解析版】海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中化学试卷(文科)_理化生_高中教育_教育专区。2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下) 期中化学试卷(文科)一...
海南省文昌中学2014-2015学年高二上学期期末化学试卷(...
(5)反应④中,当 32g Cu 完全反应时,被还原的 H2SO4 的物质的量为 mol. 2014-2015 学年海南省文昌中学高二()期末化学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一...
海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中化学试卷(...
海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中化学试卷(文科) (Word版_理化生_高中教育_教育专区。2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期中化学试卷(文科)一、...
...届高三下学期5月段考数学试卷(文科) Word版含解析
海南省文昌中学2015届高三下学期5月段考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_...成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 ...
海南省文昌中学2015-2016学年高二上学期期末考试历史试...
海南省文昌中学2015-2016学年高二上学期期末考试历史试题 Word版含答案.doc - 2015—2016 学年度第一学期 高二年级历史(文科)期考试题 时间:90 分钟 总分:100 ...
海南省文昌中学2014-2015学年高二(下)期中物理试卷(文科)
“不同”). 2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期中物理试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小...
...2018学年高三下学期11月段考数学试卷(文科) Word版含解析
海南省文昌中学2017-2018学年高三下学期11月段考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。海南省文昌中学 2017-2018 学年高三下学期 段考数学试卷 ...
海南省文昌中学2014-2015学年高二下学期期中化学试卷(...
改变金属内部结构制成不锈钢. 2014-2015 学年海南省文昌中学高二(下)期中化学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、单项选择题(本题包括 16 小题,每小题 3 分,...
更多相关标签: