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2009学年浙江省第二次五校联考数学(文科)试题卷


2009 学年浙江省第二次五校联考

数学(文科) 数学(文科)试题卷
本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间为 120 分钟 非选择题)两部分. 参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 4 球的体积公式 V= πR3 其中 R 表示球的半径 3 1 棱锥的体积公式 V= Sh 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 3 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

第Ⅰ卷(共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的。 目要求的。 1.设全集 U = {?2, ?1, 0,1, 2} , A = {?2, ?1, 0} , B = {0,1, 2} 则(CuA)∩B=( A. {0} B. {?2, ?1} C. {1, 2} D. {0,1, 2} ) )

2.已知不重合的直线 a, b 和平面 α , β , a ⊥ α , b ⊥ β ,则“ a ⊥ b ”是“ α ⊥ β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2 3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 开始

3.已知函数 f ( x ) = log 1 (2 x + x ) ,则 f ( x ) 的单调增区间为( A. ( ?∞, ? ) C. (0, +∞)

1 4

B. (? , +∞) D. ( ?∞, ? ) )

1 4

4.如果执行右面的程序框图,那么输出的 t = ( A.96 B.120 C.144 D.300 5.椭圆

1 2

k =1 t =1 t ≤ 90 ?
是 否

x2 y2 + = 1 的左右焦点为 F1 , F2 ,一直线过 F1 交 16 7


椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长为( A.32 C.8 B.16 D.44

t = t +t ?k
k = k +1

输出 t 结束 第 4 题图

6.若 ?ABC 的角 A, B, C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a = 1 , ∠B = 45 , S△ABC = 2 ,则 b = ( A. 5 B. 25 C. 41
1



D. 5 2

7.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是 ( A. C. 6cm
3


3

3 4
3

B. 12 cm
3

3 侧视图

16 cm

D. 18 cm

正视图

8.已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞) 单调递增, 则满足 f (2 x ? 2) < f ( 2) 的 x 取值 范围是( ) B. (0, 2) D. ( 2, +∞) 俯视图

3

(第 7 题)

A. (?∞, 0) C. (0, 2 2)

9.设 G 是 ?ABC 的重心,且 (sin A) ? GA + (sin B ) ? GB + (sin C ) ? GC = 0 ,则 B 的大小为( A.45° B.60° C.30° D.15°



x2 y2 10.已知 A, B, P 是双曲线 2 ? 2 = 1 上不同的三点,且 A, B 连线经过坐标原点,若直线 PA, PB 的斜率 a b
乘积 k PA ? k PB =

2 ,则该双曲线的离心率为( 3
B.

)ks5u

A.

5 2

6 2

C. 2

D.

15 3

100 第Ⅱ卷(共 100 分)
小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 填空题: 11.若 (a ? 2i )i = b ? i ,其中 a, b ∈ R, i 是虚数单位,则 a + b = .

12.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽 取 20 名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎 叶图表示如下: 据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体进行教学次数在

[15, 25) 内的人数为

13.已知等比数列的公比为 2,且前四项之和等于 1,那么前八项之和等于 14 . 已 知 点 P ( x, y ) 在 线 性 区 域 ? 为 .
2



? x+ y≥0 内 , 则 点 P ( x, y ) 到 点 A( ?2, 3) 的 距 离 PA 的 最 小 值 ?x ? y + 2 ≥ 0

15.掷两枚骰子,它们的各面分别刻有 1,2,2,3,3,3,则掷得的点数之和为 4 的概率为

16.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些 、 、 、 图案都是由小正方形构成, 小正方形数越多刺绣越漂亮; 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同), 设第 n 个图形包含 f ( n) 个小正方形。则 f (6) = 。

(1)

(2)
2

(3)

(4)

17.如图是函数 f ( x ) =

b+c =

sin π x 4 的图像的一部分,若图像的最高点的纵坐标为 ,则 x ? bx + c 3



小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 18. (本题满分 14 分) 已知向量 m = (1, sin(ωx + (Ⅰ)若 ω = 1, x ∈ ?

π

)) , n = (2, 2sin(ωx ? )) (其中 ω 为正常数) 3 6

π

? π 2π ? ,求 m // n 时 tan x 的值;ks5u , ?6 3 ? ?

(Ⅱ)设 f ( x ) = m ? n ? 2 ,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两个对称中心的距离为

π
2

,求 f ( x ) 在区间

? π? ?0, 2 ? 上的最小值。 ? ?
19.(本题满分 14 分) 在多面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的 交 点 , 三 角 形 CDE 是 等 边 三 角 形 , 棱 EF // BC 且

1 BC . 2 (Ⅰ)证明: FO // 平面 CDE ; EF =
(Ⅱ)设 BC = 2 3 , CD = 2 , OE = 3 , 求 EC 与平面 ABCD 所成角的正弦值。
3

20.(本题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n + (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = log 3 (1 ? S n +1 ) ,求适合方程

1 an = 1 . 2

1 1 1 25 + + ??? + = 的 n 的值。 b1b2 b2b3 bn bn +1 51

21.(本题满分 15 分) ks5u 已知函数 f ( x ) =

1 3 1 2 x ? x 2 + 3 , x ∈ [ ?1, t ] ( t > ?1 ) ,函数 g (t ) = (t ? 2) , t > ?1 3 3

(Ⅰ)当 0 < t < 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和最大、最小值; (Ⅱ)求证:对于任意的 t > ?1 ,总存在 x0 ∈ ( ?1, t ) ,使得 x = x0 是关于 x 的方程 f ′( x ) = g (t ) 的解; 并就 k 的取值情况讨论这样的 x 0 的个数。 22.(本题满分 15 分) 已知四点 O (0, 0) , F (0, ) , M (0,1) , N (0, 2) 。点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 y 上 (Ⅰ) 当 x0 = 3 时,延长 PN 交抛物线于另一点 Q ,求 ∠POQ 的大小; (Ⅱ) 当点 P ( x0 , y0 ) ( x0 ≠ 0) 在抛物线 x 2 = 2 y 上运动时,

1 2

1 所得的弦长; 2 ⅱ)过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 A ,过点 P 作该抛物线的切线 l 交 x 轴于点 B 。问:是否总有 ∠FPB = ∠BPA ?如果有,请给予证明;如果没有,请举出反例。
ⅰ)以 MP 为直径作圆,求该圆截直线 y =

4

2009 学年浙江省第二次五校联考

数学(文科) 数学(文科)参考答案
一、选择题 1.C 2.C 二、填空题 11.1 12. 60 3.D 4.B 13.17 5.B 14. 6.A 7.A 15. 8. B 16. 61 9.B 10. D

3 2 2

5 18

17. 2

三、解答题 18.解: (Ⅰ) m // n 时, sin( x ?

π

sin x cos


π
6

? cos x sin

π
6

) = sin( x + ) ,……………2 分 6 3

π

= sin x cos

π

3

+ cos x sin

π

3

3 1 1 3 sin x ? cos x = sin x + cos x ……………4 分 2 2 2 2 3 ?1 3 +1 3 +1 sin x = cos x ,所以 tan x = = 2 + 3 ……………6 分 2 2 3 ?1

(Ⅱ) f ( x) = 2 sin(ωx ?

π

π π π π? ? ) sin(ωx + ) = 2 sin(ωx ? ) cos ?(ωx + ) ? ? 6 3 6 3 2? ?

π π π = 2 sin(ωx ? ) cos(ωx ? ) = sin(2ωx ? ) . ………………9 分 6 6 3
(或 f ( x) = 2 sin(ωx ?

π

π 3 1 1 3 ) sin(ωx + ) = 2( sin ωx ? cos ωx)( sin ωx + cos ωx) 6 3 2 2 2 2

= 2(

3 2 3 1 sin ωx ? cos 2 ωx + sin ωx cos ωx) 4 4 2 3 1 π cos 2ωx + sin 2ωx = sin(2ωx ? ) ………………9 分 2 2 3

=?

∵函数 f ( x ) 的图像的相邻两个对称中心的距离为 ∴ f (x ) 的最小正周期为 π ,又 ω 为正常数,ks5u ∴

π
2

2π = π ,解之,得 ω = 1 . 2ω π 故 f ( x ) = sin( 2 x ? ) . 3

………………………11 分

因为 x ∈ ? 0,

π π 2π ? π? ? ,所以 ? 3 ≤ 2 x ? 3 ≤ 3 . ? 2?
5

故当 x = ?

π
3

时, f (x ) 取最小值 ?

3 …………………14 分 2

19. (Ⅰ) 【证明】取 CD 中点 M,连结 OM.………………1 分 在矩形 ABCD 中, OM //

1 1 BC ,又 EF // BC ,则 EF //OM ,………………3 分 2 2

连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. ∴ FO // EM ………………5 分 又∵ FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE, ∴FO∥平面 CDE ………………6 分

(Ⅱ)连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,

CM = DM , EM ⊥ CD 且 EM = 3 ,又 EF =
因此平行四边形 EFOM 为菱形,………………8 分 过 E 作 EG ⊥ OM 于 G ∵ CD ⊥ EM , CD ⊥ OM ,

1 BC = 3 . 2
F E D O G B C M

A

∴ CD ⊥ 平面 EOM ,∴ CD ⊥ EG 因此 EG ⊥ 平面 ABCD 所以 ∠EGC 为 EC 与底面 ABCD 所成角………………10 分 在 ?EOM 中 OM = ME = OE =

3 , 则 ?EOM 为正三角形。 3 ,………………12 分 2

∴点 E 到平面 ABCD 的距离为 EG = 所以 sin ∠ECG =

EG 3 = EC 4

3 。………………14 分 4 1 2 20. (Ⅰ) 当 n = 1 时, a1 = S1 ,由 S1 + a1 = 1 ,得 a1 = . 2 3 1 1 当 n ≥ 2 时,∵ S n = 1 ? an , S n ?1 = 1 ? an ?1 , 2 2 1 1 ∴ S n ? S n ?1 = (an ?1 ? an ) ,即 an = ( an ?1 ? an ) . 2 2 1 2 1 ∴ an = an ?1 . ∴ {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 3 2 1 n ?1 1 n 故 an = ? ( ) = 2 ? ( ) . ………………7 分 ks5u 3 3 3 1 1 n 1 n +1 (Ⅱ) 1 ? S n = an = ( ) , bn = log 3 (1 ? S n +1 ) = log 3 ( ) = ? n ? 1 ,………………9 分 2 3 3 1 1 1 1 = = ? bn bn +1 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2
即 EC 与平面 CDF 所成角的正弦值为

6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ??? + = ( ? ) + ( ? ) + ??? + ( ? )= ? ………11 分 b1b2 b2b3 bn bn +1 2 3 3 4 n +1 n + 2 2 n+2
解方程

1 1 25 ? = ,得 n = 100 ………………14 分 2 n + 2 51
……1 分

2 21.解: (Ⅰ)因为 f ′( x) = x ? 2 x = x( x ? 2)

由 f ′( x) > 0 ? x > 2或x < 0 ;由 f ′( x ) < 0 ? 0 < x < 2 , 所以当 0 < t < 1 时, f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增,在 (0, t ) 上递减 ……3 分 因为 f ( ?1) =

5 8 5 , f (0) = 3 , f (2) = ? 4 + 3 = , 3 3 3
………………4 分

而 f (0) < f (t ) < f (2) , 所以当 x = ?1 时,函数 f ( x ) 取最小值 f ( ?1) =

5 ,………………5 分 3

当 x = 0 时,函数 f ( x ) 取最大值 f (0) = 3 ,………………6 分
2 (Ⅱ)因为 f ′( x ) = x 2 ? 2 x ,所以 x ? 2 x =

1 (t ? 2) 2 , 3

令 p ( x ) = x ? 2 x ? (t ? 2) ,
2 2

1 3

从而把问题转化为证明方程 p ( x ) = x ? 2 x ? (t ? 2) = 0 在 (?1, t ) 上有解,
2 2

1 3

并讨论解的个数 因为 p ( ?1) = 3 ?

………………7 分

1 1 (t ? 2) 2 = ? (t + 1)(t ? 5) ,ks5u 3 3 1 2 p (t ) = t (t ? 2) ? (t ? 2) 2 = (t + 1)(t ? 2) ,………………8 分 3 3

所以 ①当 t > 5或 ? 1 < t < 2 时, p ( ?2) ? p (t ) < 0 ,所以 p ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且只有一解……10 分 ②当 2 < t < 5 时, p ( ?2) > 0且p (t ) > 0 ,但由于 p (0) = ? (t ? 2) < 0 ,
2

1 3

所以 p ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且有两解

……12 分

③当 t = 2 时, p ( x ) = x 2 ? 2 x = 0 ? x = 0或x = 2 ,所以 p ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有且只有一解 x = 0 ; 当 t = 5 时, p ( x ) = x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ? x = ?1或x = 3 , 所以 p ( x ) = 0 在 ( ?1,5) 上也有且只有一解 x = 3
7

……14 分

综上所述, 对于任意的 t > ?1 ,总存在 x0 ∈ ( ?1, t ) ,满足 f ′( x0 ) = g (t ) , 且当 t ≥ 5或 ? 1 < t ≤ 2 时,有唯一的 x0 适合题意;当 2 < t < 5 时,有两个 x0 适合题意。 ………………15 分

9 9 5 , P (3, ) , k PN = 2 2 6 5 5 4 2 2 直线 PN : y = x + 2 代入 x = 2 y ,得 x ? x ? 4 = 0 , x = ? , 3 , 6 3 3 4 8 4 9 8 所以 Q ( ? , ) , OP ? OQ = 3 × ( ? ) + × = 0 , 3 9 3 2 9 所以 ∠POQ = 90 ……………5 分 x 1 1 (Ⅱ) ⅰ)以 MP 为直径的圆的圆心为 ( 0 , y0 + ) , 2 2 2
22.(Ⅰ) 当 x0 = 3 时, y0 =
2 MP = x0 + ( y0 ? 1)2 = 2 y0 + ( y0 ? 1) 2 = y0 2 + 1 ,ks5u

1 y0 2 + 1 , 2 1 1 1 1 1 圆心到直线 y = 的距离 d = y0 + ? = y0 ; 2 2 2 2 2
所以圆的半径 r = 故截得的弦长 l = 2 r ? d = 2
2 2

1 2 1 1 2 y0 + ? y0 = 1 4 4 4

……………10 分

(Ⅱ) 总有 ∠FPB = ∠BPA 。……………11 分

x2 , y ′ = x , kl = y ′ |x = x0 = x0 , 2 x2 x2 所以切线 l 的方程为 y ? 0 = x0 ( x ? x0 ) ,即 y = x0 x ? 0 2 2 x x 令 y = 0 ,得 x = 0 ,所以点 B 的坐标为 B ( 0 , 0) ………………12 分 2 2 x0 点 B 到直线 PA 的距离为 d1 = , 2 下面求直线 PF 的方程 2 x0 1 ? 1 1 因为 F (0, ) ,所以直线 PF 的方程为 y ? = 2 2 ( x ? 0) , 2 2 x0
证明: y = 整理得 ( x0 ? 1) x ? 2 x0 y + x0 = 0
2 2 ( x0 ? 1)

所以点 B 到直线 PF 的距离为 d 2 = 所以 d1 = d 2

x0 + x0 2

2 ( x0 ? 1) 2 + (2 x0 )2

=

2 ( x0 + 1)

x0 2

2 ( x0 + 1) 2

=

x0 2



所以 ∠FPB = ∠BPA ………………15 分

8

9


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