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2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程课件理新人教A版


必考部分 第九章 解析几何 §9.8 曲线与方程 考纲展示? 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 考点 1 直接法求轨迹方程 1.曲线与方程 一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的点与一个二元 方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: 这个方程 (1)曲线上点的坐标都是____________ 的解; 曲线上 的点. (2)以这个方程的解为坐标的点都是________ 那么, 这个方程叫做曲线的方程, 这条曲线叫做方程的曲线. 曲线可以看作是符合某条件的点的集合, 也可看作是适合某 种条件的点的轨迹,因此,此类问题也叫轨迹问题. 2.求曲线方程的基本步骤 [典题 1] 的长为 8. (1)已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN ①求动圆圆心的轨迹 C 的方程; ②已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于 不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. ①[解] 如图,设动圆圆心为 O1(x,y), 由题意,|O1A|= |O1M |, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点. ∴|O1M|= 又|O1A|= x2+42, ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 化简得 y2=8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足 方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. ②[证明] 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x,得 k2x2+(2kb-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系,得 8-2kb x1+x2= ,① k2 b2 x1x2= 2 ,② k 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③,得 2kb2+(k+b)(8-2kb)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). (2)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 1 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 3 的轨迹方程. [解] 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称, 所以点 B 的 坐标为(1,-1). 设点 P 的坐标为(x,y), y-1 y+1 1 由题意得 · =- , 3 x+1 x-1 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). [点石成金] 直接法求曲线方程时,最关键的就是把几何条 件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步 骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最 后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系,则可省去建系这一 步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 考点 2 定义法求轨迹方程 [典题 2] 已知动圆 C 与圆 C1:(

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