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高中数学北师大版必修4学案:3.1 同角三角函数的基本关系 含解析

§ 1 同角三角函数的基本关系 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, 点) sin α =tan α.(重 cos α 2.会利用这两个公式求三角函数式的值,化简三角函数式或证明三角恒等 式.(难点) [基础· 初探] 教材整理 同角三角函数的基本关系 阅读教材 P113~P116 练习 2 以上部分,完成下列问题. 1.关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2 α=__1__; (2)商数关系: 2.文字叙述 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切. 3.变形形式 (1)1=sin2 α+cos2 α; (2)sin2 α=1-cos2α;cos2 α=1-sin2α; (3)sin α=± 1-cos2 α;cos α=± 1-sin2 α; sin cos α cos =tanα, α sin α =cotα. α (4)sin α=cos αtan α; (5)(sin α± cos α)2=1± 2sinαcosα. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立,则 sin2α+cos2β=1 也成立.( α 2 α (2)对任意角 α, =tan .( α 2 cos 2 sin ) ) (3)利用平方关系求 sin α 或 cos α 时,会得到正负两个值.( (4)当 α≠ 【解析】 误. (2)当 α=π 时,cos α =0,分母为 0 无意义,所以错误. 2 kπ (k∈Z)时,tan α·cot α=1.( 2 ) ) (1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1,所以错 (3)求 sin α 或 cos α 时,应结合角的象限,判断是正或是负,因而错. (4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小组合作型] 利用同角三角函数的基 本关系求值 4 (1)若 sin α=- ,且 α 是第三象限角,求 cos α,tan α 5 的值; (2)已知 tan α=2,求 【精彩点拨】 2sin α-2cos α 的值. 4sin α-9cos α 第(1)题应先利用平方关系求余弦,再由商数关系求正切; 第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式,再求值. 【自主解答】 4 (1)∵sin α=- ,α 是第三象限角, 5 3 ? 4? 1-?- ?2=- , 5 ? 5? ∴cos α=- 1-sin2α=- sin α 4 ? 5? 4 tan α= =- ×?- ?= . cos α 5 ? 3? 3 (2)法一:∵tan α=2, ∴ 2sin α-2cos α 2tan α-2 2×2-2 = = =-2. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 α=2,∴sin α=2cos α, 法二:∵tan ∴ 2sin α-2cos α 4cos α-2cos α = =-2. 4sin α-9cos α 8cos α-9cos α 同角三角函数的基本关系, 揭示了同一角三角函数间的关系,其最基本的应 用是“知一求二”,求解时要注意根据角所在的象限,判断是一解或两解. [再练一题] 1.已知 tan α=2,试求: (1)sin α 的值; (2) sin α-cos α 和 sin αcos α 的值. sin α+cos α sinα 因为 tan α=2,所以 =2,即 sin α=2cos α. cos α 【解】 又 sin2α+cos2α=1, ?sin α?2 5 2 ? = sin2α=1, 所以 sin α+? 2 ? ? 4 2 5 所以 sin α=± ,又 tan α=2, 5 所以 α 为第一或第三象限的角,当 α 为第一象限角时, sin α= (2) 2 5 2 5 .当 α 为第三象限角时,sin α=- . 5 5 sin α-cos α 2cos α-cos α 1 = = , sin α+cos α 2cos α+cos α 3 sin αcos α cos2α sin α·cos α tan α 2 sin αcos α= = 2 = . 2 2 = 2 2 sin α+cos α sin α cos α tan α+1 5 + cos2α cos2 α 利用 sin α±cos α,sin α·cos α 之间的关系求 值 已知 sin θ,cos θ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 sin θ cos θ + 的值. 1-cot θ 1-tan θ 【精彩点拨】 本题主要考查韦达定理,同角三角函数的关系,由韦达定理 得两根之和与两根之积的关系,通过恒等变形可得 m 的值. 【自主解答】 (1)∵sin θ,cos θ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根, ① sin θ+

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