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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第一篇 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件


第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

【2013年高考会这样考】 1.考查四种命题的意义及相互关系. 2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解. 3.考查题型主要以选择题、填空题形式出现,常与集合、几 何等知识结合命题. 【复习指导】 复习时一定要紧扣概念,联系具体数学实例,理清命题之间的 相互关系,重点解决:(1)命题的概念及命题构成;(2)四种命 题及四种命题间的相互关系;(3)充分条件、必要条件、充要 条件的概念的理解及判定.

基础梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述 句叫做命题.其中 判断为真 的语句叫真命题, 判断为假 的 语句叫 假命题 .

2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命 题 表述形式 若p,则q

原命题 逆命题 否命题

若q,则p
若綈p,则綈q

逆否命题

若綈q,则綈p

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系 .

3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q,则p是q的充分条件 ,q是p的 必要条件 ; (2)如果p?q,q?p,则p是q的 充要条件 .

一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题 的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一 个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证 法. 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; (2)互为逆否命题的两个命题同真假.

三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注 意和图示相结合,例如“p?q”为真,则p是q的充分条件. (2)等价法:利用p?q与綈q?綈p,q?p与綈p?綈q,p?q与

綈q?綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般 运用等价法. (3)集合法:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件; 若A=B,则A是B的充要条件.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)以下三个命题:①“a>b”是“a2 >b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.其中真命题的序号 是________. 解析 ①由2>-3?/ 22>(-3)2知,该命题为假;

②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|,该命题为真; ③a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b; ∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题. 答案 ②③

2.(2011· 陕西)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|” 的逆命题是( ). B.若a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则a=-b

A.若a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b

解析 “若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|, 则a=-b”. 答案 D

3.(2011· 山东)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ).

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对 称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数,故选B. 答案 B

4.(2011· 安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定 是( ).

A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析 答案 原命题是全称命题,则其否定是特称命题,故选D. D

5.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为____________. 答案 若a≤b,则有2a≤2b-1

考向一 命题正误的判断 【例1】?(2011· 海南三亚)设集合A、B,有下列四个命题: ①A B?对任意x∈A都有x?B;

②A B?A∩B=?; ③A B?B A; ④A B?存在x∈A,使得x?B. 其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上). [审题视点] 对于假命题,举出恰当的反例是一难点.

解析 ①不正确,如A={1,2,3},B={2,3,4},有A ∈B. ②不正确,如A={1,2},B={2,3},有A ③不正确,如A={1,2},B={2},有A ④正确. 答案 ④

B但2∈A且2

B而A∩B={2}. B但B?A.

正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要 举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不同的解题 方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重 要.

【训练1】 给出如下三个命题: ①四个非零实数a,b,c,d依次成等比数列的充要条件是ad= bc; a b ②设a,b∈R,且ab≠0,若 <1,则 >1; b a ③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( A.①②③ C.②③ ). B.①② D.①③

解析 对于①,可举反例:如a,b,c,d依次取值为1,4,2,8, a b 故①错;对于②,可举反例:如a、b异号,虽然 <1,但 < b a 0,故②错;对于③,y=f(|x|)=log2|x|,显然为偶函数,故选 B. 答案 B

考向二 四种命题的真假判断 【例2】?已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函 数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ).

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数, 则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是 增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 不是增函数”,是真命题

[审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是 解题关键. 解析 f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤ex在(0, +∞)上恒成立,故m≤1,这说明原命题正确,反之若m≤1, 则f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数 的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选D. 答案 D

判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命 题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系确定否命 题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先 判断其逆否命题的真假.

【训练2】 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上,h(x)= f(x)· g(x),如果f(x)、g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的原命 题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( A.0 解析 B.1 C.2 D.3 ).

由f(x)、g(x)均为奇函数,可得h(x)=f(x)· g(x)为偶函数,

x2 反之则不成立,如h(x)=x2是偶函数,但函数f(x)= x ,g(x)=ex e 都不是奇函数,故逆命题不正确,故其否命题也不正确,即只 有原命题和逆否命题正确. 答案 C

考向三 充要条件的判断 【例3】?指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要 条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0. [审题视点] 的关系. 结合充分条件,必要条件的定义判断所给命题间

解 (1)在△ABC中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若sin A =sin B,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为

180° ),所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知,綈p:x+y=8,綈q:x=2且y=6,显然綈q?綈p,

但綈p?/ 綈q,即綈q是綈p的充分不必要条件,根据原命题和

逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以 p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p?q但q p,故p是q的充分不必要条件.

判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由 条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.对于带有 否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、 复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆 命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.

【训练3】 (2010· 山东)设{an}是首项大于零的等比数列,则 “a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ).

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 a1<a2且a1>0,则a1(1-q)<0,a1>0且q>1,则数列 {an}递增;反之亦然. 答案 C

难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出,高考主要以选择题或填空 题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查,一般难度不 大,属中档题,常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、 立体几何等内容结合考查.考查形式主要有两种:一是判断指 定的条件与结论之间的关系;二是探求某结论成立的充要条 件、充分不必要条件或必要不充分条件.

判断充分、必要条件要从两方面考虑:一是必须明确哪个是条 件,哪个是结论;二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪 个成立,该类问题虽然属于容易题,但有时会因颠倒条件与结 论或因忽视某些隐含条件等细节而失分.

一、充要条件与不等式的解题策略 【示例】? +y2≥4”的( (2011· 天津)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2 ). B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

二、充要条件与方程结合的解题策略 【示例】? (2011· 陕西)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0

有整数根的充要条件是n=________.

三、充要条件与数列结合的解题策略 【示例】? (2010· 山东)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3” ).

是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

四、充要条件与向量结合的解题策略 【示例】? “|a|=5”的( (2010· 福建)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是 ). B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

五、充要条件与三角函数结合的解题策略 π 【示例】? (2010· 上海)“x=2kπ+ (k∈Z)”是“tan x=1”成 4 立的( ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

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