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拉格朗日中值定理及其应用


第 28 卷 第 2 期 ) (下 2012 年 2 月 赤 峰 学 院 学 报( 自 然 科 学 版 ) Journal of Chifeng University(Natural Science Edition ) Vol. 28 No. 2 Feb. 2012 拉格朗日中值定理及其应用 高 ( 集宁师范学院 霞 乌兰察布 012000 ) 数学系,内蒙古 摘 要:微分学微分中值定理包括罗尔定理、 拉格朗日中值定理、 柯西中值定理, 其中拉格朗日 (Lagrange 中值定理作为 ) 核心定理在研究和学习过程中占有十分重要的地位, 很多的文献都不惜篇幅的去解释它、 证明它.本文主要从历年一些知名 高校的研究生招生考试的试题出发, 进一步说明它的精妙应用. 关键词:函数; 拉格朗日 (Lagrange 中值定理; ) 可导 中图分类号: O172.1 文献标识码: A 文章编号: 1673- 260X (2012 02- 0009- 02 ) 1 3] 定理及其证明 [1, 2 设 f(x)在[a,b]连续, 在(a, (1 ) 几个推论 [1] 推论 1 拉格朗日 (Lagrange 中值定理 ) 若 f(x)在(a,b)内有 f'(x)≡0, 则在(a,b)内 f(x)为一 b)可导, 则埚ξ∈(a,b)使得 f'(ξ)= f(b)- f(a) b- a 定理的证明 引进辅助函数 常数, 反之也成立. 推论 2 若两个函数 f(x)及 g(x)在(a,b)内恒成立 f'(x)=g' 则在(a,b)内 f(x)=g(x)+c. 为一常数 (c ) (x), φ(x)=f(x)- f(a)- f(b)- f(a) (x- a) b- a φ(x)满足罗尔定理的所有条件: φ(x)在闭区间[a,b]上连 φ(a)=φ(b)=0, φ'(x)=f'(x)- f(b)- f(a) . 且 续; 在开区间(a,b)内可导; b- a 根据罗尔定理, 可知在开区间(a,b)内至少有一点 ξ, φ'(ξ) 使 =0, f'(ξ)- f(b)- f(a) =0.由此得 f'(ξ)= f(b)- f(a) , 即 定理证毕. b- a b- a 在此定理证明的过程中,构造辅助函数成为证明的关 键.而在解题过程中若需要利用微分中值定理往往是要构造 辅助函数的. 下面就简要介绍若干构造辅助函数的方法: 1.1 常数 K 值法 具体做法是将要证明的含有中值 ξ 的等式中不含有 ξ 的常数设为 K, 然后构造含有常数 K 的辅助函数, 使构造出 的辅助函数满足罗尔定理等的条件,从而证明等式成立.以 上拉格朗日中值定理的证明便是应用了此法. 1.2 积分法 具体做法是将结论中的 ξ 改写为 x 得到函数的导函 数, 通过求不定积分得到原函数, 对原函数中的任意常数通 过移项变号的方法将其移到等式的一端,则另一端就是所 需的辅助函数. - 9 推论 3 若 f(x)在[a,b]上存在有界导函数, f(x)在[a,b] 则 上满足李普希兹 (Lipschitz 条件,即对于坌x1,x2 ∈[a,b], ) 埚L>0, 使得 |f(x1)- f(x2)|<L|x1- x2|. 3 几个应用 利用微分中值定理可以证明恒等式、 证明不等式、 讨论 函数性态、 求未定式极限、 近似求值或估计误差、 讨论方程 的实根,但在选拔研究性人才的研究生考试中关于微分中 值定理的应用往往是若干函数性质的综合应用. 下面以试题为例详细说明其应用. a.利用几

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