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学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学题五平面向量(教师版)


3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量
【考点定位】2010 考纲解读和近几年考点分布
平面向量在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用.平面向量的考查要求:第

【考点 pk】名师考点透析
考点一、向量的概念、向量的基本定理 【名师点睛】 了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解 向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较 大小,它们的模可比较大小。 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一对实数 λ 1、 ... λ 2,使 a =λ
?
1

?

e1 +λ

2

e2

.

注意:若 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量 ... 【试题演练】
? ? 1、直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角

形 ABC 中,若 AB ? 2 i ? j , A.1 B.2

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
C.3 D.4



解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1),C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直 线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角,C 不可能为直角.所以 k 的可能值个数是 2, 选B 点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中 的数形结合思想。 2、如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC | = 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),
1

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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则λ +μ 的值为

.

解: C 作 OA 与 OC 的平行线与它们的延长线相交, 过 可得平行四边形, 由角 BOC=90°角 AOC=30°,

OC = 2 3 得平行四边形的边长为 2 和 4, ? ? ? ? 2+4=6
点评:本题考查平面向量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来后,求相应 的系数,也考查了平行四边形法则。 二、向量的运算 【名师点睛】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的

【试题演练】 1、设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 解:(a+2b) (1, ?2) ? 2(?3, 4) ? (?5,6) ,(a+2b)·c ? (?5,6) ? (3, 2) ? ?3 ,选 C 点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量, 还考查了向量的数量积,结果是一个数字。 2、已知平面向量 a ? (1,2), b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =( ) A. (-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 解:由 a ∥ b ,得 m=-4,所以,

2a ? 3b =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8) ,故选(C) 。
点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 ? 倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易 与向量垂直的坐标运算混淆。 3、已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , , A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

?

?

? ?

?



? ? ? ? ? ? 解:由于 ? a ? b ? ? ? ? 4, ?3? ? 2 ? , a ? ?1, ?3? , ? a ? b ? a
∴ ? ? ? 4 ? ? 3 ? ?3? ? 2 ? ? 0 ,即 10? ? 10 ? 0 ?? ? ?1,选A 点评:本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算,注意不要出现运算出错,因为这是一道基础 题,要争取满分。 4、在 ?ABC 中, AB ? c , AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD =( A.

??? ?

? ????

?

??? ?

????

????

) .

2? 1? b? c 3 3

B.

5? 2? c? b 3 3

C.

2? 1? b? c 3 3

D.

1? 2? b? c 3 3
2

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【解法一】∵ BD ? 2DC

? 2 ??? BC 3 ???? ??? ??? ??? 2 ??? ??? 2 ???? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ???? 1 ? 2 ? ? ∴ AD ? AB ? BD ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB) ? AB ? AC ? c ? b . 3 3 3 3 3 3
∴ BD ?
C D

??? ?

????

??? ?

A

E

B

【试题演练】 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA, AF ? 2 FB, 则

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? AD ? BE ? CF 与 BC (

) A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D. 既 不 平 行 也 不 垂 直

???? ??? ? ???? AC ? 2 AB 1 ???? 2 ??? ? ? AC ? AB, 同 理 , 有 : 解 : 由 定 比 分 点 的 向 量 式 得 : AD ? 1? 2 3 3
??? 1 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 1 ??? BE ? BC ? BA, CF ? CA ? CB, 以上三式相加得 AD ? BE ? CF ? ? BC , 所以选 A. 3 3 3 3 3

点评:利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决本题的要点. 四、向量与三角函数的综合问题 【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知 识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【试题演练】 1、已知向量 a ? ( 3 sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1
3

?

?

? ?

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(1)求 f ( x) 的最小正周期;

(2)当 x ? [

?
6

,

?
2

] 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值.

2 解:(1) f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) . 所以,T= ? .

(2) 由 f ( x) ? 1, 得 sin ? 2 x ? ∵ x ?[

? ?

??

1 ?? , 6? 2
∴ x?

? ?

? ? 7? ? 5? , ] ,∴ 2 x ? ? [ , ] ∴ 2 x ? ? 6 2 6 2 6 6 6

?
3

tan 2、在 △ABC 中,角 A B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . ,

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C 解: (1)? tan C ? 3 7, ? ? 3 7 又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 cos C 1 ? tan C ? 0 ,?C 是锐角. ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 (2)由 CB ? CA ? , ? ab cos C ? , ?ab ? 20 . 2 2
(1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ? 又? a ? b ? 9

??? ??? ? ?

解得 cos C ? ? .

1 8

? a 2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

? c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ?c ? 6 .
点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。
? x π? ? π ? 3、将 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ? 3 6? 4 ? ? ? x π? x π? ? ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 3 4? ? ?3 4? ?x π ? C. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ?x π ? D. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?
'



解: 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点 P x , y

?

'

'

? , P ? x, y ? , 则

? ' ? π ? ' ' ' ' a ? ? ? , 2 ? ? P P ? x ? x, y ? y ? x ? x ? , y ? y ? 2 ,代入到已知解析式中可得选A ? 4 ? 4 ?

????

?

?

点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为中档题。注意不要 将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移 五、平面向量与函数问题的交汇 【名师点睛】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的
4

? 个单位,再向下平移 2 个单位,误选C 4

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取值范围。 【试题演练】已知向量 a =(cos

?

(1)求 a ? b (2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f (x) 的最值及相应的 x 的值。 解:由已知条件: 0 ? x ?

?

?

? x x 3 3 ? x,sin x), b =( ? cos , sin ),且 x∈[0, ]. 2 2 2 2 2
? ?

? ?

?
2

, 得:

? ? 3x x 3x x 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos , sin ? sin ) ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2 ? 2c o s x ? 2s i n 2 x

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x ? cos 2 x 2 2 2 2 1 2 3 ? 2 ? ?2 s i n x ? 2 s i n ? 1 ? ?2( s i n ? ) ? 因为: 0 ? x ? ,所以: 0 ? sin x ? 1 x x 2 2 2 1 3 所以,只有当: x ? 时, f max ( x) ? x ? 0 ,或 x ? 1时, f min ( x) ? 1 2 2
(2) f ( x) ? 2 sin x ? cos 点评:本题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要 注意 sinx 的取值范围,否则容易搞错。 六、平面向量在平面几何中的应用 【名师点睛】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的 运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问 题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图 形有关点与平面向量具体的坐标,这样将有关平面几何问题转化 为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. 【试题演练】 如图在 Rt ? ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时, BP ? CQ 的值最大? 并求出这个最大值。 A C A a B P 解:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴 建立如图所示的平面直角坐标系。 设|AB|=c, |AC|=b, A 则 (0, , 0) B ( c , 0 ) C ( 0 , b ) . 且 |PQ|=2a , |BC|=a. 设 点 P 的 坐 标 为 ( x , y ) 则 Q ( -x , -y ) , , , O B x C y Q

a

? BP ? x ? c,y), ? ? x, y ? b), ? ? c,b), ? ? 2 x, 2 y) ( CQ ( ? BC ( PQ ( ? .

5

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? BP ? CQ ? ( x ? c)( ? x) ? y (? y ? b) ? ?( x 2 ? y 2 ) ? cx ? by. ? cos? ?

BC ? PQ | BC | ? | PQ |

?

cx ? by . a2

∴cx-by=a2cos ? .∴ BP ? CQ =- a2+ a2cos ? .故当 cos ? =1,即 ? =0( PQ 与BC 方向相同)时, BP ? CQ 的 值最大,其最大值为 0. 点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合。考查学 生运用向量知识解决综合问题的能力。

【三年高考】

07、08、09 高考试题及其解析

2009 高考试题及解析 5 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( ) (-x, x ) 则向量 a ? b
2

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 【答案】

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

【解析】 a ? b ? (0,1 ? x ) ,由 1 ? x ? 0 及向量的性质可知,C 正确.
2

2

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已 知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0

2 2 2 180 0 ? 60 0 ) ? 28 ,所以 F3 ? 2 7 ,选 D. 【解析】 F3 ? F1 ? F2 ? 2 F1 F2 cos(

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成 三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

答案:C

【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一 右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 5. 2009 浙江卷文) ( 已知向量 a ? (1, 2) ,b ? (2, ?3) . 若向量 c 满足 (c ? a ) / / b ,c ? (a ? b) , c ?( 则 A. ( , ) )

7 7 9 3

B. (? , ? )

7 3

7 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (? , ? )

7 9

7 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现

6

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

∵a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、 B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? ,即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 6.(2009 北京卷文)设 D 是正 ?P P2 P3 及其内部的点构成的集合,点 P0 是 ?P P2 P3 的中心,若集合 1 1

S ? {P | P ? D,| PP0 |?| PPi |, i ? 1, 2,3} ,则集合 S 表示的平面区域是
A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 【答案】D 【解析】 本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅 读与理解、 信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和 解决问题的能力. 属于创新题型. 如图,A、B、C、D、E、F 为各边 三等分点,答案是集合 S 为六边形 ABCDEF,其中,
.5.u.c.o. 大光明

(

)

D.六边形区域

P0 A ? P2 A ? Pi A ? i ? 1,3?
即点 P 可以是点 A. 7. ( 2009 北 京 理 ) 已 知 向 量 a 、 b 不 共 线 , c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b, 如 果 c // d , 那 么 ( ) A. ? 1 且 c 与 d 同向 B. ? 1 且 c 与 d 反向 k k 且 c 与 d 反向 C. ? ?1 且 c 与 d 同向 D. ? ?1 k k

【答案】D【解析】取 a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B.若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? ,即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ? ?

??? ?



??? ??? ? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

【解析】:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,
7

??? ??? ? ?

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集合,则 P I Q ? A.〔1,1〕 { } 【解析】因为 a ? (1, m)

B. { 〔-1,1〕 }

C. { 〔1,0〕 }

D. { 〔0,1〕 }

?

? b ? (1 ? n,1 ? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5
? ?
2

B.

10
?
2

C. 5

D. 25

b 解:? 50 ?| a ? b | ?| a | ?2a? ? | b | ? 5 ? 20? | b | ?| b |? 5 。故选 C
2 2

?

? ?

?

?

0 13.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 则 a ? 2b ?

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12 ∴ a ? 2b ? 2 3 选 B

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12

14. 2009 宁夏海南卷理) ( 已知 O, P 在 ?ABC 所在平面内, OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , N, 且 且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) (D)外心 重心 内心

由 解析:由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ;

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,?CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC,? P为?ABC的垂心,选C.
15.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c=
8

?

?

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

A.3a+b

B. 3a-b

C.-a+3b

D. a+3b

【答案】B【解析】由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B

?

? ?

17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12 ∴ a ? 2b ? 2 3 )

0

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12

18.(2009 全国卷Ⅰ文)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |, a ? b ? c ,则 ? a, b ?? ( (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。

9

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1 1 (D) 6 6 【解析】向量 ?a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有(-3 ? -1,2 ? ) 1 ×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ? ,故选.A。 7 ?? ? ? ? ? ? 21.(2009 湖南卷理)对于非 0 向量 a、 , a ? b ? 0 是“ a / / b ”的( ) b
(A) ? (B) (C) ? A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

1 7

1 7

【解析】由 a ? b ? 0 可得 a ? ?b ,即得 a / / b ,但 a / / b ,不一定 有 a ? ?b ,所以“ a ? b ? 0 ”是“ a / / b 的充分不必要条件。
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ? c
? ? ? ? ? ? ?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于
? ? ?

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
? ?

B. 以 b , c 为两边的三角形面积
? ?

C. a , b 为两边的三角形面积
? ? ? ? ?

D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积
? ? ? ? ?

解析

假设 a 与 b 的夹角为 ? ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣=︱ b ︱·︱ a ︱?∣
? ? ? ?

cos(90 0 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平行四边形的面积,故选 A。

( 23.(2009 重庆卷理)已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是(
A.



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

二、填空题

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b 1. 2009 广 东 卷 理 ) ( 若平面向量 a , 满足 a ? b ? 1 , ? b 平行于 x 轴, ? (2,?1) , a ? 则 b a
【解析】 a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1) 或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) . 2.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,
o

.

?

?

?

?

则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = 。 【解析】 考查数量积的运算。

?

?

? ?

? ? 3 a ? b ? 2 ? 3? ? 3 2

3.(2009 安徽理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. [解析]设 ?AOC ? ?
o

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? cos ? ? x ? y ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2
= + ,其

4.(2009 安徽文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 中 , R ,则 + = ______。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【 解 析 】 设 B C?

? ? ??

? ??? ? ? ??? 1 ? ? ? b BA ? a 则 AF ? b ? a 、 2

, AE ? b ?

??? ?

? 1? a 2

, AC ? b ? a 代 入 条 件 得

????

? ?

? ? u ? ? ? ? u ? 【答案】4/3
5.(2009 江西卷文)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 ( a ? c ) ? b 则 k = 答案: 0 【解析】因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0 .

2 3

4 3

?

?

?

? ?

?



? ?

6.(2009 江西卷理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k = 答案: 5 【解析】

?

?

?

? ?

?



3 ? k ?6 ? ?k ?5 1 3
???? ??? ? ????

7.(2009 湖南卷文)如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? x AB ? y AC ,则 x ?

1?

3 2

,y?

3 . 2
11

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解:作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ?

2 ,? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2

由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2

8.(2009 辽宁文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6, 8) ,C(8,6),则 D 点的坐标为___________.

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3 ? ? 2(2009 湖南卷文) (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2).
即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ? S ?
(Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin ? ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2 2

?

?

2

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 , s 2 即i n

?c? o s2

? 2 于是 sin(2? ? ) ? ? .又由 0 ? ? ? ? 知, ? ?? , 1
4 2

12

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

?
4

? 2? ?

?
4

?

9? ? 5? ? 7? 3? ? ,所以 2? ? ? ,或 2? ? ? .因此 ? ? ,或 ? ? . 4 4 4 4 4 4 2

3( 2009广 东 文理 )已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (2)若 sin(? ? ? ) ? cos? 的值;

?
2

(1)求 sin ? 和 ).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得

sin ? ? ?

2 5 5 2 5 5 ? ,又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? . , cos? ? ? , cos? ? 5 5 5 5 2

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

? ,则 cos( ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 ,∴ 10

? ? cos? ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos? cos( ? ? ) ? sin? sin(? ? ? ) ?
? ? ?

2 . 2

4.2009 江苏卷)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

?

?

?

? ?

?

?

2008 高考试题及解析 (一)选择题 1. 安徽理 3 文 2) ( 在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ? AC 若 ( A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)

??? ?

????

??? ?



解:因为 BC ? AC ? AB ? (?1,?1) ? AD, BD ? AD ? AB ? (?3,?5) ,选 B。 2. (广东卷理 8) 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( B )
13

????

??? ?

??? ?

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

1 2 b 3 3 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出 DF : FC ? 1: 2 ,然后利用向量的加减法则易
A. B. C. D. a ? 得答案 B. 3.(广东卷文 3)已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10) B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4)

1 1 a? b 4 2

2 1 a? b 3 3

1 1 a? b 2 4

?

?

? ?

?

?



【解析】排除法:横坐标为 2 ? (?6) ? ?4 ,选 B. 4.(海南宁夏卷理 8 文 9)平面向量 a , b 共线的充要条件是(

?

?

? ? A. a , b 方向相同 ? ? C. ?? ? R , b ? ? a
? ?

? ? B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 ? ? ? D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0
? ? ?



【试题解析】 :若 a, b 均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数 ?1 , ? 2 , 使得 ?1 a ? ? 2 b ? 0 ;

???? ??? ? ???? AC ? 2 AB 1 ???? 2 ??? ? 【解析】由定比分点的向量式得: AD ? ? AC ? AB, 1? 2 3 3

??? 1 ??? 2 ??? ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? ? BE ? BC ? BA, CF ? CA ? CB, 以上三式相加得 3 3 3 3 ???? ??? ??? ? ? ??? ? 1 AD ? BE ? CF ? ? BC , 所以选 A. 3

8.(辽宁卷理 5)已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? A. 2OA ? OB

???? ??? ?
? 2 ??? OB 3

????

??? ??? ? ?

B. ?OA ? 2OB

??? ?

??? ?

C.

? ? 2 ??? 1 ??? OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

? 1 ??? 3

14

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

解析:本小题主要考查平面向量的基本定理。 依题 OC ? OB ? BC ? OB ? 2 AC ? OB ? 2(OC ? OA). ∴ OC ? 2OA ? OB. 答案:A

????

??? ??? ? ?

??? ?

????

??? ?

???? ??? ?

????

??? ??? ? ?

AD ,则顶点 D 9.(辽宁卷文 5)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0, , B(?1 ? 2) ,C (31) ,且 BC ? 2 2) , ,
的坐标为( )A. ? 2, ?

??? ?

??? ?

? ?

7? 2?

B. ? 2, ?

? ?

1? ? 2?
????

C. (3, 2)

D. (1, 3)

解析:本小题主要考查平面向量的基本知识。? BC ? (4,3), AD ? ( x, y ? 2),

??? ?

?x ? 2 ??? ? ???? ?2 x ? 4 ? ?? 且 BC ? 2 AD ,? ? 7 ?2 y ? 4 ? 3 ? y ? ? 2

答案:A

10.(全国Ⅰ卷理 3 文 5)在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ?

??? ?

?

????

?

??? ?

????

????

2? 1? 5? 2? 2? 1? 1? 2? B. c ? b C. b ? c D. b ? c b? c 3 3 3 3 3 3 3 3 ???? ???? ? ? ???? 1 ? 2 ? ???? ??? ? ???? ???? A. 由 AD ? AB ? 2 AC ? AD , 3 AD ? AB ? 2 AC ? c ? 2b , AD ? c ? b ; 3 3 ? ? ? ? 11.(四川卷文 3)设平面向量 a ? ? 3,5 ? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ? ( )
A.

?

?

(A) ? 7, 3 ?

(B) ? 7, 7 ?

(C) ?1, 7 ?

(D) ?1, 3 ?

【解】 :∵ a ? ? 3,5 ? , b ? ? ?2,1?

?

?

5 3 ∴ a ? 2b ? ? 3,5 ? ? 2 ? ?2,1? ? ? 3 ? 4,? 2 ? ? ? 7,?
? ? ? b ? ( 3, ? ) ,若 a // b ,则 ? 等于(
(C) ?

?

?

故选 C;此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算 12.(上海春卷 13)已知向量 a ? ( 2, ? 3), (A)

?

)

2 . 3

(B) ?2 .

9 . 2

(D) ?

2 3

解析:由题意得 2 ? -(-3)3=0,所以 ? = ?

9 。 2

13.(湖南卷文 7)在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? (

??? ???? ?

)

2 3 D. 3 2 ??? ???? ? 1 1 3 【解析】由余弦定理得 cos ?CAB ? , 所以 AB ? AC ? 3 ? 2 ? ? , 选D. 4 4 2
A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

14.(浙江卷理 9)已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的 最大值是 (A)1 (B)2 (C) 2 (D)

2 2
15

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

解析:本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。?| a |?| b |? 1, a ? b ? 0, 展开 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ?| c |2 ? c ? (a ? b) ?| c | ? | a ? b | cos ? ,

?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ?| c |?| a ? b | cos ? ? 2 cos ? , 则 c 的最大值是 2 ;或者利用数形结合, a ,b 对应的点 A,B 在圆 ? x 2 ? y 2 ? 1上, c 对应的点 C 在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上即可.

17.(安徽卷理 5)将函数 y ? sin(2 x ? 则向量 ? 的坐标可能为(

?
3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 (? , 0)
B. ( ?

?
12

, 0) 中心对称,

)A. (?

?

?
6

12

, 0)

C. (

?

12

, 0)

D. (

?
6

, 0)

解:设平移向量 a ? (m,0) ,则函数按向量平移后的表达式为

π ? ? y ? sin[2( x ? m) ? ] ? sin(2 x ? ? 2m) ,因为图象关于点 (? ,0) 中心对称, 3 3 12
故x ??

?

12

代入得: sin[2(?

?

k=0 得: m ?

?
12

12

)?

?

3

? 2m] ? 0 ,

?

6

? 2m ? k? (k ? Z ) ,

,选 C。本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。

18.(福建卷理 9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的 值可以为 A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

? 2
16

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

解: y ? ? f ?( x) ? sin x ,而 f ( x) ? cos x( x ? R) 的图象按向量 (m, 0) 平移后 得到 y ? cos( x ? m) ,所以 cos( x ? m) ? sin x ,故 m 可以为 19.(福建卷文 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 式为 A.-sinx

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析 2
D.cosx

? . 2

B.sinx

C.-cosx

解: y ? g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ? ? sin x

20.(湖北卷理 5 文 7)将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( 是直线 x ?

?
3

,3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对称轴
C.

?
4

,则 ? 的一个可能取值是 A.

5 ? 12

B. ?

解: 平移得到图象 F , 的解析式为 y ? 3sin( x ? ? ?

?

5 ? 12

11 ? 12

D. ?

3 3 2 ? 7? 5? 5 把 x ? 带入得 ? ? ? ? k? ? (?k ? 1)? ? (k ? Z ) ,令 k ? ?1 , ? ? ? 4 12 12 12 ? x x ?1 21.(辽宁卷理 8 文 8)将函数 y ? 2 ? 1 的图象按向量 a 平移得到函数 y ? 2 的图象,则
A. a ? (?1 ? 1) ,

) ? 3 ,对称轴方程 x ? ? ?

?

? k? ?

?

11 ? 12

(k ? Z ) ,

?

B. a ? (1 ? 1) ,

?

C. a ? (11) ,

?

D. a ? (?11) ,
x x ?1

?

解析: 本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。 依题由函数 y ? 2 ? 1 的图象得到函数 y ? 2 的图象,需将函数 y ? 2 ? 1 的图象向左平移 1 个单位,向下平移 1 个单位;故 a ? (?1 ? 1). ,
x

?

22. 重庆卷理 7) ( 若过两点 P1(-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P, 则点 P 分有向线段 P P2 所成的比 ? 1

???? ?

1 1 1 (C) (D) 5 5 3 0?2 1 解:设点 P( x,0) ,则 ? ? ? ? ,选 A 6?0 3 ??? ? ??? ? 1 23.(重庆卷文 4)若点 P 分有向线段 AB 所成的比为- ,则点 B 分有向线段 PA 所成的比是 3 3 1 1 (A)(B)(C) (D)3 2 2 2
的值为(A)- (B) - 【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知,B 点是有向线段 PA 的外分点,

1 3

???

| PB | 3 ? ? ,故选 A。 | BA | 2

1 P A

2 B

(二)填空题 1.(北京卷理 10)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那么 b? a ? b) 的值为 (2 【标准答案】: 0
17



3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

【试题分析】: 利用数形结合知,向量 a 与 2a+b 垂直。 【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起注意。 2.(北京卷文 11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那么 a? 的值为 b .

1 2 ? ? ? ? ? ? 3.(江苏卷 5) a , b 的夹角为 1200 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?
【解析】本小题考查向量的线性运算. 5a ? b ? 5a ? b = 25 ?12 ? 10 ?1? 3 ? ? ?

【答案】 ?8 【解析】 a ? b ?| a | ? | b | ? cos120? ? 4 ? 4 ? (? ) ? ?8. 。

? ?

?

?

? ?2

?

? ?

?

2

?2 ? ? ?2 ? 25a ? 10a? ? b b

? ? ? 1? 2 ? 3 ? 49 , 5a ? b ? 7【答案】7 ? ? 2?

4.(江西卷理 13)直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C (9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分

??? ??? ? ? 点,则 AE ? AF =
【答案】 22


??? ??? ? ?

【解析】由已知得 E (5,1), F (7, 4) ,则 AE ? AF ? (4, ?1) ? (6, ?2) ? 22

5.(江西卷文 16)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: A. AC ? AF ? 2 BC

???? ??? ?

??? ?
E

D

B. AD ? 2 AB ? 2 AF

????

???? ?

??? ?
F
C

??? ???? ???? ??? ? ? C. AC ? AD ? AD ? AB
D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF ) 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

???? ??? ??? ? ?

???? ??? ??? ? ?

A

B

【解析】 AC ? AF ? AC ? CD ? AD ? 2BC , ∴ A 对取 AD 的中点 O ,则 AD ? 2 AO ? 2 AB ? AF , ∴ B 对设 AB ? 1 ,

??? ??? ? ?
??? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

????

??? ??? ? ?

则 AC ? AD ? 3 ? 2 ? cos

??? ???? ?

?

又 AB ? AD ? 1? 2 ? cos

??? ???? ?

?
3

??? ? ? 1 ? ( AF ) 2 ,∴ D 对∴真命题的代号是 A, B, D

???? ??? ? ? ? 3 ,而 AD ? AF ? 2 ?1? cos ? 1 ,∴ C 错 6 3

6.(陕西卷理 15 文 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a? = a? ,则 b ? c .②若 a ? (1 k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 .③非零向量 a 和 b 满足 b c , 6)

| a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60? .其中真命题的序号为

. (写出所有真命题的序号)

解:① a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c) ? 0 ,向量 a 与 b ? c 垂直② a ∥ b ? b ? ?a ?

1 k ? ? k ? ?3 ?2 6
18

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

③ | a |?| b |?| a ? b | ? a, b, a ? b 构成等边三角形, a 与 a ? b 的夹角应为 30? 所以真命题只有②。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.(上海卷理 5 文 5)若向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则| a + b |= 3 【答案】 7 【解析】 | a ? b |2 ? (a ? b)?(a ? b) ? a?a ? b? ? 2a?b ?| a |2 ? | b |2 ?2 | a || b | cos b

? ?

? ? ? ?

?? ??

?? ?

?

? ?

8. (天津卷理 14) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AC ? ?1, 2 ? , BD ? ? ?3, 2 ? , D 则 AD ? AC ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? 7 ?| a ? b |? 7 . 3
C

???? ????

.
源头学子

? ? ??? ? ???? ? ? ? ?a ? b ? (1, 2) ? ? 解析:令 AB ? a , AD ? b ,则 ? ? ? ? a ? (2,0), b ? (?1, 2) ??a ? b ? (?3, 2) ? ???? ???? ? ? ? 所以 AD ? AC ? b ? (a ? b ) ? 3 .

A

B

9.(天津卷文 14)已知平面向量 a ? (2, , b ? (?1 2) ,若 c ? a ? (a ? )b ,则 c ? 4) , b 解析:因为 c ? (2, 4) ? 6(?1, 2) ? (8, ?8) ,所以 | c |? 8 2 .



?

?

( 10.(浙江卷文 16)已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b? a ? b) ? 0 ,则 | b | 的取值范围

?

?

? ? ?

?



。答案: [0,1]

? ? a 2 ? a ? a3 ? a2 ? a2 2? a1? 0?, a ? 1 ? 2 (舍负).
(三)解答题
19

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

1.(福建卷理 17) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 解: (Ⅰ) 由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? n 由 A 为锐角得 A ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 cos A ?

?
6

?

?
6

,A?

?
3

? 6

? 6

1 . 2

1 , 2 1 2

3 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ? ? ?1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x) 的值域是 ? ?3, ? 2.(福建卷文 17)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m? ? 0. n (Ⅰ)求 tanA 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ?R)的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值 等基本知识,考查运算能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m·n=sinA-2cosA=0,因为 cosA≠0,所以 tanA=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 tanA=2 得

? ?

3? 2?

1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 因 为 x ? R, 所 以 s i nx ? ? ? 1, 1 当 ?. 2 2 sin x ?
3? 1 3 ? 时,f(x)有最大值 ,当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2? 2 2 ?

2007 高考试题及解析 一、选择题 1(北京 4)已知 O 是 △ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A ) A. AO ? OD

??? ??? ??? ? ? ?

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

b 2(辽宁 3)若向量 a 与 b 不共线, a ? ? 0 ,且 c = a - ? a ? ? b ,则向量 a 与 c 的夹角为( D ) b
A.0 B.

? a ?a ? ? ?

π 6

C.

π 3

D.

π 2

3 (辽宁 6) 若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后, 得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象, 则向量 a =( A ) A. (?1 ? 2) , B. (1 ? 2) , C. (?1 2) , D. (1, 2)
20

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

4(宁夏,海南 4)已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量 ,, , A. (?2, 1) ? B. (?2, 1) C. (?1 0) ,

1 3 a? b ?( D ) 2 2
D. (1 2) ,

5.(福建 4)对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列命题中真命题是( B ) A.若 a ? ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 b C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a = ?b
2 2

B.若 ?a = 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 D.若 a? = a? ,则 b = c b c

? x π? ? π ? 6(湖北 2)将 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( A ) ? 3 6? 4 ? ? ? x π? x π? ? ? ?x π ? ?x π ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 C. y ? 2cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ?

7 (湖北文 9) a ? ( , ,a 在 b 上的投影为 设 43 )

5 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2, | b| ≤ , b 为 且 则 ( B ) 1 4 2
2? 7?
D. (2, 8)

A. (2, 14)

B. ? 2, ?

? ?

2? ? 7?

C. ? ?2, ?

? ?

8(湖南 4)设 a,b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? a ? xb) 的图象是一条直线,则必有( ( A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |

A )

9(湖南文 2)若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?
??? ??? ? ?

B. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?
??? ??? ? ?

C. EF ? ?OF ? OE

??? ?

D. EF ? ?OF ? OE

??? ?

? ? ? 10(四川 7)设 A{a,1} ,B{2,b} ,C{4,5} ,为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向

上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为 ( A ) (A) 4a ? 5b ? 3 (B) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ? 14
2 2

(D) 5a ? 4b ? 14

11(天津 10)设两个向量 a ? (? ? 2,? ? cos ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中 ?,m ? 为实数.若 ,

? ?

m 2

? ?

a ? 2b ,则

? 的取值范围是( A )A.[-6,1] m

B. [4, 8]

C. (-6,1] D.[-1,6]

12(浙江 7)若非零向量 a,b 满足 a ? b ? b ,则( C ) A. 2a ? ?a ? b B. 2a ? 2a ? b C. 2b ? a ? ?b D. 2b ? a ? 2b

13(浙江文 9)若非零向量 a 、 b 满足| a 一 b |=| b |,则(A)

?

?

?

?

?

21

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

(A) |2 b |>| a 一 2 b | (C) |2 a |>|2 a 一 b |

?

?

?

(B) |2 b |<| a 一 2 b | (D) |2 a |<|2 a 一 b |

?

?

?

?

?

?

?

?

?

14(山东 11)在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( C ) (A) AC ? AC ? AB (B) BC ? BA ? BC

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ??? ??? ? ? ? (C) AB ? AC ? CD

???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) ? (D) CD ? ??? 2 ? AB

15(山东文 5)已知向量 a ? (1 n),b ? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( C ) , , A. 1 B. 2 C. 2 D.4 A )

? ? 16(重庆 5)在 △ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? (

A. 3 ? 3

B. 2

C. 2

D. 3 ? 3 D C

??? ??? ? ? ???? 17(重庆 10)如题(10)图,在四边形 ABCD 中, AB ? BD ? DC ? 4 , ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? AB ?BD ? BD ?DC ? 4 , AB?BD ? BD?DC ? 0 ,
则 ( AB ? DC )?AC 的值为( C ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2

??? ???? ???? ?

A

B 题 (10) 图

? ? 18(上海 14)直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中,

若 AB ? 2 i ? j , A.1

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是( B )
B.2 C.3 D.4

19(全国Ⅰ3)已知向量 a ? (?5, , b ? (6, ,则 a 与 b ( A ) 6) 5) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

20 (全国Ⅱ5) △ABC 中, 在 已知 D 是 AB 边上一点, AD ? 2 DB, ? 若 CD A.

????

??? ??? ? ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ?( A ) 3

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3
??? ? ??? ?

D. ?

2 3
??? ?

二、填空题

OB OC 1 (安徽 13) 在四面体 O ? ABC 中,OA ? a, ? b, ? c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, OE ? 则

??? ?

1 1 1 a? b? c 2 4 4

(用 a,b,c 表示) .
22

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

2(北京 11. )已知向量 a = ? 2,,b = ?11? .若向量 b ? (a + ?b) ,则实数 ? 的值是 4? ,

?3

1 3(北京 12. )在 △ABC 中,若 tan A ? , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? 3

10 2
1 2 .

4(广东 10. )若向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1, a与b 的夹角为 120°,则 a·b ? a·b =

5(湖南 12. )在 △ABC 中,角 A B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 , c ? 3 ,则 B ? ,

5π 6



7(江西 15. )如图,在 △ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的两 点 M,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为

??? ?

???? ?

????

????

2



8(江西文 13. )在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0, , B(11) ,则 0) ,

??? ??? ? ? AB?AC ?

1

. 的 若

9(陕西 15. )如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,
OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为

6

.

10 (天津 15. 如图, △ABC 中,?BAC ? 120° AB ? 2,AC ? 1 ,D 是边 BC 上一点,DC ? 2BD , ) 在 ,

???? ??? ? · 则 AD BC ?

?

8 3



5 ???? ??? ? 11(天津文 15)在 △ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD?BC ? 2 .
12(重庆文(13) )在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC=
3 。

? ? ? ? ? ? b 13(上海文 6. )若向量 a, 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ? a ? b ?

?

?

1 2



三、解答题: 1. (广东)16 已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值;(2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

23

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)

??? ?

????

当c=5时, AC ? (2, ?4)

????

???? ??? ?6 ? 16 1 ? cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

进而 sin ?A ? 1 ? cos ?A ?
2
2

2 5 5

(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0

解得c>

25 3 25 ,+ ? ) 3

显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[

(1)求 cos C ; (2)若 CB ? ? CA 解: (1)? tan C ? 3 7, ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

sin C 1 ? 3 7 又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 解得 cos C ? ? . cos C 8 1 ? tan C ? 0 ,?C 是锐角. ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 2 2 (2)? CB? ? , ? ab cos C ? , ?ab ? 20 .又? a ? b ? 9 ? a ? 2ab ? b ? 81 . CA 2 2
? a 2 ? b2 ? 41. ? c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ?c ? 6 .

【两年模拟】 08 名校模拟题及其答案
一、选择题 1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在 ?OAB 中, OA =a, OB =b,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON,

AM 交于点 P,则 AP =
A.

( )

2 1 a- b 3 3

B.-

2 1 a+ b 3 3

C.

1 2 a- b 3 3
?

D.?

1 2 a+ b 答案 B 3 3
? ? ? ?

2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知向量 a ? ( 2,3) ,b ? (?1,2) , m a ? n b 与 a ? 2 b 共 若 线,则

m 等于( n

)A. ?

1 ; 2

B.

1 ; 2

C. ? 2 ;

D. 2 ;答案 A
24

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

3.(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知向量 a ≠ e ,| e |=1, 对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |, 则 ( )A. a ⊥ e

?

?

?

?

?

?

?

?

?

B. e ⊥( a - e )

?

?

?

C. a ⊥( a - e )

?

?

?

D.( a + e )⊥( a - e )答案:B

?

?

?

?

4.(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知向量 a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若 a//b,则 x= ( )A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C

? ? ? ? a ? ? ? ? b 5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量 p ? ? ? ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范 |a| |b|
围是 ( )A. [0, 2] B. [0,1] C. (0, 2] D. [0, 2] 答案 B

6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足
? ? ? ? 1? ? OP ? ?(1 ? ? ) OA? (1 ? ? ) OB? (1 ? 2? ) OC? (? ? R且? ? 0) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 3? ?

A.内心

B. 垂心

C.重心

D.AB 边的中点

答案 C

7.(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)下列式子中(其中的 a、b、c 为平面向量) ,正确的是 ( ) A. AB ? AC ? BC B.a(b·c)= (a·b)c C. ? (? a) ? (?? )a(?, ? ?R) D. 0 ? AB ? 0 答案 C

8.(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知单位向量 a,b 的夹角为 A. 2 3 B. 7 C.2 7

? ,那么 a ? 2b ? ( 3
B

)

D. 4 3 答案

? ? ? ? 9.(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 a ? (1, n), b ? (?1, n), 若a与b 垂直, 则 a 等于
( )A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 B

10.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知平面上三点 A、B、C 满足

| AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于 (
A 25 B 24 C.-25 D -24 答案

) C 直线

11.(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)如图, 平面内的两条相交

OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) ,设
??? ? ??? ? ??? ? OP ? mOP1 ? nOP2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足(



A.m>0, n>0 C.m<0, n>0

B.m>0, n<0 D.m<0, n<0 答案 B

12.(湖北省荆门市 2008 届上期末)如图, 在△ABC 中,BD ? ( )

??? ?

? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 ???? ??? DC , AE ? 3ED, 若 AB ? a, AC ? b, 则BE = 2

1? 1? A. a ? b 3 3

B. ?

1? 1? a? b 2 4

25

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

C.

1? 1? a? b 2 4

D. ? a ? b

1? 1? 3 3

二、填空题 13.(江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研) O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三
??? ???? ? ??? ???? ??? ? ? 若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状是

.答案

等腰三角形

m 14. 江苏省滨海县 2008 高三第三次联考数学试卷) ( 不共线的向量 m1 , 2 的模都为 2, a ? 3m1 ? 2m2 , 若 ? ? ? ? ? b ? 2m1 ? 3m2 ,则两向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为
答案 90°

?

? 15.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)已知向量 a ? (cos15? ,sin15? ) , ? ? ? b ? (? sin15? , ? cos15? ) ,则 ? a ? b ? 的值为

.答案 1

16.(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知 OA = a, OB = b ,且 | a |= | b |= 2 ,∠AOB=60°,则

uur

uur u

| a + b | =____; a + b 与 b 的夹角为_____.答案 2 3,

π 6

17.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5, AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的 则 值等于 三、解答题 .答案 -25

?? ? ?? ? 19.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)已知 m ? R , a ? (?1, x 2 ? m) , b ? (m ? 1, 1 ) , x ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? x .(Ⅰ)当 (Ⅱ)求使不等式 a ? b ? 0 m ? ?1 时,求使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围; c ? (?m, ) x?m 成立的 x 的取值范围. ?? ? ?? 解 (Ⅰ)当 m ? ?1 时, a ? (?1, x 2 ? 1) , c ? (1, x ) . x ?1
26

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

?? ?? ? ?? ?? ? x( x ? 1) ? x2 ? x ? 1 . ∵ a ? c ? x 2 ? x ? 1 ? 1 , a ? c ? ?1 ? x ?1 2 ? ∴ ? x ? x ? 1 ? ?1, 解得 ?2 ? x ? ?1 或 0 ? x ? 1 . ? 2 ? x ? x ? 1 ? 1. ? ?? ?? ? ∴ 当 m ? ?1 时,使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围是 ? x ?2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1? .
2

2 2 ?? ?? ? ? (Ⅱ)∵ a ? b ? ?(m ? 1) ? x ? m ? x ? (m ? 1) x ? m ? ( x ? 1)( x ? m) ? 0 , x x x ∴ 当 m<0 时, x ? (m, 0) ? (1, ? ?) ; 当 m=0 时, x ? (1, ? ?) ;

当 0 ? m ? 1 时,

x ? (0, m ) ? (1, ? ?) ;

当 m=1 时, x ? (0, 1 ) ? (1, ? ?) ;

当 m>1 时, x ? (0, 1 ) ? ( m, ? ?) .

2009 名校模拟题及其答案
一、选择题 1.(山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x, ?3), a // b, 则x 等 于( )A.9 B.1 C.-1 D.-9 答案 B

?

?

? ?

2.(2009 昆明市期末)在△ABC 中, AR ? 2 RB, CP ? 2 PR, 若 AP ? m AB ? n AC, 则m ? n ? ( )A. 3 C.

2

B

7 9

8 9

D.1 答案 B )

3.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知向量 a ? (m,2), b ? (2,4m), 若a与b 反向,则 m=( A.-1 B.-2 C.0 D.1 答案 A

4.(2009 上海闸北区)已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ? , | a |? 2 ,且 (2a ? b) ? a ,则 | b |? ( A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 答案 C

)

5.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)已知 a 、b 是不共线的 AB ? ? a ? b AC ? a ? ? b (? , ? ? R) , 则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是: () A. ? ? ? ? 1 B. ? ? ? ? 1 C. ?? ? ?1 D. ?? ? 1 答案 D

?

??? ?

? ? ????

?

?

6.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)已知向量

OA ? (0,2), OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ), 则OA与OC 夹角的取值范围是
( A. [0, )

?
4

]

B. [

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

答案 C

二、填空题 7. (山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知 2a ? b ? ( ?1 ,

3 ) , c ? (1 ,

3 ) ,且

a ? c ? 3 , | b |? 4 ,则 b 与 c 的夹角为
??? ? ????

.答案
??? ? ????

60?
60?
27

8.(2009 云南师大附中)设向量 AB ? 2, AC ? 3, AB ? AC ? 19, 则?CAB ? _________答案

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

? ? ? ? ? ? ? ? 9.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)若向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ? a ?b ? ____.答案

?

?

10. (2009 上海九校联考) 若向量 a, b 满足 a ?

? ?

?

? ? ? ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a , 则向量 a与b 的夹角等于

1 2 ? 4

11.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ① 非零向量 a 、 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 30°; ② a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x-1|的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为 y=|x|; ④若( AB ? AC )( AB ? AC )=0,则△ABC 为等腰三角形 · 以上命题正确的是 。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)答案 ①③④

12.(2009 扬州大学附中 3 月月考)在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若 直角三角形 ABC 中, AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,则实数 m=

??

??? ? ? ?

????

?

?

.答案

-2 或 0

13.(2009 丹阳高级中学一模)已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? PC ? 2PA ? PB ,则 PC 的最小值是
三、解答题

答案 2

14.(山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣 45 分钟练习三)已知向量 m=( 3 sin

cos 2

x 2? )。 (1)若 m?n=1,求 cos( ? x) 的值;(2)记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 4 3 x x x cos ? cos 2 4 4 4
3 x 1 x 1 x ? 1 sin ? cos ? = sin( ? ) ? 2 2 2 2 2 2 6 2
=

x x ,1) n=( cos , , 4 4

别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。 解 (I)m?n= 3 sin =

∵m?n=1 ∴ sin( ?

? x ? cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) 3 2 6 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 3 3 2
x ? 1 )? 2 6 2

1 2

(II)∵(2a-c)cosB=bcosC

由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C

∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A ? B ? C ? ? ∴

1 ? 2? sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 ∴ cos B ? , B ? ∴ 0 ? A ? 2 3 3 ? A ? ? 1 A ? x ? 1 A ? 1 ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 又∵f(x)=m?n= sin( ? ) ? ,∴f(A)= sin( ? ) ? 6 2 6 2 2 2 6 2 6 2 2 6 2

28

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

故函数 f(A)的取值范围是(1,

3 ) 2

平移后得到函数 y ? f (x) 的图像,求实数 m,n 的值。 解 (1) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ?
2

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin[2 x ? ? sin(2 x ?
又 x ? [?

?
6

] 3 2

?
6

)??

? ?

? ? 5? ? ? ? , ] ? 2 x ? ? [? , ] ? 2 x ? ? ? ? x ? ? 2 3 6 2 6 6 3 4

(2)? y ? 2 sin 2 x按c ? (m, n) 平移后为 y ? 2 sin(2 x ? 2m) ? n 而 y ? f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ?1

?m ? ?

?
12

,n ?1 ? 3 ? 2

17.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). (1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?
2

? ?

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

解(1)? a || b

? ?

,∴

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2
(5 分)

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 2 cos x ? sin 2 x ? ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan 2 x 13 ? ? 1 (2)? a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2
2

29

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

? ? ? 2 ? f ( x ) ? ( a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

? 2 3? ? ? ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 2 4 4 4
∴函数 f ( x )的值域为??

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

? ?

2 1? , ? 2 2?

(10 分)

18.(青岛市 2009 年统一质量检测)已知向量 a ? (sin ? , cos? ), b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) , 设 函数 f (? ) ? a ? b .(Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值;(Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为

?

?

? ?

a 、 b 、 c , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值. ? ? 解 (Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )
? 6sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2

? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 ? f (? ) 4

?

max

?4 2?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 2 4
3? ? ? ? , 2A ? ? , A ? 4 4 4 4

?
2

,所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ? bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 2 4
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2

? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ?
19.( 黄 山 2009

2 ? 10 ? a ? 10 2
的 面 积 S 满 足

届 一 次 质 量 检 测 ) 已 知 △ ABC

3? S

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 且AB , B C ? 6 的夹角为?C ( 1 ) 求 ? 的 取 值 范 围 ;( 2 ) 求 函 数 3 ? 与 A ,B B

f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? 3cos 2 ? 的最大值 ??? ??? ??? ???? ? ? ? ? 解 (1)由题意知 AB ? BC ?| AB | ? | BC |cos ? ? 6 . ? ? ? ? 1 ???? ??? 1 ??? ??? 1 6 S ? | AB | | BC | sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | sin ? ? ? ? 3 tan ? ; 2 2 2 cos ?

? 3 ? S ? 3 3,即3 ? 3tan? ? 3 3 , ?1 ? tan ? ? 3, 又?? ?[0, ? ]?? ?[ ? ] 4 3 2 2 2 (2) f (? ) ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos ? ? 1 ? sin 2? ?2cos ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2?

? ?

30

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

? ? ? ? 3? 11? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) ?? ? [ , ],? 2? ? ?[ ? ] 4 4 3 4 4 12 ? 3? ? ?当2? ? ? ,即? ? 时,f (? )最大,其最大值为3 . 4 4 4
20.(2009 广东江门模拟)如图 4,已知点 A(1 , 1) 和 单位圆上半部分上的动点 B .⑴若 OA ? OB ,求向量 OB ; ⑵求 | OA ? OB | 的最大值. 解 依题意, B(cos? , sin? ) , 0 ? ? ? ?

y
B
图 O 4

A

x
3? ,所以 4

(不含 1 个或 2 个端点也对) OA ? (1 , 1) , OB ? (cos? , sin ? )

(写出 1 个即可)因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 4 分,即 cos? ? sin? ? 0 解得 ? ?

OB ? (?

2 2 , ). 2 2 2 2 ⑵ OA ? OB ? (1 ? cos? , 1 ? sin ? ) , | OA ? OB |? (1 ? cos θ) ? (1 ? sin ? )
? 3 ? 2(sin ? ? cos? ) ------11 分
当? ?

? 3 ? 2 2 s i n?( ?

?
4

) ------12 分

?
4

时, | OA ? OB | 取得最大值, | OA ? OB | max ?

3 ? 2 2 ? 2 ?1

.

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36,

? c 2 ? 36 ,?c ? 6.
??? ??? ? ? 2? ,∠BAC=θ ,记 f (? ) ? AB?BC 。 3
31

22.(山东临沂 2009 年模拟)如图,已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC=

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

(1) 求 f (? ) 关于θ 的表达式;求 f (? ) 的值域。

| BC | 1 | AB | ? ? sin ? sin 2? sin( 2? ? ? ) 3 3 2? sin( ? ? ) sin ? 2 3 2 3 ? 3 ?| BC |? ? sin ? ,| AB |? ? sin( ? ? ) 2? 2? 3 3 3 sin sin 3 3 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? f (? ) ? AB?BC ?| AB |? BC | cos ? sin ? ? | sin( ? ? )? 3 3 3 2
解: (1)由正弦定理,得

?

2 3 1 3 1 1 1 ? 1 ? ( cos ? ? sin ? ) sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? ) ? .(0 ? ? ? ) 3 2 2 6 6 6 3 6 6 3

(2)由 0 ? ? ?

?
3

,得

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? , 6

1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? sin(2? ? ) ? 1, ∴ 0 ? sin(2? ? ) ? ? ,即 f (? ) 的值域为 (0 , ] 2 6 3 6 6 6 6 .

(I)解;

f ? x? ? 2 3 s ix n

cx ? os

2 2 x ? s? co

1

cos x? 1 2 x3?s i? n 2 2 ? 2

1

?? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
?T ? ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z
32

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

得到的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

k ?Z

? ? a ? b, 则 sin x ? 3 cos x, cos x ? 0 ? tan x ? 3 cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1? 3 1 ? ? ? ?? 2 f ? x ? ? 1 2 3 sin x cos x ? 2cos x 2 3 tan x ? 2 2 3 ? 3 ? 2 4 ??? ? ???? ??? ? ??? ? C 25. (安徽省江南十校 2009 年高三高考冲刺) ?ABC 中,AB ? 1, AC ? 2, BC ? [ 3, 5] , A 与 在 记 B A
(II) 的夹角为 ? .(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2sin 2 (

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的最大值和最小值.

12 ? 22 ? a 2 5 ? a 2 解 (1)由余弦定理知: cos ? ? ,又 a ? [ 3, 5] , ? 2 ?1? 2 4
所以 0 ? cos ? ?

1 ? ? ,又 ? ? 0,?) ? ? [ , ] 即为 ? 的取值范围; ( ? 2 3 2
2

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin (

?

? ? ) ? 3 cos 2? ? 2sin(2? ? ) ? 1 ,因为 4 3 3
2 3

?

3 ? ? ? ? 2? ? 2sin(2? ? ) ? 1 ,因此 f (? )max ? 3 , f (? )min ? 3 ? 1 . ,所以 ? ? [ , ] ? ? 2? ?

3 2

3

【一年原创】

2008 和 2009 原创试题及其解析

一、选择题
1.若向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,则有 (A) c ? a

?

?

?

?

?

? ?

A

?

?

(B) c ? b

(C) c // b

(D) c // a

2.已知向量 a =(1,2)和 b =(x,1),若向量 a +2 b 与 2 a - b 平行,则实数 x 等于 (A ) A.

1 2

B.1

C.

1 3

D.2

3.在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是( C) A、 AB ? CD , BC ? AD

??? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ???? ??? ? B、 AD ? OD ? DA ???? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? C、 AO ? OD ? AC ? CD D、 AB ? BC ? CD ? DA ??? ???? ? 1 4.设 P 是双曲线 y ? 上一点,点 P 关于直线 y ? x 的对称点为 Q ,点 O 为坐标原点,则 OP ? OQ ? x (B ).A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5.已知平面内不共线的四点 0,A,B,C 满足

??? ??? ? ? ??? 1 ???? 2 ??? ? ? OB ? OA ? OC ,则 | AB |:| BC |? (D ) 3 3
A.1 : 3 D. 2:1 B.3 : 1 C. 1 : 2

y
B A

??? ??? ? ? 6. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 两个非零向量 OA, OB 与
O

x
33

C

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

x 轴正半轴的夹角分别为
围是( B ) A、 ? 0,

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? 2? 和 ,向量 OC 满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OC 与 x 轴正半轴夹角取值范 3 6
D、 ?

? ?? ? ? 3?

B、 ?

? ? 5? ? ? ? 2? ? , ? C、 ? , ? ?3 6 ? ?2 3 ?

? 2? 5? ? , ? ? 3 6 ?

7.已知 OA ? (3,1) , OB ? ( 2,4) , | BC |? 1 ,点 C 在直线 OA 上的射影为点 D ,则 | OD | 的最大值为 ( C ) A. 10 ? 10

B. 10 ? 10

C. 10 ? 1

D. 10 ? 1

8.若 OA =a, OB =b,则∠AOB 平分线上的向量 OM 为( B ) A.

a b ? |a| |b|

B. ? (

a b ), ? 由 OM 确定 ? |a| |b|

C.

a?b |a?b|

D.

| b | a? | a | b |a|?|b|

二、填空题
1.已知在平面直角坐标系中, A(?2,0), B(1,3) , OM ? ? OA ? ? OB (其中 O 为原点,实数 ? , ? 满足 ,若 ,则 ? ? ? ? 1 ) N(1,0) | MN | 的最小值是____
2 2

3 2 ____. 2

2 . 已 知 直 线 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 2 交 于 不 同 的 两 点 A 、 B , O 是 坐 标 原 点 ,

| OA ? OB |?| AB, 那么实数m | 的取值范围是

。 (?2,? 2 ] ? [ 2 ,2)

3.设 a 与 b 是两个不共线的向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? 的值等于

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? a ?b 2 ? 2 的最大值是 4. 已知向量a ? ( x,1), b ? (2, 3 x), 则 ? 2 4 |a| ?|b| ??? ? ??? ? ???? 2 2 5.设点 P 是 ?ABC 内一点(不包括边界) ,且 AP ? mAB ? nAC (m, n ? R) ,则 m ? n ? 2m ? 2n ? 3 的
取值范围是
?

1 2

(

3 ,3) 2
?

.
? ? ? ?

6.已知向量 a ? ( 2,3) , b ? (?1,2) ,若 m a ? n b 与 a ? 2 b 共线,则

i 7. 在平面直角坐标系中, , j 分别是与 x, y 轴正方向同向的单位向量, 平面内三点 A、 C 满足 AB ? i ? j , B、

??

n = m

?2

.

??? ? ? ?

???? ? ? AC ? 2i ? m j 。 若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数 m 的值为 ?2 或 10



8. i , j 是平面直角坐标系内 x 轴、 轴正方向上的单位向量, AB ? 4i ? 2 j , AC ? 3i ? 4 j , ?ABC 设 且 则 y 面积的值等于

? ?

??? ?

?

? ? ???

?

?



5 11



学科网

34

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

三、计算题
1. 已知向量 a ? (2 cos x, cos 2 x), b ? (sin x,1) ,令f ( x ) ? a ? b .(Ⅰ) 求 f ( f (x)的单调递增区间. 【解】(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? 2 cos x sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ,? f ( ) ? sin (Ⅱ) f ( x) ? 即?

? ? ? )的值; (Ⅱ)求 x ? [? , ] 时, 2 2 4
? 4 ? ? ? cos ? 1 2 2

2 sin(2 x ?

?
4

),

当?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ( k ? Z )时,f(x)单增,

3? ? ? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) ∵ x ? [? , ] , 8 8 2 2 ? ? 3? ? ∴ f (x) 在 [? , ] 上的单调递增区间为 [? , ]. 2 2 8 8 ? ? ? ? 2.已知向量 a ? (cos ? ,1 ? sin ? ), b ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , (1)若 a ? b ? 3, 求 sin 2? 的值; (2)设 ? ? ? ? c ? (? cos ? , ?2) ,求 a ? c ? b 的取值范围.

?

?

= sin 2 x ? 1 ? cos2 x ?
2

1 3 ? 4 2

(Ⅱ)? f ( x) ? a ? b ? a ? sin x cos x ?

1 ? sin 2 x ? 1 2

2 ? 1 1 ? cos 2 x 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 所以 函数f ( x)的周期是? ? sin 2 x ? ? 2 4 2 2 2
2 4.已知向量 a ? ( 2 cos x, 3 ) , b ? (1, sin 2 x ) ,函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? b . (Ⅰ)求函数 g (x) ?? ?? ?? ??

?? 2

的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 , 且 a ? b ,求 a, b 的值.
35

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

解: (Ⅰ) g ( x) ? b

?? 2

? 1 ? sin 2 2 x ? 1 ?

1 ? cos 4 x 1 3 ? ? cos 4 x ? 2 2 2

∴函数 g (x) 的最小周期 T ?
?? ??

2? ? ? 4 2

2 2 (Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? ( 2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x ) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? f (C ) ? 2 sin(2C ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ? 3 ? s i n2( ? C

? C 是三角形内角
∴ cos C ?

) ?1 6 ? ? 13? ? ? ? ∴ 2C ? ? ( , 即: C ? ) , ∴ 2C ? ? 6 6 6 6 2 6
即: a ?b ? 7
2 2

?

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

2 将 ab ? 2 3 可 得 : a ?

12 ? 7 解之得: a2

a 2 ? 3或4 ∴ a ? 3或2

? b ? 2或 3

?a ?b

∴a ? 2

b? 3

【考点预测】

2010 高考预测

预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题,通常为选择题或填空题出现;而用向量与三角函数、 解三角形等综合的问题,通常为解答题,难度以中档题为主。 复习建议 1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用,紧紧围绕数形结合思想,扬长避短,解决问题; 2、 平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点, 一般服出现在解答题的前三大题里, 在复习中, 应加强这种类型试题的训练。

【母题特供】每个专题 5 道最典型试题
母题一: 金题引路:
??? ? ??? ? ???? 已知: 向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? 5 ? m, ?3 ? m ?(1) 若点 A、B、C 能构成三角形, 求出实数 m 应

满足的条件; (2)若 ? ABC 为直角三角形,且 ?A 为直角,求实数 m 的值。 解: (1)要使点 A、B、C 能构成三角形,只要 A、B、C 三点不共线。 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 由 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , OC ? ? 5 ? m, ?3 ? m ? 有: AB ? ? 3,1? , AC ? ? 2 ? m,1 ? m ? 所以只要

2 ? m 1? m 1 即m? ? 3 1 2
??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC 即 AB ? AC ? 0

(2)因为 ? ABC 为直角三角形,且 ?A 为直角?

?

3? 2 ? m ? ? ?1 ? m ? ? 0

得 m?

7 符合题意。 4

母题二: 金题引路:

36

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

已知向量 m ? (sin ? , 2cos ? ), n ? ( 3, ? ). (Ⅰ)当 ? ? [0, ? ] 时,求函数 f (? ) ? m ? n 的值域; (Ⅱ) 若 m // n, 求 sin 2? 的值. 解: (Ⅰ)由 f (? ) ? m ? n得, f (? ) ? ∵ ? ? [0, ? ],? ? (Ⅱ)∵ m // n, ∴ ? ∴ sin 2? ?

??

?

1 2

3 sin? ? cos? ? 2 sin(? ? ) 6

?

?
6

? [?

? 5?

, ] ∴ f (? ) 的值域为[-1,2] 6 6

1 sin? ? 2 3 cos? , ∴ tan? ? ?4 3 2

2 sin? cos? 2 tan? 8 3 ? ?? 2 2 2 49 sin ? ? cos ? tan ? ? 1
? ? ?
?

母题三: 金题引路: 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2 cos x,1) , b ? (cos x, 3 sin 2 x) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合. ? → → 解: (Ⅰ)f(x)=OP?OQ= (2cosx+1,cos2x?sinx+1)?(cosx,?1)=2cos2x+cosx?cos2x+sinx?1 =cosx+sinx = 2sin(x+ ) 4 3? 5? 5? ? ? ? ? 令 2k?+ ?x+ ?2k?+ ,k?Z 解得: 2k?+ ?x?2k?+ 所以, 函数 f(x)的单调递减区间[2k?+ ,2k?+ ],k?Z 2 4 2 4 4 4 4 ? ? ? (Ⅱ)函数 f(x)的最大值是 2,此时 x+ =2k?+ ,即 x=2k?+ 4 2 4 ? ∴函数 f(x)取得最大值 2时,x 的取值集合为{x|x=2k?+ ,k?Z} 4 母题五、金题引路: 如图 4,已知点 A(1 , 1) 和单位圆上半部分上的动点 B . ⑴若 OA ? OB ,求向量 OB ;

y B
O

A

37

x

3 年高考 2 年模拟 1 年原创 平面向量

⑵求 | OA ? OB | 的最大值.

38


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