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莆田一中文科数学模拟试卷

春风得意马蹄疾,一日看尽长安花

2014 届莆田一中模拟考试试卷 2014.5.24
高三 数学(文科) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ? ( A. ??2, ?1? B. ??2? C. ??1, 0,1? ) D. ?0,1? )

2.已知复数 z ? (a 2 ? 1) ? (a ? 2)i (a ? R) 是纯虚数,则 a ? ( A. 1 B. ?1 C. ?1或 1 D. 2

3.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则γ ∥β B.若 m∥n,m ? α ,n ? β ,则α ∥β C.若 m ∥n,m∥a,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥a,n⊥β ,则α ∥β 4. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的值是( ) A.126 B.105 .91 D.66

5.以曲线 y ? 1 x 2 的焦点为圆心,和直线 y ? x ? 1 相切的圆的方程为( 4
2 2 A. x ? ( y ? 1) ? 2

)

(第 4 题)

B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 D. x 2 ? ( y ?

C. ( x ?

1 2 225 ) ? y2 ? 16 128

1 2 225 ) ? 16 128

2 2
正视图

2
侧视图

6. 已知一个几何体的三视图如图所示,根据图中尺寸 可得该几何体的表面积为( A. 12 ? 4 2 B. 16 ) C. 14 ? 2 2 D. 20

俯视图
(第 6 题)

7.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) .当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2x ? x ? a (a 是常数).则 x ? [2, 4] 时的解析式为(
2



A. f ( x) ? ? x ? 6 x ? 8
2

B. f ( x) ? x ? 10 x ? 24
2

C. f ( x) ? x ? 6 x ? 8
2

D. f ( x) ? x ? 6 x ? 8 ? a
2

8.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则

k=(

).
文科数学试题 第 1 页 共 1 页

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A.8

B.7

C.6

D.5

9. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A a 2 b2 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所
在的区间可能是 A. (0, ( B. ( )

?
4

)

? ? , ) 3 2

C. (

? ? , ) 4 3

D. (

? ? , ) 6 4

10.在边长为2的等边 ?ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点,则 EB ? ED 的取值范围是( A. [ ) B. [

23 , 3] 16

23 , 2] 16

C. [ , 3]

3 2

D. [2,9]

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 11.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 内,点 Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1上,那么|PQ| ?x ? y ? 2 ? 0 ?
的最小值为( A. ) B . 5 ?1
3 2

3 5 5

C. 2
4

D.
2

3 2

12 . 下 列 四 个 函 数 ① f ( x ) ? x ? x ; ② f ( x ) ? x ? x ; ③ f ( x ) ? sin x ? x ; ④

f ( x ) ? cos 2 x ? sinx 中 , 仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函
数为( ) B.② ③ ④ C.① ② ④ D.① ③ ④

A.① ② ③

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) π θ- ?的值为________. 13.若?θ∈R,使 sin θ≥1 成立,则 cos? ? 6? 14.若双曲线 x ? ky ? 1 的离心率为 2,则实数 k 的值为
2 2



15.如图,CDEF 是以圆 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在扇 形 OCFH 内” (点 H 将劣弧 EF 二等分) ,则事件 A 发生的 概率 P( A)= 。
(第 15 题)

16.如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a , b , c 都在函数 f ( x) 的定义域内,就有
文科数学试题 第 2 页 共 2 页

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f (a) , f (b) , f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 f ( x) 为“Л 型函数”.则下列函数:

① f ( x) ? x ; ② g ( x) ? sin x x ? (0 , π) ; ③ h( x) ? ln x x ? [2, ? ?) , 是“Л 型函数”的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某校为了解高一期末数学考试的情况,从 高一的所有学生数学试卷中随机抽取 n 份 试卷进行成绩分析,得到数学成绩频率分 布直方图(如图所示) ,其中成绩在 频率/组距 0.030 0.024 0.018 0.016 0.012 60 70 80 90 100 分

[50,60) 的学生人数为 6.
(Ⅰ)估计所抽取的数学成绩的众数; (Ⅱ)用分层抽样的方法在成绩为

[80,90) 和 [90,100] 这两组中共抽取 5 个

50

学生,并从这 5 个学生中任取 2 人进行点评,求分数在 [90,100] 恰有 1 人的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ? R). (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)若 f ?

3 3 ?? ? ? ? 2 sin A ,其中 A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 , ? 24 ?

求边 AC 和 BC 的长.

19.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点, (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD ; 1 (Ⅱ)设 AA 1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A 1DE 的体积。

(第 19 题)

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 ?an ? 的各项均是正数,其前 n 项和为 S n ,满足
文科数学试题 第 3 页 共 3 页

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( p ? 1)Sn ? p2 ? an ,其中 p 为正常数,且 p ? 1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
(Ⅱ)设 bn ?

3 1 (n ? N? ) ,数列 ?bn bn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 ? log p an 4

21.(本小题满分 12 分) 2 2 2 已知 P 是圆 M:x +y +4x+4-4m =0(m>0 且 m≠2)上任意一点,点 N 的坐标为(2, 0),线段 NP 的垂直平分线交直线 MP 于点 Q,当点 P 在圆 M 上运动时,点 Q 的轨迹 为 C。 (1)求出轨迹 C 的方程,并讨论曲线 C 的形状; (2)当 m= 5时,在 x 轴上是否存在一定点 E,使得对曲线 C 的任意一条过 E 的弦

AB,

1 EA
2

?

1 EB
2

为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由。

22 . (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? e)(ln x ? 1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m 是 f ( x) 的一个极值点,且点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 满足条件:

ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 2 .
(ⅰ)求 m 的值; (ⅱ)求证:点 A , B , P(m, f (m)) 是三个不同的点,且构成直角三角形.

文科数学试题

第 4 页 共 4 页

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2014 届莆田一中模拟考试参考答案
一、选择题 1-6 ACDBAA 7-12 CDBABD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 45 分,满分 16 分) 1 13、 2 14、

?1 3

15、

3 8

16、①③;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 解 : (Ⅰ)由频率分布直方图可知:样本的众数为 75. ???????????3 分

(Ⅱ)由频率分布直方图可得:第三组 [50,60) 的频率: 0.012 ?10 ? 0.12 , 所

n?6



以 ?分 0 ????????????????????????4

]频数: 的 ? 第 四 组 [80,90) 的 频 数 : 0.024 ?10 ? 50 ? 12 ; 第 五 组 [ 9 0 , 1 0 0
0.016 ? 10 ? 50 ? 8 ;用分层抽样的方法抽取 5 份得: 12 8 ? 5 ? 3 ;第五组 [90,100] 抽取: ? 5 ? 2 . 第四组 [80,90] 抽取: 20 20

?7 分

记抽到第四组 [80,90) 的三位同学为 A1 , A2 , A3 ,抽到第五组 [90,100] 的两位同学为

B1 , B2 则 从

5

个 同 学 中 任 取

2

人 的 基 本 事 件 有 :

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ),( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( B1, B2 ) ,共 10 种.
其中分数在 [90,100] 恰有 1 人有:

( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ) ,共 6 种.? 所求概率:
P? 6 3 ? . 10 5
?????????????????????12 分

18. (本小题满分 12 分) (1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x

? sin 2 x ? cos 2 x
? 2 ? 2 ? 2? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? ?

?? 2 分

文科数学试题

第 5 页 共 5 页

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?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2)因为 f ( ∵ A 是面积为

?? 4 分

2? ? ? , 最大值为 2 . 2

?? 6 分 ∴ sin A ? sin

?
24

) ? 2 sin A 即 f (

?
24

) ? 2 sin

?
3

? 2 sin A

?
3

3 3 ? 的锐角 ?ABC 的内角,∴ A ? ?????8 分 2 3 1 3 3 ? AC ? 3 ???????10 分 ? S ? ? AB ? AC ? sin A ? 2 2
由余弦定理得: BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7 ∴ BC ? 7 ??????????12 分

AB 中 19.(本小题满分 12 分)(Ⅰ)连结 AC1 交 AC 1 于点 F ,则 F 为 AC1 中点,又 D 是
点,连结 DF ,则 BC1 DF ,因为 DF ? 平面 AC1D ,所以 BC1 平面 AC1D ; (Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1 ? CD ,由已知 AC ? CB , D 是 AB 的中点, 所以 CD ? AB ,又 AA1

AB ? A ,于是 CD ? 平面 ABB1 A1 ,
?

由 AA 1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,得 ?ACB ? 90 , CD ? 2 , A 1D ? 6 ,

DE ? 3 , A1E ? 3 ,故 A1D2 ? DE 2 ? A1E 2 ,所以 DE ? A1D ,故
1 1 VC ? A1DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1 . 3 2
20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设知 ( p ? 1)a1 ? p 2 ? a1 ,解得 a1 ? p .
2 ? ?( p ? 1)Sn ? p ? an , 由? 2 ? ?( p ? 1)Sn ?1 ? p ? an ?1 ,

……………………………2 分

两式作差得 ( p ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? an ? an ?1.

1 ………………………………4 分 an , p 1 可见,数列 ?an ? 是首项为 p ,公比为 的等比数列。 p
所以 ( p ? 1)an?1 ? an ? an ?1 ,即 an?1 ?

1 1 an ? p( )n?1 ? ( )n?2 . p p
文科数学试题

……………………………………………………6 分
第 6 页 共 6 页

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1 1 1 ? ? 2 ? log p p 2? n 2 ? (2 ? n) n

(Ⅱ) bn ?
bn bb ? 2 ?

……………………………………8 分

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

…………………………………………10 分

Tn ? b1b3 ? b2b4 ? b3b5 ?

bnbn ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 1 3 2 4 3 5 4 6
1 1 1 1 ? ( 1? ? ? ) ? 2 2 n? 1 n? 2 21.(本小题满分 12 分)
(1)m>2, C :

1 1 ?( ? )] n n?2

3 . 4

……………………………………………12 分

x2 y2 ? ? 1 ,以 N,P 为焦点的椭圆???2′ m2 m2 ? 4 x2 y2 ? 1 ,以 N,P 为焦点的双曲线???4′ M<2, C : 2 ? m 4 ? m2 x2 ? y2 ? 1 , (2)由(1)曲线 C 为 5 设 E ? x0 , 0? ,分别过 E 取两垂直于坐标轴的两条弦 CD, C ?D ? ,
2 1 1 ? ? 2 2 x EC ED EC ? ED? 5 ? x0 1 ? 5 ? x0 1? 0 5 ? 30 ? 30 解得 x0 ? ? ,∴E 若存在必为 ? ? ,0 ? ? ? 定值为 6. ???6′ 3 3 ? ? ? 30 ? 下证 ? ? ? 3 ,0 ? ? 满足题意。 ? ? ? 30 ? 30 设过点 E ? ? 3 ,0 ? ? 的直线方程为 x ? ty ? 3 ,代入 C 中得: ? ?



1

2

?

1

2

?

1

2

?

1

2

,即

2

2 30 5 ty ? ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , 3 3 5 20 30t 则 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? ???8′ 2 2 3 ? t ? 5? 3 ? t ? 5?

?t

2

? 5 y2 ?

?

1 EA
2

?

1 EB
2

?

?1 ? t ? y
2

1

2

?

1

?1 ? t ? y
2

1

2

?

2

? 1 1 ? ? 2? 2? y y ?1 ? t ? ? 1 2 ? 1
2

?

?1 ? t ?
2

1

y12 ? y2 2 1 ? y1 ? y2 ? ? 2 y1 y2 ? 2 2 2 y1 y2 ?1 ? t 2 ? ? y1 y2 ?
2
2

? 2 30t ? 5 ? ? ?2 2 2 ? ? 3 ? t ? 5? 1 ? 3 ? t ? 5? ? ? ? ? 6 .???13′ 2 2 1? t ? ? 5 ? ? 2 3 t ? 5 ? ? ? ? ? ?

文科数学试题

第 7 页 共 7 页

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30 ? 也满足题意。 ,0 ? ? 3 ? ? ? 1 1 30 ? ? ? 6. 综上得定点为 E ? ,定值为 2 2 ? ? 3 ,0 ? ? EA EB ? ?

同理可得 E ? ??

?

22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? ln x ?

e , x

?????????2 分

f ?(1) ? ?e ,又 f (1) ? e ? 1 ,
????????????????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? (e ? 1) ? ?e( x ? 1) , 即 ex ? y ? 2e ? 1 ? 0 . (Ⅱ) (ⅰ)对于 f ?( x ) ? ln x ? 当 0 ? x ? e 时, ln x ? 1 , ? ??????????5 分

e ,定义域为 (0, + x

).

e e ? ?1 ,∴ f ?( x) ? ln x ? ? 0 ; x x e 当 x ? e 时, f ?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ;当 x ? e 时, ln x ? 1 , ? ? ?1 ,∴ x e f ?( x) ? ln x ? ? 0 , ??????8 分 所以 f ( x) 存在唯一的极值点 e , x
∴ m ? e ,则点 P (e, 0) . ???????9 分

(ⅱ)若 x1 ? e ,则 ln x1 x2 ? ln x2 ? 1 , ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ln x2 ? 2 , 与条件 ln x1 ? x2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 不符,从而得 x1 ? e .同理可得

x2 ? e

??????????????????10 分

若 x1 ? x2 ,由 ln x1 ?x2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 解,从而 x1 ? x2 .

? (ln x1 )2 ? 2ln x1 ? 2 ? 0 ,此方程无实数

??????????????????11 分

由上可得点 A , B , P 两两不重合.又 PA ? PB ? ( x1 ? e, f ( x1 )) ? ( x2 ? e, f ( x2 ))

? ( x1 ? e)( x2 ? e) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ?1)(ln x2 ?1) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ln x2 ? ln x1x2 ? 2)
?0 从而 PA ? PB ,点 A , B , P 可构成直角三角形.
文科数学试题 第 8 页 共 8 页

???????14 分


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