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[高中数学必修一]2.2.2 《对数函数及其性质》测试


2.2.2

对数函数及其性质

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 案的代号填在题后的括号内. 案的代号填在题后的括号内. 1.对数式 log a ? 2 (5 ? a ) = b 中,实数 a 的取值范围是 A. (?∞,5) B.(2,5) C. ( 2,+∞) ( )

D. ( 2,3) U (3,5) ( ) D.x=a+b3-c3

2.如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 A.x=a+3b-c B. x =

3ab 5c

C. x =

ab 3 c5

3.设函数 y=lg(x2 -5x)的定义域为 M,函数 y=lg(x -5)+lgx 的定义域为 N,则 ( ) A.M∪N=R B.M=N C.M ? N D.M ? N ( )

4.若函数 log2(kx2+4kx+3)的定义域为 R,则 k 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

B. ?0, ?

? 3? ? 4?

C. ?0, ? 4 (

? 3? ? ?

D. ( ?∞,0] U ? ,+∞ ? )

?3 ?4

? ?

5.下列函数图象正确的是

A

B

C

D ( )

6.已知函数 g ( x ) = f ( x ) ? A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数

1 ,其中 log2f(x)=2x,x ∈ R,则 g(x) f ( x)
B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数

7. 北京市为成功举办 2008 年奥运会, 决定从 2003 年到 2007 年五年间更新市内现有的 全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新现有总车辆数的(参 4 5 考数据:1.1 =1.46,1.1 =1.61) ( ) A.10% B.16.4% C.16.8% D.20% ( )

8.如果 y=log2a-1x 在(0,+∞)内是减函数,则 a 的取值范围是

A.|a|>1 B.|a|<2 C.a < ? 2 D. 1 < a <

2

二、填空题:请把答案填在题中横线上. 填空题:请把答案填在题中横线上. 9.函数 y =

log 1 (2 ? x 2 ) 的定义域是
2

,值域是

.

10.方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为

.

11.将函数 y = 2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1,再将 C1 向上平移一个单位 得到图象 C2,作出 C2 关于直线 y=x 对称的图象 C3,则 C3 的解析式为 12.函数 y= log 1 ( x + 4 x ? 12) 的单调递增区间是
2 2

. .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知函数 f ( x ) = log 2

x +1 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) . x ?1

(1)求函数 f (x)的定义域;(2)求函数 f (x)的值域.

14.设函数 f ( x ) = lg( x +

x 2 + 1) .

(1)确定函数 f (x)的定义域; (2)判断函数 f (x)的奇偶性; (3)证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数; (4)求函数 f(x)的反函数.

15.现有某种细胞 100 个,其中有占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分 2
10

裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考数 据: lg 3 = 0.477, lg 2 = 0.301 ).

16.如图,A,B,C 为函数 y = log 1 x 的图象
2

上的三点,它们的横坐标分别是 t, t+2, t+4(t ≥ 1). (1)设 ? ABC 的面积为 S 求 S=f (t) ; (2)判断函数 S=f (t)的单调性; (3) 求 S=f (t)的最大值.

17.已求函数 y = log a ( x ? x )( a > 0, a ≠ 1) 的单调区间.
2

参考答案 一、DCCB 二、9. BDBD

(?

2 ? 1 U 1, 2 , [0,+∞ ) ;

] [

)

10.0;

11. y = log 2 ( x ? 1) ? 1 ;

12. (?∞,?2) ; 三、 13. 解:(1)函数的定义域为(1,p). (2)当 p>3 时,f (x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2); 当 1<p ≤ 3 时,f (x)的值域为(- ∞ ,1+log2(p+1)).
2 ? 14. 解: (1)由 ? x + x + 1 > 0 得 x∈R, 定义域为 R. (2)是奇函数.

? 2 ? x +1 ≥ 0 ?

(3)设 x1, 2∈R, x

且 x1<x2,
2 则 f ( x ) ? f ( x ) = lg x1 + x1 + 1 . 令 t = x + 1 2 2

x2 +1 ,

x2 + x2 + 1

2 则 t1 ? t 2 = ( x1 + x12 + 1) ? ( x 2 + x 2 + 1) .

2 = ( x1 ? x 2 ) + ( x12 + 1 ? x 2 + 1)

= ( x1 ? x 2 ) + ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) 2 x12 + 1 + x 2 + 1 =
2 ( x1 ? x 2 )( x12 + 1 + x 2 + 1 + x1 + x 2 2 x12 + 1 + x 2 + 1

∵x1-x2<0, x1 + 1 + x1 > 0 , x 2 + 1 + x 2 > 0 ,
2 2

2 x12 + 1 + x 2 + 1 > 0 ,

∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴ 0 <

t1 < 1, t2

∴f (x1)-f (x2)<lg1=0,即 f (x1)<f (x2),∴ 函数 f(x)在 R 上是单调增函数.
2x (4)反函数为 y = 10 ? 1 (x ∈ R). 2 ? 10 x

15.解:现有细胞 100 个,先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数, 1 小时后,细胞总数为 1 ×100 + 1 × 100 × 2 = 3 ×100 ;
2 2 2

2 小时后,细胞总数为 1 × 3 × 100 + 1 × 3 ×100 × 2 = 9 × 100 ; 2 2 2 2 4 3 小时后,细胞总数为 1 × 9 × 100 + 1 × 9 ×100 × 2 = 27 × 100 ; 2 4 2 4 8 4 小时后,细胞总数为 1 × 27 × 100 + 1 × 27 ×100 × 2 = 81 ×100 ;
2 8 2 8 16

可见,细胞总数 y 与时间 x (小时)之间的函数关系为:

? ?3? y = 100 × ? ? , x ∈ N ?2?
x

由 100 × ? 3 ? > 1010 ,得 ? 3 ? ? ? ? ?
?2?
?2?

x

x

> 108

,两边取以 10 为底的对数,得 x lg

3 > 8, 2

∴x>

8 , lg 3 ? lg 2



8 8 = ≈ 45.45 , lg 3 ? lg 2 0.477 ? 0.301

∴ x > 45.45 . 答:经过 46 小时,细胞总数超过 10 个. 16.解:(1)过 A,B,C,分别作 AA1,BB1,CC1 垂直于 x 轴,垂足为 A1,B1,C1, 则 S=S 梯形 AA1B1B+S 梯形 BB1C1C-S 梯形 AA1C1C.
10

= log 1
3

t 2 + 4t 4 = log 3 (1 + 2 ) 2 (t + 2) t + 4t

(2)因为 v= t + 4t 在 [1,+∞) 上是增函数,且 v ≥ 5,
2

9 4 ? 9? v = 1 + 在[5. + ∞ ) 上是减函数,且 1<u ≤ ; S = log 3 u在?1, ? 上是增函数, v 5 ? 5?
所以复合函数 S=f(t) = log 3 (1 +

4 )在[1,+∞ ) 上是减函数 t + 4t 9 (3)由(2)知 t=1 时,S 有最大值,最大值是 f (1) = log 3 = 2 ? log 3 5 5
2 2
2

17.解:由 x ? x >0 得 0<x<1,所以函数 y = log a ( x ? x ) 的定义域是(0,1) 因为 0< x ? x = ? ( x ? ) +
2 2

1 2

1 1 ≤ , 4 4
2

所以,当 0<a<1 时, log a ( x ? x ) ≥ log a

1 4

2 函数 y = log a ( x ? x ) 的值域为 ?log a 1 ,+∞ ? ; ? ? 4 ? ?

当 a>1 时, log a ( x ? x ) ≤ log a
2

1 4
?
a

2 函数 y = log a ( x ? x ) 的值域为 ? ? ∞, log 1 ? ?

4? ?

1 1 2 当 0<a<1 时,函数 y = log a ( x ? x ) 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? ,1? 上是增函数; ? ? ? 2? ? ?2 ? ?

1 2 ?1 ? 当 a>1 时,函数 y = log a ( x ? x ) 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ,1? 上是减函数. ? ? 2? ?

?2 ? ?


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