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2014届高考数学一轮复习讲义:第一章


一轮复习讲义

集合的概念及其基本运算

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要点梳理
1.集合与元素

忆一忆知识要点

确定性 、 互异性 、 无序性 . (1)集合元素的三个特征:
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

列举法 、描述法 、 图示法 、区间法 . (3)集合的表示法:
(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限 无限集 、 空集 . 集 、

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, 则 A B (或 B A ). ? ? A;A ? A;A?B,B?C?A ? C. n 若 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 2 个, A 的非空 子集有 2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2 个.

(2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B}; 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} . U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.

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[难点正本

疑点清源]

1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个 特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运 用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子 集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=? 和 A≠?两种可能的情况.

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3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元 素 0 的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个 元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?},{0}∩{?}=?.

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集合的基本概念
例1 (1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A, 求实数 2 013a 的值; (2)x,x2-x,x3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗? 如果能表示一个集合,说明理由;如果不能表示,则需 要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合.

(1)1∈A,则 a+2,(a+1)2,a2+3a+3 可以分别为 1,但又 要注意它们互不相同. (2)从集合元素互异性的特点分析,它们必须具备两两不等.

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(1)当 a+2=1,即 a=-1 时, (a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意.

当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时, ①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意.
当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.
综上所述,a=0.∴2 013a=1.

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(2)因为当 x=0 时,x=x2-x=x3-3x=0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合.
要使它表示一个有三个元素的集合,
?x≠x2-x, ? 2 3 则应有?x -x≠x -3x, ?x≠x3-3x. ?
∴x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x, x3-3x}能表示一个有三个元素的集合.

探究提高
(1) 加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

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集合间的基本关系
例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= ? ? 1 ? ? ?x|- <x≤2?. 2 ? ? ? ? (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说 明理由.

在确定集合 A 时,需对 x 的系数 a 进行讨论.利用数轴分 析,使问题得到解决.

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A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; ? ? 4 1? ? ? ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a? ; ? ? ? ③若 a>0,则
? ? 1 4? ? ? A=?x|-a<x≤a? . ? ? ?

(1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,
1 ?4 ?a>-2 则? ?-1≤2 ? a a>0或a<-8 ? ? ,∴? 1 , a>0或a≤- ? 2 ?

又 a<0,∴a<-8.

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当 a>0 时,若 A?B,如图,

1 ? 1 ?-a≥-2 则? ?4≤2 ?a

? ?a≥2或a<0 ,∴? ? ?a≥2或a<0

.

又∵a>0,∴a≥2.
综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

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(2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

1 ?4 ?a≤-2 则? ?-1>2 ? a

-8≤a<0 ? ? ,∴? 1 . - <a<0 ? ? 2

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2

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当 a>0 时,若 B?A,如图,

1 ? 1 ?-a≤-2 则? ?4≥2 ?a

? ?0<a≤2 ,∴? ? ?0<a≤2

.

又∵a>0,∴0<a≤2.
1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2.

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探究提高
在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不 等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问 题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类 讨论;④归纳结论.

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集合的基本运算
例 3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m +1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

本题中的集合 A,B 均是一元二次方程的解集,其中集合 B 中的一元二次方程含有不确定的参数 m,需要对这个参 数进行分类讨论,同时需要根据(?UA)∩B=?对集合 A,B 的关系进行转化.

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A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m -1)2≥0,∴B≠?.
∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}.

①若 B={-1},则 m=1;

②若 B={-2}, 则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m =(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.

经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2.故填 1 或 2. 答案 1 或 2

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探究提高
本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二 是对集合 B 中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的 包含关系存在着一些必然的联系,这些联系通过 Venn 图进行 直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=? ?B?A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解 这类难点的一种极为有效的方法.

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集合中的新定义问题
例4 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 和 如下:

那么 d

(a

c)=________.

按照给出的运算法则,遵循通用的运算法则,先算括号内 的,逐步进行计算.

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根据给出的 =d

运算规则 a

c=c,即 d c=a.

(a

c)

c,再根据给出的

运算规则,d

答案

a

探究提高
本题新定义了两种运算,看似复杂,但事实上运算结果可 以通过题目中的表格得出.借助于集合定义新运算是高考 中命制创新试题的一个良好素材.

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2 y (1)(10 湖北)设集合 A ? {( x , y ) | x ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } , 4 16 4 则 A∩B 的子集的 个数是 . 2

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2.已知P ={x|x2– mx – 6m2=0} , Q={x|mx–1=0}, {? 3 , 0, 3 } 且 Q ? P , 则由实数 a 组成的集合是__________. 3 3

解:(1) 当m=0时, Q ? ?, P ? ?0? . 此时有 Q ? P . 1 }, Q ? { (2)当m≠0 时, m
1 即 m 是方程 x2– mx – 6m2 = 0 的根, 4 2 ? ( 1 )2 ? m ? 1 ? 6m 2 ? 0, 即 6m ? m ? 1 ? 0.
3. 1 ? m ? ? ?m ? . 3 3
2

1 ? P, 由 Q? P , 得 m

m

m

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3.设A={x|x>4, x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (1)若A∩B=?,求实数a的取值范围; (2)若A∩B≠?,求实数a的取值范围;
? a ≥ ?2, ? a ≥ ?2, ?? (1) ? ? ?2 ≤ a ≤1. ?a ≤ 1 ?a ? 3 ≤ 4 所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.
-2 4

(2) a ? ?2, 或 a ? 3 ? 4, ? a ? ?2, 或 a ? 1.
所以实数a的取值范围 a ? ?2或 a ? 1.
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3.设A={x|x>4, x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (4)若 (痧 B ? R A,求实数a的取值范围. R A)
(3)∵A∩B=B,∴B?A.
-2

4

-2

4

? a ? 3 ≤ ?2或a ? 4, 即 a ≤ ?5或 a ? 4.
所以实数a的取值范围

a ≤ ?5, 或 a ? 4.

(4) (痧 B? R A)

所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.
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? a ≥ ?2, ?R A ? {?2 ≤ x ≤ 4},? ? ?a ? 3 ≤ 4

R

A, ? B ? ?R A.

x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0; 4. 已知下列三个方程 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0; x 2 ? 2ax ? 2a ? 0. 至少有一 个方程有实数根.求a的取值范围.
2

证明: 假设三个方程均无实数根,则有
?? 3 ? a ? ? 1 , ?(4a ) ? 4( ?4a ? 3) ? 0, ? 2 2 ? ? 2 2 1 ,? ? a ? ? 1, 或 a ? ( a ? 1) ? 4 a ? 0, ? ? 3 2 ? ? ?2 ? a ? 0. ?(2a ) ? 4( ?2a ) ? 0. ? ?
2

? 3 ? a ? ?1. 2

?

a | ? 3 ? a ? ?1 在R中的补集为 a | a ≤ ? 3 或a ≥ ?1 , 2 2

?

?

?

所以,至少有一个方程有实数根时, a的取值 范围为 a ≤ ? 3 , 或a ≥ ?1.
2
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补集思想 : 对于一些比较复杂、比较抽象, 条件和结论不明确,难以从正面入手的数学问 题,在解题时要调整思路,从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系,能起到化难为易,化 隐为显的作用,从而解决问题.这种“正难则 反”策略运用的是补集思想,即已知全集U求 子集A,若直接求A困难,可先求 再由 ?U,A 求A. 痧 U ( U A) ? A,
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? 5 ? 0的解集为M, 已知关于x的不等式 ax 3? M 【3】 2 x ?a
且5 ? M, 求实数 a 的取值范围.

· 3 ? 5 ? 0, 解:∵3 ? M,∴a 32 ? a

∴a ? 9或a ? 5 . 3

· 5 ? 5 ≥ 0, ∴ ∵5 ? M,∴a 1 ≤ a ? 25. 2 5 ?a

?1 ≤ a ? 5 或9 ? a ? 25. 3 5 ) (9, 25). 即实数a的取值范围是 [1, 3
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解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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