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福建省龙岩一中2012-2013学年高二上学期第一学段(模块)考试数学(理)试题

福建省龙岩一中 2012-2013 学年高二上学期第一学段 (模块) 考试数学理试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上.
x 1.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,那么命题 ? p 为(

)

A. ?x ? R , 2 ? 0
x x

B. ?x ? R , 2 ? 0
x x

C. ?x ? R , 2 ? 0

D. ?x ? R , 2 ? 0 ) 条件 D.既不充分又不必要 )
0

2.若 a ? R ,则“ a ? ?2 ”是“ a ? 2 ”的(

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 3.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60
0

0

C. 120 或60
0

D. 30 或150
0

0

4.若 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则在下列四个选项中,最大的是( A.

)

1 2

2 2 B. a ? b

C. 2ab

D. b )

5.在直角坐标系中,满足不等式 y ? x 的点 ( x, y ) 的集合(用阴影表示)是(

A.

B.

C.

D. ) 项.

6.在首项为 57,公差为 ? 5 的等差数列 ?an ? 中,最接近零的是第( A.14 B.13
*

C.12

D.11

7.在等比数列 ?an ? 中, a n ? R ( n ? N ), a2 a6 ? 16 , a4 ? a8 ? 8 ,则 A. 1 B. ?3 C. 1 或 ?3 D. ?1或3

a10 =( a6
2a ,则(



8.在△ABC 中, A、 C 所对的边长分别为 a, b, c , 角 B、 若角 C=120°,c ? A. a ? b B. a ? b C. a ? b

)

D. a 与 b 的大小关系不能确定

9.在数列 ?an ? 中,如果存在常数 T ?T ? N? ? ,使得 an ?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,那 么 就 称 数 列 ?an ? 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 做 数 列 {an } 的 周 期 . 已 知 数 列 {xn } 满 足

xn?2 ?| xn?1 ? xn | (n ? N ? ) ,若 x1 ? 1, x2 ? a (a ? 1, a ? 0) ,当数列 {xn } 的周期为 3 时,
则数列 {xn } 的前 2012 项的和 S2012 为 ( A. 1339 B. 1342 ) C. 671 D. 672

??? ??? ? ? 10.在 ?ABC 中,已知 BA ? BC ? 16 , sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 ,P 为线段 AB 上 1 1 . 的一点,且 CP ? x CA ? y ? CB ,则 ? 的最小值为( ) x y | CA | | CB |
A.

7 6

B.

7 12

C.

7 3 ? 6 3

D.

7 3 ? 12 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在各题中的横线上. 2? 11.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若 b ? 1, c ? 3, ?C ? ,则 3

a =__________.
12.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 1, a4 ? a5 ? a6 ? ?2 ,则该数列的前 12 项的 和为 .

?y ? 2 ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
14.如果对于任何实数 x ,不等式 kx ? kx ? 2 ? 0 都成立,那么
2



a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55
图1

实数 k 的取值范围是 . 15.将给定的 25 个数排成如图 1 所示的数表,若每行 5 个数按从 左至右的顺序构成等差数列,每列的 5 个数按从上到下的顺序 也构成等差数列,且表中所有数之和为 50,则表正中间一个数

a33 =

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 sin ? A ?

? ?

??

? ? cos A . 6?

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a ? 6 时,求 ?ABC 面积的最大值,并判断此时 ?ABC 的形状. 17.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a 2 ? 5 , a4 ? a7 ? 24, ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求通项公式 an 及前 n 项和 Sn ;

(Ⅱ)令 bn =

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18.(本小题满分 13 分) 已知两个集合 A ? ? x

? mx ? 1 ? 实数 m 为小于 6 的正 ? 0?, B ? x 2 x 2 ? x ? 0 ,命题 p : x ? ?

?

?

整数,命题 q :A 是 B 成立的必要不充分条件. 若命题 p ? q 是真命题,求实数 m 的值. 19.(本题满分 13 分) 我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 CD=6 km , ∠ACD=45°,∠ADC=75°, 目标出现于地面点 B 处时, 测得∠BCD=30°, ∠BDC=15°(如图) , 求炮兵阵地到目标的距离. A

C

45° 30° B 15°

75° D

20.(本题满分 14 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其 照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),设 ?PAB ? ? , tan ? ? t .
?

(Ⅰ)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (Ⅱ) 问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域阴影部分的面积 S 最大为多少 (平方百米) ?

D

Q

C

P

45? ?
A
21.(本小题满分 14 分)

B

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1( n ? N ).
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4
b ?1 b2 ?1

4b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ( n ? N * ),

证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅲ)证明:

1 1 1 2 ? ??? ? ( n ? N * ). a 2 a3 a n?1 3

龙岩一中 2012-2013 学年第一学期(模块)考试

高二数学参考答案(理科)
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B 6 C 7 A 8 A 9 B 10 D

二、填空题:11.1;12.-5;13.8;14.[0,8);15. 2. 三、解答题: 16.(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 由已知有 sin A ? cos

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,????????2 分

故 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 .????????????4 分 又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

.????????????6 分

2 2 2 2 2 (Ⅱ) a ? b ? c ? 2bc cos A ,∴ b ? c ? bc ? 36 ,∴ bc ? 36 .

故三角形的面积

S?

1 3 bc s i nA ? bc ? 9 3 . 2 4

当且仅当 b=c 时等号成立;又 A ?

?

3



故此时 ?ABC 为等边三角形.????????????13 分 17. (本题满分 13 分) 解:(Ⅰ )设等差数列 ?an ? 的公差为 d,由已知可得 ?

?a1 ? d ? 5 , ?2a1 ? 9d ? 24

解 得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? ? ? ? 2 分 , 所 以 an ? 3 ? (n ? 1) =2n+1 ? ? ? 4 分 ; 2

Sn = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n ???6 分 2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 an ? 2n+1 , 所以 bn =

1 1 1 1 1 1 1 ) = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

??10 分

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 18.(本题满分 13 分)

n 4(n+1)

??13 分

解:? 命题 p ? q 是真命题,? 命题 p 和 q 都是真命题 ????????? 2 分
? 命题 p 是真命题,即 0 ? m ? 6, m ? N *

所以 A ? ? x

? mx ? 1 ? ? 1? ? 0? ? ?x 0 ? x ? ? ???????????? 5 分 x m? ? ? ?

? B ? x 2x 2 ? x ? 0 ? ?x 0 ? x ? ?

?

?

1? ? ??????????????? 7 分 2?

? 命题 q 是真命题, B 是 A 的真子集,??????????????? 9 分



1 1 ? m 2

②?????????????????????? 11 分

由①②得 m ? 1 .?????????????????????? 13 分 19.(本题满分 13 分) 解:在△ACD 中, ?CAD ? 180? ? ?ACD ? ?ADC ? 60? , CD ? 6, ?ACD ? 45?
AD ? CD sin 45? 2 ? CD , ? 3 sin 60

根据正弦定理有:

? ? 同理:在△BCD 中, ?CBD ? 180 ? ?BCD ? ?BDC ? 135 ,

CD ? 6, ?BCD ? 30? ,
根据正弦定理有:

BD ?

CD sin 30? 2 ? CD ? 2 sin135 ,
?

在△ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90 , 根据勾股定理有: 2 1 42 AB ? AD 2 ? BD 2 ? ? CD ? CD ? 42 , 3 2 6 所以炮兵阵地到目标的距离为 42km .????????????13 分 20.(本题满分 14 分)

解:(1)设BP ? t,0 ? t ? 1.则CP ? 1 ? t
CQ ? 1 ?

?DAQ ? 45? ? ? , DQ ? tan(45? ? ? ) ?

1? t 2t ? . --------------------------------------------------------------4 分 1? t 1? t 2t 2 1 ? t 2 ---------------------6 分 ? PQ ? CP 2 ? CQ2 ? (1 ? t )2 ? ( ) ? 1? t 1? t 2t 1 ? t 2 l ? CP ? PQ ? QC ? 1 ? t ? ? ? 2. =定值--------------------------------7 分 1? t 1? t t 1 1? t -----------------------10 分 (2)当S ? S正方形ABCD ? S?ABP ? S?ADQ ? 1 ? ? ? 2 2 1? t
1 2 ? 2 ? (t ? 1 ? ) ? 2 ? 2 --------------------------------------------------12 分 2 t ?1

1? t , ---2 分 1? t

当且仅当t= 2-1时取等号.------------------------------------------------------13 分 所以探照灯照射在正方形 ABCD 内阴影部分的面积 S 最大为 (2 ? 2 ) 平方百米.----14 分

21.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 an?1 ? 2an ? 1,所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . 所以数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an ? 1 ? 2 n , an ? 2 n ? 1 . (Ⅱ)因为 4 1 4
b ?1 b2 ?1

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

4b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,所以 4 (b1 ?b2 ???bn ?n ) ? 2 nbn .
① ② ③

即 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

所以 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1

②-①得: 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 所以 (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④

④-③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?2 ,即 2bn?1 ? bn ? bn? 2 . 所以数列{bn}是等差数列. (Ⅲ)因为

1 1 1 1 , ? n?1 ? n?1 ? an?1 2 ? 1 2 ? 2 2an

(12 分)

1 1 1 , ? ??? a 2 a3 an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 则S ? ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n?1
设S ? 所以 S ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 . a 2 an?1 3 a n?1 3

(13 分) (14 分)


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