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山东省临沂市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


山东省临沂市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 x+ y﹣1=0 的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.(5 分)函数 y= A.(﹣1,1) 1)∪(1,+∞)
x

+

的定义域为() C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1,

B.[﹣1,1)

3. (5 分)已知 f(e )=x,则 f(5)=() A.ln5 B.lg5 4. (5 分)函数 f(x)=1﹣2 的图象大致是 ()
|x|

C.e

5

D.5

e

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)函数 y=x ﹣4ax+1 在区间[﹣2,4]上单调递增函数,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[﹣1, +∞) 6. (5 分)某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()

2

A.24

B.36

C.48

D.60

7. (5 分)函数 f(x)=lgx﹣ 的零点所在的区间为()

A.(1,2)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

8. (5 分)已知两条直线 m,n,两个平面 α,β,下列四个结论中正确的是() A.若 m⊥α,α⊥β,n∥β,则 m∥n B. 若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n C. 若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β 9. (5 分)一个圆锥的表面积为 π,它的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形,则该圆锥的高为 () A.1 B. C.2 D.2 10. (5 分)函数 f(x)=( ) +( ) ﹣1,x∈[0,+∞)的值域为() A.(﹣ ,1] B.[﹣ ,1] C.(﹣1,1] D.[﹣1,1]
x x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)log93+( ) =.

12. (5 分)已知 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x +x ,则 f(2)=. 13. (5 分)三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x﹣y=10 相交于一点,则实数 a 的值为. 14. (5 分)圆 x +y ﹣4=0 与圆 x +y ﹣4x+4y﹣12=0 的公共弦的长为. [来源:Zxxk.Com] 15. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出下列结论:①AC⊥B1D1;②AC1⊥B1C; ③AB1 与 BC1 所成的角为 60°;④AB 与 A1C 所成的角为 45°.其中所有正确结论的序号为. [来源:Z&xx&k.Com] 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 x 16. (12 分)已知集合 A={x|2<2 <8},B={x|a≤x≤a+3}. (Ⅰ)当 a=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)若 B??RA,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) ,其中 a>0 且 a≠1 (Ⅰ)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性; (Ⅱ)求使 f(x)<g(x)成立的 x 的取值范围. 18. (12 分)已知直线 l1: (a﹣1)x+y+b=0,l2:ax+by﹣4=0,求满足下列条件的 a,b 的值 (1)l1⊥l2,且 l1 过(1,1)点; (2)l1∥l2,且 l2 在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为 2.
2 2 2 2

3

2

19. (12 分)圆心在直线 2x+y=0 上的圆 C,经过点 A(2,﹣1) ,并且与直线 x+y﹣1=0 相切 (1)求圆 C 的方程; (2)圆 C 被直线 l:y=k(x﹣2)分割成弧长的比值为 的两段弧,求直线 l 的方程.

20. (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2, E,F,G 分别是 PC,PD,BC 的中点. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:平面 PAB∥平面 EFG; (3 )在线段 PB 上确定一点 M,使 PC⊥平面 ADM, 并给出证明.

21. (14 分)某网店经营的一红消费品的进价为每件 12 元,周销售量 p(件)与销售价格 x (元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为 20 元. (1)写出周销售量 p(件)与销售价格 x(元)元的函数关系式; (2)写出利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关系式; (3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大?并求出最大周利润.

山东省临沂市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)直线 x+ y﹣1=0 的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150°

考点: 专题: 分析: 解答: 直线 x+

直线的倾斜角. 直线与圆. 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 解:设直线 x+ y﹣1=0 的倾斜角为 α. y﹣1=0 化为 . .

∴tanα=﹣

∵α∈[0°,180°) , ∴α=150°. 故选:D. 点评: 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题. 2. (5 分)函数 y= A.(﹣1,1) ∪(1,+∞) + 的定义域为() C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1,1)

B.[﹣1,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0 且分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值 集合得答案. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,

解得 x≥﹣1 且 x≠1, ∴函数的定义域为{x|x≥﹣1 且 x≠1},也即[﹣1,1)∪(1,+∞) . 故答案为:D 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 3. (5 分)已知 f(e )=x,则 f(5)=() 5 A.ln5 B.lg5 C. e 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的解析式求解函数值即可. 解答: 解:f(e )=x,则 f(x)=lnx. ∴f(5)=ln5. 故选:A. 点评: 本题考查函数的解析式的求法,函数值的求解,基本知识的考查. 4. (5 分)函数 f(x)=1﹣2 的图象大致是()[来源:Z.xx.k.Com]
|x| x x

D.5

e

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的图象和性质,求出函数 f(x)的值域,问题得以解决 解答: 解:因为|x|≥0, |x| 所以 2 ≥1, |x| 所以 f(x)=1﹣2 ≤0 恒成立, 故选:A 点评: 本题考查了图象和识别,求出函数值域时常用的方法,属于基础题
[来源:Z*xx*k.Com ]

5. (5 分)函数 y=x ﹣4ax+1 在区间[﹣2,4]上单调递增函数,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,﹣1] C.[2,+∞) D.[﹣1,+∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据二次函数 y=x ﹣4ax+1 的图象与性质,结合题意,得出不等式 2a≤﹣2,求出解 集即可. 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4ax+1 的图象是抛物线,且开口向上,对称轴是 x =2a; 在对称轴的右侧,函数是单调增函数; ∴函数 y 在区间[﹣2,4]上是单调递增函数时, 2a≤﹣2, 解得 a≤﹣1; ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 故选:B. 点评: 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()

2

A.24

B.36

C.48

D.60

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 三视图复原的几何体是底面为侧视图的三棱柱,高为 4,根据三视图的数据,求出几 何体的表面积. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为侧视图的三棱柱,高为 4, 所以三棱柱的表面积为:S 底+S 侧=2× ×4×3+2×(3+4+5)×3=48 故选:C. 点评: 本题考查由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,本题解题 的关键是用三视图中的数据还原出实物图 的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,三视 图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”,本题是一 个基础题.

7. (5 分)函数 f(x)=lgx﹣ 的零点所在的区间为() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先求出 f(2)f(3)<0,再由二分法进行判断. 解答: 解:由于 f(2)f(3)=(lg2﹣ ) (lg3﹣ )<0, 根据二分法,得函数在区间(2,3)内存在零点. 故选 B.[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 点评: 本题考查函数的零点问题,解题时要注意二分法的合理运用. 8. (5 分)已知两条直线 m,n,两个平面 α,β,下列四个结论中正确的是() A.若 m⊥α,α⊥β,n∥β,则 m∥n B. 若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n C. 若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 m⊥α,α⊥β,n∥β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误; 若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 B 错误; 若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α 与 β 相交与平行,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 9. (5 分)一个圆锥的表面积为 π,它的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形,则该圆锥的高为 () A.1 B. C. 2 D.2 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) .

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设圆锥的底面半径为 r,结合圆锥的表面积为 π,它的侧面展开图是圆心角为 120°的 扇形,求出圆锥和母线,进而根据勾股定理可得圆锥的高. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r, ∵它的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形, ∴圆锥的母线长为 3r, 又∵圆锥的表面积为 π, ∴πr(r+3r)=π, 解得:r= ,l= , 故圆锥的高 h= = ,

故选:B 点评: 本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键. 10. (5 分)函数 f(x)=( ) +( ) ﹣1,x∈[0 ,+∞)的值域为() A.(﹣ ,1] B.[﹣ ,1] C.(﹣1,1] D.[﹣1,1]
x x

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 t=( ) (0<t≤1) ,则 y=t +t﹣1=(t+ ) ﹣ ,由 y 在(0,1]递增,计算即可 得到值域. 解答: 解:令 t=( ) (0<t≤1) , 则 y=t +t﹣1=(t+ ) ﹣ ,且在(0,1]递增, 则有﹣1<y≤1, 则值域为(﹣1,1]. 故选 C. 点评: 本题考查指数函数的单调性的运用,考查换元法和二次函数的值域求法,考查运算 能力,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)log93+( ) =2.
2 2 x x 2 2

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算 法则即可得出.

解答: 解:原式= = =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 12. (5 分)已知 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x +x ,则 f(2)=4. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题利用函数 f(x)是奇函数,将 f(2)转化为求 f(﹣2) ,再用当 x<0 时,f(x) 3 2 =x +x ,求出 f(﹣2)的值,从而得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数,[来源:Zxxk.Com] ∴f(﹣x)=f(x) . ∴f(2)=﹣f(﹣2) . 3 2 ∵当 x<0 时,f(x)=x +x , 3 2 ∴f(﹣2)=(﹣2) +(﹣2) =﹣4. ∴f(2)=4. 故答案为 4. 点评: 本题考查了用函数的奇偶性求函数的值,本题难度不大,属于基础题. 13. (5 分)三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x﹣y=10 相交于一点,则实数 a 的值为﹣1. 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 联立 ,解得 ,把(4,﹣2)代入直线 ax+2y+8=0,解出即可.
3 2

解答: 解:联立

,解得



把(4,﹣2)代入直线 ax+2y+8=0,可得 4a﹣4+8=0,解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了直线的交点坐标求法,属于基础题. 14. (5 分)圆 x +y ﹣4=0 与圆 x +y ﹣4x+4y﹣12=0 的公共弦的长为 2
2 2 2 2



考点: 相交弦所在直线的方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式,求出第一个圆心到直线的距离,再由 第一个圆的半径,利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.

解答: 解:圆 x +y ﹣4=0 与圆 x +y ﹣4x+4y﹣12=0 的方程相减得:x﹣y+2=0, 2 2 由圆 x +y ﹣4=0 的圆心(0,0) ,半径 r 为 2, 且圆心(0,0)到直线 x﹣y+2=0 的距离 d= 则公共弦长为 2 =2 =2 . = ,

2

2

2

2

故答案为:2 . 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键. 15. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出下列结论:①AC⊥B1D1;②AC1⊥B1C; ③AB1 与 BC1 所成的角为 60°;④AB 与 A1C 所成的角为 45°.其中所有正确结论的序号为 ①②③. 考点: 命题的真假判断与应用;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;简易逻辑. 分析: 利用直线与直线垂直的判断方法判断①的正误; 通过直线与平面垂直的判定定理证明结果,判断②的正误; 根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60°,判断③ 的正误; 通过异面直线所成角求解结果,判断④的正误 解答: 解:对于①,因为几何体是正方体,BD∥B1D1,AC⊥BD, ∴AC⊥B1D1;∴①正确. 对于②,B1C⊥C1B,B1C⊥AB,可得 B1C⊥平面 ABC1,∴AC1⊥B1C, ∴②正确. 对于③,连结 B1D1、AD1, 得∠B1AD1 就是异面直线 AB1,BC1 所成的角, ∵△B1AD1 是等边三角形,∴∠B1AD1=60° 因此异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60°,得到③正确. 对于④,AB 与 A1C 所成的角,就是 CD 与 A1C 所成的角,三角形 A1CD 是直角三角形,不 是等腰直角三角形,所以 AB 与 A1C 所成的角为 45°不正确.∴④不正确;

故答案为:①②③.

点评: 本题给出正方体中的几个结论,判断其正确与否,着重考查了正方体的性质、线面 垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法等知识,属于中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 x 16. (12 分)已知集合 A={x|2<2 <8},B={x|a≤x≤a+3}. (Ⅰ)当 a=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)若 B??RA,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题;集合. x 分析: (Ⅰ)当 a=2 时,A={x|2<2 <8}=(1,3) ,B={x|a≤x≤a+3}=[2,5];从而求 A∩B=[2, 3) ; (Ⅱ)化简?RA=(﹣∞,1]∪[3,+∞) ;从而可得 a+3≤1 或 a≥3;从而可得实数 a 的取值范围 为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞) . 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时, A={x|2<2 <8}=(1,3) ,B={x|a≤x≤a+3}=[2,5]; 故 A∩B=[2,3) ; (Ⅱ)?RA=(﹣∞,1]∪[3,+∞) ; 故由 B??RA 知,[来源:Z,xx,k.Com] a+3≤1 或 a≥ 3; 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞) . 点评: 本题考查了集合的化简与运算,属于基础题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(1﹣x) ,其中 a>0 且 a≠1 (Ⅰ)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性; (Ⅱ)求使 f(x)<g(x)成立的 x 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数奇偶性的定义即可判断函数 f(x)+g( x)的奇偶性; (Ⅱ)根据对数函数的单调性即可解不等式 f(x)<g(x) . 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1﹣x) , 由 ,解得﹣1<x<1,即函数的定义域为(﹣1,1) ,
x

设 F(x)=f(x)+g(x) , 则 F(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=loga(﹣x+1)+loga(1+x)=f(x)+g(x)=F(x) , 即函数 f(x)+g(x)是偶函数; (Ⅱ)由 f(x)<g(x)得 loga(x+1)<loga(1﹣x) ,

若 a>1,则

,即

,即﹣1<x<0,

若 0<a<1,则

,即

,即 0<x<1,

故若 a>1,不等式的解集为(﹣1,0) , 若 0<a<1,不等式的解集为(0,1) . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解,根据对数函数的单调性是 解决本题的关键.[来源:Zxxk.Com] 18. (12 分)已知直线 l1: (a﹣1)x+y+b=0,l2:ax+by﹣4=0,求满足下列条件的 a,b 的值 (1)l1⊥l2,且 l1 过(1,1)点; (2)l1∥l2,且 l2 在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为 2. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由题意可得 a(a﹣1)+b=0,a+b=0,联立方程组,解方程组验证可得; (2)由平行可得 a﹣b(a﹣1)=0,由面积和截距可得 × × =2,联立解方程组可得. 解答: 解: (1)∵l1⊥l2,∴a( a﹣1)+b=0,① 又 l1 过(1,1)点,∴a+b=0,② 联立①②可解得 或 ,

当 a=b=0 时不合题意,应舍去, ∴a=2,b=﹣2; (2)∵l1∥l2,∴a﹣b(a﹣1)=0,① 直线 l2 与坐标轴的交点分别为( ,0) , (0, ) , 由题意可得 a>0 且 b>0, × × =2,可得 ab=4,②, 由①②解得 a=2,b=2 点评: 本题考查直线的一 般式方程和垂直关系,涉及三角形的面积公式和截距,属基础题. 19. (12 分)圆心在直线 2x+y=0 上的圆 C,经过点 A(2,﹣1) ,并且与直线 x+y﹣1=0 相切 (1)求圆 C 的方程; (2)圆 C 被直线 l:y=k(x﹣2)分割成弧长的比值为 的两段弧,求直线 l 的方程.

考点: 圆的标准方程;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 2 2 2 分析: (1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由直线与圆相切的条件列出方 程组,求出 a、b、r; (2)由题意求出圆心到直线 l 的距离,由点到直线的距离公式列出方程,求出 k 的值,代入 直线方程即可.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K ]

解答: 解: (1)设圆 C 的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0) ,

2

2

2

由题意得,

,解得



所以圆 C 的方程为(x﹣1) +(y+2) =2; (2)设直线 l 与圆 C 交于 B、D 两点, 因为圆 C 被直线 l:y=k(x﹣2)分割成弧长的比值为 的两段弧, 所以∠BCD=120°,则∠BDC=∠CBD=30°, 即圆心 C 到直线 l 的距离为 = ,且 C(1,﹣2) ,

2

2

因为直线 l 的方程为 kx﹣y﹣2k=0, 所以 ,化简解得 k=1 或 k=7,

故所求直线 l 的方程为 y=x﹣2 或 y=7x﹣14. 点评: 本题考查利用待定系数法求圆的方程,以及点到直线的距离公式,考查方程思想和 化简计算能力. 20. (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2, E,F,G 分别是 PC,PD,BC 的中点. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:平面 PAB∥平面 EFG; (3)在线段 PB 上确定一点 M,使 PC⊥平面 ADM, 并给出证明.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面平行的判定.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PD⊥平面 ABCD,利用 VP﹣ABCD= 即可得出;

(2)由 E,F 分别是 PC,PD 的中点.利用三角形中位线定理可得:EF∥CD,再利用正方形 性质可得 EF∥AB,可得 EF∥平面 PAB.同理可得:EG∥平面 PAB,即可证明平面 PAB∥平 面 EFG; (3)当 M 为线段 PB 的中点时,满足使 PC⊥平面 ADM.取 PB 的中点 M,连接 DE,EM, AM. 可得 EM∥BC∥AD, 利用线面垂直的性质定理可得: AD⊥PD. 利用判定定理可得 AD⊥ 平面 PCD.得到 AD⊥PC.又△ PDC 为等腰三角形,E 为斜边的中点,可得 DE⊥PC,即可证 明. 解答: (1)解:∵PD⊥平面 ABCD, ∴VP﹣ABCD= = = .

(2)证明:∵E,F 分别是 PC,PD 的中点. ∴EF∥CD, 由正方形 ABCD,∴AB∥CD,[来源:学*科*网] ∴EF∥AB, 又 EF?平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. 同理可得:EG∥PB, 可得 EG∥平面 PAB, 又 EF∩EG=E, ∴平面 PAB∥平面 EFG; (3)解:当 M 为线段 PB 的中点时,满足使 PC⊥平面 ADM. 下面给出证明:取 PB 的中点 M,连接 DE,EM,AM. ∵EM∥BC∥AD,∴四点 A,D,E,M 四点共面,由 PD⊥平面 ABCD, ∴AD⊥PD. 又 AD⊥CD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PCD. ∴AD⊥PC. 又△ PDC 为等腰三角形,E 为斜边的中点,∴DE⊥PC, 又 AD∩DC=D, ∴PC⊥平面 ADEM,即 PC⊥平面 ADM.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、 菱形的性质、体积、三角形中位线定理、梯形的性质等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力、运算求解能力、化归与转化能力,属于中档题.

点评: 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、菱形的性质、体积等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力,属于中档题.

21. (14 分)某网店经营的一红消费品的进价为每件 12 元,周销售量 p(件)与销售价格 x (元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为 20 元. (1)写出周销售量 p(件)与销售价格 x(元)元的函数关系式; (2)写出利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关系式; (3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大?并求出最大周利润.

考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法;函数的图象. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数图象为分段函的图象,所以应求 12≤x≤20,与 20<x≤28 两部分的解析 式,由图象上的点分别代入 p=ax+b,求出即可; (2)利用周销售量与利润的积,可得利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关系式; (3)根据(2)分段求最值,即可得出结论. 解答: 解: (1)由题设知,当 12≤x≤20 时,设 p=ax+b, 则 ,∴a=﹣2,b=50

∴p=﹣2x+50, 同理得,当 20<x≤28 时,p=﹣x+30, 所以 p= ;
2

(2)当 12≤x≤20 时,y=(x﹣12) (﹣2x+50)=﹣2x +74x﹣620; 2 当 20<x≤28 时,y=(x﹣12) (﹣x+30)﹣20=﹣x +42x﹣380; ∴y= ;
2

(3)当 12≤x≤20 时,y=(x﹣12) (﹣2x+50)=﹣2x +74x﹣620, ∴x= 时,y 取得最大值 ;
2

当 20<x≤28 时,y=(x﹣12) (﹣x+30)﹣20=﹣x +42x﹣380, ∴x=21 时,y 取得最大值 61; ∵ >61, 时,周利润最大,最大周利润为 .

∴该消费品销售价格为

点评: 本题是一道综合题,难度较大.重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题, 能够从图象上准确地获取信息,本题中 p 与 x 的关系是分段的,要注意对应,这是做本题的关 键.


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