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1.2.2同角三角函数的基本关系式课件


一、创境设问:填一填
sin ? 30? 45? 60? 150?
1 2
2 2
3 2

cos? tan ?
3 2
2 2

sin ? ? cos ?
2 2

3 3

1 1 1 1

sin ? cos ? 3 3

1
3
? 3 3

1
3
? 3 3

1 2

1 2

?

3 2

sin2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? tan ? ? cos ?

二、结论

请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定,它们之间有何关系?

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?
可以证明吗? 角α 是否可以为任意角?

怎么证明? 证明:
r? x2 ? y2
P ( x, y )

y

y x 2 2 sin a ? cos a ? r 2 ? r 2

y x sin α ? cos ? ? r r y tan ? ? x 2

r

O

x
2

x ?y ? 2 2 r
2

2

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

r ? 2 ?1 r

tan ? ?

sin ?

二、结论

称为平方关系

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

新课

同角公式
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? 1 ? cos ?
2 2

sin? ? ? 1 ? cos ?
2

cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

cos? ? ? 1 ? sin ?
2

tan ? ?

sin ? cos ?

sin ? ? cos ? ? tan ?
sin ? cos ? ? tan ?

sin ? tan ? ? cos ?

判一判 判断下列式子是否成立?

(1).sin 33 ? cos 47 ? 1
2 ? 2 ?

(2).sin 2? ? cos 2? ? 1
2 2

sin ? (3).若?是第二象限角,则 tan ? ? ? . cos ?

(4).sin ? ? cos? ? 1
2 2

简单应用 下列四个命题中可能成立的一个是( B )

1 1 A.sin ? ? 且 cos ? ? 2 2 B.sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 C.tan ? ? 1且 cos ? ? ?1 sin ? D.? 在第二象限时, tan ? ? ? cos ?

三、数学应用:求值
4 例1 已知 sin ? ? , 且? 是第二象限角,求 cos ? , tan ?的值. 5
解: ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
2 2

先定象限,后定值

4 2 9 ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? 5 25 又? 是第二象限角, ? cos ? ? 0
3 ? cos ? ? ? , 5

4 sin ? 4 5 tan ? ? ? ?? cos ? ? 3 3 5

4 变式1 、已知 sin ? ? ,求 cos ? , tan ?的值 5

解: 由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得
3 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5
2

自我反思:
解:由sin? ? 4 5 3 5

? sin ? ? 0


得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 得 tan ? ? ?

? 角?是第一或第二象限角

sin? 4 ?? cos? 3 所得结果的符号由角所在象限决定

?

是第一象限角时, cos ?

?0
tan ? ? sin ? 4 5 4 ? ? ? cos ? 5 3 3

? cos? ?


9 3 ? 25 5

?

cos ? 是第二象限角时,
9 3 ?? 25 5

?0
tan ? ? sin ? 4 5 4 ? ? (? ) ? ? cos ? 5 3 3

? cos? ? ?

三、数学应用:求值
12 例2 已知 tan ? ? , 求 sin ? , cos ?的值. 5 sin ? 12 解:由 ? tan ? ? , 可得 sin ? ? 12 cos ? cos ? 5 5 12 2 2 2 故( )cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1 又 sin ? ? cos ? ? 1, 5 25 2 解得 cos ? ? 。 先定象限,后定值 169 又由tan ? ? 0, 知? 是第一或第三象限角。 5 12 12 若? 是第一象限角,则 cos ? ? , tan ? ? , sin ? ? 13 5 13 5 12 12 若? 是第三象限角,则 cos ? ? ? , tan ? ? , sin ? ? ? 13 5 13 小结:(1)注意方程思想的运用; (2)分类讨论的数学思想.

变式2、已知tan? ? ? 3,求sin ? , cos?的值
解: ? tan? ? sin?

3 sin ? 2 sin ? ? ?? 3 解得: { 2 4 cos ? 1 ?{ 2 cos ? ? 2 sin ? ? cos ? ?1 4

cos?

{

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? ? tan ? cos ?
方程(组)思想

? tan? ? 0 ? ?为 第 二 或 第 四 象 限 角

当?为第二象限角时 3 3 sin? ? ? , cos? ? ? 4 2 当?为第四象限角时 sin? ? ? 3 3 ?? , cos? ? 4 2 1 1 ?? 4 2 1 1 ? 4 2

讨论交流:
sin? 公式sin ? ? cos ? ? 1, ? tan?各自的特点 cos?
2 2

2 2 sin ? ? 1 ? cos ? 移项变形: { cos2 ? ?1?sin 2 ?

常用于正弦、余弦函数 的相互转化,相互求解。

注: 在开方时,由角

?

所在的象限来确定开方后的符号。



sin ? ? {

1?cos2 ?,当?在一、二象限时

? 1?cos2 ?,当?在三、四象限时
1?sin 2 ? ,当?是一、四象限时

cos? ? {

? 1?sin 2 ?,当?是二、三象限时

三、数学应用:化简
例3 化简 1-sin 2 800
2 0 0 0

解:原式 ? cos 80 ? cos80 ? cos80
解题思路:公式变形

练习.化简

tan?

1 sin ?
2

? 1, 其中?

是第二象限角.

三、数学应用:化简
例4.化简 分析:一个角,三种三角函数,分式。 sin ? ? cos ? (1) 1 ? tan ? 1 ? cos 2 ? (2) 2 1 ? sin ?
1 ? cos ? 1 ? cos ? (α为第四象限角). (3) ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

规律归纳 化简三角函数式的一般要求: ①函数种类最少; ②项数最少; ③函数次数最低; ④能求值的求出值; ⑤尽量使分母不含三角函数; ⑥尽量使分母不含根式.

三、数学应用:化简
2 cos ? ? 1 ( 4) 2 1 ? 2 sin ?
2
2

1换为sin ? ? cos ?
2 2
2 2 2

2cos ? ? 1 2cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 解: ? 2 1 ? 2sin ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2sin 2 ?

cos ? ? sin ? ? ?1 2 2 cos ? ? sin ?
2 2

三、数学应用:化简
(1) 1? sin 440?
2

(2) 1 ? sin 4
2

cos 800

? cos 4
1 ? 2 sin 10 cos10
? ?

(3) 1 ? 2 sin 2 cos2
sin 2 ? cos 2

(4)

sin 10? ? 1 ? sin 2 10?

?1

练习1.化简 1 ? sin 2 440? 解:原式 ? 1 ? sin 2 (360? ? 80? ) ? 1 ? sin 2 80? ? cos2 80? ? cos80?

练习2.化简 1 ? 2sin 40? cos 40?

解:原式 ? sin2 40? ? cos2 40? ? 2sin 40? cos 40?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40?

3.化简技巧
(1) 1换为sin ? ? cos ? sin ? (2)切化弦: tan ? ? cos ?
2 2

(3)1 ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x)

2

(4) (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x

sin ? 2、公式 ? tan ?的特点 cos ?
变形:

sin? cos? ? tan?

由正弦正切,求余弦 由余弦正切,求正弦

sin ? ? cos ? ? tan ?
由正弦余弦,求正切

sin ? ? tan ? cos ?

注:
所得三角函数值的符号是由另外两个三角 函数值的符号确定的。

sin ? 解:方法 ?1?? tan ? ? ?2 ? sin ? ? 2 cos ? cos ? 2 cos ? ? cos ? 3 cos ? ? 原式 ? ? ?3 2 cos ? ? cos ? cos ? 方法?2?? cos? ? 0?原式分子分母同除以 cos? sin ? cos? ? tan ? ? 1 2 ?1 cos ? cos ? ? 原式 ? ? ?3 sin ? cos? tan ? ? 1 2 ?1 ? cos? cos?

化简方向: 例3、已知tan? ? 2, 求下面各式的值。 切化弦 sin ? ? cos? ( 1) sin ? ? cos?

三、应用示例

例3、已知tan? ? 2,求下面各式的值。
sin ? cos? ( 2) 2 sin ? ? cos2 ?
2 cos ? cos ? 方法1 : 将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?
2 2 cos2 ? ? ? 3 3 cos2 ?

sin ? cos? 2 2 cos ? 方法2 : 分子分母同除以 cos ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
tan ? 2 2 ? ? 2 ? 2 tan ? ? 1 2 - 1 3

例3、已知t an? ? 2,求下面各式的值。

sin ? cos? (3) 2 sin ? ? cos2 ?

2 cos ? cos ? 方法1将 sin ? ? 2 cos ?代入原式 ? 4 cos 2 ? ? cos 2 ?
2 2 cos2 ? ? ? 5 5 cos2 ?

sin ? cos? 2 2 cos ? 方法2分子分母同除以cos ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
tan ? 2 2 ? ? ? 2 2 tan ? ? 1 2 ? 1 5

三、数学应用:求值
已知tan α=2,求:
化弦为切
2

化弦为切
2

2sin ? ? 3cos ? (1) 4sin ? ? 9 cos ? 1 (3) sin ? cos ?
2

2sin ? ? 3cos ? (2) 2 2 4sin ? ? 9 cos ? 1 1 + ( 5) 1 - sin a 1 + sin a
2

(4)sin ? ? 2sin ? cos ? ? 4 cos ?
(1) ? 1 5 (2) 7 5 (3) 2
妙用“1”, 4 然后再化 (4) 5 弦为切

三、数学应用:求值
拓展延伸
sin? ? cos? 1、 已 知 ? -7, 求sin? cos?的 值 . sin? ? cos?

1 2、 已 知 tan? ? ? , 求 1 ? 2 sin? cos?的 值 . 2

.公式:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα的应用

(1) sin a ? cos a; (2) sin a ? cos a; (3) sin a ? cos a知一求二。

1 [例 1] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α=5.

(1)求 tan α 的值;
1 (2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α

[解 ]

(1)法一: ① ②

1 ? ?sin α+cos α= , 5 联立方程? 2 2 ? ?sin α+cos α=1, 1 由①得 cos α= -sin α, 5 将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0. ∵α 是三角形内角, 4 ? ?sin α=5, ∴? ?cos α=-3, ? 5 4 ∴tan α=- . 3

1 法二:∵sin α+cos α=5,
?1? 1 ∴(sin α+cos α)2=?5?2,即 1+2sin αcos α=25, ? ?

24 ∴2sin αcos α=-25, 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=-25<0 且 0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0. 7 ∴sin α-cos α=5.

?sin α+cos α=1, ? 5 由? ?sin α-cos α=7, 5 ?
4 ∴tan α=-3.

?sin α=4, ? 5 得? ?cos α=-3, 5 ?

sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α 1 (2) 2 = = = . cos α-sin2α cos2α-sin2α cos2α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tan α=-3, ? 4?2 ?- ? +1 2 tan α+1 ? 3? 1 25 ∴ 2 = = =- 7 . ? 4? 2 cos α-sin2α 1-tan2α 1-?-3? ? ?

1? 3 (0 ? x ? ? ),求 sin x, cos x 例6. 已知sin x ? cos x ? 2 解:由 sin x ? cos x ? 1 ? 3 (0 ? x ? ? ) 等式两边平方: 2 1? 3 2 2 2 sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? ( ) ? 2 1? 3 sin x ? cos x ? ? 3 2 ∴sin x cos x ? ? (*),即 ? ? 4 ?sin x cos x ? ? 3 ? ? 4 1? 3 3 2 sin x, cos x 可看作方程 z ? z? ? 0 的两个根,解得 2 4 1 3 z1 ? , z2 ? ? 2 2

又∵0 ? x ? ?,∴sin x ? 0.又由(*)式知 1 3 sin x ? , cos x ? ? 因此, 2 2

cos x ? 0

三、数学应用:求值
1 1、已知0<α<π,sinα+cosα= . 5
求:(1)sinαcosα;
12 (1) ? 25 7 (2) 5

练习:

(2) sinα-cosα.

问题4:在利用公式求值中应该注意哪些方面? ?符号判定准确; ?恰当表述; ?步骤清楚。

三、数学应用:求值
1 ? ? 2、 已 知 si n? ? cos? ? , 且 ? ? ? , 8 4 2 求cos? ? si n?的 值 .

三、数学应用:证明

cos? 1 ? sin? 例7.证明 ? 1 ? sin? cos?

cos? 1 ? sin? 例7.证明 ? 1 ? sin? cos?
证明:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

cos2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? (1 ? sin ? ) cos? cos2 ? ? cos2 ? ? ?0 (1 ? sin ? ) cos?
因此

作差法

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

证法二: 因为 (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? 1 ? sin

2

?

? cos2 ? ? cos? ? cos?
由题意知:

1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0
cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

恒等变形 的条件

因此

证法三: 由题意知:

cos ? ? 0 则 sin ? ? ?1
恒等变形 的条件

cos? ? (1 ? sin ? ) 原式左边= (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

cos ? ? (1 ? sin ? ) cos ? ? (1 ? sin ? ) ? ? 2 1 ? sin ? cos 2 ? 1 ? sin ? ? =右边 cos ?
因此

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

证明三角恒等式的基本思路:由繁到简 一般方法: (1)左边 ? 右边 (2)右边? 左边 ? 中间式? 右边 (3)左边 (4)转化①A=B ? A – B = 0
A ②A ? B ? ? 1(B ? 0) B

③ A ? C ? AD ? BC
B D

三、数学应用:证明
? ? cos ? ? sin ? ? cos ? 恒等式证明常用方法?
sin 例8 求证:
4 4 2 2

分析:由左往右证

证明:左边? sin ? ? cos ?
4 4

? (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? )
2 2 2 2

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

? sin ? ? cos ? ? 右边
2 2

?原式成立

三、数学应用:证明
4 2 2 2 例9.求证: (1)sin ? ? sin ? cos ? ? cos ?

? 1.

sin ? ? cos ? ? 1 1 ? 2sin x cos x 1 ? tan x (2) ? 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan x
2 2

分析:1 ? 2 sin
2

x cos x
2
2

? (sin x ? cos x ) 2 2 cos x ? sin x ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x)

? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x

三、数学应用:证明
(3) tan ? ? sin ? ? tan 分析:1.两面夹 2.切化弦
2 2
2

2

? ? sin ?
2
2
2

sin ? 2 证明:左边? tan ? ? sin ? ? ? sin ? 2 cos ? 2 2 sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? sin ? (1 ? cos ? ) ? ? 2 cos ? cos2 ?
2 4 sin ? 2 sin ? 2 2 ? ? sin ? 右边 ? tan ? ? sin ? ? cos? cos2 ?

sin 4 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? 2 2 cos ? cos ?

左边 ? 右边

?原式成立

小结:
1.证明方法 (1)由左往右证 由复杂的一端向 简单的一端化简

(2)由右往左证 (3)两面夹 2.技巧

(3)1 ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x)
2

(1) 1换为sin 2 ? ? cos2 ? sin ? (2)切化弦: tan ? ? cos ?

2
2

(4) (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? cos x

小结:
(一)同角三角函数的基本关系式 : 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 平方关系: sin ? ? tan ? 商数关系: cos ? (二)公式的应用:
知一求二:由一个角的某一三角函数值 求出其它的两个三角函数值; (三)数学思想方法: ①分类讨论; ②方程(组)的思想.

作业:

P23 13、 14


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