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正弦函数与余弦函数的图像与性质题型


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第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组

π 1.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是. 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 2.函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 π ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 ④最小正周 2 π 期为 的偶函数 2 π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 π 4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 π 5.设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x)图象上的一个 3 对称中心是________(写出一个即可). 3 6.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 π 2.给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有性质 ab 的是 3 ________. x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6 π π 3.若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. 4 2 2 4.函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 3 2π 2 解析:因为 f(x)=sin x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[- ,θ]上的最大 3 π π 值为 1,可知 θ 只能取- . 答案:- 2 2 2π 2π 5.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大值为________. 3 3 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则 ω 的最大值为 .答案: 4ω 3 4 4 4 π π 6.设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- ,0],则 x0=________. 3 2 π π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- ,0],得 x0=- . 3 2 6 π 答案:- 6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条 2 3 对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6
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轻松学习还我自由,减负在于提高效率 ?A+m=4 ? 2π 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以? ,解得 A=m=2,又最小正周期为 ω ?m-A=0 ? π π π π 4π = ,所以 ω=4,又直线 x= 是其图象的一条对称轴,将 x= 代入得 sin(4× +φ)=± 1,所以 φ+ =kπ 2 3 3 3 3 π 5π π + (k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),当 k=1 时,φ= .答案:④ 2 6 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整 2 数 t 的最小值是________. π 5 解析:函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥ T=5.答案:5 2 4 9.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x) 的单调递增区间是________. π 解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交点间的距离为 6 2π π π π π 知,函数 y=f(x)的周期 T=π,∴T= =π,解得 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+ ).令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ω 6 2 6 π π π π π (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 2 3 6 3 6 2 10.已知向量 a=(2sinωx,cos ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x)图象的相邻 π π 两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 6 3 的取值范围. π 解:(1)f(x)=a· b=(2sinωx,cos2ωx)· (cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+ )+ 3.∵相邻 3 2π 1 两对称轴的距离为 π,∴ =2π,∴ω= , 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ],∴x+ ∈[ , ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, 6 3 3 2 3 π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有 6 3

?-2+m≤2 3, 解得 3≤m≤2+2 3. ? ?2+m≥2+ 3,
11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 π 解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4,解之得 m= 6 6 1,∴m 的值为 1. ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值 2 为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ )-1+m. 6

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2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 =3π,解得 ω= . ω 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( + )-1=1,∴sin( + )=1. 3 6 3 6 π 2C π 5π 2C π π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A+B= . 6 3 6 6 3 6 2 2 2 π 2 在 Rt△ABC 中,∵A+B= ,2sin B=cosB+cos(A-C). 2 -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2

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