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广东省梅州市2014届高三数学总复习质检试卷 文


广东省梅州市 2014 届高三数学总复习质检试卷 文(梅州一模 ,扫 描版)新人教 A 版

1

2

3

梅州市 2014 届高三总复习质检试卷(2014,3) 数学(文科)试题参考答案及评分标准

4

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和 能力比照评分标准给以相应的分数。 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得 超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不 再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D
2

9 B

10 C
2

10.解:根据题意:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x) ? 4(? x) ? ? x ? 4 x , 则函数 y ? ? x ? 4 x ( x ? 0) 关于原点对称的函数是 y ? x ? 4 x( x ? 0) .由题意知,
2 2

作出函数 y ? x ? 4 x( x ? 0) 的图象,看它与函数 y ? log 2 x ( x ? 0) 交点个数即可得
2

到友好点对的个数.如 图, 观察图象可得它们的交点个数是 2. 即 f ( x) 的“友好 点对”有 2 个.故答案选 C.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ? 3 12. 3 13.

x2 y2 ? ?1 9 16

14.2 2

15.

2

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由图象最高点得 A=1, 1分 由

????? 周 ?????2 分 期

1 2? ? 1 2? T? ? ? ?, ?T ? ? ? , ?? ? 2 . 2 3 6 2 ?

5

? ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6
当x?

? f ( x) ? sin(2 x ?
4分

?

6

) .

?????

由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? 6分 (2)由(1)可知,

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z . 3

?????

sin(2 A ?

?
6

) ? 1, 6 ? 13? , 6
?????8

?0 ? A ? ? , ?

?
6

? 2A ?
.

?

?2A ?


?
6

?

?
2

,A?

?
6

? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos2 B ?


3 . 5

?????9 ?????10 .

? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin(A ? B)


? sin A cos B ? cos Asin B 1 4 3 3 4?3 3 ? ? ? ? ? . 2 5 2 5 10
分 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199; (2)由

?????12

????3 分 ????5 分

7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , ∴ b ? 17 ;
(3)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 ,

????7 分

∴满足条件的 (a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组, 且 每 组 出 现 的 可 能 性 相 同. ?.?9 分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有: (10, 21) , (11, 20) , (12, 19) , (13, 18) , (14, 17) , (15, 16) 共 6 组. ????
6

11 分 ∴ 数 学 成 绩 为 优 秀 的 人 数 比 及 格 的 人 数 少 的 概 率 为

6 3 ? . 14 7
18. (本小题满分 14 分) 解:(1)由已知条 件 可 知 F

????12 分

F
E E 1 D C 1 A 1 B A B D C

BC // AD, CE // DF
,折叠之后平行关 系不变,又因为 BC ? 平 面 , F A D AD ? 平面 ADF , 所 以 BC // 平 面 A D F;
2

同理 CE //平面 ADF .

????2 分

又? BC ? CE ? C, BC, CE ? 平面 BCE ,

?平面 BCE //平面 ADF .
又 BE ? 平面 BCE , ∴ BE //平面 ADF . ????4 分 (2)由于 ?FDA ? 60?, FD ? 2, AD ? 1,

1 1 即 ? AF 2 ? FD 2 ? AD 2 ? 2 ? FD ? AD ? cos ?FDA ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 3 2 2 ,
AF ? 3.
? AF 2 ? AD 2 ? FD 2 ,? AF ? AD .
分 ????6

? DC ? FD, DC ? AD, AD ? FD ? D, AD, DF ? 平面 ADF ,

? AF ? 平面 ABCD .


????8

7

(3)法一:? DC ? EC, DC ? BC, EC, BC ? 平面 EBC , EC ? BC ? C.

? DC ? 平面EBC .


????????????????10

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC ? 1, BC ? 1, ? S ?ECB ?

1 3 3 ? 1?1? ? . 2 2 4

???????12 分

1 1 3 3 ?VE ? BCD ? VD ? EBC ? ? DC ? S ?ECB ? ? 1 ? ? . 3 3 4 12
法二:取 BC 中点 G ,连接 EG . 由(2)易知 平面ADF ⊥平面 ABCD ,又平面 BCE //平面 ADF ,

????14 分

? 平面BCE ⊥平面 ABCD .

????????????????10 分

又? DF // EC, AD // BC, ?FDA ? 60? ,? ?ECB ? 60? .

? EC ? 1, BC ? 1, ? ?BCE是正三角形 , 故EG ? BC, 且EG ? 3 , 2
平面BCE ? 平面ABCD ? BC, EG ? 平面BCE,? EG ? 平面ABCD .

??12 分

1 1 3 1 3 VE ? BCD ? ? EG ? S ?BCD ? ? ? ? .??????????????14 分 3 3 2 2 12
19. (本题满分 14 分) 解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) .??????1 分 a2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ?a 由题意有: ? ? , 3 ?b ? ?c ? 2
解得 a ? 16, b ? 12 .
2 2

??????3 分

??????5 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

??????6 分

8

( 2 ) 设 P ( x, y ) 为 椭 圆 上 的 动 点 , 由 于 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 故 16 12

? 4 ? x ? 4 .?????7 分
因为 MP ? ( x ? m, y ) ,所以

| MP | 2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 12 ? (1 ?

x2 1 1 ) ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 12 ? ( x ? 4m) 2 ? 3m 2 ? 16 4 4

???10 分 因为当 | MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,即当 x ? 4m 时,

| MP | 2 取得最小值.而 x ? [?4,4] ,
故 又 点 有

4m ? 4
在 椭

M


得 m ?1 ??????12 分 圆 的 长 轴 上 , 即 ?4? m? 4 ??????13 分 , 解 取 值 范 围 是

. .





m



m ? [1,4]



??????14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ) ,
*

可得: an ? 2Sn ?1 ? 2(n ? N ,n ? 2) ,
*

两式相减: an ?1 ? 3an (n ? N ,n ? 2) .
*

???????? 2

分 又 a2 ? 2a1 ? 2 , 因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 . 所以 an ? 2 ? 3 分 (2)由(1)可知 an ? 2 ? 3
n ?1 n ?1

.

????????4

, an ?1 ? 2 ? 3

n

4 ? 3n ?1 因为: an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)d n ,得 d n ? . n ?1

????????6 分

(Ⅰ)假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,

9

则: ? d k ?

2

? 4 ? 3k ?1 ? 4 ? 3m ?1 4 ? 3 p ?1 ? ? ? d m d p ,即: ? , ? m ?1 p ?1 ? k ?1 ?

2

16 ? 32 k ? 2

? k ? 1?

2

?

16 ? 3m ? p ? 2 ? m ? 1? ? ? p ? 1?

(*)

??????8 分

因为 m, k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k , (*)可以化简为 k ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾.
2

所以在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p(其中 m, k , p 成等差数列) 成等比数列.? 10 分 (Ⅱ)令 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ...... ? , d1 d 2 d3 dn

Tn ?

2 3 4 n ?1 , ? ? ? ...... ? 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 4 n ?1 Tn ? ? ? ? ... ? , 1 2 3 3 4 ?3 4 ? 3 4?3 4 ? 3n

??????

11 分 两式相减:

2 2 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? ? ...... ? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n
?????? 13 分

Tn ?
14 分

15 3(2n ? 5) 15 ? ? .. 16 16 16 ? 3n

??????

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4, f ' ( x) ? ?3x ? 4 x.
3 2 2

令 f ' ( x) ? 0, 得x ? 0或 . 分 当 x 在[-1,1]上变化时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

4 3

????2

10

x

-1 -7 -1

(-1,0) ↓

0 0 -4

(0,1) + ↑

1 1 -3 ????4 分

f ' ( x)
f ( x)

? 对于m ? [?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,
? f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4 x 的对称轴为 x ?

2 且抛物线开口向下, 3,
????5 分 ????6 分

? 对于n ? [?1,1], f ' (n) 的最小值为 f ' (?1) ? ?7.
? f (m) ? f ' (n) 的最小值为-11.
(2)? f ' ( x) ? ?3x( x ?

2a ) 3 .

①若 a ? 0,当x ? 0时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x)在?0,??? 上单调递减, 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ? 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

????9 分

2a 2a 时, f ' ( x) ? 0, 当 x ? 时, f ' ( x) ? 0. 3 3
? 2a ?

从而 f ( x )在? 0, ? 上单调递增,在 ? ,?? ? 上单调递减, ? 3? ?3 ?

?

2?

?当x ? (0,??)时,f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 )?? ? ?4 3 27 9 .

????12 分

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0,即a 3 ? 27, 解得a ? 3. 27
????14 分

综上, a 的取值范围是 (3,??). (或由 x 0 ? 0, f ( x 0 ) ? 0, 得a ?

4 x0
2

? x0 ,用两种方法可解)

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