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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数的图象 新人教A版


三角函数的图象(五点作图法与图象变换)
一、课前准备: 【自主梳理】 1.简谐运动的有关概念 简谐运动图像的解析式 振 幅 周期 频率 相位 初 相

y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0), x ? [0, ??)
2. “五点法”作图 ①先确定周期 ,在一个周期内作出图像;②将 ? x ? ? 分别取 ,







来求出对应的 x

的值, 列表; ③描点画图, 再利用函数的周期性, 可把所得简图向左右分别扩展, 从而得到 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图.
纵坐标扩大为( A A ?1) 倍 ? y ? Af ( x)( A ? 0) ; 3.三角函数图像变换(1)振幅变换 y ? f ( x) ????????? 纵坐标缩短为原来的( A 0? A?1)

? (2)周期变换 y ? f ( x) ????????? y ? f (? x)(? ? 0) ; 1
横坐标缩短为原来的 (? ?1)

1 横坐标扩大为 (0<? <1)倍

?

? y ? f (x ? ?) ; (3)相位变换 y ? f ( x) ????????? 向右平移 ? (? ? 0)个单位长度 ? y ? f ( x) ? k . (4)平移变换 y ? f ( x) ????????? 向下平移 k (k ? 0)个单位长度
4.由 y ? sin x 得图像得到 y ? A sin(? x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0) 的图像的过程
向上平移 k (k ? 0)个单位长度

向左平移 ? (? ? 0)个单位长度

? y ? sin( x ? ? ) 途径一:先平移变换再周期变换 y ? sin x ????????? 向右平移 ? (? ? 0)个单位长度
? ????????? y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) . 1
横坐标缩短为原来的 (? ?1) 1 横坐标扩大为 (0<? <1)倍

向左平移 ? (? ? 0)个单位长度

?

? 途径二:先周期变换再平移变换 y ? sin x ????????? y ? sin ? x(? ? 0) 1
横坐标缩短为原来的 (? ?1)

1 横坐标扩大为 (0<? <1)倍

?

? ????????? ? y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) . ?
向右平移 (? ? 0)个单位长度

向左平移 (? ? 0)个单位长度

?

?

【自我检测】 1.若函数 y ? 2sin(3 x ? 为 .

?
6

) 表示一个振动量,则其振幅为

,周期为

,初相

2 . 在 确 定 函 数 y ? 2sin x 在 [0, 2? ] 上 的 图 像 形 状 时 , 起 关 键 作 用 的 五 个 点

1













n?( 3 . 为 了 得 到 函 数 y ?3 s ix
点 4.把函数 y ? sin(2 x ? 解析式为 .

?
5

的 )图 像 , 只 需 把 函 数 y ? 3sin x 的 图 像 上 所 有 的

?
6

) 的图像上所有点的横坐标变为原来的


1 倍,纵坐标不变,则所得的图像的函数 2

5.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 10


6. 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 得解析式为 二、课堂活动: 【例 1】填空题: .

?
2

) 的部分图像如下图所示, 则 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) y
1 1

O

(1)把函数 y ? sin(2 x ?

1 ? 个单位,所得到的图像的函数解析式为 3 6 1 ,再将图像上的所有点的横坐标变为 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图像的函数解 2

?

1

? 3

x

) 的图像向右平移

析式为



(2)要得到函数 y ? 3sin(2 x ?

?
4

) 的图像,只需将函数 y ? 3sin 2 x 的图像上所有的点


? x ? ? )(A ? 0,? ? 0, 0? ? ? ( 3 )若函数 f ( x) ? A sin(
是 .

?
2

)的部分图像如下图所示,则 ? 和 ? 的值分别

y

?

?
3

O 2? 3
例 1(3)

x

例 1(4)

(4)如图所示,某地夏天 8~14 时用电量变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b . ①这一天的最大用电量为______________,最小用电量为 ②这段曲线的函数解析式为 . .

【例 2】已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 图像的一个最高点(2, 3 ) ,由这个最高 点到相邻最低点的图像与 x 轴交于点(6,0) ,试求函数解析式.

2

【例 3】若函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 表示一个振动量:

(1)求这个振动的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样的变换而得到.

课堂小结 三、课后作业 1.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 相 ? 分别为

?
3

x ? ? )( ? ?

?
2

) 的图像经过点(0,1) ,则该简谐运动的最小正周期 T 和初



2 . 电 流 强 度 I ( A) 随 时 间 t ( s ) 变 化 的 函 数

I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
示 , 则 当 t? 是

?
2

) 的图像

如右图所

1 s 时 , 电 流 强 度 100
. 内 的 图

3. 如右图, 它表示电流 I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 在一个周期 像,则 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式为 .

x2 ? 4 . 为 了 得 到 函 数 y?s i n (

?
3

)图像,只需把函数 的
个长度单位.

y ? sin(2 x ? ) 的图像向右至少平移 6
5. 有一种波, 其波形为函数 y ? sin( 则正整数 t 的最小值是 6.已知 f ( x) ? cos(? x ?

?

?

2

x) 的图像, 若在区间 [0, t ](t ? 0) 上至少有 2 个波峰 (图像的最高点) ,


?
3

) 的图像与 y ? 1 得图像的两相邻交点间的距离为 ? ,要得到 y ? f ( x) 的图像,
个单位.

只需把 y ? sin ? x 得图像向左平移 7.已知将函数 f ( x ) ? 2sin

?
3

x 的图像向左平移 1 个单位,然后向上平移 2 个单位后得到的图像与函数

3

y ? g ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则函数 g ( x) ?_________.
8.函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,得到的图像恰好关于直线 x ? 是______________. 9.已知函数 y ? sin

?
6

对称,则 ? 的最小值

x x ? 3 cos ( x ? R) . 2 2
(2)写出函数的振幅、周期、初相、最值.

(1)作出函数的简图;

10.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ( 1 ) 求 函 数 f ( x) 的 解 析 式 ; (2)当

?
2

, x ? R) 的图像的一部分如下图所示.

2 x ? [ ?6 , ? 时,求函数 ] y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的 3
应的 x 的值.

最值及相

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

三角函数的图象(五点作图法与图象变换)参考答案 一、课前准备: 【自主梳理】 1. 简谐运动图像的解析式

振幅

周期

频率

相位

初相

y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0), x ? [0, ??)

A

T?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ??

?

4

2. ① T ?

2?

?

;②0,

? 3? ,? , , 2? . 2 2
2. (0,0) , (

【自我检测】 1.2,

2? ? , 3 6

3.向右平移

? 个单位 5

? 3? ,2) , ( ? ,0) , ( , ?2 ) , ( 2? ,0) 2 2 ? 1 ? 3 4. y ? sin(4 x ? ) 5. y ? sin( x ? ) 6. f ( x ) ? sin x 6 2 10 2
? 个单位 8
1 ? , 2 6

二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1) y ? sin 2 x , y ? sin 4 x (4)①50,30 ② y ? 10sin( (2)向左平移 (3)

?

x ? ) ? 40 6 6

?

【例 2】由题意得:

? T ? 16 ?

2?

T ? 6 ? 2 ? 4 ,即 T ? 16 . 4

x? ). 8 2 4 8 4 ? ? 2? ?? . 【例 3】 (1)函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的振幅为 3,初相为 ? ,周期为 3 3 2

?

?

?

.? ? ?

?

? ? ? 2 k? ?

?

8

n ( i s .又 A ? 3 ,过点(2, 3 ) ,? 3 ? 3

, k ? Z .? ? ? 2k? ?

?

, k ? Z .? y ? 3 sin(

?

?

) ?? . 8

?

(2)列表:

x
2x ?
y

?
3

? 6
0 0

5? 12

? 2
3

2? 3

?
0
?

11? 12 3? 2 ?3

7? 6
2?
0

描点画图:图略.
6 2 ? y ? sin 2 x ?????? ? y ? sin (2 x ? (3)法一: y ? sin x ??????? 纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍 向右平移 个单位

?
3



纵坐标变为原来的3倍 ??????? ? y ? 3sin (2 x ? ) 横坐标不变 3

?

3 ? y ? sin (x ? 法二: y ? sin x ??????

向右平移 个单位

?

?

2 ) ??????? ? y ? sin (2x ? ) 纵坐标不变 3 3

1 横坐标变为原来的 倍

?

纵坐标变为原来的3倍 ??????? ? y ? 3sin (2 x ? ) 横坐标不变 3

?

三、课后作业 1.6, 6.

5? 12

? 6

2. ?5 A 7. 2 sin

3. I ?

?
3

x?2

100? ? 3 sin( t? ) 3 3 5? 8. 12

4.

? 4

5.5

5

9. (1) y ? sin 列表

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3 ? 2? 3
0 0

x
x ? ? 2 3 y
描点画图,图略. 把 [?

? 3 ? 2
2

4? 3

?
0

7? 3 3? 2 ?2

10? 3
2?
0

2? 10? , ] 之间的图像向左、右扩展,即可得到它的简图. 3 3

(2)由(1)知函数的振幅为 2,周期为 4? ,初相为 10. (1) f ( x) ? 2sin(

x? ), 4 4 ? ? 2 ? (2)当 x ? ? ,即 x ? ? 时, y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 取得最大值为 6 ;当 x ? ?? ,即 x ? ?4 时, 4 6 3 4

?

?

? ,最大值为 2,最小值为 ?2 . 3

y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 取得最小值为 ?2 2 .

6


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