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上海市杨浦区2011学年第二学期初三数学基础测试卷.doc

上海市杨浦区 2011 学年第二学期初三数学基础测试卷
2012.3 (完卷时间:100 分钟 一、 选择题( 选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) ( ▲ ) 满分:150 分)

1.实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示,则下列关系式正确的是 . (A) a ?b < 0 ; (C) ab (B) a

=b



>0



(D) a + b > 0 .

2.下列运算正确的是 . ( (A) a + a = a ;
2 4 6


5



(B) a ? a = a ; (C) ( a 2 ) 4 = a 6 ;
2 4 6

(D) a ÷ a = a .
10 2

3.函数 y = .

x+3 中自变量 x 的取值范围是 x ?1
(B)x≥-3 且 x≠1; (C)x≠1;



▲ )

(A)x≥-3;

(D)x≠-3 且 x≠1.

uuu r
4.若 AB 是非零向量,则下列等式正确的是 . uuu uuu r r uuu r uuu r (B) AB = BA ; (A) AB = BA ; (
uuu uuu r r (C) AB + BA = 0 ;
uuu r uuu r

▲ )

(D) AB + BA = 0 . ( ▲ )

5.已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 2 和 1,若两圆相交,则圆心距 O1O2 可以是 .

(A)2;

(B)4;

(C)6;

(D)8.

6.命题:①对顶角相等;②两直线平行,内错角相等;③全等三角形的对应边相等。 . 其中逆命题为真命题的有 (A)0 个; (B)1 个; (C)2 个; (D)3 个. ( ▲ )

二、

填空题( 填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分)
3

7.分解因式 x ? 4 x = . 8.计算 ( 2 + 1)(2 ? 2) = .



. .



9.已知反比例函数 y = .

k 的图象经过点(3,-4),则这个函数的解析式为 x



.

2 10.若关于 x 的方程 2 x ? ax ? 2a = 0 有两个相等的实数根,则 a 的值是 .



.

11.将分式方程 .

1 4x + 2 = 1 去分母后,化为整式方程是 x+2 x ?4



.

12.一个不透明的袋子中有 2 个红球、3 个黄球和 4 个蓝球,这些球除颜色外完全相同,从袋子中随机摸出一 . 个球,它是红色球的概率为 ▲ .

13.某家用电器经过两次降价,每台零售价由 350 元下降到 299 元。若两次降价的百分率相同,设这个百分率 . 为 x,则可列出关于 x 的方程为 ▲ .

14.已知一次函数 y = kx + b ( k > 0 )的图象过点(1,-2) . ,则关于 x 的不等式 kx + b + 2 ≤ 0 的解集是 ▲ . ▲

15.等腰梯形的腰长为 5 ㎝,它的周长是 22 ㎝,则它的中位线长为 . 16.正十五边形的内角等于 _ . ▲ 度.

㎝.

17.如图,以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OM 交于点 A,再以 A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧 . 交于点 B,画射线 OB,则 cos∠AOB 的值等于 ▲ .

18.如图,把 Rt△ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点 A、B 的坐标分别为(1,0)(4,0) . 、 , 将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,线段 BC 扫过的面积为 y B C ▲ cm2.

A O (第 17 题图) A M O B 第 18 题图

x

解答题( 三、 解答题(第 19~22 题每题 10 分,第 23~24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19.化简求值: (1 ? .

x 2 ? 2x + 1 1 其中 x = 2 . )÷ x x2 ?1

?3 x ? 5 < 2 x, ? 20.解不等式组 ? x ? 1 并将其解集在数轴上表示出来. . ≤ 2x +1 ? 2 ?

21.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30°,⊙O 的半径 3 cm,则弦 CD 的长为多少? .

22.为了解某社区居民在一次爱心活动中的捐款情况,对该社区部分捐款户的捐款情况进行了调查,并将有关 . 数据整理成如图所示的统计图(不完整).已知A、B两组捐款户数直方图的高度比为1:5,请结合图中相关 数据回答下列问题.

第 20 题图

(1)A 组的频数是 (2)C 组的频数是 (3)请补全直方图;

;本次调查样本的容量 ;



(4)若该社区有 500 户住户,则估计捐款不少于 300 元的户数



23. 如图, . 在△ABC 中, 是 BC 边上的一点, 是 AD 的中点, A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F, D E 过 且 AF=BD,连结 BF。 (1) 求证:BD=CD; (2) 如果 AB=AC,试判断四边形 AFBD 的形状,并证明你的结论。

24.已知直线 y = .

1 x + 1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90° ,使点 A 落在点 2

C,点 B 落在点 D,抛物线 y = ax 2 + bx + c 过点 A、D、C,其对称轴与直线 AB 交于点 P, (1) 求抛物线的表达式; (2) 求∠POC 的正切值; (3) 点 M 在 x 轴上,且△ABM 与△APD 相似,求点 M 的坐标。
1 y

O

1

x

25. 本题满分 14 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 7 分) . (本题满分 ( 小题 小题 ) 梯形 ABCD 中,AD//BC,∠ABC=α( 0° < α < 90° ) ,AB=DC=3,BC=5。点 P 为射线 BC 上动点(不与点 B、 C 重合) ,点 E 在直线 DC 上,且∠APE=α。记∠PAB=∠1,∠EPC=∠2,BP=x,CE=y。 (1)当点 P 在线段 BC 上时,写出并证明∠1 与∠2 的数量关系; (2)随着点 P 的运动, (1)中得到的关于∠1 与∠2 的数量关系,是否改变?若认为不改变,请证明;若认为 会改变,请求出不同于(1)的数量关系,并指出相应的 x 的取值范围; (3)若 cos α =

1 ,试用 x 的代数式表示 y。 3
A D E A

(备用图) D

B

P

C

B

C

杨浦区初三数学基础测试卷答案 杨浦区初三数学基础测试卷答案
一、 选择题(每题 4 分,共 24 分) 1、 D;2、B;3、B;4、B;5、A;6、C 二、 填空题(每题 4 分,共 48 分)

2012.3

7、 x ( x + 2)( x ? 2) ;8、 2 ;9、 y = ?

12 2 2 ;10、0,或-16;11、 x ? 5 x ? 2 = 0 ;12、 ; x 9 1 ;18、8 2

13、 350(1 ? x) = 299 ;14、x≤1;15、6;16、156;17、
2

三、解答题

19、解:原式=

x ?1 x2 ? 1 ? 2 -----------------------------------------------------1 分,1 分 x x ? 2x + 1 x ? 1 ( x ? 1)( x + 1) ? -----------------------------------------------------------4 分 x ( x ? 1) 2 x +1 ------------------------------------------------------------------------------2 分 x
3 -------------------------------------------------------------------------------2 分 2

=

=

当 x=2 时,原式=

20、解:由 3 x ? 5 < 2 x 解得 x < 5 -------------------------------------------------------------3 分



x ?1 ≤ 2 x + 1 解得 x ≥ ?1 --------------------------------------------------------3 分 2

∴不等式组的解为 ?1 ≤ x < 5 ------------------------------------------------------2 分 图略------------------------------------------------------------------------------------------------2 分 21、解:∵CD⊥AB,∠CDB=30°,∴设 BE=a,则 DE= 3a ---------------------1 分 ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,∴CE=DE,-----------------------------2 分 ∵OC=OB= 3 , ∴OE= 3 -a----------------------------------------------------------1 分 ∴在 Rt△OEC 中, OC = CE + OE ,-------------------------------------------------2 分
2 2 2

∴ 3 = 3a 2 + ( 3 ? a ) 2 ,∴ a =

3 ,----------------------------------------------------2 分 2

CD = 2CE = 2 × 3 ×

3 = 3 --------------------------------------------------------------2 分 2

22、 (1)2;50;-----------------------------------------------------------------------------2 分,2 分 (2)20-------------------------------------------------------------------------------------------------2 分

(3)略-------------------------------------------------------------------------------------------------2 分 (4)180-----------------------------------------------------------------------------------------------2 分 23、证明: (1)Q AF ∥ BC ,∴∠AFE = ∠DCE -----------------------1 分

Q E 是 AD 的中点,∴ AE = DE . ------------------------------------------1 分
又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC --------------------------------------2 分

∴ AF = DC ,-----------------------------------------------------------------------1 分
Q AF = BD

∴ BD = CD

---------------------------------------------1 分

(2)四边形 AFBD 是矩形 ----------------------------------------------------2 分

Q AB = AC , D 是 BC 的中点∴ AD ⊥ BC ,∴∠ADB = 90o --------1 分
Q AF = BD , AF ∥ BC ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形 -------------2 分
o 又 ∠ADB = 90

∴ 四边形 AFBD 是矩形.------------------------------------1 分

24、解: (1)由题意得 A(-2,0) ,B(0,1) ∵△AOB 旋转至△COD,∴C(0,2) ,D(1,0)----------------------------------------2 分 ∵ y = ax 2 + bx + c 过点 A、D、C,

?0 = 4a ? 2b + c ?a = ?1 ? ? ∴ ?0 = a + b + c ,∴ ?b = ?1 ,即抛物线是 y = ? x 2 ? x + 2 -----------------2 分 ?2 = c ?c = 2 ? ?
(2)设对称轴与 x 轴交点为 Q。 ∵PQ//y 轴,∴∠POC=∠OPQ ∵抛物线的对称轴为直线 x= ? C

1 ,-----------------1 分 2
P

B

∴P( ?

1 3 , )---------------------------------------1 分 2 4

A

Q

O

D

∴PQ=

OQ 2 3 1 ,OQ= ,在 Rt△PQO 中,tan∠OPQ= = 4 2 PQ 3
2 .-------------------------------------------2 分 3

∴tan∠POC=

(3)∵点 M 在 X 轴上,且△ABM 与△APD 相似,∴点 M 必在点 A 的右侧

∵∠A=∠A,∴

AP AB AP AM 或 ,--------------------------------------------------2 分 = = AD AM AD AB

1 3 1 3 (?2 + ) 2 + ( ) 2 ( ?2 + ) 2 + ( ) 2 5 2 4 = AM ∴AM=4 或 AM= 5 2 4 = 即 或 3 AM 3 4 5 ,
∴M(2,0)或( ?

3 ,0)----------------------------------------------------------------------1 分,1 分 4

25、 、 (1)∠1=∠2---------------------------------------------------------------1 分 证明:∵∠APC=∠ABC+∠1,又∠APC=∠APE+∠2, ∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2, ∵∠ABC=α=∠APE,∴∠1=∠2------------------------------2 分 (2)会改变,当点 P 在 BC 延长线上时,即 x > 5 时,----------1 分 ∠1 与∠2 的数量关系不同于(1)的数量关系。 解:∵∠APE=α=∠ABC,∴∠APB=α-∠2,-------------------1 分 ∵∠ABC+∠BAP+∠APB=1800,∴α+∠1+α-∠2=1800,----1 分 ∴∠1-∠2=1800-2α。-------------------------------------------------1 分

(3)情况 1:当点 P 在线段 BC 上时, ∵∠1=∠2,∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCE,-------------------------------------------------------1 分



AB BP = ,------------------------------------------------------------1 分 PC CE
3 x 5 1 = ,∴ y = x ? x 2 。------------------------------------2 分 5? x y 3 3
1 G K M C E 2 P



D

情况 2:当点 P 在线段 BC 的延长线上时, 可得△EPC∽△EGP,∴ EP = EC ? EG --------------------------1 分
2

作 AM//CD,可得 GC =

3 ( x ? 5) x?2

α B

1 1 2 2 1 作 EK⊥BP,由 cos α = 得 CK = y , KE = y,∴ KP = x ? 5 ? y 3 3 3 3
∴ EP = (
2

2 2 2 1 y) + ( x ? 5 ? y)2 , 3 3

于是 y ( y +

3( x ? 5) 2 2 2 1 )=( y) + ( x ? 5 ? y)2 x?2 3 3

即y +
2

3 8 2 1 ( x ? 5) y = y 2 + ( x ? 5) 2 ? ( x ? 5) y + y 2 x?2 9 3 9

3 x 2 ? 21x + 30 亦即 y = -----------------------------------------------2 分 2x + 5


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