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2015-2016学年度下学期禹州高中高二实验班周考试卷


绝密★启用前(2016.5.7)

2015-2016 学年度禹州高中高二实验班周考试卷

理科数学
注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案填写在答题卡上

命题人:赵伟峰

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1、已知复数 z 满足 (2 ? i) z ? 5 ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

2、函数 f ( x) ? ex sin x 的图象在点(0,0)处的切线的倾斜角为( A.0 B.

? ? 3? C. D. 4 4 3 3、用反证法证明命题: “已知 a、 b 是自然数,若 a ? b ? 3 ,则 a、 b 中至少有一个不小于 2” , 提出的假设应该是( ) A. a、 b 至少有二个不小于 2 B. a、 b 中至少有一个不小于 2 C. a、 b 都小于 2 D. a、 b 中至少有一个小于 2
1,2,3,4?,B= ?5,6,7?,则从 A 到 B 的不同映射的个数为( 4、设集合 A= ?
3 A. A4 3 B. C 4

)

C. 4 3

D. 34

5、某农科所要在一字排开的 1, 2,3, 4,5,6 六块试验田中,种植六种不同型号的农作物,根据要 求,农作物甲不能种植在第一及第六块试验田中,且农作物乙与甲不能相邻,则不同的种植 方法有( ) A. 216 种 B. 288 种 C. 312 种 D. 192 种 6、已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 , 则 ? | ai | ? (
i ?1 7

) D. 2187 ) D.

A. 0

B. 1

C. 2186

7、已知 ? ~ B(n, p) ,且 E (? ) ? 7, D(? ) ? 6 ,则 p 等于( A.

1 7

B.

1 6

C.

1 5

1 4

8、两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品,乙加工了 60 个,其中有 50 个合格,令 A 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取出的是合格品”, B 事 件为“从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则 P( A | B) 等于(
-1-



A.

2 5

B.

7 20

C.

7 8

D.

5 7

9、体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少 于其编号,则不同的方法有( A.42 种 B.28 种 ) C.16 种 D.10 种

10、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,已知函数 y= f '( x) 的图象 如图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. (
1 ,3) 2 b?2 的取值范围是( a?2



1? ? B.? ??, ? ? (3, ??) 2? ?

1 1 C. ( , ) 3 2

D. (??, ?3)

11 、 对 于 任 意 的 t ?[1, 2] , 函 数
f ( x) ? x 3 ? (2 ? m 2 ) x - 2 x 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,则 m 的取值范围是( 2 37 37 ? m ? ?9 A. ? ? m ? ?5 B. ? C. ? 9 ? m ? ?5 D. ? 9 ? m ? 0 3 3



12、若函数 f ( x) 对其定义域内的任意 x1 , x 2 ,当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时,总有 x1 ? x 2 ,则称 f ( x) 为 紧密函数.例如函数 f ( x) ?? ln x( x ? 0) 是紧密函数,下列命题:①紧密函数必是单调函数;② 函数 f ( x) ?

?log 2 x, x ? 2, x2 ? 2 x ? a ( x ? 0) 在 a ? 0 时是紧密函数; ③函数 f ? x ? ? ? 是紧密函数; x ?2 ? x , x ? 2

④若函数 f ( x) 为定义域内的紧密函数,则 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;⑤若函数 f ( x) 是紧密 函数且在定义域内存在导数,则其导函数 f ' ( x) 在定义域内的值一定不为零.其中的真命题是 ( ) A.②④ 13、定积分 ?
1

B.①②

C. ①②④⑤

D. ①②③⑤

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)
0

x(2 ? x)dx ? __________
8

?x 1 ? 14、二项式 ? ? 3 ? 的展开式中常数项为 x? ?2



15、现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得

-2-

﹣1 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射 手每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击,则该射手得 3 分的概率为 _________ . 1 16、设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,且 f ?( x) ? 2 f ( x) , ( x ? R) , f ( ) ? e ( e 为自然对数的底 2 数) ,则不等式 f (ln x) ? x2 的解集为 .

三、解答题: (第 17 题满分 10 分,其它小题满分均为 12 分,共 70 分,解答必须有必要的文 字说明或解题步骤。 ) 17、已知 i 是虚数单位,复数 z1 满足 ? z1 ? 2??1 ? i ? ? 1 ? i . (1)求复数 z1 ; (2)若复数 z 2 的虚部为 2 ,且
z2 是实数,求 z2 . z1

18、数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并由此猜想通项公式 an ; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

19、为弘扬民族古典文化,市电视台举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机从题 库中抽取题目让选手抢答,回答正确将给该选手记正 10 分,否则记负 10 分.根据以往统计, 2 某参赛选手能答对每一个问题的概率为 ; 现记 “该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 Sn ” . 3 (1)求 S6 ? 20 且 Si ? 0(i ? 1, 2,3) 的概率; (2)记 X ? S5 ,求 X 的分布列,并计算数学期望 E ( X ) .

-3-

4 5 20、已知: An ? 40Cn , 设 f ( x) ? ( x ?

3

1 n ) . x

(1) f ? x ? 的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可 ) ; ...... (2)求 f ? x ? 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

21、设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? ln x, g ( x) ? e x ? ax . (1)当 a ? 7 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22、已知函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x)( a ? R) , g ( x) ? x 2emx (m ? R) . 1? x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (2)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ?[0,2], f ( x1 ) ? 1 ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

禹州高中高二实验班周考试卷

理科数学参考答案
一、选择题 1-5 DBCDB 二、填空题 13. 6-10 14. 7 CACDA 15. 11-12 BA

? 4

4 9

16. (0, e )

三、解答题 17. 解析: (1) z1 ? 1 ? i ? 2 ? 2 ? i .
1? i

????5 分

(2)设 z2 ? a ? 2i ? a ? R ? ,则 ∴ z2 ? 4 ? 2i ,∴ z2 ? 2 5 . 考点:复数的运算.

z2 a ? 2i 2a ? 2 ?a ? 4 ? ? ? i ,∴ ?a ? 4 ? 0, ? a ? 4 . 2?i 5 5 z1

????10 分

18. 解析: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=s1=2﹣a1,所以 a1=1. 当 n=2 时,a1+a2=s2=2×2﹣a2,所以 同理: 由此猜想 ????6 分 (Ⅱ)证明:①当 n=1 时,左边 a1=1,右边=1,结论成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N)时,结论成立,即 , ????8 分 , . .

????4 分

那么 n=k+1 时,ak+1=sk+1﹣sk=2(k+1)﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1,

所以 2ak+1=2+ak,所以 这表明 n=k+1 时,结论成立. 由①②知对一切 n∈N 猜想 成立.



????12 分

考点:数学归纳法;数列递推式;归纳推理. 19.解析: (1)当 S6 ? 20 时,即回答 6 个问题后,正确 4 个,错误 2 个.若回答正确第 1 个和第 2 个 问题,则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题;若第一个问题回答正确,第 2 个问题回答错误,第
-5-

三个问题回答正确,则其余三个问题可任意回答正确 2 个.记回答每个问题正确的概率为 p ,则

2 1 .同时回答每个问题错误的概率为 . 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 16 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ? C32 ? ( ) 2 ? ? .?5 分 故所求概率为: P ? ( ) 2 ? C4 3 3 3 3 3 3 3 3 81 5 (2)回答完 道题,根据各题回答正确与错误的个数角度共有 6 种情况:全对与全错,对 4 道错 1 道 p?
与对 1 道错 4 道, 对 3 道错 2 道与对 2 道错 3 道, 对应的得分分别是 50, ?50,30, ?30,10, ?10 , 所以 X 的 取值为 10,30,50 ,由 n 次独立试验中事件发生的概率公式可得

2 1 2 1 40 3 P( X ? 10) ? C5 ? ( )3 ? ( )2 ? C52 ? ( )2 ? ( )3 ? 3 3 3 3 81 2 1 30 1 2 1 1 4 P( X ? 30) ? C54 ( ) 4 ( )1 ? C5 ( )( ) ? , 3 3 3 3 81
2 1 11 5 P( X ? 50) ? C5 ? ( )5 ? C50 ? ( )5 ? 3 3 81
故 X 的分布列为: 10 30 X 50 ????9 分

P

40 81

30 81

11 81
????12 分

? E ( X ) ? 10 ?

40 30 11 1850 ? 30 ? ? 50 ? ? 81 81 81 81

考点: n 次独立试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率及离散型随机变量的分布列和数学期望.

4 5 20.解析: (1)由已知 An 得: ? 40Cn

n! n! ? 40 解得: n ? 7 ?3 分 (n ? 4)! (n ? 5)!5!
r 4

当 n ? 7 时, f ( x) ? ( x ? 要为有理项则 7 ?

7? r 1 7 1 ? 7?r ? r r r 3 ) 展开式的通项为 T ? C x ? ? ? C ( ? 1) x ? ? r ? 1 7 7 ? ? 3 x ? 3x?

4 r (r ? 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7) 为整数,此时 r 可以取到 0, 3, 6 , 3 所以有理项分别是第 1 项,第 4 项,第 7 项. ????6 分
(2) f ( x) ? ( x ?
3

1 7 ) 展开式的通项为 x
r

Tr ?1 ? C ? x ?
r 7

7?r

4 7? r ? 1 ? r r ? ? ? 3 ? ? C7 (?1) x 3 (r ? 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7) x? ?

f ( x) 的展开式中共有 8 项,其中第四项和第五项的二项式系数最大,而第五项的系数为正且等于第五
-6-

4 3 项的二项式系数,故第五项的系数最大,即系数最大项为 T5 ? C7 x (?

1 4 ) = 35 x 3 3 x

5

第四项的系数为负且等于第四项二项式系数的相反数 , 故第四项的系数最小 , 即系数最小项为

T4 ? ?35 x3 .

??????12 分

考点:1.二项展开式的通项公式;2.有理项;3.二项式系数. 21.解析:(1)当 a ? 7 时, f ( x) ? 7 x 2 ? ln x, f ?( x) ? 14 x ? ∵ f (1) ? 7 , ∴曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 7 ? 13( x ? 1) 即 y ? 13x ? 6 .4 分 (2)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,即 ax 2 ? ln x ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则 a ? ( 设 h( x ) ?

1 ,∴ f ?(1) ? 13 , x

ln x ) max , x2

ln x 1 ? 2 ln x ( x ? 0) ,则 h?( x ) ? , 2 x x3
1 1

当 0 ? x ? e 2 时,h?( x) ? 0 , 函数 h( x) 递增; 当 x ? e 2 时,h?( x) ? 0 , 函数 h( x) 递减, 所以当 x ? 0 时,

h( x) max ? h(e 2 ) ?

1

1 1 ,∴ a ? . 2e 2e

∵ h( x) 无最小值,∴ f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立不可能.

ex ∵ f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ g ( x) ? e ? ax ? 0 ,即 a ? 对 x ? (0, ??) 恒成立. x
x

设 H ( x) ?

e x ( x ? 1) ex ,∴ H ?( x) ? ,当 0 ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x ) 递减; x2 x

当 x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x ) 递增,所以当 x ? 0 时, H ( x)min ? H (1) ? e ,∴ a ? e . 综上可得,

1 ? a ? e. 2e

????12 分

考点:导数的几何意义及利用导数求函数在给定区间上的极值、最值.本题主要考查了导数的几何意 义及利用导数研究不等式的恒成立问题,属于中档题. 22.解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为: x ? (?1,??) , 当 a ? 1 时, f ?( x) ?

1? x ? x 1 ?x ? ? , 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2

∴ x ? (?1,0) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?1,0) 上单调递增,
-7-

∴ x ? (0,??) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 0 . ????5 分

(2)令 ? ( x) ? f ( x) ? 1 ,因为“对任意的 x1 , x2 ?[0,2], f ( x1 ) ? 1 ? g ( x2 ) 恒成立” , 对任意的 x1 , x2 ?[0,2],? ( x) min ? g ( x) max 成立,由于

? ?( x) ?

1 a ? ax ? a ? 1 , ? ? 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2

当 a ? 0 时, ?x ? [0,2] 有 ? ?( x) ? 0 ,从而函数 ? ( x) 在 [0,2] 上单调递增, 所以 ? ( x) min ? ? (0) ? 1 ,

g?( x) ? 2xemx ? x 2emx ? m ? (mx2 ? 2x)emx ,
当 m ? 0 时, g ( x) ? x 2 , x ? [0,2] 时, g ( x)max ? g (2) ? 4 ,显然不满足 g ( x) max ? 1, 当 m ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? ? ①当 ?

2 , m

2 ? 2 , 即 ? 1 ? m ? 0 时 , 在 [0,2] 上 g ?( x) ? 0 , 所 以 g ( x) 在 [0,2] 单 调 递 增 , 所 以 m

g ( x)max ? g (2) ? 4e2m ,只需 4e 2 m ? 1 ,得 m ? ? ln 2 ,所以 ? 1 ? m ? ? ln 2 .
2 2 2 ? 2, 即 m ? ?1 时, 在 [0,? ] 上 g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递增, 在 [? ,2] 上 g ?( x) ? 0 ,g ( x) m m m 2 2 4 4 单调递减,所以 g ( x) max ? g (? ) ? 2 2 ,只需 2 2 ? 1 ,得 m ? ? ,所以 m ? ?1 . e m me m e 2 ③当 ? ? 0 ,即 m ? 0 时,显然在 [0,2] 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,所以 g ( x)max ? g (2) ? 4e2m , m
②当 0 ? ?

4e 2 m ? 1 不成立.
综上所述, m 的取值范围是 (??,? ln 2] . 考点:导函数的运用,解含参数的不等式. ????12 分

-8-


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