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《空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理》(北师大版选修2-1)_图文

理解 教材新知 § 3 第 二 章 3.1 & 3.2

知识点一
知识点二 考点一

把握 热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

3.1 & 3.2

空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理

如果向量e1、e2、e3是空间三个 不共面 的向量,a是

空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 .
其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 基底 . a=λ1e1+λ2e2+λ3e3 表示向量a关于基底e1,e2,e3 的分解.

空间中任给三个向量a,b,c. 问题1:什么情况下,向量a,b,c可以作为一个基底? 提示:它们不共面时. 问题2:若a,b,c是基底,则空间任一向量v都可以由a, b,c表示吗? 提示:可以.

空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的已知 向量a,b,c可以表示出空间任一向量;空间中的基底是 不唯一的,空间任意三个不共面的向量均可作为空间向 量的基底.

标准正交基与向量坐标
(1)标准正交基: 在给定的空间直角坐标系中,x轴, y轴,z轴正方向的 单位向量 i,j,k叫 做标准正交基.

(2)标准正交分解:
设i,j,k为标准正交基,对空间任意向量a,存在唯一一 组三元有序实数(x,y,z),使得a= xi+yj+zk ,叫做a的标 准正交分解.

(3)向量的坐标表示: (x,y,z) 在a的标准正交分解中三元有序实数 叫做空 (x,y,z) 间向量a的坐标,a= 叫作向量a的坐标表示.

(4)向量坐标与投影:
①一般地,对于任意向量a和b,则称

|a|cos〈a,b〉

为向量a在向量b上的投影.

[例 1] AA′=6.

如图,在空间直角坐标系中,有长

方体 ABCD-A′B′C′D′,AB=3,BC=4, (1)写出 C′的坐标,给出 AC ? 关于 i,j,k 的分解式; (2)求 BD? 的坐标. [思路点拨] (1)C′的坐标(也是 AC ? 的坐标),即为 C′在 x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影,即|OD|,|OB||OA′|. (2)写出 BD? 关于 i,j,k 的分解式,即可求得 BD? 的坐标.

[精解详析]

(1)∵AB=3,BC=4,AA′=6,

∴C′的坐标为(4,3,6). ∴ AC ? =(4,3,6)=4i+3j+6k. (2) BD? = AD? - AB . ∵ AD? = AD + AA? =4i+6k, ∴ BD? = AD? -=- AB + AD + AA? =4i-3j+6k, ∴ BD? =(4,-3,6).

[一点通] (1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐 标的前提,应充分利用已知图形的特点,寻找三条两两垂 直的直线,并分别为x,y,z轴进行建系. (2)若表示向量 AB 的坐标,只要写出向量 AB 关于i, j,k的标准正 交分解式,即可得坐标.

1.在如图所示的空间直角坐标系中, 正方体 1 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,B1E1= 4 A1B1,则 DE1 的坐标为________.

解析:显然 D 为原点,设 E1(x,y,z), 3 3 易知 x=1,y= ,z=1,∴ DE1 =(1, ,1). 4 4 3 答案:(1, ,1) 4

2. 已知点 A 的坐标是(1,2, -1), 且向量 OC 与向量 OA关 于坐标平面 xOy 对称, 向量 a 与向量 OA 关于 x 轴对称, 求向量 OC 和向量 a 的坐标.

解:如图,过 A 点作 AM⊥平面 xOy 于 M,则直线 AM 过点 C,且 CM=AM, 则 点 C 的 坐标 为 (1,2,1) , 此 时 OC = (1,2,1),该向量与 OA =(1,2,-1)关于平 面 xOy 对称. 过 A 点作 AN⊥x 轴于 N,则直线 AN 过点 B, 且 BN=AN, 则 B(1,-2,1),此时=(1,-2,1),该向量与 OA 关于 x 轴 对称.

π 3.在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB= , 2 AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 A1B1 的中 点,在如图所示的空间直角坐标系中,求
DO 、 A1 B 的坐标.

解:(1)∵ DO =- OD =-( OO1 + OD1 ) 1 1 1 =-[OO1 + ( OA +)]=- OO1 - OA - =-4k-2i-j. 2 2 2 ∴ DO =(-2,-1,-4). (2)∵ A1 B =- OA1 =-( OA + AA1 ) =- OA - AA1 =2j-4i-4k. ∴ A1 B =(-4,2,-4).

[例 2]

如图,已知单位正方体 ABCD-

A′B′C′D′.求: (1)向量 CA? 在 CD 上的投影; (2) CD 是 单 位 向 量 , 且 垂 直 于 平 面 ADD′A′,求向量 CA? 在 DC 上的投影. [思路点拨] a 在 b 上的投影为|a|cos〈a,b〉 ,只 要求出|a|及〈a,b〉即可.

[精解详析]

(1) 法 一 : 向 量 CA? 在 CD 上 的 投 影 为

| CA? |cos〈 CA? , CD 〉 ,又正方体棱长为 1, ∴|CA′|= 12+12+12= 3,∴|CA? |= 3, ∠DCA′即为 CA? 与 CD 的夹角,在 Rt△A′CD 中, 1 3 cos∠A′CD= = ,∴ CA? CA? 在 CD 上的投影为 3 3 3 ? ? | CA |cos〈 CA , CD 〉= 3· =1. 3 法二:在正方体 ABCD-A′B′C′D′中, DC⊥AD, 〈 CA? , CD 〉=∠DCA′.

∴ CA? 在 CD 上的投影为: | CA? |cos〈 CA? , CD 〉=|CA? |cos∠DCA′=|CD |=1. (2) CA? 与 DC 的夹角为 180° -∠A′CD, ∴ CA? 在 DC 上的投影为 | CA? |cos(180° -∠A′CD)=-|CA? |cos∠D′CA=-1.

[一点通]

(1)求向量 a 在向量 b 上的投影, 可先求出|a|,

再求出两个向量 a 与 b 的夹角,最后计算|a|cos〈a,b〉 ,即 为向量 a 在向量 b 上的投影,它可正、可负,也可以为零; 也可以利用几何图形直观转化求解. (2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向,如本题中 〈 CA? , CD 〉与〈 CA? , DC 〉是不同的,其和为 π.

4.已知 i,j,k 为标准正交基,a=i+2j+3k,则 a 在 i 方 向上的投影为 A.1 C. 14 B.-1 D.- 14 ( )

解析:|a|cos〈a,i〉, a· i ∴|a|cos〈a,i〉= i =(i+2j+3k)· i=1.

答案:A

5.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=4,AD=AA1=2, 则向量 AC1 在向 量 AD1 上的投影为________.
解析: AC1 在 AD1 上的投影为| AC1 |cos〈 AC1 , AD1 〉 , 而| AC1 |= 42+22+22=2 6, |AD1| 3 在 Rt△AD1C1 中,cos∠D1AC1= = , |AC1| 3 ∴| AC1 |cos〈 AC1 , AD1 〉=2 2.
答案:2 2

[例 3]

(12 分)如图所示,平行六面体

ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 B1B 和 1 2 D1D 上,且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)证明 A、E、C1、F 四点共面; (2)若 EF =XAB+y AD +z AA1 ,求 x+y+z

[思路点拨 ]

要证明四点共面只需证明 AC1 可用 AE ,

AF 表示即可;第(2)问中求 x+y+z 只需先把 EF 用, AD ,
AA1 表示出来,求出 x、y、z,再求 x+y+z.

[精解详析]

(1)证明:AC1 = AE + EC1 ,

(1 分)

2 2 又 EC1 = EB1 + B1C1 = BB1 + B1C1 = AA1 + AD , (2 分) 3 3 2 2 AF = AD + DF = AD +3 DD1 = AD +3 AA1 ∴ EC1 = AF , ∴ AC1 = AE + AF , ∴A、E、C1、F 四点共面. (3 分) (4 分) (5 分) (6 分)

(2)∵ EF = AF - AE = AD + DF -( AB + BE ) 1 = AD + DD1 -- BB1 3 1 =-AB+ AD + AA1 , 3 1 ∴x=-1,y=1,z= . 3 1 ∴x+y+z= . 3

(7 分) (8 分) (9 分)

(11 分) (12 分)

[一点通]
(1)空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量 a、b、c构成的向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一 个向量,而且表示的结果是唯一的. (2)利用空间的一个基底a,b,c可以表示出所有向量, 注意结合图形,灵活应用三角形法则,平行四边形法则,及 向量的数乘运算,表示要彻底,结果只含有a、b、c,不能

再有其他向量.

6.设p:a、b、c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一 个基底,则p是q的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:若a,b,c为非零向量,当a,b,c共面时,a,b,
c不能作为空间的一个基底;若a,b,c为空间的一个基 底,则a,b,c不共面,a,b,c三个向量均不能为零向 量,故选B. 答案:B

7.如图所示,已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1,且 AA1 =a,=b, AD =c, 用 a,b,c 表示如下向量: (1) A1C ; 1 (2) BG (G 在 B1D1 上且 B1G = GD1 ). 2

解:(1) A1C =- AA1 =+ AD - AA1 =-a+b+c. (2) BG = BB1 + B1G , 1 1 又 B1G = B1 D = ( B1 A1 + A1 D1 ) 3 3 1 1 = ( AD -)= (c-b), 3 3 1 1 ∴ BG =a- b+ c. 3 3

8.若a,b,c是空间的一个基底.试判断a+b,b+c,c+a 能否作为该空间的一个基底.
解:假设 a+b,b+c,c+a 共面,则存在实数 λ、μ, 使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵a,b,c 为基底,∴a,b,c 不共面. ?1=μ, ? ∴?1=λ, ?0=λ+μ. ? 此方程组无解,说明假设不成立,

∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴a+b,b+c,c+a 可以作为空间的一个基底.

1.空间任一点P的坐标的确定:过P作面xOy的垂线,垂 足为P′.在平面xOy中,过P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分 别为A、C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|. 2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个 基底,基底中的三个向量e1,e2,e3都不是0. 3.空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯 一表示. 4.点A(a,b,c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别 为(a,-b,-c)、(-a,b,-c)、(-a,-b,c);它关于 xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a,b,- c)、(a,-b,c)、(-a,b,c)、(-a,-b,-c).


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