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新课标重庆2013~2014学年度高一年级下学期第三次月考数学(理科)试题附答案[编辑9页]


新课标重庆 2013~2014 学年度高一年级下学期 第三次月考数学(理科)试题附答案
一 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i

3+i =( ). 1? i
B.2-i C.2+i D.1+2i

2.由 1,2,3,4,6 这 5 个数字,组成无重复数字的三位数中,其中是 2 的倍数的有( A.60 3.计算 B.40
2

)个。

C.36 )

D.30

? 0( x
14 3

2

? 1)dx ? (

A.

B.5

C.

11 3


D.

8 3

4.下面几种推理过程是演绎推理的是( A.在数列 ?a n ?中 a1 ? 1, a n ?

1 1 (a n ?1 ? )( n ? 2) ,由此得出 ?a n ?的通项公式. 2 a n ?1

B.大足中学高一一班有 63 人,二班 65 人,三班 62 人,由此得高一所有班人数都超过 60 人. C.两条直线平行,内错角相等,如果 ?A 与 ?B 是两条平行直线的内错角,则 ?A = ?B . D.由平面内正三角形的性质,推知空间正四面体的性质. 5.已知 ( x ? ) 的二项展开式的各项系数和为 32 ,则二项展开式中 x 的系数为(
2 n

1 x



A. 5

B. 10

C. 20

D. 40

6.用数学归纳法证明命题时,某命题左式为 的项为 A. ( )

1 1 1 1 ,则 n=k+1 与 n=k 时相比,左边应添加 ? ? ?? ? n 2 3 4 2 ?1 1 1 1 1 ? k ? k ? ? ? k ?1 k 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 1 1 D. k ? k ?1 2 2 ?1
B.
2

1
k ?1

2 ?1 1 1 1 C. k ? k ? k ?1 2 2 ? 1 2 ?1

7.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为(


1 / 10

A.

1 2
3 2

B.

17 36

C.

5 9
) C.1

D.

19 36

8.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 4 ? 0 的实根的个数是( A.3 B.2

D.0

9.下列图像中有一个是函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 (a ? R, a ? 0) 的导数 f ?(x) 的图像,则 3

f (?1) ? (



A.

1 3

B. ?

1 3


C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3

10.将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a,甲、乙分到同一组 的概率为 p,则 a、p 的值分别为( A.a=210 , p=

4 21

B.a=105 , p=

4 21

C.a=210 , p=

5 21

D. a=105 , p=

5 21

二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置上.
11.已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1 f (1)) 处的切线方程是 y ? ,

1 1 1 x ? 2 ,则 f ( ) ? f'( ) ? 2
.



12.某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选. 在男生甲被选中的情况下,则女生乙也被选中的概率是 13.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 a n 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是
2

.

14.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x , 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 15. 若将函数
f ? x ? ? x5

表示为

f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ?
2

5

, 其中 a0 , a1 , a2 ,…, a5
2 / 10

为实数,则 a3 =______________.

三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在点 x ? 2 处取得极值 c ? 16 .
3

(1)求 a, b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最小值.

17.(13 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC , CB 的长,求 该矩形面积小于 32 cm 的概率.
2

3 / 10

18.(13 分)计算: (1)设 a, b ? R , a ? bi ?

11 ? 7i ( i 为虚数单位),求 a ? b 的值. 1 ? 2i

(2)若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 m 种.求 m
的值.

19.(12 分) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该
箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X).

[:]

4 / 10

20.(12 分) 今有标号为 1,2,3,4,5 的五个信封,另有同样标号的五封信.现将五封信任意装入五个信封,每 个信封装入一封信,求至少有两封信和信封标号相同的概率.

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0, x ? R) 为奇函数,且 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 2.[来:
3 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)记 g ( x) ?

f ( x) ? (k ? 1) ln x ,求函数 y ? g ( x) 的单调区间; x

(3)在(2)的条件下,当 k ? 2 时,若函数 y ? g ( x) 的图像在直线 y ? x ? m 的下方,求 m 的取值 范围.

5 / 10

新课标重庆 2013~2014 学年度高一年级下学期 第三次月考数学(理科)试题标准答案
一 选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 6.---10. BDBBD 1.---5. DCACB 二

填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
12.

11.3

2 5

13. a n ? 2n ? 1

14.4

15.10



解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分)
3

16.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在点 x ? 2 处取得极值 c ? 16 .
(1)求 a, b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最小值. 解:(1)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c ,故 f ?( x) ? 3ax ? b .……………… 1 分
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取得极值 c ? 16 ,

故有 ?

? f ?(2) ? 0, ?12a ? b ? 0, ?12a ? b ? 0, 即? 化简得 ? ……………… ? f (2) ? c ? 16, ?8a ? 2b ? c ? c ? 16, ?4a ? b ? ?8,
……………… 4分

3分

解得 ?

?a ? 1, 经检验,a=1,b=-12 适合题意,所以 a=1,b=-12. ?b ? ?12.
3

(2)由(1)知 f ( x) ? x ? 12 x ? c ,……………… 5 分

f ?( x) ? 3x 2 ? 12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) ,………………
令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 .……………… 7 分

6分

当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数; 当 x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数. ……………… 10 分 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x1 ? 2 处取得极小值 f (2) ? c ? 16 .

6 / 10

由题设条件知 16 ? c ? 28 ,得 c ? 12 .……………… 11 分 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21 , f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? ?16 ? c ? ?4 ,……………… 12 分 因此 f ( x) 在 [?3,3] 上的最小值为 f (2) ? ?4 .……………… 13 分

17. (本小题满分 13 分) 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC , CB 的
长,则该矩形面积小于 32 cm 的概率为 提 示 : 设 AC ? x(0 ? x ? 12) , 则
2 BC ? 12 ? x , 矩 形 的 面 积 S ? x(12 ? x) ? ? x ? 12 x ? 32 , 解 得
2

8 2 ? 0? x? 4 或12 ? x ? 8 ,故由几何概型可得所求事件的概率为 P = 12 3 .………
18.(本小题满分 13 分)(1)设 a, b ? R , a ? bi ?

13 分

11 ? 7i ( i 为虚数单位),求 a ? b 的值. 1 ? 2i
4分

提示:∵

11 ? 7i (11 ? 7i )(1 ? 2i) 25 ? 15i ? ? ? 5 ? 3i ,……………… 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

∴ a ? 5, b ? 3 , a ? b ? 8 .……………… 7 分 (2)若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 m 种.求 m 的值. 提示:分三类计算,则符合题意的取法共有 m=
0 2 4 C5 C4 ? C5 C2 ? C5 C0 ? 1 ? 60 ? 5 ? 66 (种). ……………… 13 分 4 4 4

19.(本小题满分 12 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得
1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). 解:(1)由题意得,X 的所有可能取值为 3,4,5,6.……………… 2 分 则 P( X ? 3) ?

C3 5 5 , ? C3 42 9

P( X ? 4) ? P( X ? 6) ?

2 C5 C1 10 4 , ? 21 C3 9

P( X ? 5) ?

2 C1 C4 5 5 , ? 3 14 C9

C3 2 4 .……………… 6 分 ? 3 C9 42

故所求 X 的分布列为

X P

3

4

5

6

5 42

20 10 ? 42 21

15 5 ? 42 14

2 1 ? 42 21
……………… 9分 7 / 10

(2)所求 X 的数学期望

E(X)= 3 ? P( X ? 3) ? 4 ? P( X ? 4) ? 5 ? P( X ? 5) ? 6 ? P( X ? 6) ?

91 . 21

………………

12 分

20.(本小题满分 12 分)今有标号为 1,2,3,4,5 的五个信封,另有同样标号的五封信。现将五封信任意装入 五个信封,每个信封装入一封信,求至少有两封信和信封标号相同的概率。 解:五封信任意装入五个信封的装法总数为 A5 ? 120 种。……………… 2 分
5

恰有两封信和信封标号相同的概率为

C 52 ? 2 20 ……………… ? 120 120
……………… 8分

5分

恰有三封信和信封标号相同的概率为

3 C5 10 ? 120 120

若有四封信和信封标号相同则第五封也必然相同,其概率为 故,所求概率为

1 1 ……………… ? 120 120

11 分

31 。……………… 120

12 分
3 2

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0, x ? R) 为奇函数,且 f ( x) 在 x ? 1处取得 极大值 2.[ XX(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)记 g ( x) ?

f ( x) ? (k ? 1) ln x ,求函数 y ? g ( x) 的单调区间; x

(③)在(2)的条件下,当 k ? 2 时,若函数 y ? g ( x) 的图像在直线 y ? x ? m 的下方,求 m 的取值 范围。[:] 解析:(1)由 f ( x) ? ax ? bx ? cx ( a ≠0)为奇函数,
3 2

∴ f (? x) ? ? f ( x) ,代入得, b ? 0 ∴ f '( x) ? 3ax ? c ,且 f ( x) 在 x ? 1取得极大值 2.
2

1分

[:]

∴?

? f '(1) ? 0, ?3a ? c ? 0, ?? ? f (1) ? 2, ?a ? c ? 2.

3分

[:][:]

解得 a ? ?1 ,

c ? 3 ,经检验,a=-1,c=3 适合题意,∴ f ( x) ? ? x3 ? 3x
(2)∵ g ( x) ? ? x ? 3 ? (k ? 1) ln x ,(x>0)
2

4分

∴ g '( x) ? ?2 x ? (k ? 1)

1 ?2 x 2 ? (k ? 1) ? x x

5分
8 / 10

因为函数定义域为(0,+∞),所以 ①





得 x ? 1, x ? ?

3 (舍去). 2

由函数 y ? h( x) 定义域为(0,+∞), 则当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? 1时 h '( x) ? 0 , ∴当 x ? 1时,函数 h( x ) 取得最大值 1- m ,则 1-m<0.
9 / 10

故 m 的取值范围是(1,+∞)。答 [1, ?? ) 也正确.

12 分

10 / 10


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