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人教B版高中数学课件 选修2-2:第三章 数系的扩充与复数的引入 2.2《复数代数形式的乘除运算》


3.2.2 复数代数形式的 乘除运算

复数代数形式的乘除运算
内容:掌握复数的代数形式的乘、除运算、运算律 及共轭复数的概念. 重点:复数代数形式的乘除法运算法则,运算 律及共轭复数的概念. 难点:复数的乘除运算及共轭复数的概念. 应用: 1、复数的乘法运算
2、复数的除法运算

3、复数方程的应用

本课主要学习复数代数形式的乘除运算。在复习 了复数加减法运算法则之后,类比多项式的乘法引入新 课,能够让学生在已有的知识与方法基础上理解和掌握 复数代数形式的乘除运算 , 接着讲述乘法运算律和共轭 复数。然后讲述复数的除法法则。另外 , 本节涉及的题 型基础且全面,适合大部分学生,例题与练习和作业针对 性较强,使本堂课知识与技能得到很好的落实. 在讲述复数代数形式的乘除法运算应用时,采用例
题与变式结合的方法,通过例1和变式1巩固掌握复数的 乘法运算;通过例2和变式2巩固掌握复数的除法运算; 通过例3和变式3巩固掌握复数方程的应用。采用一讲一 练针对性讲解的方式,重点理解复数代数形式的乘除法 运算在解题中的应用。

复数 z1 =a ? bi, z2 ? c ? di (a, b, c, d ? R)

1.复数z1和z2和的定义 :

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i
2.复数z1和z2差的定义 :
3.复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 4.复数的加法运算满足结合律:

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).

问题引入:通过计算,
(a ? bx)(c ? dx) ? ac ? (ad ? bc) x ? bdx2

类比复数是否也可以相乘,结果又如何?
1、复数乘法的法则

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi

2

? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.

2.乘法运算律:
计算 : (1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) 15 ? 26i (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) 15 ? 26i (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) ?47 ? 79i (4) (3 ? 2i) ?[( ?4 ? 3i) ? (5 ? i)] ?47 ? 79i 观察上述计算,试验证复数的乘法运算是 否满足交换、结合、分配律? 对任何z1 , z2 , z3 ? C有

(1)交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 (3)分配率:

(2)结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1z2 ? z1z3

3.共轭复数:
计算 : (1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i)=16 (2) (3 ? 2i)
2

(3 ? 2i)2 ? 5 ? 6i

通过观察比较上面两个复数有什么特点?它们 相乘的结果有什么不同?

共轭复数:当两个复的实部相等,虚部互为反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数, 通常记复数 z 的轭复数为 z 若a, b, c, d ? R,复数a ? bi与a ? bi叫做互为共轭复数,
当b ? 0时,它们叫做共轭虚数当时.



z1 , z2 是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2) z1 ? z2 是一个怎样的数? 答案: (1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称. (2)它们的乘积为实数,并且
z ? z ? (a ? bi) ? (a ? bi) ? a ? b ? z ? z 练习:说出下列复数的共轭复数
2 2 2 2

3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i
3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, ?2i

复数的除法法则
类比
1? 2 2? 3 ? (1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,写出复数的除法法则

先把除式写成分式的形式,再把分子

分母有 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即

理化

a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di
(a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? 2 2 c ?d (c ? di)(c ? di)

1.复数的乘法运算律: ①复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加 法的分配律 ②实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中 仍然成立,即对任何 z1 , z2 ? C及m, n ? N n m n m? n m n mn z ?z ? z , ? z ? ? z , ? z1 ?z2 ? ? z1n ?z2 n ③对于复数 z1 , z2 ,只有在整数指数幂的范围内才 成立,由此得几个常用的结论:

i ? ?1,i ? ?i,i ? 1,i ? i,(1 ? i) ? ?2i
2 3 4 4 2

2.共轭复数:a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数. (1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称. (2)它们的乘积为实数,并且
z ? z ? (a ? bi) ? (a ? bi) ? a ? b ? z ? z
2 2 2 2

两个共轭复数的乘积相当于实数里的平方差公式:

z ? z ? (a ? bi) ? (a ? bi) ? a ? (bi) ? a ? b
2 2 2

2

(3) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

(3)(1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

? (11 ? 2i)(?2 ? i)

? ?20 ? 15i

计算 : (1)( 3 ? 2i) ? (? 3 ? 2i) (2)(1 ? i)2 答案 : (1)( 3 ? 2i) ? (? 3 ? 2i) ? ?5 (2)(1 ? i) ? ?2i
2

例2.计算
解:

(1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

1? i 计算 : (1) 1? i 1 (2) i

1? i 答案 : (1) ?i 1? i 1 (2) ? ?i i

例3.计算
已知2i ? 3是关于x的方程2x ? px ? q ? 0的一个根,
2

求实数p, q的值.
解: 已知2i ? 3是关于x的方程2x 2 ? px ? q ? 0的一个根

x1 ? 3+2i,x2 ? 3 ? 2i 可知,方程的另一个根也是复数根,且与复数

2i ? 3互为共轭复数,即 由韦达定理可得:

p x1 ? x2 ? 3+2i ? 3 ? 2i ? 6 ? ? 2

? p ? ?12, q ? 26

q x1 ? x2 =(3+2i) ? (3 ? 2i) ? 13 ? 2

若1+ 2i是关于x的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0的一个复数根,则(D )

A. b ? 2, c ? 3 C. b ? ?2, c ? ?1

B. b ? 2, c ? ?1 D. b ? ?2, c ? 3

1.复数乘法运算律及性质. 2.复数除法运算律及性质. 3.共轭复数. 4.思想:类比的思想方法.

必做题:
1.复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z ? . ?3 ? i 2.复数 z ? 的共轭复数是 . 2?i 3. 若 复 数 z 满 足 z (2-i) ? 11 ? 7i ( i 为 虚 数 单 位 ), 则 z 为 .
?

4. 若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位 ) z 是 z 的共轭复数 , 则

z ? z 的虚部为
2

2

.

10i 5. 在 复 平 面 内 , 复 数 对 应 的 点 的 坐 标 3?i 为 .

2?i ? 1? i . 1. ( z ? i)i ? 2 ? i ? z ? i ? i ?3 ? i (?3 ? i)(2 ? i) ?5 ? 5i ? ? ?1 ? i , 所以其共轭复 2. z ? 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

数为 z ? ?1 ? i . 11 ? 7i (11 ? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i . 3. z ? 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5 4. 因 为
2 2

z ? 1? i
2 2

, 所 以

z ? 1? i

, 所 以

z ? z ? (1 ? i) ? (1 ? i) ? 2i ? 2i ? 0 .
10i 10i(3 ? i) 30i ? 10i 2 10 ? 30i 5. ? ? ? ? 1 ? 3i , 实部为 2 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 9 ?i 10

1,虚部为 3 ,对应复平面上的点为 (1,3) .

选做题:
b 1.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? 为 i

纯虚数”的(

)条件

11 ? 7i b ? R , a ? bi ? 2.设 a , (i 为虚数单位) , 则 a ? b 的值 1 ? 2i





b ? R , 利用公式 (a ? bi) ? (a ? bi) ? a2 ? b2 , 把下列 3. 设 a ,

各式分解成一次因式的积: (1) x ? 4
2

(2) x ? b4

4

b 1.? ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 , 而复数 a ? ? a ? bi 是纯虚数 i b ? a ? 0且b ? 0 ,? ab ? 0 ? a ? 是纯虚数,故选 B . i
11 ? 7i 2.由 a ? bi ? 得 1 ? 2i 11 ? 7i ?11 ? 7i ??1 ? 2i ? 11 ? 15i ? 14 a ? bi ? = = =5 ? 3i , 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 1? 4

b=3 , a ? b=8 . 所以 a =5,

3.(1) x2 ? 4 ? ( x ? 2i)( x ? 2i) . (2) x4 ? b4 ? ( x ? b)( x ? b)( x ? bi)( x ? bi) .


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