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不等关系与不等式练习题


不等关系与不等式 练习题
一、选择题: 1、已知 a ? b, 不等式① a ? b ,②
2 2

1 1 1 1 ? ,③ ? 能成立的个数是( a b a ?b a



A、0

B、 1

C、 2

D、3

2、对“a、b、c 是不全相等的正数” ,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为 A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( ) ( ) ②a>b 与 a<b 及 a≠c 中至少有一个成立;

3、若 a<b<0,则下列结论中正确的命题是 A.

1 1 1 1 均不能成立 ? 和 ? a b |a| |b| 1 1 1 1 均不能成立 ? 和 ? a ?b b |a| |b| 1 1 1 1 ? 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 b a?b a a 1 1 1 1 ? 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 |a| |b| b a
) ⑤a b ? b
2 3

B.

C.不等式

D.不等式

4、如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下不等式正确的个数是( ① A. 2

1 1 ? a b



1 1 ? a b

③ a b ? ab
3

3

④ a ? ab
3

2

B. 3

C.4

D. 5 )

5、已知 a>0,-1<b<0,则 a,ab,ab2 的大小关系是(

A、a> ab2>ab

B、ab>ab2>a

C、ab2>a>ab


D、ab2>ab>a

6、设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的是( A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.

a b ? d c

二、填空题: 7、b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0) ,若再加入 m 克糖(m>0) ,则糖水更甜了,试根据这 个事实写出一个不等式 。 8、设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1,
1
2 2

其中能推出:“a、b 中至少有一个实数大于 1”的条件是___________ 9、已知 A ? {x | ?2 ? x ? 5} , B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 满足 B ? A ,则实数 m 的范围 是__________ 10、已知 | a ? b |? ?c(a , b , c ? R)给出下列不等式: ① a ? ?b ? c ;② a ? ?b ? c ; ③ a ? b ? c ;④ | a |?| b | ?c ;⑤ | a |? ? | b | ?c .其中一定成 立的不等式是 三、解答题: 11、设 a、b 为实数,求证: (注:把成立的不等式的序号都填上) .

1? a2 ? 1? b2 a?b 2 ? 1? ( ) 4 2

12、若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围.

13、若 a>0,b>0,a3+b3=2.求证 a ? b ≤2, ab ≤1.

14、已知正项数列{an}满足 a1=P(0<P<1),且 a n ?1 ?

an 1 ? an

(I)求数列的通项 an; (II)求证:

a a1 a 2 a3 ? ? ? ??? ? n ? 1 2 3 4 n ?1

2

答案与解析: A组 1、 答案: 选 A。 提示: 对①, 当 a, b 为负时不成立, 对②, 只有 a, b 同号时才成立。 ③

1 1 ? a ?b a

?

b ,因为 b 的符号不确定,故不成立。 a ?a ? b?

2、答案:选 C。对①只有 a ? b ? c 时才成立,故正确。对②假设都不成立,则由 a>b 与

a<b 可知 a ? b ,又 a ? c 也不成立,即 a ? c ,故三个数都相等,假设不成立,②正确。
3、答案:B。解析:∵b<0,∴-b>0,∴a-b>a,又∵a-b<0,a<0,∴

1 1 ? . a ?b a



1 1 ? 不成立. a ?b a 1 1 1 1 故 不成立.由此可选 B. ? ? |a| |b| |a| |b|

∵a<b<0,∴|a|>|b|,∴

另外,A 中

1 1 1 1 ? 成立.C 与 D 中(a+ )2>(b+ )2 成立.其证明如下: a b b a

∵a<b<0,

1 1 1 1 1 1 ? <0,∴a+ <b+ <0,∴|a+ |>|b+ |, b a b a b a

故(a+

1 2 1 ) >(b+ )2. b a
3 3

4、答案:选 B。由 a ? 0 ? b 知①错,②正确; a b ? ab ? ab ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 ,故③正 确; a ? ab ? a ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 ,故④不正确; a b ? b ? b ? a ? b ?? a ? b ? ? 0 ,故⑤
3 2 2 3

正确。 5、答案:选 A。提示:特殊值 a ? 1, b ? ?

1 ,验证可得。 2

6、答案:A 解析:∵a>b,c>d,∴a+c>b+d.。 7、答案:

a?m a a ? m a m ?b ? a ? > 。提示: ? ? ? 0。 b?m b b ? m b b ?b ? m? 1 2 ①不满足; 当 a ? b ? 1 时, ②不满足; 当 a ? ?2, b ? ?3 , b ? 时, 2 3

8、 答案: ③。 提示: 当a ? 时④与⑤不满足。

9、答案: m ? 3 。提示:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,B 为空集,显然成立;当 B 不为
3

空集时,有 ?

?m ? ?3 ,综上 m 的范围为 m ? 3 。 ?m ? 3

10、答案:①②④。解析: (| a | ? | b | ≤| a ? b | ≤| a | ? | b | , (| a | ? | b | ≤| a ? b | ≤| a | ? | b | 这是绝对值不等式的重要性质,必须熟练地掌握) ∵ | a ? b |? ?c ? c ? a ? b ? ?c ? ?b ? c ? a ? ?b ? c ,∴①②是正确的. ∵ | a | ? | b | ≤ | a ? b | ? ?c ,∴ | a | ≤ | b | ?c ,∴④正确. 令 a ? 3 , b ? ?1 , c ? ?4 ,满足条件, 但 a ? 3 ? b ? c ? ?1 ? (?3) ? ?4 , | a |? 3 ? ? | b | ?c ? ? | ?1 | ?(?3) ? 2 不能成立, ∴③,⑤是错误的. 11、证: 要证明原不等式成立,则只要证:

1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ? 2 (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) a 2 ? b 2 ? 2ab ? 1? 2 4
只要证:

(1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 1 ? ab

若 1 ? ab ? 0 ,上式显然成立,从而原不等式成立; 若 1+ab>0,则只要证: 1 ? a ? b ? a b ? 1 ? 2ab ? a b
2 2 2 2 2 2

只要证: ( a ? b) ? 0
2

上式显然成立,从而原不等式成立。 12、解:

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3≤3f(-1)≤6. ①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 13、证法 1 (作差比较法) ∵a>0,b>0,a3+b3=2,

① ②

∴ (a ? b) 3 ? 2 3 =a3+b3+ 3a 2 b +3ab2-8= 3a 2 b ? 3ab 2 ? 6 =3[ ab(a ? b) ? 2] = 3[ab(a ? b) ? (a 3 ? b 3 )] = ?3 (a ? b)(a ? b) 2 ≤0, 即 (a ? b) 3 ≤23. 又∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? b ≤2.∵ 2 ab ≤ a ? b ≤2,∴ ab ≤1. 证法 2 (适当配凑,综合法)

4

∵a>0,b>0,a3+b3=2,∴2=a3+b3= (a ? b)(a 2 ? b 2 ? ab) ≥ (a ? b)(2ab ? ab) = b(a ? b) , ∴6≥ 3ab(a ? b) ,∴8≥ 3ab(a ? b) ? 2 =3a2b+3ab2+a3+b3= (a ? b) 3 , a ? b ≤2.(以下略) 14、解:(1)由已知得 an+1an=an-an+1

? 得

1 a n ?1

?

1 ? 1,由a1 ? p an 1 1 n ? ?1 p

1 1 ? ? (n ? 1) ? a n ? an p

(2)证明:? 0 ? p ? 1

?

1 ?1 ? 0 p

? an ?

1 1 ? 1 n n ? ?1 p a a1 a 2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ?????? ? 2 3 4 n ? 1 2 ?1 3 ? 2 4 ? 3 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? 1? ?1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

5


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