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【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列的概念及通项公式练习 苏教版必修5

2.2.1 等差数列的概念及通项公式 1.如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得 的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列.这个常数 叫做等差数列的公差. 2.如果数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 a2=a1+d;a3 =a2+d=a1+2d. 3.等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d. 4.等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=a3+ (n-3)d,因此等差数列的通项公式又可以推广到 an=am+(n- m)d(n>m). 5.由 an=am+(n-m)d,得 d= an-am ,则 d 就是坐标平面 n-m 内两点 A(n,an),B(m,am)连线的斜率. 6.如果在 a 与 b 之间插入一个数 A,使 a,A,b 成等差数 列,那么 A 可以用 a,b 表示为 A= 项. 7.如果数列{an}的通项公式 an=a·n+b,则该数列是公差 为 a 的等差数列. 8.等差数列的性质. 若{an}是等差数列,公差为 d ,则: (1)an,an-1,…,a2,a1 亦构成等差数列,公差为-d; a+b ,A 称为 a,b 的等差中 2 (2)ak,ak+m,ak+2m,…(m∈N*)也构成等差数列,公差为 md; (3)λa1+μ,λa2+μ,…,λan+μ,…(λ,μ是常数) 也构成等差数列,公差为 λd; (4)an=am+(n-m)d(m, n∈N*)是等差数列通项公式的推广, 它 揭示了等差 数 列中任意 两项 之 间 的 关 系, 还 可 变 形 为 d = an-am ; n-m (5)若 m,n,k,l∈N*,且 m+n=k+l,则 am+an=ak+al, 即序号之和相等,则它们项的和相等, 例如:a1+an=a2+an-1=… ?基础巩固 一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差 为(B) A.1B.2C.3D.4 解析:由等差中项的性质知 a3= 差 d=a4-a3=7-5=2. 2.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数 列,则(A) A.a=2,b=5B.a=-2,b=5 C.a=2,b=-5D.a=-2,b=-5 解析:考查项数与 d 之间关系. a1+a5 =5,又 a4=7,∴公 2 3.首项为-20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则 公差 d 的取值范围是(C) A.d> 20 5 B .d ≤ 9 2 20 5 20 5 C. <d≤ D. ≤d< 9 2 9 2 ? ?a10>0, ? ?-20+9d>0, 20 5 解析:由题意知? 即? 即 < d≤ . 9 2 ? ? ?a9≤0, ?-20+8d≤0, 4.已知 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数为(D) A.1 个 B.0 个 C.2 个 D.1 个或 2 个 解析:∵Δ=(2b)2-4ac=(a+c)2-4ac, ∴Δ=(a-c)2≥0. ∴A 与 x 轴的交点至少有 1 个.故选 D. 5.(2014·重庆卷)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10, 则 a7=(B) A.5B.8C.10D.14 解析:设 出等差数 列的公差求解或利用等差 数列的性 质 求 解. 方法一 设等差数列的公差为 d,则 a 3+a5=2a1+6d=4+ 6d=10,所以 d=1,a7=a1+6d=2+6=8. 方法二 由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=10,又 a1 =2,所以 a7=8. 二、填空题 6 .在等差 数 列 {an} 中, a3 + a7 = 37 , 则 a2 + a4 + a6 + a8 = ________. 解析:根据等差数列的性质,a2+a8=a4+a6=a3+a7=37. ∴原式=37+37=74. 答案:74 7.(2013·广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10, 则 3a5+a7=________ . 解析:由 a3+a8=10 得 a1+2d+a1+7d=10,即 2a1+9d= 10, 3a5 + a7 = 3(a1 + 4d) + a1 + 6d = 4a1 + 18d = 2(2a1+9d)= 20. 答案:20 8.在等差数列{an}中,a3=50,a5=30,则 a7=________. 解析:2a5=a3+a7,∴a7=2a5-a3=2×30-50=10. 答案:10 三、解答题 9.在等差数列{an}中,已知 a1+a6=12,a4=7. (1)求 a9; (2)求此数列在 101 与 1000 之间共有多少项. 解析:(1)设首项为 a 1,公差为 d,则 2a1+5d=12, a1+3d=7,解得 a1=1,d=2, ∴a9=a4+5d=7+5×2=17. (2)由(1)知,an=2n-1,由 101<an<1000 知 101<2n-1<1000, ∴51<n< 1 001 . 2 ∴共有项数为 500-51=449. 1 1 1 1 10.已知数列{an}中,a1= , = + ,求 an. 2 an+1 an 3 1 1 1 ? 1 ?1? ? 解析: 由 = + 知? ?是首项为 2, 公差为 的等差数列, an+1 an 3 ? 3 ?an? ? 1 1 n+5 ∴ =2+(n-1)× = . an 3 3 3 ∴an= (n∈N*). n+5 ?能力升级 一、选择题 11.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1- an(n∈N*),若 b3=-2,b10=12,则 a8=(B) A.0B.3C.8D.11 解析:由 b3=-2 和 b10=12 得 b1=-6,d= 2, ∴bn=2n-8,即 an+1-an=2n-8,由叠加法得(a2-a1)+ (a3-a2)+(a4-a3)+…+

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