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2009年清华大学自主招生数学试题解答


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数学通讯 ) 2010 年第 3 期 ( 下半月 )

#复习参考#

2009 年清华大学自主招生数学试题解答与评析
时宝 军 李淑莲 于瑞广
( 内蒙古 赤峰市宁城县四龙中学 , 024233 ) ( 内蒙古赤峰市元宝山区平煤高级中 学 , 024076 )

高校自主招生考试数学试题材料鲜活, 内容丰 富, 灵活, 反映了高校对学生数学素养、 数学能力的 关注 , 试题以解答题型为主, 也有的院校采取高考模 式的 . 但从总体看比高考难度略高 , 考出了学生在平 时的知识积累和解决问题的能力. 下面以 2009 年清 华大学自主招生文科、 理科数学试题 为例, 给 以解 答、 评析, 或许 对指导学生进行 复习备考有一 点启 示. 题1 部分为 b. ab ( 1) 求 a, b; ( 2) 求 a + b + ; ( 3 ) 求 nlim (b y] 2 + b 2 + ,+ b n ) .
2 2

5+ 1 的整数 部分 和小 数部 5- 1 分 , 本题的第( 2) ( 3) 问无法进行 . 数列、 极限属于高 如果不能顺 利的求 出 中的知识, 主要考查基础知识. 故在指导学生备考时 要强调学生知识的全面性. 题2 ( 理科 ) ( 1) x , y 为实数 , 且 x + y = 1, 1 ; 求证: 对于任意正整数 n , x 2 n + y 2 n \ 2 n 2 -1 a b c ( 2) a, b , c 为正实数, 求证 : x + y + z \3, 其 中 x , y , z 为 a, b, c 的一种排列. 证 I N ,则
*

( 理科) 设

5+ 1 的整数部分为 a, 小数 5- 1

( 1) 方法 1: 我们先证明 : 若 a \0 , b \0 , n an + b n a+ b n \( 2 ) . 2 a 2 + b2 2 -

1b n = 1 时 , 显然成立; 当 n = 2 时 , (

解 _ _ - 2=

( 1)

5+ 1 6+ 2 5 = , ^ 4< 2 5< 5, 4 5- 1

10 6+ 2 5 11 < < , 4 4 4 5+ 1 的整数部分 a = 2, 小数部分 b = 5- 1 5- 1 . 2 5+ 1 5- 1

a+ b 2 a- b 2 2 ) = ( 2 ) \0 , _ n = 1, n = 2 命题成立. k k a+ b 2b 设 n = k 时, 不 等 式 成 立 , 即 2 \ a+ b k a + b k + 1 a k + bk a + b ( ) , _ ( ) [ # . 2 2 2 2 k k k+ 1 k+ 1 a + b a+ b a + b 只需证明 # [ , 即证明 2 2 2 ak b + b ka [ a k+ 1 + b k+ 1 . 而 ak b + b ka - ak + 1 - b k + 1 = ( ak - bk ) ( b - a) [ 0. 上述结论得证 . x 2n + y 2n x 2+ y 2 n \( ) ,由 x 2 2 + y = 1 得即 1= x 2 + 2 xy + y 2 [ 2 x 2 + 2 y 2 , 即 x 2 + 运用上述结论: 有 1 y2\ , 2 x 2n + y 2n x 2+ y 2 n 1 1 \( ) \ ( 2 ) n = 2n , 即 2 2 2 2 1 x 2n+ y 2 n> 2 n- 1. 2 方法 2: ^ x + y = 1, 若 x , y 有一个是负数 , 则 所以 x , y 中一定有一个大于 1, 不妨设 x > 1 , 则 x y 2 n > 1> 1 \212
2n 2n

( 2) a 2 + b 2 + = 5.

ab 5- 1 2 = 22 + ( ) + 2 2

2@

5- 1 2 2

( 3) ^ b, b 2 , b 3 , ,, b n 成等比数列且公比为 b = 5- 1 b < 1 , lim ( b + b2 + , + bn ) = = ny ] 2 1- b

5+ 1 2 . 评析 从 近 几年 各 地自 主 招生 命 题 60 % 至 70% 的题目仍是比较基础的. 基础知识和基本技能 5+ 1 的整数部分 5- 1 和小数部分0 为试题背景 . 这属于初中的知识, 但是 仍是考查重点. 本题以求/ 无理数

+

( n I N* ) , 否则令 x = cos2 A ,y

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= sin2 A, 则 x =

1+ cos2 A 1- cos2 A , y= , 2 2 _ x 2 n + y 2 n = ( 1+ cos2 A) 2 n + ( 1- cos2 A) 2 n , 2 2 2n 2n 1 0 1 2 2 x + y = 2 n [ C2 n + C2 n cos2 A+ C 2 n cos 2 A+ 2 n- 1 n 2n 0 1 ,+ C2 cos2 n - 1 2 A+ C 2 2n 2 n cos 2 A+ C 2 n + C 2 n ( 1

0) , 过椭圆左顶点 A ( - a, 0) 的直线 l 与椭圆交于 Q , 与 y 轴交于 R , 过原点与 l 平行的直线与椭圆交 于P. 求证: A Q, 2 OP , A R 成等比数列 . 证 由题意可知直线 A Q, OP 斜率存在 , 故设 为 k , 则直线 A Q 的方程为 y = k ( x + a) , 直线 OP 的方程为 y = kx . 容易 求出 R ( 0, ka) , 则 | A B | = 1+ k 2 # a. 设 A ( x 1, y 1 ) , Q ( x 2, y 2 ) , 建 立 方 程 组 y = k ( x + a) , x 2 y2 + = 1. a2 b 2
3

n- 1 cos2 A ) + C2 ) 2 + ,+ C 2 ( - cos2 A) 2 n 2 n ( - cos2 A 2n n C2 2 n( 2n

1 2 2 + - cos2 A) ] = 2 n [ 2C 0 + 2 n @ 1+ 2C 2 n cos 2 A 2 4 n 2n 2C4 + 2C 2 ]\ 2 = 1 , 当且仅当 2 n cos 2 A 2 n cos 2 A 22 n 22 n - 1 1 cos2 A = 0, 此时 x = y = 时取等号. 2 评析 本题方法 1 是先运用数学归纳法证明 一个结论, 再运用结论结合重要不等式使问题得以 解决 . 这结论的题源是人教版高二 ( 上 ) 习题 6 . 2 第 1 题 推 广 和 延 伸. ( 原 题 为 求 证: ( a + b ) 2 [ 2 2 2 a + b ) . 所以在指导学生备考 时应从高中的 基本 2 知识中找到问题的生长点 , 注重知识的延伸和加深 以达到以不变应万变高考形势 . 本题方法 2 是从对式子/ x + y = 10 中的 x , y = 符号分析入手, 使问题找到了突破口. 考虑到 x , y 符号的理由很简单, 因为/ x + y = 10 易让学生和教 师联想三角代换法 , 但由于 x , y 符号不能确定 , 不 能直接代换 , 故先把 x , y 中有一者为负值剔除掉 . 再用三角代换结合二项式定理、 三角函数的有界性 使得问题顺利解决. a b ( 2) ^ a, b, c, x , y , z 都是正数, _ x + y + c \3 z
3

消去 y 得:

( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 + 2 a 3 k 2 x + k 2 a 4 - a 2 b 2 = 0, x 1 + x 2= 2a k , x x = k a - a b , 1 2 a k 2+ b 2 a 2 k 2+ b 2
2 2 2 4 2 2

则 | A Q| = = = 1+ k 2 1+ k 2 1+ k 2

1+ k 2 | x 1 - x 2 |

( x 1+ x 2) 2- 4 x 1x 2 ( - 2a3 k 2 2 k 2 a 4- a 2 b 2 2 2 2) - 4 @ a k + b a 2 k2 + b2
2

4a2 b 4 2 ab 2 1+ k 2 . 2 2 2= (a k + b ) a 2 k2 + b2 设 y = kx 与 椭 圆 另 一 交 点 为 M ( x 3 , y 3 ) , y = kx ,

P ( x 4 , y 4 ) , 建立方程组 x 2 y 2 消去 y 得 , 2+ 2 = 1. a b ( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 - a 2 b 2 = 0 , x 3 + x 4 = 0, x 3 x 4 = a2 b 2 . a k + b2
2 2

a# b # c = 3 x y z

3

abc . 因为 x , y , z 为 a, b , x yz a b c + + \3. x y z

_ | OP | = 4a2 b 2 = a k 2 + b2
2

1 2

1+ k 2 | x 3 - x 4 | = a 2 b2 , a k 2+ b 2
2 2 2 2

1 2

1+ k 2 #

1+ k 2#

c 的一种排列 , 所以 abc = xy z , _ 不等式得证. 评析

( 1+ k ) , _ ( 2| OP | ) 2 = 2 a b a 2 k2 + b2 而 | A Q | #| A R | = 2 a 2 b 2 ( 1+ k 2 ) , 2 2 2 a k + b 所以 A Q , 2 OP, A P 成等比数列. 评析 这道考题是以高中解析几何中直线与圆 锥曲线的位置关系为背景, 蕴含了/ 设而不求0 的思 想方法 , 解题中用到韦达定理、 弦长公式 , 运算量适 度 . 这样的综合性题目在最近几年高考中备受青睐, 1+ k 2 a @ 2 ab 2 1+ k 2 = a 2 k 2 + b2

本题题意明确, 欲证明不等式结构简单

明快. 给定不等式左端特征容易联想运用均值不等 式, 但这个问题的解决已经超出高考考纲的要求. 高 考大纲要求学生掌握二元均值不等式, 不扩展到三 元均值不等式. 但从近几年自主招生的数学试题看 试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相 当高的层次, 有时甚至达到相当于数学竞赛的难度 . 题3 ( 理科 ) 已知椭圆 x 2 y2 + = 1 ( a> b> a 2 b2

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解题方法趋于灵活 , 作为自主招生考试解析几何的 综合题目是不可或缺的. 指导教师应给以关注 . 题4 ( 理科 ) 已知 sin t + cos t = 1, 设 s = cos t
2 n

恰有两个数码相等的三位数共有 9+ 18+ 216 = 243 个. 所以 I 中恰有两个数码相等的概率 243= 27 . 900 100 评析 本题考查主要考查了分步计数原理、 分 类计数原理、 概率的基础知识, 考查运用概率知识解 决问题的能力. 从试题的难度上看属于中档题目 . 而 题目给出方式有点 特别, 可能 不易考生理解 , 本题 ( 1 ) 实际上是求被 5 整除三位数的概率( 数码可以重 复) , ( 2) 实际上是求有两个数码重复的三位数的概 率. 题6 ( n- 1) . ( 1) 求证: { a n } 是等差数列; ( 2 ) 求 ( an , 在的直线方程. 解 ( 1) 将 n = 1 代入 S n = na + n ( n - 1) 得 a 1= S 1 = a, a n = S n - S n - 1 = na + n ( n - 1) - ( n - 1 ) a - ( n - 1) ( n - 2 ) = 2 n + a - 2 ( n \2 ) , 经验 证当 n = 1 时也符合上式 , 故数列 { a n } 的通项公式 为 an = 2 n + a - 2, an + 1 - a n = 2 ( n + 1 ) + a - 2( 2 n + a - 2) = 2, 所以 { an } 是等差数列. Sn = n + a - 1, n 2S n 2S n _ = 2 n + 2 a - 2. 又 a n = 2 n + a - 2, 故有 n n Sn - a n = a, 所以点 ( a n , n ) 在直线 2 y - x = a 上 , 即 Sn ( a n , ) 所在的直线方程 2y - x = a. n 评析 给出数列的方式很多 . 比如通项公式、 递 ( 2) ^ S n = ( n + a - 1) n, _ 推关系式、 S n 与 an 、 n 的关系式等等. 本题是通过数 列{ an } 的前 n 项和的函数关系给定数列的. 具体可 以通过 S n - S n - 1 = a n ( n \2 ) 求得 { a n } 的通项公 式 , 再运用等差数列的定义证得数列为等差数列 . 第 一问的解答过程为第二问奠定解题的基础 . 题7 ( 文科 ) 一元三次函数f ( x ) 的三次项数 a 为 3 , f c( x ) + 9 x > 0 的解集为( 1, 2) . ( 1 ) 若 f c( x ) + 7 a = 0 有两 个 相等 实 根, 求 f c( x ) 的解析式 ; ( 2 ) 若 f ( x ) 在 R 上单调递减, 求 a 的范围. a 3 2 x + bx + cx + d , 则 f c( x ) 3 = ax 2 + 2 bx + c, f c( x ) + 9 x = ax 2 + 2 bx + c + 9 x , 解 设f ( x ) = Sn )所 n ( 文科) 已知数列 { an } , 且 S n = na + n

+ isin t , 求 f ( s) = 1+ s + s + ,+ s . 解 由 sin t + cos t = 1 得 sin( t + t = 2 k P, t = 2 k P+
2 n

P 2 )= , 解得 4 2

P ( k I Z) 2 当 t = 2 k P, ( k I Z) 时, s = 1, 此时 f ( s ) = 1+ s

+ s + ,+ s = n + 1 ; P 当 t = 2k P + , ( k I Z) 时, s = i, 此时 f ( s) = 1 2 1- i n + 1 2 n + s + s + ,+ s = ; 1- i ( 1) 当 n = 4 k - 1 ( k I Z) 时 , f ( s ) = 0 ; ( 2) 当 n = 4 k ( k I Z) 时 , f ( s ) = 1; ( 3) 当 n = 4 k + 1 ( k I Z) 时 , f ( s ) = 1+ i; ( 4) 当 n = 4 k + 2 ( k I Z) 时 , f ( s ) = i. 评析 本题是一道三角、 复数与数列求和等知 识结合在一起的综合题, 从近几年自主招生各校的 试题发现, 不同的学校对知识点的考查的侧重点不 尽相同、 文理科也有所区别. 复数通常在高考中要求 比较低, 占的比分也较少 , 但在自主招生考试中仍占 有一席之地, 希望给以关注. 题5 ( 理科) 随机挑选一个三位数 I . ( 1) 求 I 含有因子 5 的概率; ( 2) 求 I 中恰有两个数码相等的概率. 分析 本题先 求得所 有的三 位数 ( 含重复 数 字) , 然后再求出能被 5 整除的三位数的个数 , ( 1) 即 可解决; 再求出数码相同的三位数个数即可求 ( 2) . 解 三位数的个数为 9 @ 10 @ 10= 900. ( 1) 能被 5 整除的三位数可以分为两类 : ? 个位数字是 0 的三位数共有 9 @ 10= 90 个 ; ? 个位数字是 5 的三位数共有 9 @ 10= 90 个 . 所以 I 含有因子 5 的三位数共有 180, 含有因 180 子 5 的概率900= 012 . ( 2) 恰有两个数码相同的三位数可以分为: ? 三位数中数码含有 0 , 恰好 0 是重复数码, 这 样的三位数共有 9 个 ; ? 三位数中数码含有 0 , 但 0 不是重复的数码 , 这样的三位数共有 2 @ 9= 18 个; ? 三位数中数码不含 0 , , 这样的三位数共有 C9 @ 3 @ 2= 216 个;
2

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^ f c( x ) + 9 x > 0 的解集为 ( 1, 2 ) , 故有 a < 0, 且 a + 2 b + c + 9= 0 , 4 a + 4 b + c+ 18= 0. 则 2 b = - 3 a - 9, c = 2 a.
2

@ 5+ 1= 3( n + 6) 不是质数 , 所以 a 只能是 3 n, 而 a 是质数 , 故 a = 3, 此时 的三个数位为: 3, 11, 19. 评析 最近几年自主招生试题加大对考生数学 思想方法、 思维策略的考查 , 达到了一个相当高的水 平 , 有的甚至达到了竞赛难度. 本题虽然没有达到竞 赛的水平, 但加大了对学生思维策略的考查. 这种形 式的考题会是自主招生命题的一个趋势. 题9 ( 文科 ) 已知 | PM | - | PN | = 2 2,

( 1) 由 f c( x ) + 7 a = ax - ( 3 a + 9 ) x + 9 a = 0, 因为 f c( x ) + 7 a = 0 有两个相等实根, 故 $= ( 3 a + 9 ) 2 - 36 a 2 = 0 , 整理得: a 2 - 2 a - 3= 0, a = - 1或 a = 3 ( 舍 ) , 2 b = - 6 , c = - 2, 所以 f c( x ) = - x - 6x - 2. ( 2 ) f c( x ) = ax + 2 bx + c = ax - ( 3 a + 9 ) x
2 2 2

+ 2 a, 要使f ( x ) 在 R 上单调递减只需 ax - ( 3 a + 9) x + 2 a [ 0 在 R 上恒成立即可. 故只需 ] a< 0 a 2 + 54 a + 81 [ 0, 解得: - 27- 18 2 [ a [ - 27+ 18 2, 所以 a 的范围- 27- 18 2 [ a [ - 27+ 18 2 . 评析 导数作为研究函数性态的有力工具, 是 历年高考必考的内容 , 常常是压轴题目, 难度较大 , 是区分学生能力的比较好的素材. 本题是 2009 年清 华大学自主招生数学文科试题 , 很适合文科学生的 特点 . 本题命题风格与 2005 年高考命题模式基本相 同. 原题如下 : ( 2005 全国卷 ? ) 已知二次函数 f ( x ) 的二次项 系数为 a, 且不等式 f ( x ) > - 2 x 的解集为 ( 1, 3 ) . ( ? ) 若方 程 f ( x ) + 6 a = 0 有 两 个 相 等的 根 , 求 f ( x ) 的解析式 ; ( ? ) 若 f ( x ) 的最大值为正数 , 求 a 的取值范围. 所以从高三复习备考的全局出发 , 认真研究历 年高考真题 , 从最近几年高考题中探索自主招生试 题的动向, 是一个做好自主招生辅导工作的一个方 向. 题8 解 16. 由 8= 3 @ 2+ 2, 16= 3 @ 5+ 1. 若 a = 3 n + 1 ( n I N* ) , 则 a + 8= 3 n + 1+ 3 @ 2+ 2= 3 @ ( n + 3) 不是质数 , 若 a = 3 n + 2 ( n I N * ) , 则 a + 16= 3 n + 2+ 3 ( 理科 ) 请写出所有三个数 ( 正数 ) 均为 不妨设这三 个数位分别 是 a, a + 8 , a + 质数 , 且公差为 8 的等差数列 , 并证明你的结论. a< 0 $[ 0 ] a< 0 ( - 3a- 9) - 4a @ 2a [ 0
2

2

M ( - 2, 0) , N ( 2, 0) , ( 1 ) 求点 P 的轨迹 W ; ( 2) 直线 y = k ( x - 2) 与 W 交于 点 A 、 B, 求 S v A OB ( O 为原点) . 解 ( 1 ) 由双曲线的定义可知 , 曲线 W 是以 M ( - 2, 0) , N ( 2, 0) 为焦点的双曲线的右支, 且 c = 2, a = 2 , 易知 b = 2 . 故曲线 W 的方程为 x 2 - y 2= 2( x \ 2) . ( 2 ) 方法 1: 设 A ( x 1 , y 1) , B( x 2 , y 2 ) , 易得 k > 1 或 k < - 1. 由题意建立方程组 消去 y 得 y = k ( x - 2) 2 2 2 2 ( 1- k ) x + 4 k x - 4 k - 2= 0 , 4k , x x = 4k + 2, 1 2 k 2- 1 k 2- 1 1+ k | x 1 - x 2 | =
2 2 2

x 2- y 2= 2

由韦达定理得 x 1+ x 2= | AB | =

2 2( k + 1) . 2 k - 1

2

而原 点 到 直 线 y = k ( x - 2 ) 的 距 离 d = 2| k | , 所以 1+ k S v OA B = = 1 2| k | 2 2( k 2 + 1) @ @ 2 k 2- 1 1+ k 2
2 4

2 2 k + k ( k > 1 或 k < - 1) . k 2- 1 方法 2: 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 易得 k > 1 或 消去 y 得 y = k ( x - 2) ( 1- k 2 ) x 2 + 4 k 2 x - 4 k 2 - 2= 0 , 由韦达定理得 x 1 k , x x = 4 k + 2. 根据双曲线的第二定 + x 2= 4 1 2 k2 - 1 k 2- 1 | AN | | BN | 义知: x - 1 = e, x - 1 = e, 而 e = 2, 故有 1 2 | A N | = 2 ( x 1 - 1) , | BN | = 2 ( x 2- 1) ,
2 2

k < - 1. 由题意建立方程组

x - y = 2

2

2

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我为高考设计题目
题 29 f ( x ) > 1. ( 1) 求证 : 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 ; ( 2) 若关于 x 的不等式 f ( x - ax + 5 a) < 2 的 解集为{ x | - 3< x < 2| , 求 f ( 2009) 的值 ; ( 3) 在 ( 2) 的条件下, 设 a n = | f ( n) - 14| ( n I
2

已知函数 f ( x ) 对任意的实数 x 、 y 都

N* ) , 试问是否存在 k ( k I N* ) , 使得数列 { a n } 从 第 k 项开始的连续 20 项之和等于 102? 若存在 , 求 出 k 的值; 若不存在 , 请说明理由. 解 ( 1 ) 设 x 1 > x 2 , 则 x 1 - x 2 > 0, 从而 f ( x 1 - x 2 ) > 1, 即 f ( x 1 - x 2 ) - 1> 0. f ( x 1) = f [ x 2 + ( x 1 - x 2) ] = f ( x 2 ) + f ( x 1x 2 ) - 1> f ( x 2 ) , 故f ( x ) 在 R 上是增函数 .

有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) - 1, 且当 x > 0 时 ,

_ | A N | + | BN | = 2 2 ( 1+ k ) , k 2- 1
2

2( x2 + x1) - 2 2 =

平均分配到 3 个部门. ( 1) 求此 3 名男性 被分别分 到不同部 门的概 率; ( 2 ) 求此 3 名男性被分到同一部门的概率 ; ( 3) 若有一男性被分到指定部门, 求其他 2 人 被分到其他不同部门的概率 .

而原 点 到 直 线 y = k ( x - 2 ) 的 距 离 d = 2| k | 1+ k
2

, 2| k | @ 2 2( k + 1) = k 2- 1 1+ k 2
2

所以 S v OAB = 1 @ 2
2 4



12 名职员被平均分配 到 3 个部门的方法
2 4 4

种数为 : C14 C8 C 4 . ( 1) 3 名男性被分别分到不同部门的方法种数
3 1 3 为 : C1 3 C 9 C2 C 6 . 所以 3 名男性被分别分到不同部门的

2 2 k + k ( k > 1 或 k < - 1) . k2 - 1 评析 当我们看到这道考题时 , 似曾相识 , 感觉 非常亲近. 原因是在高三复习备考中类似这样的题 目比比皆是. 例如: ( 2006 年 四川 卷 ) 已知 两定 点 F 1 ( 2, 0 ) , F 2 ( 2 , 0) , 满足条件 | PF 2 | - | PF 1 | = 2 的点 P 的 轨迹是曲线 E , 直线 y = kx - 1 与曲线 E 交于 A , B 两点 , 如果 | A B | = 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C , 使 OA + OB = m OC , 求 m 的 值 和 v A BC 的 面 积 S v. 如何让学生在高考或自主招生考试中取得优异 的成绩, 除了认真研究近几年考题外, 还需对学生进 行学法上的指导 , 把熟悉的题目、 会的题目做好就是 一个好的分数. 以本题为 例, 有的同学 把所求点 P 的轨迹 W 当成整个双曲线. 这是对双曲线的定义理 解的不到位导致的结果. 另外注意培养学生的独立 运算能力 , 这有助于解析几何问题的解决. 题 10 ( 文科 ) 12 名职员( 其中 3 名为男性) 被

概率是 P 1 =

C 3 C9 C 2 C6 16 . 4 4 = 55 C2 14 C8 C 4 ( 2) 3 名男性被分到同一部门的方法 种数为:
1 1 4 4

1 3

1 3

1 4 4 C1 3 C9 C 8 C4 , 所以 3 名男性被分到同一部门的概率是

C 3C 9 C8 C 4 3 P 2= 2 4 4 = . C14 C 8 C4 55 ( 3) 有一男性被分到指定部门, 其他 2 人被分
1 3 到其他不同部门的方法种数为: C3 9 C 2 C6 ,

所以有一男性被分到指定部门 , 其他 2 人被分 C 9 C 2 C 6 16 到其他不同部门的概率为 P3 = 2 4 4 = . C14 C8 C 4 165 评析 这是一个排列、 组合、 概率等知识的实际 应用问题 , 问题的背景学生比 较熟悉, 贴近现实生 活 . 平均分组问题是排列、 组合一个比较容易混淆的 问题. 在备考中一定要给学生讲清楚 . 从而就不会在 这样的题目上丢分了.
( 收稿日期 : 2010- 01- 18)
3 1 3


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