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2016海南科技职业学院数学对口单招试题测试版(附答案解析)


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1.在极坐标系中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1(0≤θ<2π)的交点的极坐标为 ________. 解析:ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1 的直角坐标方程

?x +y -2y=0, ?x=-1, 为 x=-1,联立方程,得? 解得? 即两曲线的交点为(- ?x=-1, ?y=1,
3π? 1,1),又 0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为? ? 2, 4 ?. 3π 答案:? 2, 4 ?

2

2

?

?

2.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是________. 解析:曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y+4=0, 即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线 3x+4y+m=0 与该曲线没有公共点,只要圆心(1,- 2)到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径即可,即 5|>5,解得 m<0 或 m>10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) π 3.在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cos θ,曲线 C2:θ= ,若曲线 C1 与 C2 交于 A、 4 B 两点,则线段 AB 的长为________. |3×1+4×?-2?+m| >1,|m- 5

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解析:曲线 C1 与 C2 均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由 ρ=2cos θ, ? ? ?ρ= 2, ? ? π 得? 即曲线 C1 与 C2 的另一个交点与极点的距离为 2,因此 π θ= , ? ? ? 4 ?θ=4, |AB|= 2. 答案: 2

? ? ?x=1-2t, ?x=s, ? 4.若直线 l1: (t 为参数)与直线 l2:? (s 为参数)垂直,则 ? ? ?y=2+kt ?y=1-2s
k=________. 4+k k k 解析:直线 l1 的方程为 y=- x+ ,斜率为- ;直线 l2 的方程为 y=-2x+1, 2 2 2 k 斜率为-2.∵l1 与 l2 垂直,∴?-2?×(-2)=-1 则 k=-1.

?

?

答案:-1

? ? ?x=4t, ?x=5+2cos θ, 5.直线? (t 为参数)被曲线? (θ 为参数)所截得的弦长为 y = 3 t - 2 y = 3 + 2sin θ ? ? ? ?
________. 解析:由题意知,直线与曲线的普通方程分别是 3x-4y-8=0 与(x-5)2+(y-3)2 =4,圆心(5,3)到该直线的距离等于 d= 的弦长等于 2 答案:2 3 4-d2=2 3. |3×5-4×3-8| =1.因此该直线被此圆所截得 32+?-4?2

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? ?x=t, 6.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ, ? ?y=t
则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________. 解析:将直线 l 的参数方程化为普通方程得 x-y=0,将 ρ=2cos θ 的两边同乘以 ρ 得 ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程得 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.易知圆 C 的圆心 坐标为(1,0),故圆心到直线 l 的距离为 |1-0| 2 = . 2 2

答案:

2 2

π? ? π? 3 2 7.在极坐标系中,点 P? ?1,2?到曲线 l:ρcos?θ+4 ?= 2 上的点的最短距离为 ________. π 1, ?的直角坐标是(0,1),曲线 l: 解析:点 P? ? 2? π? 3 2 ? π? ρcos? ?θ+4?= 2 的直角坐标方程是 x-y-3=0,因此点 P?1,2?到直线 l 上的点 的最短距离即点 P 到直线 l 的距离,等于 |0-1-3| =2 2. 2

答案:2 2

? ?x=t, 8.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? (t 为参数) y = t ? ? ? ?x= 2cos θ, 和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. y = 2sin θ ? ?
解析:C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.

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2 ?y =x,x≥0,y≥0, ?x=1, 由? 2 2 得? ?x +y =2, ?y=1.

所以 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案:(1,1) π 9.在极坐标系中,点?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为________.

?

?

π? 2 2 解析:点? ?2,3?的直角坐标为(1, 3),圆 ρ=2cos θ 的方程为 x +y =2x,即(x- 1)2+y2=1,则圆心到点(1, 3)的距离为 3. 答案: 3

?x=2+3cos θ, ? 10.设曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的方程为 x-3y ? ?y=-1+3sin θ
7 10 +2=0,则曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数为________. 10 解析:曲线 C 的标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半 径为 3 的圆,因为圆心(2,-1)到直线 x-3y+2=0 的距离 d= |2+3+2| 7 10 = 且 3- 10 10

7 10 7 10 < ,故过圆心且与 l 平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点. 10 10 答案:2

? ?x=2+cos θ, 11.若直线 y=x-b 与曲线? (θ∈[0,2π))有两个不同的公共点,则 y = sin θ ? ?
实数 b 的取值范围为________.

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?x=2+cos θ, 解析:将参数方程? 化为普通方程(x-2)2+y2=1.依题意得,圆心 y = sin θ , ?
(2,0)到直线 y=x-b,即 x-y-b=0 的距离小于圆的半径 1,则有 - 2<2-b< 2,即 2- 2<b<2+ 2. 答案:(2- 2,2+ 2). π 2 θ+ ?= ,曲线 C2 的参数方程为 12.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρsin? 4 ? ? 2 |2-b| <1,|2-b|< 2, 2

?x=t+1 t, ? 1 ?y=t- t

(t 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点的直角坐标为________.

解析:依题意得,曲线 C1:ρsin θ+ρcos θ=1 的直角坐标方程是 x+y-1=0;曲

线 C2 的普通方程是 x2-y2=4.解方程组? 2 2 ?x -y =4, 5 3? C2 的交点的直角坐标为? ?2,-2?. 5 3 ,- ? 答案:? 2? ?2

?x+y-1=0,

?x=2, 得? 3 ?y=-2,

5

即曲线 C1 与

? ?x=t, 13.已知圆 C 的圆心是直线? (t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x y = 1 + t ? ?
+y+3=0 相切.则圆 C 的方程为________. 解析:由题意可得圆心 C 的坐标为(-1,0),圆心 C 到直线 x+y+3=0 的距离 d= |-1+3| = 2,因此圆的方程为(x+1)2+y2=2. 2 答案:(x+1)2+y2=2

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14.在极坐标系中,直线 ρ(cos θ-sin θ)+2=0 被曲线 C:ρ=2 所截得弦的中点的极坐标为________. 解析:直线 ρ(cos θ-sin θ)+2=0 化为直角坐标方程为 x-y+2 =0,曲线 C:ρ=2 化为直角坐标方程为 x2+y2=4,如图,直线被圆截得弦 AB,中点 3π 为 M,则|OA|=2,|OB|=2,从而|OM|= 2,∠MOx= , 4 3π 2, ?. 所以点 M 的极坐标为? 4? ? 3π 2, ? 答案:? 4? ?

? ?x=cos θ, 1 m, ?,则 m=________,离心率 e 15.已知椭圆 C:? (θ∈R)经过点? 2? ? ? ?y=2sin θ
=________. 1 y2 m, ?在椭圆上, 解析:将椭圆的参数方程化为直角坐标方程为 +x2=1,因为点? 2? ? 4 所以 m2+ 1 15 =1,解得 m=± . 16 4

4-1 c 3 离心率 e=a= = . 2 2 15 4 3 2

答案:±

? ?x=2+2t, 16.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以 ?y=1+4t ?
π Ox 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2sin?θ+4?,则直线 l 被圆 C 截

?

?

得的弦长为________.

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π θ+ ?=2(sin θ+ 解析:直线的普通方程为 y=2x-3,圆的极坐标方程 ρ=2 2sin? ? 4? cos θ),化为直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.根据直线与圆的位置关系易知截得弦 2 30 长为 . 5 2 30 5

答案:


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