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1.5 函数y=Asin(wx+¢)的图象(二)


1.5 函数

y ? Asin(?x ? ?) 的图象(二)

1.能用“五点法”作出函数y=Asin(wx+ ? )(A>0,w>0)的

简图.
2.熟悉函数y=Asin(wx+ ? )与y=sinx图象间的关系,知道 y=Asin(wx+ ? )的图象可由正弦曲线y=sinx怎样变化得到. 3.了解函数y=Asin(wx+ ? )(A>0, ? >0)的振幅、周期、频 率、相位、初相的概念.

上节课,我们探索了 ? 对y=sin(x+ ? ),x∈R的图象以 及w(w>0)对y=sin(wx+ ? )的图象的影响.我们首先来回 顾一下.

?

?
4

1

y

y ? sin( x ?

?
3

)

O

?
3

2?
?
?
4 )

x

?1

y ? sin( x ?

函数y=sin(x+ ?) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所 有的点向左(当 ? >0时)或向右(当 ?<0时)平移| ? |个单位而

得到的.

1 ? ( x? ) y y ? sin 2 3 1
O ?1 ? y ? sin (2x ? ) y 3 1 ? 2?
y ? sin x ? (

3?

4? x

?
3

)

O ?1
y ? sin (2x ?

?
?
3

1 ? y ? sin ( x? ) 2 3 2? 3?

4? x

)

函数y=sin(?x+ ? ) (? >0且?≠1)的图象可以看作是把 y=sin(x + ?)的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸 长(当0<?<1时) 到原来的

?

1 倍(纵坐标不变) 而得到的.

那么A(A>0)对y=Asin(?x+ ?) 的图象有什么样的影响呢?

探索A( A ? 0)对y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响.

? ? 作函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 及 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 3 3
让我们快速的画出它们的图象吧!

1.列表:

x

-

?
6

?
12
? 2

?
3
?

7? 12
3? 2

5? 6
2?

2x ?

?
3
?

0

sin( 2 x ? ) 3 3 sin( 2 x ? ) 3

0 0

1
3

0 0

-1 -3

0 0

?

2. 描点、作图: y 3 2 1 2? O ?1 ?2 -3 ?
y ? sin( 2 x ?

?
3

)

3?

x
y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

可以看出, ? 3 sin( 2 x ? )的图象可以看作是把 y 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来 3 的3倍(横坐标不变)而得到的.

?

结论 : 函数y ? A sin(?x ? ?)的图象, 可以看作是把 y ? sin(?x ? ?)上所有点的纵坐标伸长(当A ? 1时) 或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来的A倍( 横坐标不变) 而得到的, 从而, 函数y ? A sin(?x ? ?)的值域是 ? ?A, A? , 最大值是A, 最小值是 ? A.

总结函数 y = 3sin(2 x + 分析 :

?
3

)的简图得到的方式.

因为T=?,所以用“五点法”先作长度为一个周期
的闭区间上的简图.

y 3

y=3sin(2x+

? 3

)

根据周期性将作出的简图 左右扩展
?
o

?
6

?
12

?
3

7? 12

5? 6

x

-3

还可以平移伸缩变换得到. (1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

?

y=sin(x+

?
3

) 的图象

y=sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标不变

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

方法1:先平移后伸缩演示 y ? y=3sin(2x+ )③ 3 3 2 1 o
?

y=sinx ?
?
3
5? 6

5? 3

2? x

?
3

?

?
6

-1
-2

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )②
3

-3

一般规律先平移后伸缩 函数 y=sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位

y=sin(x+ ?) 的图象

(2)横坐标缩短(?>1)或伸长(0<?<1)到

y=sin(? x+ ?)的图象

原来的 倍,(纵坐标不变)

1

?

(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(?x+ ? )的图象

思考交流
还有其它变换方式吗?

函数 y=sinx

1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变
?

y=sin2x的图象

(2) 向左平移 6

y=sin(2x+

?
3

) 的图象

(3)横坐标不变

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标伸长到原来的3倍

方法2:先伸缩后平移演示 y ? y=3sin(2x+ )③ 3 3
2
1

y=sinx ?
?
3
5? 6

o
?

?
3

?

?
6

5? 3

2?

x

-1

y=sin2x① y=sin(2x +

-2 -3

?
3

)②

先伸缩后平移一般规律
函数 y=Sinx
(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 1 倍,纵坐标不变

y=sin ? x 的图象

?

(2)向左(? >0)或向右(? <0)

? 平移| |个单位 ?
(3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍

y=sin(? x+ ? ) 的图象

y=Asin(?x+ ? )的图象

1 ? 例1 画出函数 y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
解 : (画法一 )先把正弦曲线上所有点 向右平移 单位长度 , 得到y ? sin( x ?

?
6



?

6 点的横坐标伸长到原来 的3倍(纵坐标不变 ), 得到

)的图象; 再把后者所有

1 ? y ? sin( x ? )的图象; 再把所得图象上所有的 纵坐标 3 6 1 ? 伸长到原来的 2倍(横坐标不变 )而得到函数 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象.

y
3 2 y=sin(x1

?
6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
)①
1 ? y ? sin( x ? )② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

?
2

?
y=sinx

13? 2

6

x

-2 -3

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数 y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期 (T ? 1 ? 6? )内的图象.
3

令X ?

1 ? ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6

.

? 3? 当X取0, , ? , 然,2?时, 可求得相对应的点和y" . 后 将 简 图 再 "描 x 作 , 五 2 2 的值, 得到"五点", 再描点作图.

图 点

得 到 ,

的y 值和x

(1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2
y

2?

5?

0

2

0

?2

0

(2)描点 :

2

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( , 0) 2 2 2
(3)连线 :

O -2

?
2

2?

7? 2

5?

13? 2

x

函数y=Asin(ωx+ ? ),A>0,ω>0,x∈[0,+∞)的物理意义.

物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期

和频率等都与这个解析式中的常数有关.

A就表示这个简谐运动时离开平衡位置的最大距离,
通常把它叫做这个振动的振幅.
2? 往复振动一次所需要的时间 T ? ,它叫做振动的周期. ?
1 单位时间内往复振动的次数f= ,它叫做振动的频率. T

ωx+ ?叫做相位, ?叫做初相(即当x=0时的相).

y ? tan x ? 3

例2.下图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往复 运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.

y/cm
2 A 0.4

E
0.8
1.2

O

B

D C

F

x/s

解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2cm;

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次 往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完 成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为
5? 那么,A ? 2;由 ? 0.8得? ? ;由图象知初相? ? 0. ? 2 于是所求函数表达式是 5? y ? 2 sin x, x ? [0,??) . 2

5 周期0.8s; 频率为 . 4

y ? A sin( ?x ? ? ), x ? [0,??)
2?

例3.若简谐运动f(x)=2sin(

?
3

x+ ? )(| ? |< ? )的图象过
2

点(0,1),则该简谐运动的最小正周期和初相 ? 分别是

A.T=6, ? = ?

C.T=6π , ? = ?
6

6

B.T=6, ? = ? 3 ? D.T=6π , ? = 3

(A )

1 ? 1.函数y ? 3 sin( x ? )的周期,振幅依次是( 2 3 A.4? ,3 B.4? ,?3



C.? ,3
答案:A

D.? ,?3

2.把函数y ? sin( 2 x ? )的图象向左平移 个单位,所得图象 6 6 的函数解析式为( )

?

?

A. y ? sin( 2 x ? ) 3 C. y ? sin2 x
答案:D

?

B. y ? sin(2 x ? ) 6 D. y ? cos2 x.

?

3.把函数y ? sin 2 x的图象向右平移 个单位,再向上平移 4 1个单位,所得图象的函数解析式为( )

?

A. y ? cos2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ? ) 4
答案:D

B. y ? 2 cos 2 x

?

D. y ? 2 sin 2 x.

4.(2009年高考江苏卷)函数y=Asin(ω x+ ? )(A、ω 、
? 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图象如图

所示,则ω =________. 答案:3

1.“五点法”作图时,一般是令ω x+ ? 取0,? ,π , 3? ,
2
2

2π ,算出相应的x的值,再列表,描点作图. 2.函数图象变换主要是平移与伸缩变换,要注意平移与 伸缩的多少与方向. 3.给出y=Asin(ω x+ ? )的图象,求它的解析式,常从寻 找“五点法”中的第一个点来求 ? 的值.

不登高山,不知天之高也;不临深谷,不
知地之厚也;不闻先王之遗言,不知学问

之大也。

——荀况


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