高中数学竞赛讲座15函数方程

竞赛讲座 15 一、相关知识 函数方程 f ( x) f ( x) 的解是 -函数方程 函数方程 f ( x) f ( x a) (a 0) 的解是 二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具, 解法富于技巧, 对人类的智慧具有明显的挑 战 意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无 解(如:方程 f 2 ( x) f 2 ( x) 1 0 无解)。 2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式 1、换元法 例题 1、设函数 f ( x) 满足条件 3 f (x 1) 2 f (1 x) 2x ,求 f ( x) 。 例题 2、 设函数 f ( x) 定义于实数集 R ,且 f ( x) 满足条件 f ( x) xf (1 x) 1 x ,求 f (x) 。 ex1 :函数 f (x) 在 x 0处没有定义,但对所有非零实数 1 x 有: f (x) 2 f x 3x ,求 f (x) 。 答案: f ( x) 2 x2 x ex2 :求满足条件 x2 f ( x) f (1 x) 2x x 4 的 f ( x) 。 2、赋值法 例题 1、设函数 f ( x) 定义于实数集 R 上,且 f ( 0) 1,若对于任意实数 m 、 n ,都有: f (m n) f (m) n(2m n 1) ,求 f ( x) 。 例题 2、 设函数 f ( x) 定义于自然数集 N 上,且 f (1) 1 ,若对于任意自然数 x 、 y ,都 有: f (x y) f (x) f ( y) xy ,求 f ( x) 。 四、究函数的性质 例题、 设函数 f ( x) 定义于 R 上,且函数 f ( x) 不恒为零, y ,恒有: f ( x) f ( y) x 2f( y x ) f( y )。 2 2 f( ) 2 0 ,若对于任意实数 x 、 ① 求证: f ( x 2 ) f ( x) ② 求证: f ( x) f ( x) ③ 求证: f (2x) 2 f 2 (x) 1 ex3 :若对常数 m 和任意 x ,等式 f ( x m) 1 f ( x) 都成立,求证:函数 f ( x) 是周期 1 f ( x) 函数。 ex4 :设函数 f (x) 定义于实数集 R 上,函数 f (x) 不恒为零,且对于任意实数 x1 、 x2 , 都有: f (2x1) f (2x2) f ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) ,求证: f ( x) f ( x) 。

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