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第五讲 导数及其应用


专题一

第五讲

导数及其应用

班级_________________姓名____________________ 一、填空题: 1.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以

9?cm3 / s 的速度向该容器注水,则水深 10 cm 时水面上升的速
cm / s. 度为 2.等比数列 {an } 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 ,
函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )

( x ? a8 ) ,则 f '(0) =_________.
f ( x) ? 2 g ( x)

3.已知函数 f ? x ? , g ? x ? 满足 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1, 则函数 y ? 的图象在 x ? 5 处的切线方程为 4.已知曲线 y ? .

1 3 8 x 上的一点 P (2, ), 则过点 P 的切线方程为 . 3 3 1 1 ? ? ? ? 5 .若曲线 y ? x 2 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ,则 ? ? a ? _________. 1 3 1 2 6.若函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减函数,在区间 ? 6, ??? 上为 3 2
增函数,则实数 a 的取值范围为
3 2

. .

7.关于 x 的方程 x ? 3x ? a ? 0 有三个不同的实数解,则 a 的取值范围是
3 8.设函数 f ( x) ? x ? 3x, x ? R, 若 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0(0 ? ? ?

?
2

) 恒成立,则实数

m 的取值范围是



9. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) , 若不等式 f ( x) ? a 在 x ? [0,??) 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是 .

10.已知函数 f ( x) ? x ln x, 直线 l : x ? 2 y ? c ? 0. 若当 x ? [ e ,2] 时,函数 y ? f ( x) 的图 象在直线 l 的下方,则实数 c 的取值范围为 .

11 . 函 数 f ( x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且 当 x ? (??,1) 时 ,

1 b ? f( ), ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , c ? f (3) , 设 a ? f (0) , 则 a, b, c 的大小关系为_________. 2
12. 设函数 f n ( x) ? n2 x2 (1 ? x)n (n 为正整数), 则 f n ( x) 在 [0,1] 上的最大值为 .

二、解答题: 13.已知函数 f ( x) 的导数 f ' ? x ? ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数, 1 ? a ? 2. (1)若 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值、最大值分别为 ? 2,1 ,求 a , b 的值; (2)在(1)的条件下,求经过点 P(2,1) 且与曲线 f ( x) 相切的直线 l 的方程.

k 2 x ( k ≥0). 2 , (1)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程;
14.已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + (2)求 f ( x )的单调区间.

15.已知 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ?x2 ? ax ? 3 .

(1)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2? ?t ? 0? 上的最小值; (2)对一切 x ? ? 0, ??? ,2 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? ? 0, ??? ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex


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