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《22.3 实际问题与一元二次方程2》课件


一、复习
解一元一次方程应用题的一般步骤? 第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知 数,用字母表示题目中的一个未知数; 第二步:找出能够表示应用题全部含义的相 等关系; 第三步:根据这些相等关系列出需要的代数 式(简称关系式)从而列出方程; 第四步:解这个方程,求出未知数的值; 第五步:在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后,写出答案(及单位名称)。

有一人患了流感,经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感,每轮传染中平均一 探究,你对类似的传播 个人传染了几个人? 问题中的数量关系有
新的认识吗? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.

1+x+x(1+x)=121 解方程,得 10 -12 (不合题意,舍去) ? _____, 2 ? ______ . 1

x

x

10 答:平均一个人传染了________个人.



2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担 过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取 了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革 试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿 元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革 资金的平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x,

2001年

2002 年

2003年

180

180(1+x)
2

180(1 ? x)

2

解:这两年的平均增长率为x,依题有

180(1 ? x) ? 304.2

(以下大家完成)

类似地 这种增长率的问题在 实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为

a(1 ? x) ? A
n
其中增长取“+”,降低取“-”

例:某商场销售一批名牌衬衫,平均 每天可售出20件,每件盈利40元,为 了扩大销售,增加盈利,尽快减少库 存,商场决定采取适当的降价措施, 经调查发现,如果每件衬衫降价1元, 商场平均每天可多售出2件,若商场平 均每天要盈利1200元,每件衬衫应降 价多少元?
利润问题主要用到的关系式是:⑴每件利润=每件售价-每件 进价;⑵总利润=每件利润×总件数

分析:如果设每件衬衫降价x元,则每件衬衫盈利 (40-x)元,根据每降价1元就多售出2件,即降价x 元则多售出2x件,即降价后每天可卖出(20+2x)件, 由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程 解:设每件衬衫降价x元,根据题意得:
(40-x)(20+2x)=1200

整理得,x2-30x+200=0
解方程得,x1=10,x2=20 因为要尽快减少库存,所以x=10舍去。 答:每件衬衫应降价20元。

某种新品种进价是120元,在试销阶段发现每件售价(元)与 产品的日销售量(件)始终存在下表中的数量关系:

130 每件售(元) 每日销售(件) 70

150 50

165 35

(1)请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销 售量减少的数量(件)之间的关系。

(2)在不改变上述关系的情况下,请你帮助商场经理策划每件 商品定价为多少元时,每日盈利可达到1600元?

例:在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm,宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ,求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0

X
X 30cm

得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm

例:如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重 要目标B,? B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于 在 AC的中点,岛上有一补给码头:? 岛F位于BC上且恰好处于小岛 小 D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船 同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军 舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍, 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处,? 么相遇时补给船航行了多少海 那 里?(结果精确到0.1海里)

分析:(1)因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形,△DFC也 是等腰直角三角形,AC可求,CD就可求,因此由勾股定理便可求 DF的长.(2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度,DF已求, 因此,只要在Rt△DEF中,由勾股定理即可求.

解: (1)连结 DF,则 DF⊥BC ∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里. ∴AC= 2 AB=200 2 海里,∠C=45°
1 ∴CD= AC=100 2 海里 2

DF=CF, 2 DF=CD
2 2 ∴DF=CF= CD= ×100 2 =100(海里) 2 2

所以,小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里.

(2)设相遇时补给船航行了 x 海里,那么 DE=x 海里,AB+BE=2x 海里, EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里 在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 x2=1002+(300-2x)2 整理,得 3x2-1200x+100000=0
100 6 解这个方程,得:x1=200≈118.4 3 100 6 x2=200+ (不合题意,舍去) 3

所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.

探究 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发 讨论发言 紧 新知 现前方路面有情况,? 急 刹车后汽

车又滑行25m后停车. (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精 确到0.1s)?
(1)刚刹车时时速还是20m/s,以后逐渐减少, 分析: 停车时时速为0.? 为刹车以后,其速度的减少都是受摩 因 擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其平均速 度为=(20+0)÷2=10m/s,那么根据:路程=速度×时间, 便可求出所求的时间. 解:(1)从刹车到停车所用的路程是25m; 从刹车到停车的平均车速是=(20+0)÷2=10(m/s) 那么从刹车到停车所用的时间是25÷10=2.5(s)

一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发 现前方路面有情况,? 急 刹车后汽 紧 车又滑行25m后停车. (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
探究 讨论发言 新知

分析:(2)很明显,刚要刹车时车速为20m/s,停车 车速为0,车速减少值为20-0=20,因为车速减少值20, 是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以20除以 从刹车到停车的时间即可. 解:(2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20÷2.5=8(m/s)

探究 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路 讨论发言 面有情况,紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车. 新知
分析:(3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs.? 于 由 平均每秒减少车速已从上题求出,所以便可求出滑行到 15米的车速,从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度, 再根据:路程=速度×时间,便可求出x的值. 解:(3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs,这时车 速为(20-8x)m/s,则这段路程内的平均车速为〔20+(208x)〕÷2=(20-4x)m/s, 所以x(20-4x)=15
(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间 (精确到0.1s)?

整理得:4x2-20x+15=0

解方程:得x=

x1≈4.08(不合,舍去),x2≈0.9(s)

5 ? 10 2

答:刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s.

例:如图,ΔABC中,∠B=90? ,点P从点A开始 沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. (1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发,经 过几秒钟,ΔPBQ的面积等于8cm2?

C

Q A

P

B

? (2)如果点P、Q分别从点A、B同时出发, 并且点P到点B后又继续在BC边上前进,点Q 到点C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟, ΔPCQ的面积等于12.6cm2? C

Q

A

P

B


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