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高中数学集合论文


集合思想在高中数学中的应用 集合是近代数学中的一个重要概念,集合思想已成为现代数学的理论基础,与高 中数学的许多内容有着广泛的联系, 中学数学所研究的各种对象都可以看作集合 或集合中的元素,用集合语言可以明了地表述数学概念,准确、简捷地进行数学 推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔(G.Cantor,1845 - 1918)。他的 集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其 概括原则用于造集, 外延原则保证了集合的确定性,一一对应原则引出了基数概 念,揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用,使数学中引入了实无穷思想。 数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统, 或在复习教学中帮助 学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说,要帮助学生养成这样一种集合的 思维习惯:善于把在某些方面有类似性质的对象(或满足某一条件的对象)放在 一起视为一个集合, 然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解 决问题。人教 B 版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出 应用: 应用一:中学数学中常见的集合有(1)数集;(2)方程(或方程组的)解集; (3)不等式(或不等式组)的解集;(4)点集。 只有深刻理解集合概念, 明确集合中元素的属性,熟练地运用集合与集合的关系 解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题,并顺利地用集合 语言解答方程或不等式问题。 例 1:集合 M={y∣y=x -1,x∈R},N={x∣y=
2

},则 M∩N 等于(



分析:集合 M 中的元素是 y,它表示函数 y=x2-1 的值域,从而 M={ y∣y≥-1}.集
合 N 中的元素是 x,它表示函数 y= 因此,M∩N={x∣ } 的定义域, 从而 N={ x∣ }.

例 2:设 f(x)= x2+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求 a,b.

分析:A 是方程 f(x)=x 的解集,A={a}表示方程有两个相等的实根 a 。

方程即为 x2+(a-1)x+b=0,又 a 是方程的解,由韦达定理可求 a= ,b= 更为重要的是, 集合思想沟通了数和形的内在联系,使得由某个图形性质给出的 点集和满足某性质 P 的实数对组成的集合建立起一一对应的关系, 进而使中学数 学能够用代数方法解答几何问题,能够对代数命题给出几何解释,还能够通过几

何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用 集合定义的,形象又直观,便于学生理解。 例 3: 集合 A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y= 求 m 的取值范围。 },如果 A∩B 是单元素集,

分析:集合 A 表示的是斜率为 1 的一组平行直线,集合 B 表示的方程变形为
x2-y2=4(y≤0), 表示双曲线 x2-y2=4 在 x 轴下方的部分 (包括两个交点) 而 A∩B , 是单元素集,则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图:

将双曲线的一条渐近线 y=x 分别向上、向下平移,可得 m 的取值范围是 m≤-2 或 0<m≤2。 集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此,求解集合问题 时,抓住元素的特征进行分析,就相当于牵牛抓住了牛鼻子。 应用二:主要表现为一个概念是另一个概念的一般化,或此概念是彼概念的特 殊情形。 用集合的包含关系建立概念系统,可以培养学生善于将概念推广的研究精神,并 能帮助学生对数学定理、 法则、 公式等的认识进一步系统化, 从而提高学习质量。 如:{正方体} {长方体} {直平行六面体} {平行六面体} 柱};数列与函数两概念;互斥事件与对立事件两概念等。 {四棱柱} {棱

例4:给出四个命题:(1)各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱,(2)对角面是 全等矩形的六面体一定是长方体,(3)有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直 棱柱,(4)长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是: A .0 B.1 C.2 D.3

分析:借助集合间的关系,明确各概念的联系和区别。此题选 A。
例5: 数列{an}是等差数列, 1=50,d= -0.6, a 求此数列的前 n 项和的最大值。

分析:数列的定义域是正整数集(或它的有限子集{1、2、3、4、??n}),因
此可把数列作为特殊函数理解。

思路 1:表示等差数列的孤立的点在直线上,因此可应用单调性 。
由 a1=50,d= -0.6,得 an= -0.6n+50.6,令 an≤0 ,有 n≥84.3 。 n 又 则 n≥85,即从第 85 项起以后各项均小于 0。所以(Sn)max=S84=2108.4 ,

思路 2:等差数列的前n项和 Sn 是关于 n 的二次函数,可用二次函数的方法处
理 。

Sn=50n + 数,即 n=4 时,Sn 达到最大值 S84=2108.4

,当 n 取接近于

的自然

例6:若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,求点 P 在圆 内的概率。(人教 B 版必修 3,118 页第 3 题)

分析:记点 P 在圆
本事件总数是

内为事件 A,则 A 是基本事件空间

的子集。基

,A 包含的基本事件有(1,1)(2,2)(1,3)(1,2)

(2,3)(3,1)(3,2)(2,1)共 8 个,

.

应用三:有许多数学问题,它的解是由几个条件决定的,每一个条件都可 以确定某种元素的一个集合,它们的交集的元素就是问题的解,对这样一类数 学问题,我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。

例7:求函数 y=

的定义域。(人教 B 版必修 1,86 页第 4 题)

分析:函数的定义域是指使式子有意义的集合,由多个式子经过代数运算而成的
函数,求其定义域需取多个式子有意义的交集。





所以函数的定义域是(





例8:已知函数 y=

在[-1,+ ∞]上是减函数,求 a 的取值范围.

分析:本题含着两层意思:3x2-ax+5>0 在[-1,+ ∞]上恒成立,t=3x2-ax+5 在
[-1,+ ∞]上是增函数,实数 a 的范围是两者的交集。

由题意得:

,且满足 x=-1 时 3x2-ax+5>0,综上得

-8



而有些需要分类讨论的问题,解题过程往往过于繁杂,此时运用补集的思想(即 “正难则反”思想)去解答,常常可以简化讨论。 例9: 3 枚硬币, 掷 至少出现一个正面向上的概率是 131 页第 2(3)题) (人教 B 版必修 3,

分析:“至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上,2个向上,3个向上3
类可能,正面做答比较繁琐,可以从它的对立面出发,考虑“一次也不出现正面 向上”即“全是反面”的概率。

P=1- =



例10:如果一元二次方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实数根,确定这个结论 成立的充要条件。(人教 B 版选修 2—1,31 页第 6 题)

分析:“方程至少有一个负的实数根”有一个负根,两个负根两类可能,正面做
答比较繁琐,可以从它的对立面出发,考虑“方程没有负的实数根”。 由 有, 。



a 无解。

因此,



布鲁纳说过, 掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆,领会数学思想是通 向迁移大道的“光明之路”。 本部分内容含有丰富的数学思想,例如数形结合的 思想、 分类讨论的思想、 等价转化的思想、 正难则反的思想等等, 显得十分活跃。 在教学过程中,注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透,不仅可以帮助学生掌握 知识的本质,驾驭问题的求解,而且对于开发学生的智力,培养学生的能力,优 化学生的思维品质,提高课堂教学的效果,都具有十分重要的意义。

在高中数学中对集合语言的认识 数学语言与与日常语言不同“日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物,而数学语 言是慎重地、有意义地而且经常是精心设计的.凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们就 可以表达和研究数学思想,这些思想如果用普通语言表达出来,就会显得冗长不堪.” 例如表示 过坐标原点平分第一象限角的直线是纵坐标横坐标相等点的集合. 在高中阶段,学生正处在形成连贯逻辑思维的时期,培养学生清晰而有条理地表达自己的数学 思想,倾听别人的意见,养成分析习惯极为重要.他们应该学会正确使用数学符号和数学语言, 他们应善于与他人进行合作.集合教学提供了这样的机会. 我想这就是集合的教育价值。 集合 是高中数学教材中学生接触到的第一个概念, 集合语言是一种基本的数学语言, 学生若能掌 握好这章内容不仅能为今后的数学学习打下一个良好的基础而且可以增进学习数学的信心。 集合在高中课程中的定位是这样的, 集合语言是现代数学的基本语言, 使用集合语言可以简 洁准确的表达数学中的一些内容。这里强调的数学中的一些内容,而不是全部内容。我们任 何一种语言,只有利于表达某些东西。那么高中数学只将集合作为一种语言来学习,它把集 合是作为一种语言, 来描述和表达问题的一种语言来学习的。 学生学会使用最基本的集合语 言表示有关的数学对象, 发展运用语言进行交流的能力。 我认为在教学时应以这一整体要求 来把握集合的教学。集合作为一个数学的概念,对于数学中的分类思想,起了一个促进的作 用。 集合主要是要把各种不同的事物能刻划清楚。 为了搞清楚集合在整个课程中的一个定位, 我们应该搞清楚课程中的一个基本脉络。 应该考虑与集合有联系的已学的内容各将要学习的 内容。 集合是高中数学中重要的数学语言.它贯穿于整个高中数学学习.例如:在数系中用来表示自 然数集、有理数集、实数集、复数集.几何图形是点的集合,函数是数的集合间的映射,概 率统计要涉及随机试验下可能出现结果的集合??在数学各部分内容的讨论中随处可见。 关 于集合等内容的符号表示法, 是整个高中数学各部分内容都要使用的基本数学符号语言。 高 中数学教学对学生使用数学语言的要求比初中数学教学有明显的提高, 即要求表达问题时语 言更准确、更简练、更规范。符号化是数学语言的一个显著特征,随着教学内容的不断扩充 和抽象性的加强,高中数学中要使用更多的符号和术语。 集合语言的学习和其他语言的学习一样,需要一个过程。例如,函数概念可以用描述性语言 直观表征(初中阶段) ,也可以用集合与对应的语言抽象表征(高中阶段) ,还可以用更抽象 的关系语言来表征(大学阶段) 。这是与学生心理发展水平相适应的,因为“学习从属于发 展” 。同时,数学概念可以在不同层次上得到表征,这也为螺旋上升地安排学习内容提供了 可能。作为一门语言,首先要掌握这种语言的表述方式和规则,其次要利用这门语言来表述 数学问题。这些内容的掌握是需要一个过程的。一方面,我们可以利用集合语言复习、梳理

已有的知识,用学生已有的知识作为学习集合的载体,比如:用集合表述自然数、整数、一 元一次不等式的解、方程和方程组的解等;另一方面,随着学习内容的不同,我们可以利用 这些内容作为巩固集合语言的载体, 比如: 可以从集合与元素的关系角度分析图像和图像上 点的关系;通过不等式的学习,深化学生对一维点集的认识;借助线性规划问题,深入体会 用集合刻画平面点集的简洁明了的特点; 在概率教学中, 用集合的观点帮助学生理解基本事 件和样本空间、用集合的观点把握事件之间的关系(互斥事件、独立事件)等等。 教学中可以运用集合思想建立数学概念系统, 或在复习教学中帮助学生归纳、 整理数学知识。 对于数学学习来说, 要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯: 善于把在某些方面有类似性 质的对象(或满足某一条件的对象)放在一起视为一个集合,然后利用集合的有关概念或通 过集合的有关计算来研究和解决问题。 下面结合实例对与“集合”有联系的学习内容做具体说明: 必修1:函数定义域、单调区间、图形、 应用中描述等; 以函数的定义域为例:有许多数学问题,它的解是由几个条件决定的,每一个条件都可以确 定某种元素的一个集合,它们的交集的元素就是问题的解,对这样一类数学问题,我们常可 以运用求交集的思想来进行求解。 人教 B 版必修 1,86 页第 4 题:求函数的定义域。 分析:函数的定义域是指使式子有意义的集合,由多个式子经过代数运算而成的函数,求其 定义域需取多个式子有意义的交集。 由 得,所以函数的定义域是 必修2:空间某些几何体的集合关系;点A∈直线l;直线l包含于平面α 等;平面点集的 表示;直线、圆及部分点集等; 以立体几何初步为例, 用集合的包含关系建立概念系统, 可以培养学生善于将概念推广的研 究精神, 并能帮助学生对数学定理、 法则、 公式等的认识进一步系统化, 从而提高学习质量。 如:{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}; 例:给出四个命题: (1)各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱, (2)对角面是全等矩形的六面 体一定是长方体, (3)有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱, (4)长方体一定是正四 棱柱。其中正确命题的个数是: A .0 B.1 C.2 D.3 分析:借助集合间的关系,明确各概念的联系和区别。此题选 A。 再如用集合语言描述直线和平面位置关系. (1)点 A 在平面α 内,记作 A∈α ,点 B 不在平面α 内,记作 B α ; (2)直线 l 在平面α 内,记作 lα ,直线 m 不在平面α 内,记作 mα ; (3)平面α 与平面β 相交于直线 l,记作α ∩β =l; (4)直线 l 和 m 相交于点 A,记作 l∩m={A},简记为 l∩m=A. 引进平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示平面内的点.根据曲线的几何性质,可以得 到关于 x,y 的一个代数方程 f(x,y)=0.反过来,把代数方程 f(x,y)=0 的解(x,y)看作平面 上点的坐标,这些点的集合是一条曲线.再以圆为例,用集合思想理解“圆”的形成:实数 对对应平面内的一个点,符合某种约束条件的所有点构成的集合便形成一个图形,比如,平 面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆即 A=,这个约束条件就是此集合的特征性质, 有共同特征性质的元素共同构成了一个集合。 用集合语言可以方便地表示平面上以原点为圆 心的单位圆周和单位圆面等,使学生感受集合语言在描述客观世界中具有某种特性的对象、 在数学和数学学习中的意义和力量。 进而发展学生运用数学语言来刻画现实世界, 运用数学 语言学习数学、进行交流的能力。 必修3:数据分类;直方图、扇面图等;概率;

以概率为例,用集合与集合运算,精确地描述随机事件、基本事件空间及事件的运算。使用 集合语言学习概率,要比用自然语言学习概率好的多。 人教 B 版必修 3,118 页第 3 题:若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标, 求点 P 在圆内的概率。 分析:记点 P 在圆内为事件 A,则 A 是基本事件空间的子集。基本事件总数是,A 包含的基 本事件有(1,1) (2,2) (1,3) (1,2) (2,3) (3,1) (3,2) (2,1)共 8 个, . 有些需要分类讨论的问题,解题过程往往过于繁杂,此时运用补集的思想(即“正难则反” 思想)去解答,常常可以简化讨论。 人教 B 版必修 3,131 页第 2(3)题:掷 3 枚硬币,至少出现一个正面向上的概率是 析: “至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上,2个向上,3个向上3类可能,正面 做答比较繁琐,可以从它的对立面出发,考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的 概率,. 必修4:三角函数周期、零点集、最值点集、单调区间等;向量与平面点集等; 以三角函数为例, 三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 所 有符合使正弦值等于零这一特征性质的元素构成一个集合。 所有符合使正弦值取得最大值或最小值这一特征性质的元素构成一个集合, 这也是正弦函数 的对称轴。 必修5:一元二次不等式解集,目标函数的可行域,数列特殊点集等。 集合思想体现数学概念上主要表现为一个概念是另一个概念的一般化, 或此概念是彼概念的 特殊情形。 例:数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6,求此数列的前 n 项和的最大值。 分析:数列的定义域是正整数集(或它的有限子集{1、2、3、4、??n}) ,因此可把数列作 为特殊函数理解。 思路 1:表示等差数列的孤立的点在直线上,因此可应用单调性。由 a1=50,d= -0.6,得 an= -0.6n+50.6,令 an≤0 ,有 n≥84.3 。又,则 n≥85,即从第 85 项起以后各项均小于 0。所以 (Sn)max=S84=2108.4 思路 2:等差数列的前n项和 Sn 是关于 n 的二次函数,可用二次函数的方法处理 。 ,当 n 取接近于的自然数,即 n=4 时,Sn 达到最大值 S84=2108.4 选修 2-1:命题及其关系,圆锥曲线与方程; 用集合关系理解推理关系

集合思想沟通了数和形的内在联系,使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质 P 的实 数对组成的集合建立起一一对应的关系, 进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题, 能 够对代数命题给出几何解释, 还能够通过几何图形来解决代数问题。 僻如新教材中球、 椭圆、 双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的,形象又直观,便于学生理解。 例:集合 A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣},如果 A∩B 是单元素集,求 m 的取值范围。 分析: 集合 A 表示的是斜率为 1 的一组平行直线, 集合 B 表示的方程变形为 x2-y2=4(y≤0), 表示双曲线 x2-y2=4 在 x 轴下方的部分(包括两个交点) ,而 A∩B 是单元素集,则说明直

线与半双曲线有一个公共点。如图: 将双曲线的一条渐近线 y=x 分别向上、向下平移,可得 m 的取值范围是 m≤-2 或 0<m≤2。 只有深刻理解集合概念, 明确集合中元素的属性, 熟练地运用集合与集合的关系解决具体问 题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题。 集合语言是现代数学的基本语言,集合语言的使用,有利于数学学习者和研究者之间简洁、 准确地表达数学内容。将集合作为一种语言来学习,通过学习,促进学生运用数学语言进行 交流的能力。另一方面,集合反映的数学思想,在越来越广泛的领域得到应用。只有掌握了 集合的特征性质描述法及集合之间的相互关系, 才有可能使学生简洁准确地表达数学对象和 结构, 更好地使用数学语言进行交流, 进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的 能力。

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