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浙江省2014届理科数学专题复习试题选编12:概率与统计(教师版)

浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 12:概率与统计

一、选择题 1 . (浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学(理)试题)已知随机变量 X 的分布列如右表,则 D ( X ) =

( A.0.4
【答案】C



B.1.2

C.1.6

D.2

2 . (浙江省 2013 年高考模拟冲刺 (提优) 测试二数学 (理) 试题) 集合 P ? { x ,1}, Q ? { y ,1,2},其中 x,y ? {1,

2,,9},则满足条件 P ? Q 的事件的概率为 A.

( C.



1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

【答案】C 解:分类讨论,按 x,y 列表即可,共有 56 个,满足 P ? Q 这样的点有 14 个 3 . (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和

白球,从 A 中摸出一个红球的概率是

1 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p.若 3

( ( (

) ) )

A.B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将

2 A.B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是 ,则 p 的值为 5 1 13 17 1 A. B. C. D. 3 30 30 2
【答案】B

4 . (浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学(理)试题)一个口袋中有编号分别为 0,1,2 的小球各 2

个,从这 6 个球中任取 2 个,则取出 2 个球的编号数和的期望为 ( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】 C . 记 取 出 2 个 球 的 编 号 数 和 为 X, 则 X=0, 1, 2, 3, 4 又
P( X ? 0) ? 1
2 C6

?

C 1C 1 C 1C 1 ? C 2 C 1C 1 5 4 4 1 , P( X ? 1) ? 2 2 2 ? , P( X ? 2) ? 2 2 2 2 ? , P( X ? 3) ? 2 2 2 ? , 15 15 15 15 C6 C6 C6

P( X ? 4) ?

1
2 C6

?

1 1 4 5 4 1 . ∴ E( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 . 15 15 15 15 15 15

5 . (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石

头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”.现 有 甲、乙两人玩这个游戏,共玩 3 局,每一局中每人等 可能地独立选择一种手势,设甲赢乙的局数为 ξ ,则随机变量 ξ 的数学期望是 ( ) A.

1 3

B.

4 9

C.

2 3

D.1

【答案】D 6 (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷) . 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5

的五个盒子,现将这 5 个球随机放入这 5 个盒子内,要求每个盒子内放一个球,记“恰有两个球的编号与 盒子的编号相同”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为 ( )

1

A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】A 二、填空题 7 . (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它

们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m ? n =______. 甲 m 8 2 0 1 2 9 n 6 乙

(第 14 题图)

【答案】9 8 . (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷)有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如下

表: 同学 概率 甲 0.5 乙 丙

a

a

现请三位同学各投篮一次,设 ? 表示命中的次数,若 E ? =
【答案】

7 ,则 a =__________. 6

1 3

9 . (浙江省稽阳联谊学校 2013 届高三 4 月联考数学(理)试题(word 版) )在 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数字的所有

排 列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 记 中

? 为 某 一 排 列 中 满 足 条 件 ai ? i ,( i ? 1, 2, 3, 4, 5) 的 个 数 ( 如 排 列

记 1, 5, 3, 2, 4 ? ? 2 ),则随机变量 ? 的数学期望是____.
【答案】 1 10. (浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学(理)试题)一盒中有 6 个小球,其中 4 个白球,2 个黑球?从盒
中一次任取 3 个球,若为黑球则放 回盒中,若为白球则涂黑后再放回盒中 . 此时盒中黑球个数 X 的均值 E(X)

=____.
【答案】4 11. (浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备一

件礼物,先将礼物集中在一个袋子中,每人从 中随机抽取一件礼物. 设恰好抽到自 己 准备的礼物的人 数为 ? ,则 ? 的数学期望 E ? =_ __ __ .
【答案】1 12. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学 (理) 试卷 ) 某机关的 2009 年新春联欢会原定10

个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映军民联手抗震救灾的节目,将这两个节目随机地排入原 节目单,则这两个新节目恰好排在一起的概率是__________;
【答案】

1 ; 6

13. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)某保险公司新开设了一项保险业务,若在

一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一年内 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的
2

百分之十,公司应要求顾客交保险金为______.
【答案】

?0.1 ? p ?a

14.【解析】浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学(理)试题)甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动, (

在一个不透明的摸奖箱中有六个同样大小、同样光滑的小球,每个小球标有一个编号,编号分别为 1,2,3,4,5,6,活动规则是:每个人从这个摸奖箱中连续摸 3 次,每次摸一个球,每次摸完后,记下小球上 的编号再将其放回箱中,充分搅拌后再进行下一次的摸取,三次摸完后将三个编号相加,若三个编号的 和为 4 的倍数,则能得到一个纪念品,记获得纪念品的人数为 X ,则 X 的期望为____________.
【答案】答案:

55 72

解析:三个编号和的取值范围是 [3,18] 中的整数,其中 4 的倍数可能为 4,8,12,16;4 的组合为(112),8 的组合为(116)、(125)、(134 )、(224)、(332),12 的组合为(156)、(246)、(336)、(345)、(552)、 (444),16 的组合为(664)、 (556);(ABC)结构的情况可出现 6 种,(AAB)结构的情况可出现 3 种,(AAA)结 构的只有一种情况,则共有 55 种.每个人获得纪念品的概率为

55 55 55 ,而 X ? B (3, ) ,则 EX ? 216 216 72

15. (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷)一袋中装有大小相同的 3 个红球,3 个黑球和

2 个白球,现从中任取 2 个球,设 X 表示取出的 2 个球中黑球的个数,则 X 的数学期望 EX=______________.
【答案】

3 4

16. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,

为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知高一有 760 名 学生,高二有 840 名学生,则在该学校的高三应抽取______名学生. 【答案】40 17. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )右图是全国少数民族运动会上,七位 评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉 7 个分数中的一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均数是_____ ,方差为_____;

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
【答案】85;16; 18. (浙江省杭州高中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)正四面体的 4 个面分别写有 1,2,3,4 ,将 3 个这

样质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上,记 ? 为与桌面接触的 3 个面上的 3 个数中最大值与最小值 之差的绝对值,则 ? 的期望为
【答案】

_________.

15 8

19. (浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学(理)试题)如图所示是一容量为 100 的样本的频率分

布直方图,则由图形中的数据,可知其中位数为_____________.

3

【答案】13 20. (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学(理)试题)为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情

况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查.图 1 表示每个月所调查 的养鸡场的个数,图 2 表示三个月中各养鸡场注射了疫苗的鸡的数量的平均数.根据下图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为_____________万只.

【答案】.90 21. (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)在总体中抽取了一个样本,为了便于计算,

将样本中的每个数据除以 100 后进行分析,得出新样本的方差为 9 ,则估计总体的标准差为______ .. ...
【答案】300 22. (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学(理)试题)在公园游园活动中有这样一个游戏项目:

甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次 游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,若摸出 的白球不少于 2 个,则获奖(每次游戏结束后将球 放回原箱).在两次游戏中,记获奖次数为 X ,则 X 的数学期望为___________. ..
【答案】

3 3 9 3 42 7 7 49 1 7 , P ( x ? 1) ? C2 ? ? ? ? P( x ? 2) ? ? ? 10 10 100 10 10 100 10 10 100 9 42 49 7 7 7 7 或 X ~ B (2, ) ? E ( X ) ? 2 ? E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? ? 100 100 100 5 10 10 5 P( x ? 0) ?

7 5

23. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红

球和 5 个黄球,一次摸出 5 个,若颜色相同则得 100 分,若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得 50 分,其他 情况不得分.小张摸一次得分的期望是分____________.
【答案】

75 ; 7

24. (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学(理)试题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调

查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居民的收入与年龄、 学 历 、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000)(元)月收入段应抽出______________人.

4

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

【答案】25 25. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加

其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概率 为_____.
【答案】 三、解答题 26. (温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题)从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中,

2 3

每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率; (Ⅱ)记试验次数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

【答案】解:(I) P ( A) ?

1 1 C2C6 3 ? C82 7 1 1 2 C62 C4C2 ? C2 9 ; ? ? 2 2 C8 C6 28

(II) P ( X ? 1) ?

1 1 2 C2C6 ? C2 13 ; ? C82 28

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?
X 的分布列

2 1 1 2 C62 C4 C2C2 ? C2 C2 C2 C2 5 1 ; P ( X ? 4) ? 6 ? 4 ? 2 ? ; ? 2? ? 2 2 2 2 2 C8 C6 C4 28 C8 C6 C4 28

X
P

1

2

3

4

13 28

9 28

5 28

1 28

E ( X ) ? 1?

13 9 5 1 25 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 28 28 28 28 14

27. (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)浙江省某示范性高中为了推进新课程 改

革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、 周三、 周五的课外活动期间同时开 设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一 门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座, 否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表: 信息技 术 生物 化学 物理 数学

5

周一 周三 周五

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 2 2 3 2 3

(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随即变量 ? 的分布列和数学期望.

【答案】本题主要考查概率、分布列、数学期望等基础知识,同时考查运算求解能力.满分 14 分.

解:(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,则

1 2 2 1 P( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 3 3 18
(Ⅱ) ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5

1 2 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) 4 ? (1 ? ) ? 2 3 48 1 1 3 2 1 2 1 1 P(? ? 1) ? C 4 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C 4 ? ( ) 2 (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? C 4 ? ? (1 ? ) 3 ? ? 2 2 3 2 2 3 24 1 1 2 1 1 2 1 3 2 P(? ? 3) ? C 4 ? ( ) 3 (1 ? ) ? (1 ? ) ? C 4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? ? 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 1 2 3 3 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? (1 ? ) ? C 4 ? ( ) 3 ? (1 ? ) ? ? 2 3 2 2 3 16 1 4 2 1 P(? ? 5) ? ( ) ? ? 2 3 24
所以,随即变量 ? 的分布列如下

?
P

0

1

2

3

4

5

7 1 24 3 1 1 7 1 3 1 8 = E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? 48 8 24 3 16 24 3

1 48

1 8

3 16

1 24

28. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题)已知盘中有编号为 A,B,C,D 的 4 个红

球,4 个黄球,4 个白球(共 12 个球)现从中摸出 4 个球(除编号与颜色外球没有区别) (I)求恰好包含字母 A, B,C,D 的概率); (II)设摸出的 4 个球中出现的颜色种数为随机变量 X.球 Y 的分布列和期望 E(X).
1 1 1 1 C3 ? C3 ? C3 ? C3 9 ? 4 C12 55

【答案】(Ⅰ) P=

(Ⅱ) P( X ? 1) ?

1 2 3 1 C3 1 C 2 (C1C 3 ? C4 C 2 ? C4 C4 ) 68 , P( X ? 2) ? 3 4 4 4 4 , ? ? 4 C12 165 C12 165

6

P( X ? 3) ?

1 1 2 3C4C4C4 32 . ? 4 C12 55

分布列为: X 【D】12.分
1 2 ? 68 3 ? 32 85 ? ? ? 165 165 55 33

1
1 165

2
68 165

3
32 55

P

E( X ) ?

29. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )某地区为下岗人员免费提供财会和

计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参 加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相 互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望.

【答案】

?1?1 ? 0.4 ? 0.25 ? 0.9; ?2?? ? B?3,0.9?; P?? ? k ? ? C3k ? 0.9 k ? 0.13?k ; k ? 0,1,2,3.
E? ? 2.7.

30. (浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学(理)试题)已知 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的 6

个顶点,在顶点取自 A,B,C,D,E,F 的所有三角形中,随机(等可能)取一个三角形.设随机变量 X 为取出三 角形的面积.

3 ); 4 (Ⅱ) 求数学期望 E ( X ). 【答案】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运 算求解能力和应用意识.满分 14 分.
(Ⅰ) 求概率 P ( X= (Ⅰ) 由题意得取出的三角形的面积是

3 的概率 4

P ( X=

3 6 3 )= 3 = . C6 10 4

(Ⅱ) 随机变量 X 的分布列为

X P

3 4 3 10

3 2 6 10

3 3 4 1 10

所以 E ( X )=

3 6 3 3 1 9 3 3 3 × + × + × = . 4 4 10 2 10 10 20

31. (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题)一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设

袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的. (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作 完成后将球放回),某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
7

【答案】(Ⅰ)设从袋子中任意摸出 3 个球, 摸出的球均为白球的概率是 P
3 C4 3 C 10

P=

=

1 . 30
3 2 C 6 + C 6 C1 4 3 C10

(Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率 P =

=

2 3

2 随机变量 ? 服从二项分布 B( 3, ) ,分布列如下 3

?
P
E? ? 2

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

32. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题)袋中有九张卡片,其中红色四张,标号分别为

0,1,2,3;黄色卡片三张,标号分别为 0,1,2;白色卡片两张,标号分别为 0,1.现从以上九张卡片中任取 (无放回,且每张卡片取到的机会均等)两张. (Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于 3 的概率; .. (Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为 X ,求 X 的分布列及期望. ..
【答案】(Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有 C92 ? 36 种

颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ∴P?
6 1 ? 36 6 21 3 6 3 1 2 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? 36 36 36 36 36 36

(Ⅱ) P( X ? 0) ?
X P
EX ?

0
21 36

1
3 36

2
6 36

3
3 36

4
1 36

6
2 36

21 3 6 3 1 2 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 36 36 36 36 36 36 9

33. (浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷)某竞猜活动有 4 人参加,设计者给每位

参与者 1 道填空题和 3 道选择题,答对一道填空题得 2 分,答对一道选择题得 1 分,答错得 0 分,若得分 总数大于或等于 4 分可获得纪念品,假定参与者答对每道填空题的概率为

1 ,答对每道选择题的概率为 2

1 ,且每位参与者答题互不影响. 3
(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得 3 分的概率; (Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.
【答案】解:(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为

1 2 1 2 ? C32 ? ( ) 2 ? ? , 2 3 3 9

1 1 3 1 (对一个 4 分) ?( ) ? 2 3 54 2 1 13 ∴某位参与竞猜活动者得 3 分的概率为 ? ; ? 9 54 54
答错填空题且答对三道选择题的概率为
8

(Ⅱ) 由 题 意 知 随 机 变 量 ? 的 取 值 有 0,1,2,3,4. 又 某 位 参 与 竞 猜 活 动 者 得 4 分 的 概 率 为

1 1 2 1 ? C32 ? ( ) 2 ? ? 2 3 3 9
某位参与竞猜活动者得 5 分的概率为 ∴参与者获得纪念品的概率为 ∴ ? ~ B(4,

1 1 3 1 ?( ) ? 2 3 54

7 54

7 47 k 7 ) ,分布列为 P(? ? k ) ? C 4 ( ) k ( ) 4?k , k ? 0,1,2,3,4 54 54 54 7 14 ∴随机变量 ? 的数学期望 E? = 4 ? ? 54 27
34. (浙江省永康市 2013 年高考适应性考试数学理试题 )把 3 个大小完全相同且分别标有 1、1、2 编号的小

球,随机放到 4 个编号为 A 、 B 、 C 、 D 的盒子中. (Ⅰ)求 2 号小球恰好放在 B 号盒子的概率; (Ⅱ)记 ? 为落在 A 盒中所有小球编号的数字之和(若盒中无球,则数字之和为 0),求随机变量 ? 的分布 列和数学期望 E (? ) .

【答案】 解:(Ⅰ)总的放法有 4 ? 64 ,而事件“2 号小球恰好放在 B 号盒子”包含的基本事件数有
3

1 4 2 ? 16 ,所以 2 号小球恰好放在 B 号盒子的概率为 ; 4
(Ⅱ) 随机变量 ? 的可能取值,0,1,2,3,4,

P(? ? 0) ?

C 1 ? 3 2 12 C 1 ? 3 2 18 27 ? ? , P(? ? 1) ? 2 , P(? ? 2) ? 3 , 64 64 64 64 64

1 C2 ? 3 6 1 P(? ? 3) ? ? , P(? ? 4) ? 64 64 64

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P( ? )

0

1

2

3

4

27 64

18 64

12 64

6 64

1 64

且 ? 的数学期望 E (? ) =1
35. (浙江省六校联盟 2013 届高三回头联考理科数学试题)口袋内有 n(n ? 3) 个大小相同的球,其中有 3 个红

球和 n-3 个白球,已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 p,且 6 p ? N .若有放回地从口袋中连 续地取四次球(每次只取一个球),在四次取球中恰好取到两次红球的概率大于 (Ⅰ)求 p 和 n;
9

8 27

(Ⅱ)不放回地从口袋中取球(每次只取一个球),取到白球时即停止取球,记 ? 为第一次取到白球时的取 球次数,求 ? 的分布列和期望 E ? .
【答案】

36. (浙江省名校新高考研究联盟 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)甲乙两支球队进行总决赛,比赛采

用七场四胜 制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队 获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票 收入比上一场增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好 为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) . 【答案】解:(I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ?an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,? S n ? 解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 ,所以此决赛共比赛了 5 场

n(10n ? 70) ? 300, 2 1 2 1 ; 4

1 则前 4 场比赛的比分必为 1: 3 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C4 ( ) 4 ?

(II)随机变量 X 可取的值为 S 4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490 又 P ( X ? 220) ? 2 ? ( ) 4 ?

1 1 1 1 , P( X ? 300) ? C4 ( ) 4 ? 8 2 4 1 5 5 1 6 5 3 P( X ? 390) ? C52 ( ) ? , P( X ? 490) ? C6 ( ) ? 2 16 2 16
10

1 2

所以, X 的分布列为

X

220

300

390

490

P

1 8

1 4

5 16

5 16

所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元
37. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)如图,已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别为 D、E、

F,从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线时,规定 X=0)(1) 求 P( X ?

1 ) ;(2)求 E(X) 2
A

D

E

B

F

C

【答案】 【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有 C3 ? 20 个基本事件, 6

事件“ X ≥

1 1 7 ”所含基本事件有 2 ? 3 ? 1 ? 7 ,从而 P( X ≥ ) ? . 2 2 20 1 4 10 20 1 2 6 20 1 20

⑵ X 的分布列为:
X P
0

3 20

则 E( X ) ? 0 ?

3 1 10 1 6 1 13 . ? ? ? ? ? 1? ? 20 4 20 2 20 20 40

1 7 E ( X ) ? 13 答: P( X ≥ ) ? , . 40 2 20
38. (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)中华人民共和国《道路交通安全法》中

将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员 血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升),当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时, 为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于 2013 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设 点进行一次

拦查行动,共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画 出的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内). (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中任 取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望.
11

【答案】(本题满分 14).

解: (1) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人 (2) 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有 醉酒驾车者为 2 人; 所以 x 的所有可能取值为 0,1,2; P(x=0)=
3 C 2C1 15 C1C 2 3 C6 5 = ,P(X=1)= 6 3 2 = ,P(x=2)= 6 3 2 = C83 14 C8 C8 28 28

X 的分布列为

X P

0

1

2

5 14

15 28

3 28

E( X ) ? 0 ?

5 15 3 3 ? 1? ? 2? ? 14 28 28 4

39. (浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 )四张编号分别为 1,2,3,4 的卡片,每次从

中取一张,记下编号后放回, 这样取了 3 次. (Ⅰ)求记下的 3 张卡片编号之和为 6 的概率; (Ⅱ)设记下的 3 张卡片中编号的最大值与最小值的差为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.
【答案】(Ⅰ) p ?
3 1 A3 ? C 3 ? 1 5 ? . 4? 4? 4 32

(Ⅱ) ? 的分布列

E? ?

15 8

40. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题)为了了解高一新生住宿的适应情

况,某班抽取了 3 个寝室进行调查.其中每个寝室住有 6 名学生,现每个寝室抽取 2 人,假设抽取的 3 个 寝室中对住宿生活不适应的人数分别为 0 人、1 人、2 人.用 ? 表示对住宿生活不适应的人数. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)若抽取的学生中不适应住宿生活的人数少于 2 人,就不召开住宿生会议,否则就召开,求经过这次
12

调查召开住宿生会议的概率.
【答案】(Ⅰ) P(? ? 0) ?
2 2 C5 C 4 C 1 C 2 C 2 C 1 ? C 1 110 22 60 4 ? 2 ? ? , P(? ? 1) ? 5 ? 4 ? 5 ? 2 2 4 ? ? 2 2 2 2 225 45 C 6 C 6 225 15 C6 C6 C6 C6

P(? ? 2) ?

1 2 1 1 2 C5 C 2 C 4 C5 C 2 C1 C 2 50 2 5 1 ? ? 2 ? 2 ? ? , P(? ? 3) ? 5 ? 2 ? ? 2 2 2 2 C6 C6 C 6 C 6 225 9 C 6 C 6 225 45

? 的分布列为: ?
P
E? ? 1 ?

0
4 15 22 2 1 ? 2? ? 3? ?1 45 9 45

1
22 45

2
2 9

3
1 45

(Ⅱ) P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2 1 11 ? ? 9 45 45

41. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,

其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5,4 个白球编号分剐为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望.
【答案】

42. (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷) 四枚不同的金属纪念币 A, B, C , D ,投掷

时, A, B 两枚正面向上的概率均为

1 ,另两枚 C, D (质地不均匀)正面向上的概率均为 a ( 0 ? a ? 1 ). 2
13

将这四枚纪念币同时投掷一次,设 ξ 表示出现正面向上的枚数.

(1)求 ξ 的分布列(用 a 表示); (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大,求 a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得 ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4 .

1 1 2 P(? ? 0) ? (1 ? ) 2 ?1 ? a ? ? (1 ? a) 2 2 4
1 P(? ? 1) ? C 2

1 1 1 1 2 1 (1 ? )?1 ? a ? ? C 2 a(1 ? a)(1 ? ) 2 ? (1 ? a) 2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 1 1 P(? ? 2) ? ( ) 2 ?1 ? a ? ? C2 a(1 ? a)C 2 (1 ? ) ? (1 ? ) 2 a 2 ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) 2 2 2 2 4 1 1 a 1 1 1 P(? ? 3) ? ( ) 2 C 2 a?1 ? a ? ? a 2 C 2 (1 ? ) ? 2 2 2 2 1 1 P(? ? 4) ? ( ) 2 a 2 ? a 2 2 4
∴ξ 的分布列为 ξ ξ

ξ 0

21

2

23

34

P P

1 (1 ? a) 2 4 1 (1 ? a) 2 4

1 (1 ? a) 2
1 (1 ? a) 2

1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

1 a 2 1 a 2

1 2 a 4 1 2 a 4

(Ⅱ)∵ 0 ? a ? 1 ∴

P(? ? 0) ? P(? ? 1) , P(? ? 4) ? P(? ? 3)

?1 ? 2 (1 ? a ) ? ? ∴? ? 1 (1 ? a ) ? ?2 ?

? 1 2? 2 2? 2 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 或a ? ?a ? ? 4 2 2 ,解得 ? 1 ?a ? 1 a ? 2 2 ?
2? 2 ) 2

∴ a 的取值范 (0,

43. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)甲设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装

有同样大小的 10 个球,分别标有数字 0,1,2,9 这十个数字,摸奖者交 5 元钱可参加一回摸球活动,一回 摸球活动的规则是:摸奖者在摸球前先随机确定(预报)3 个数字,然后开始在袋中不放回地摸 3 次球,每 次摸一个,摸得 3 个球的数字与预先所报数字均不相同的奖 1 元,有 1 个数字相同的奖 2 元,2 个数字相 同的奖 10 元,3 个数字相同的奖 50 元,设 ξ 为摸奖者一回所得奖金数,求 ξ 的分布列和摸奖人获利的 数学期望.
14

【答案】

44. (浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学 (理) 试题) 一个口袋中装有2个白球和 n 个红球( n ? 2

且 n ? N ? ),每次从袋中摸出两个球(每次 摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中 奖,否则为不中奖. (Ⅰ) 摸球一次,若中奖概率为

1 ,求 n 的值; 3

(Ⅱ) 若 n ? 3 ,摸球三次,记中奖的次数为 ? , 试写出 ? 的分布列并求其期望.
【答案】

45. (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学(理)试题)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,
15

命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙 靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;xk b1.co m (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX
【答案】

46. (浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学(理)试题)一个口袋中装有大小形状完全相同的 n ? 3

张卡片,其中一张卡片上标有数字 1,二张卡片上标有数字 2,其余 n 张卡片上均标有数字 3( n ? N ),
*

若从这个口袋中随机地抽出二张卡片,恰有一张卡片上标有数字 2 的概率是 (Ⅰ)求 n 的值

8 , 15

(Ⅱ) 从口袋中随机地抽出 2 张卡片,设 ξ 表示抽得二张卡片所标的数字之和,求 ξ 的分布列和关于 ξ 的数学期望 Eξ
【答案】解(Ⅰ).由题设
1 1 Cn?1C2 8 ? ,即 2n 2 ? 5n ? 3 ? 0 ,解得 n ? 3 2 Cn ? 3 15

(Ⅱ) ξ 取值为 3,4,5,6. 则
1 1 0 C1 C2C3 2 P(? ? 3) ? ? 2 C6 15 1 1 C10C2C3 6 ? ; 2 C6 15

;

2 0 1 0 1 C2 C4 ? C1 C2 C3 4 P (? ? 4) ? ? C62 15

;

P (? ? 5) ?

P(? ? 6) ?

0 C10C2 C32 3 ? 2 C6 15

ξ 的分布列为:

16

∴Eξ = 3 ?

2 4 6 3 70 14 ? 4? ? 5? ? 6? ? ? 15 15 15 15 15 3

47. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(三)数学(理)试题 )已知长方体的长、宽、高分 别

为 3、 4,从长方体的 12 条棱中任取两条.设 ? 为随机变量,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的 3、 值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 3 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列及数学期望 E (? ) .

【答案】 解:(1)若两条棱相交,则交点必为长方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,所以

8C 32 24 4 ? 共有 8C 对相交棱,因此 P (? ? 0) ? 2 ? 66 11 C12
2 3

(2)若两条棱平行则他们的距离为 3,4,5, 3 2 ,

P(? ? 4) ?

4 4 2 ? ? , 2 C12 66 33 4 4 2 ? ? , 2 C12 66 33
2 2 1 ? ? 2 C12 66 33

---------

P(? ? 5) ?

P(? ? 3 2 ) ?

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? P(? ? 3 2 ) ? P(? ? 0) ? 1 ? 2
所以随机变量 ? 的分布列为:

4 2 24 32 16 ? ? ? ? 2 C12 66 66 66 33

?
P(? )
E (? ) ? 3 ?

0

3

4

5

3 2

4 11

16 33

2 33

2 33

1 33

16 2 2 1 66 ? 3 2 ? 4? ? 5? ? 3 2 ? ? 33 33 33 33 33

48. (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学(理)试题) 甲.乙等五名工人被随机地分到

A, B, C 三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人. (1)求甲.乙被同时安排在 A 岗位的概率;
17

(2)设随机变量 ? 为这五名工人中参加 A 岗位的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

【答案】

49. (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)甲从装有编号为 1, 2,3, 4,5 的卡片的箱子

中任取一张,乙从装有编号为 2, 4 的卡片的箱子中 任取一张,用 X , Y 分别表示甲,乙取得的卡片上的数字. (I)求概率 P ? X ? Y ? ; (II)设 ? ? ?

?X , X ? Y ,求 ? 的分布列及数学期望. ?Y , X ? Y

【答案】(I) P ? X

?Y? ?

2 5

(II)

?
P

2

3

4

5

1 5

1 10

1 2

1 5

E? ?

37 10

50. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) (纯 WORD 版) 设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 试题 )

个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ? 为

18

取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2) 从 该 袋 子 中 任 取 ( 且 每 球 取 到 的 机 会 均 等 )1 个 球 , 记 随 机 变 量 ? 为 取 出 此 球 所 得 分 数 . 若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

3? 3 1 ? ;当两次 6?6 4 2 ? 2 3 ? 1 1? 3 5 摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ? 4 ,此时 P(? ? 4) ? ? ? ? ;当两次摸到的 6 ? 6 6 ? 6 6 ? 6 18 3? 2 2? 3 1 球分别是红黄,黄红时 ? ? 3 ,此时 P(? ? 3) ? ? ? ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 6? 6 6? 6 3 1? 2 2 1 1 ? ? ? 5 , 此 时 P(? ? 5 ) ? ? ? ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ? ?6 ,此时 6? 6 6 6 9 ? 1? 1 1 P(? ? 6 )? ? ;所以 ? 的分布列是: 6? 6 3 6
【答案】 解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ? ? 2 ,此时 P(?

? 2) ?

?
P

2

3

4

5

6

(Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是:

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

?
P

1

2

3

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c

5 a 2b 3c ? ? E? ? 3 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 所 以 : ? a 5 2b 5 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ?
b ? 2 c, a 3 ? ? c : a :? .c 3 : 2 : 1 b

, 所 以

51. (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学(理)试题)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个

黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.
【答案】 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ,“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”

, 为事件 B .由于事件 A B 相互独立,且 P ( A) ?

C32 1 C2 2 ? , P( B) ? 4 ? . 2 C4 2 C62 5
1 2 1 ? ? . 2 5 5

故取出的 4 个球均为黑球的概率为 P ( A B ) ? P ( A· P ( B ) ? · )

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事件 C ,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D . 由于事件 C,D 互斥,
19

且 P (C ) ?

1 C32 C2 C4 4 C1 C 2 1 · 1 · ? , P( D) ? 3· 4 ? 2 2 C4 C62 15 C4 C62 5

4 1 7 ? ? . 15 5 15 1 7 (Ⅲ) ? 可能的取值为 0,2,.由(Ⅰ),(Ⅱ)得 P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? , 1 3 , 5 15
故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P (C ? D ) ? P (C ) ? P ( D ) ?
1 C3 1 1 3 .从而 P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? . P(? ? 3) ? 2· 2 ? C4 C6 30 10

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3

1 5

7 15

3 10

1 30

1 7 3 1 7 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 15 10 30 6
52. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题) 已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球

( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若
甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .

C 1 ? C rL xy 1 x ? ? 2 3 ? ? ( ) ? 【答案】解:(I)由题意知 P ? , Cx1. 60 60 2 20
当且仅当 x ? y 时等号成立, 所以,当 P 取得最大值时 x ? y ? 3 . (II)当 x ? 2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3
2 1 C 4 C1 1 则 P(? ? 0) ? 2 1 ? , C6 C4 5 1 1 1 2 1 C2C4C2 ? C4 C2 7 ? , 2 1 C6 C4 15

P(? ? 1) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C4C2 3 p(? ? 2) ? ? , 2 1 10 C6 C4

P(? ? 3) ?

1 C2 1 , 2 1 ? C6 C4 30

20

所以红球个数 ? 的分布列为

于是 E? ?

7 . 6

53. (浙江省湖州市 2013 年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) )学校游园活动有这样一个游戏

项目:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相 同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后 将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ? X ? .
【答案】解:(I)(i)解:设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i ? 0 ,,, ,则 1 2 3)
2 1 C3 C2 1 ? 2 ? . 2 C5 C3 5 (ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B ,则 B ? A2 ? A3 ,又

P ? A3 ? ?

P ? A2 ? ?

2 2 1 1 1 C3 C2 C2C2 C2 1 ? 2? 2 ? 2 ? , 2 C5 C3 C5 C3 2

且 A2 、 3 互斥,所以 P ? B ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ? ? 1 ? 1 ? 7 A

2

5 10

(II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0 、、 1 2

P ? X ? 0? ? 1 ? 7 10
2

9 7 7 21 ? ? ? 100 , P ? X ? 1? ? C 10 ?1 ? 10 ? ? 50 , P ? X ? 2 ? ? ? 7 ? ? 49 10 100
2

1 2

所以 X 的分布列是

X P

0

1

2

9 100

21 50

49 100

所以 X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ? 9 ? 1? 21 ? 2 ? 49 ? 7

100

50

100

5

21