当前位置:首页 >> 数学 >>

安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《从平面向量到空间向量》(北师大版选修2-1)


理解 教材新知

知识点一
知识点二 考点一

第 二 章

§ 1

把握 热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

小刚从学校大门口出发,向东行走100米,再向北行

走600米,最后乘电梯上行20米到达住处.
问题1:位移是既有大小又有方向的量,可用向量表 示.那么小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量 是三个位移所对应的向量的合成吗? 提示:是.

问题2:问题1中的位移是不在同一个平面内的位移,

已不能用平面向量来刻画,应如何刻画这种位移?
提示:用空间向量. 问题3:若设大门口向东行走100米为a,再向北行走 600米为b,最后乘电梯上行20米为c,则a,b,c夹角分 别是多少?
π 提示: . 2

空间向量
(1)空间向量及其模的表示方法:
有向线段 图示 表示 模
??? ? AB ??? ? | AB |
? a 或a ? | a | 或 |a|

字母

(2)向量的夹角: ①定义: 过空间任意一点 O 作向量 a, 的 b OA ??? ? 和 OB ,则 ∠AOB 叫作向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 . ②范围:[0,π] .

? 相等向量 ???

π ③当〈a,b〉= 时,向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 2
④当〈a,b〉= 0或π 时,向量 a 与 b 平行,记作

a∥b .

(3)特殊向量:

名称
零向量 单位向量

定义及表示
规定 长度为0 的向量叫零向量,记为0 模为1 的向量叫单位向量

相反向量 与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量,记为-a
相等向量

方向 相同 且模 相等 的向量称相等向量, 同向 且
等长 的有向线段表示同一向量或相等向量

如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中

问题1:在正方体的顶点为起点和终
点的向量中,直线AB的方向向量有哪些?
? ? ??? ??? ???? ???? ??? ??? ????? ???? ? ? ? ? ? 提示:AB ,BA ,A?B? ,B?A? ,DC ,CD ,D?C ? ,C ?D? . 问题2:在正方体的顶点为起点和终点的向量中,与平

面ABCD垂直的向量有几个?
提示:8个.

向量、直线、平面 (1)方向向量:l 是空间一直线,A、B 是直线 l 上任意两 ??? ? ??? ? 点,则称 AB 为直线 l 的方向向量.与 AB 平行 的任意非零 向量 a 也是直线 l 的方向向量. (2)法向量:如果直线 l 垂直 于平面 α,那么把直线 l 的方 向向量 a 叫作平面 α 的法向量. 所有与直线 l 平行的非零向量 都是平面 α 的法向量.

1.空间向量是对平面向量的拓展和提高,平面向

量研究的是向量在同一平面内的平移,空间向量研究的
是向量在空间的平移,空间的平移包含平面内的平移. 2.直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的, 直线的方向向量都平行于该直线,平面的法向量都垂直 于该平面.

[例 1]

给出以下命题:

①若 a,b 是空间向量, 则|a|=|b|是 a=b 的必要不充分条件; ②若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b|; ③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ④若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ??? ????? ? ⑤在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 AC = A1C1 ; ⑥空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确的命题序号是________.

[思路点拨]

用空间向量的有关概念进行判断.

[精解详析]

以上命题①②④⑤正确.两向量若相等,

必须方向相同且模相等.但相等的向量起点不一定相同, 故③错;两个单位向量虽模相等,但方向不一定相同.故 ⑥错. [答案] ①②④⑤

[一点通]

与平面向量一样,空间向量也有向量的模,

向量的夹角,单位向量,零向量,相等向量,相反向量, 平行向量的概念.两个向量是否相等,要看方向是否相同, 模是否相等,与起点和终点位置无关.

1.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,那么这些
向量的终点所构成的图形是 A.一个圆 C.一个球面 B.两个孤立的点 D.以上均不正确 ( )

解析:单位向量的模为1,把所有空间单位向量移到共

同起点后,向量的终点到起点的距离均为1,构成了一
个球面. 答案:C

2.下列命题中正确的个数是

(

)

(1)如果a,b是两个单位向量,则|a|=|b|;
(2)两个空间向量共线,则这两个向量方向相同; (3)若a、b、c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c; (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. A.1 C.3 B.2 D.4

解析:对于(1):由单位向量的定义即得|a|=|b|=1,故(1) 正确;对于(2):共线不一定同向,故(2)错;对于(3):正 确;对于(4):正确,在空间任取一点,过此点引两个与 已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交

于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量
可以平移到同一平面内.

答案:C

3.如图所示的长方体中,AD=2,AA1=1,AB=3.

??? ? (1)试写出与 AB 相等的所有向量;
???? (2)写出向量 AA1 的相反向量;

??? ? (3)写出与向量 BC 的模相等的向量;
????? (4)写出与向量 A1 D1 平行的向量.

??? ? ??? ????? ????? ? 解:(1)与 AB 相等的向量有: DC , D1C1 , A1 B1 .
???? ???? ???? ???? ???? ? (2)向量 AA1 的相反向量有: A1 A , B1 B , C1C , D1 D .

??? ? ??? ????? ????? ????? ? (3)与向量 BC 的模相等的向量有: CB , B1C1 , C1 B1 , A1 D1 ,

? ? ????? ??? ??? D1 A1 , AD , DA .
????? ????? ????? ????? ??? ??? ? ? (4)与向量 A1 D1 平行的向量有:D1 A1 ,B1C1 ,C1 B1 ,BC , , CB

? ??? ??? ? AD , DA.

[例 2] 如图,在正方体 ABCDA′B′C′D′中, ??? ???? ? ? ??? ????? ? ??? ???? ? ? 求(1) AB , ?B? 〉 AD , ?C ? 〉 AB , ?D? 〉 〈 , 〈 , 〈 . A D C ???? ??? ???? ???? ? ? (2)〈 AD? , BC 〉〈 AD? , D?C 〉 , . [思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解,空间向量

a,b 夹角范围是[0,π].

[精解详析]

(1)∵正方体 ABCDA′B′C′D′,

∴AB∥A′B′,AD⊥D′C′,AB∥C′D′.

??? ???? ? ? ??? ????? ? ??? ???? ? ? π ∴〈 AB , A?B? 〉=0, AD , D?C ? 〉= , AB ,C ?D? 〉=π. 〈 〈 2
(2)∵正方体 ABCDA′B′C′D′,∴AD∥BC.

???? ??? ???? ??? ? ? π ∴〈 AD? , BC 〉=〈 AD? , AD 〉= . 4
连接 AC,则△ACD′为等边三角形.

???? ???? ? 2π ? , D?C 〉= . ∴〈 AD 3

[一点通] 与求平面内两向量夹角类似,求空间两向量 夹角时, 采取平移的方法, 把空间两向量的夹角转化为平面 内某两条相交直线的角, 进而用解三角形的知识求解. 必须 注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处,比如若

??? ??? ? ??? ??? ? ? π 3π 〈 AB , AC 〉= ,而〈 AB , CA 〉= . 4 4

4.正四面体 S-ABC 中,E、F 分别为 SB,AB 中点.则 ??? ??? ? ? 〈 EF , AC 〉=________.
解析:如图所示,∵E、F 为中点, ∴EF∥SA,而△SAC 为正三角形, π ∴∠SAC= , 3

??? ??? ? ? 2π ∴〈 EF , AC 〉= . 3 2π 答案: 3

5.在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB= 3,AA′=1, ??? ???? ? AD= 6,求〈 AC , A? B 〉 .
解:如图,连接 A′C′,BC′, ??? ????? ? ∵ AC = A?C ? , ??? ???? ? ∴∠BA′C′的大小就等于〈 AC , A? B 〉 . 由长方体的性质和三角形勾股定理知,在△A′BC′中 A′B= AA′2+AB2=2,A′C′= AB2+AD2=3, BC′= AD2+AA′2= 7. A′C′2+A′B2-BC′2 1 ∴cos∠BA′C′= = . 2 2· A′C′· A′B ??? ???? ? π π ?B 〉= . ∴∠BA′C′= .即〈 AC , A 3 3

[例3]

(12分)如图,四棱锥P

-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面 ABCD为正方形且PD=AD=CD,

E、F分别是PC、PB的中点.
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量; (2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量. [思路点拨] (1)只要作出过F与DE平行的直线即可.

(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可.

[精解详析] (1)连接 EF, ∵E、F 分别是 PC、PB 的中点, 1 ∴EF 綊 BC.又 BC 綊 AD, 2 1 ∴EF 綊 AD. 2 取 AD 的中点 M,连接 MF, 则由 EF 綊 DM 知四边形 DEFM 是平行四边形, (4 分) (6 分) (3 分)

???? ∴MF∥DE.∴ FM 就是直线 DE 的一个方向向量.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC. 又 BC⊥CD,∴BC⊥平面 PCD. ∵DE ?平面 PCD, ∴DE⊥BC. 又 PD=CD,E 为 PC 中点, ∴DE⊥PC.从而 DE⊥平面 PBC. ??? ? ∴ DE 是平面 PBC 的一个法向量. ???? ??? ? 由(1)可知 FM = ED , ???? ∴ FM 就是平面 PBC 的一个法向量.

(7 分) (8 分)

(10 分) (11 分)

(12 分)

[一点通]

直线的方向向量有无数个,它们之间互相

平行;平面的法向量也有无数个,它们之间也都互相平行 且都垂直于平面.而过空间某点作直线的方向向量或平面 的法向量时可利用线面平行及线面垂直等相关知识,在该

点处作出直线的平行线或平面的垂线即可.

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1中点. (1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量; (2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量.
解:(1)如图所示,取 BC 中点 F, 连 EF,BC1,则 EF∥BC1. 又 AD1∥BC1.∴EF∥AD1, ??? ? ∴ EF 为直线 AD1 的方向向量.

(2)连 B1C,则 B1C⊥BC1. 又 AB⊥面 BCC1B1,∴AB⊥B1C. ∴B1C⊥面 ABC1D1.
???? ∴ B1C 为平面 ABC1D1 的法向量.

7.如图所示,正三棱锥 S-ABC 中,D 为 ??? ? AB 中点.求证: AB 为平面 SCD 的法 向量.

证明: ∵D 为 AB 中点, 且△ABC 为正三角形, ∴CD⊥AB. 又△SAB 为等腰三角形,∴SD⊥AB. ∴AB⊥面 SCD. ??? ? ∴ AB 为平面 SCD 的法向量.

1.空间向量是平面向量概念的拓展,也只有大小和方 向两个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间

内的任意一点,只要保证它的大小和方向不改变.它是可以
自由平移的,与起点无关.数量可以比较大小,但向量不可 以比较大小,向量的模是个非负实数,可以比较大小. 2.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要 大小和方向分别相同,那它们就是相等向量,即同向且等长 的有向线段表示同一向量或相等向量. 3.平行向量的方向不一定相同,表示共线向量的有向线 段也不一定在同一条直线上.


相关文章:
2015-2016学年高中数学 2.1从平面向量到空间向量练...
2015-2016学年高中数学 2.1从平面向量到空间向量练习 北师大版选修2-1_初中教育_教育专区。2.1 从平面向量到空间向量 一、选择题 1.下列说法中正确的是( )...
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教...
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 空间向量的运算 ...四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向 量的一些知识,什么叫做向量?...
[最新]高中数学 2.1从平面向量到空间向量练习 北师...
[最新]高中数学 2.1从平面向量到空间向量练习 北师大版选修2-1试题及答案解析_数学_高中教育_教育专区。文档来源于网络,版权属原作者所有,如有侵权请联系删除。...
选修2-1第二章2.1从平面向量到空间向量
选修2-1第二章2.1从平面向量到空间向量_高二数学_数学_高中教育_教育专区。明目标、知重点 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2. ...
高中数学选修2-1北师大版 空间向量的运算 学案1(含...
高中数学选修2-1北师大版 空间向量的运算 学案1(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-1北师大版 学案(含答案) ...
...2014年北师大版选修2-1 2.1从平面向量到空间向...
[同步]2014年北师大版选修2-1 2.1从平面向量到空间向量练习卷(带解析)_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。[同步]2014 年北师大版选修 2-1 2.1 从平面...
《从平面向量到空间向量》说课稿
《从平面向量到空间向量》— —说课稿安徽省砀山中学 张允玲 各位评委、老师:大家好! 我叫张允玲,来自砀山中学,我说课的内容是高中数学选修 2-1《从平面向 量...
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与...
北师大版高中数学选修 2-1 第二章《空间向量与立体几何》 第一课时 平面向量知识复习 一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量作准备 二、教学重点:...
从平面向量到空间向量教学设计
从平面向量到空间向量教学设计_高二数学_数学_高中...向量概念 观看微课《平面向量的故事》 ,回顾平面向量...
《从平面向量到空间向量》的教学反思
《从平面向量到空间向量》的教学反思 荣程中学:曹涛 本章, 是数学必修 4“平面向量”在空间的推广, 又是数学必修 2“立体几何初 步”的延续,努力使学生将运用...
更多相关标签: