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福建省泉州一中2013届高三上学期期末考试数学(理)试题

时间 120 分钟

满分 150 分 命题:陈志文

审核:刘水明

一、选择题(本大题共有 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本大题每 小题 5 分,满分 50 分.请将答案填写在Ⅱ卷上) .......... 1.命题“对任意的 x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ) B.存在 x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

C.存在 x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R , x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 2、右图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位:cm)画出的 茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位 15 5 5 7 8 数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,从 图中可以得到这 10 位同学身高的中位数和众数分别是( ) 16 1 3 3 5 17 1 2 A.161、155 B.163、155 C.162、163 D.162、155 和 163 3. 已知 m 、 n 表示直线, ? , ? , ? 表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为( (1) ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则? ? )

?

(2) ? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 则n ? m (3) m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? (4) m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? A. 、 (1)(2) B. (3)(4) 、 4、 条件 p :

?
C. 、 (2)(3) D. 、 (2)(4) )

?

4

?? ?

?

2

, 条件 q : f ( x) ? log tan ? x 在 (0,??) 内是增函数, p 是 q 的 则 ( B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件 5.已知直线 y ? ?APB =( A. ) B.

6 ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, P 是优弧 AB 上任意一点,则

6 3 ?(x) 是 f ( x) 的导函数,且满足 f ?( x) ? 2 f ( x) ,则 6.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,若 f

2? 3

?

C.

5? 6

D.

?

1 ? sin 2 x ?( cos 2 x ? sin 2 x
A. ? 3

) B. 3 C.

19 19 D. ? 5 5 7.设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P (? ? 1) ? p, 则P (?1 ? ? ? 0) ? ( 1 1 A. ? p B. 1 ? p C. ? p D. 1 ? 2 p 2 2



8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,值域为 [?2,3] ,则 y ? f ( x)( x ? R ) 的 值域为( )

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A. [?2,2]

B. [?2,3]

C. [?3,2]

D. [?3,3]

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线上的一点, a 2 b2 若 ?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” ,类似地,我们 在平面向量集 V 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ? ” 。定义如下:对于任意
9.已知 F1 、 F2 分别是双曲线 两个平面向量 v1 ? (a1 , b1 ) , v 2 ? (a 2 , b2 ) ( a1 , b1 , a2 , b2 ? R ) “ v1 ? v 2 ”当且仅当 , “ a1 ? a2 ”或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ” .下面命题为假命题的是( ... A. (1,0) ? (0,1) ? (0,0) B.若 v1 ? v 2 , v 2 ? v3 ,则 v1 ? v3 C.若 v1 ? v 2 ,则对于任意 v ? V , v1 ? v ? v 2 ? v D.对于平面向量 v ? (0,0) ,若 v1 ? v 2 ,则 v ? v1 ? v ? v 2 二、填空题(本大题共有 5 小题.请把结果直接填写在Ⅱ卷上,每题填对得 4 分,否则一律是 ............ 零分.本大题满分 20 分.) 11. 已知非零向量 a, b 满足: a ? 2 b ,且 b ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角 )

?=

.

12.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如图所示,则左视图的面积为

13. 点 F 为抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过 F 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点,过
2

A 、 B 分别作抛物线 C 的准线的垂线段,垂
足分别为 M 、 N ,若 | MF |? 3 , | NF |? 4 ,则 | MN |? 14.在区间 [0, ? ] 上随机取一个数 x ,则事件“ 2 cos 概率为 15.已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ,且关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 有 6 个不同的实
2

.

x x x (sin ? 3 cos ) ? 3 ? 1 ”发生的 2 2 2

数解,若最小实数解为 ? 3 ,则 a ? b 的值为

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三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,并请将 ... 答案写在Ⅱ卷上) ....... 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 1 所示.

π π ,其部分图像如图 ?? ? ) 2 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上, 求 sin ?MNP 的值.

17. (本小题满分 13 分) 某长方体截去一个三棱锥后,形成的几何体的平面展开图如图(1—1)所示。 (1)请在图(1—2)上补画出该几何体的直观图,并求出被截去的三棱锥的体积; (2)在该几何体的直观图中连结 CD ? ,求证: CD ? ⊥ AF ; (3)在该几何体中求平面 AFG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值。

18. (本小题满分 13 分) 给定函数 f ( x ) ?

?

x

0

( 2t ? m) dt ? 2m ? 3 ( x ? 0, m 为实常数) g (x) 是 ( x 2 ? ,

1 6 ) 展 2x

开式的中间项, (1)若函数 f (x) 在 [ 2,4] 上的最大值为 1 ,求实数 m 的取值集合 A ;

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(2)在(1)的条件下,若 g ( x) ? ax 在区间 ? 全集为 R ,求 (C R A) ? (C R B ).

? 2 ? , 2 ? 上恒成立时实数 a 的取值集合为 B , ? 2 ?

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条曲线 上取两个点,将其坐标记录于下表中:

(1)求 C1、C2 的标准方程; (2)过曲线 C2 的焦点 F 的直线 l 与曲线 C1 交于 M , N 两点,与 y 轴交于 E 点, 若 EM ? ?1 MF , EN ? ?2 NF ,求证: ?1 ? ? 2 为定值。

20. (本小题满分 14 分) 某校高一年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现从该年级采用分层抽 样的方法从该年级抽取 n 名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这 n 名同学每天晚上有效学 习时间(单位: 分钟)的数据, 按照以下区间分为八组: 30), [0, [30, 60), [60, 90), [90,120), [120,l50),[150,180),[180,210),[210,240),得到频率分布直方图如下图.已知抽取 的学生中每天晚上有效学习时间少于 60 分钟的人数为 5 人.

(1)求 n 的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率; (2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是 否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名学生,请 补完整下列 2×2 列联表并判断是否有 95%的把握 认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关? 利用时间充分 利用时间不充分 合计
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50 a= 走读生 b= 15 住宿生 40 n= 合计 (3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学 习时间少于 60 分钟”的学生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. 参考公式:K = 参考列表: P(K2≥k0) 0.50 k0 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? e ,g ( x) ? ln x ? ln a ,其中 a 为常数,e ? 2,718 ? ? ? , 且函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行. (1)求常数 a 的值;
x

(2)若存在 x 使不等式

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

(3) 对于函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 公共定义域内的任意实数 x 0 , 我们把 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 的 值称为两函数在 x 0 处的偏差.求证:函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在其公共定义域内的所 有偏差都大于 2 .

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???? ??? ? ? NM ? NP 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ? NM ? NP

?6 3 ? ? . ?????????11 分 5 5?2 5
4 . ?????13 分 5

由 ?MNP ? ? 0, π ? 得 sin ?MNP ? 1 ? cos 2 ?MNP ?

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