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最新2019-2020人教A版高中数学必修五课件:2.4.2等比数列的性质优质课件_图文

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第2课时 等比数列的性质
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D典例透析 IANLI TOUXI

1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.

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1.等比数列的定义及通项公式

【做一做

1】等比数列{an}的公比

q=3,a1

=

1 3

,

则a5

等于(

).

A.3 B.9 C.27 D.81 答案:C

4

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2.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a

与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.

【做一做2】已知10是a与20的等比中项,则a=

.

答案:5

5

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1.等比数列的性质
剖析:已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号).
(2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an= 2 . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.

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(5)数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;

若数列{bn}是公比为 q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为 q·q'的等

比数列;数列

1

是公比为

1

的等比数列;数列{|an|}是公比为|q|的等

比数列.

(6)在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来的顺序排列,所 得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.

(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差 为lgq的等差数列.

(8)在数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk (或 2 )的等比数列.

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2.等差数列与等比数列的区别与联系 剖析:等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示.

等差数列

等比数列

(1)强调每一项与前一项的差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中项 别 唯一 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时,am+an=ap+aq

(1)强调每一项与前一项的比 (2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等 比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时,aman=apaq

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等差数列

等比数列

(1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)

联 系

数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确定;(4)若数列{an}为正项等比数列, 则数列{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠1;(5)若数列{an}为

等差数列,则数列{ }为等比数列;(6)非零常数列既是等差数

列,又是等比数列

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题型一 题型二 题型三

题型一

等比数列的性质的应用

【例1】已知在等比数列{an}中,a2a6a10=1,求a3a9. 分析:既可以利用通项公式计算,也可以运用等比数列的性质计
算.
解法一:设公比为 q, 则 a2a6a10=a1q·a1q5·a1q9 = 1315=1,
∴a1q5=1. ∴a3a9=a1q2·a1q8=(a1q5)2=1. 解法二:∵a2a10 = 62, ∴a2a6a10 = 63 = 1, ∴a6=1.∴a3a9 = 62 = 1.

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题型一 题型二 题型三

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反思在等比数列的有关运算中,常涉及次数较高的指数运算,若按
常规解法,往往是建立关于a1和q的方程(组),这样解起来比较麻烦. 而利用等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.

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【变式训练 1】 (1)已知在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则

a12=

;

(2)已知数列{an}为等比数列,若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,则

a3+a5=

;

(3)在等比数列{an}中,若公比 q>1,且 a2a8=6,a4+a6=5,则

5 7

=

.

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解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,

则 6
4

=

2=3.

故 a12=a4·q8=7×34=567.

(2)∵a2a4+2a3a5+a4a6 = 32 + 2a3a5 + 52 = (a3+a5)2=36, ∴an>0,∴a3+a5=6.

(3)∵a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,

∴a4,a6 是方程 x2-5x+6=0 的两个根,

解得 x1=2,x2=3.

又 q>1,∴a4=2,a6=3.



5 7

=

4 6

=

2 3.

答案:(1)567

(2)6

(3)

2 3

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题型二

等比中项的应用

【例2】已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列, 中间两数之积为16,前后两数之积为-128,求这四个数.
分析:适当地设这四个数是解决本题的关键.可利用 a,q 表示四 个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 ,aq,列方程解得 a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.

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题型一 题型二 题型三

解:设所求四个数为

2

?

,

,aq,aq3,

则由已知,得



() = 16,

2

-

(3) = -128.

解得 a=4,q=2 或 a=4,q=-2 或 a=-4,q=2 或 a=-4,q=-2.

因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

反思 合理地设出所求的数是解决此类问题的关键.一般地,三 个数成等比数列,可设为 ,a,aq;三个数成等差数列,可设为 a-d,a,a+d.

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【变式训练2】(1)在等比数列{an}中,若a3=-9,a7=-1,则a5的值

( ).

A.是3或-3 B.是3

C.是-3

D.不存在

解析:∵数列{an}是等比数列, ∴ 52 = 3a7=9. 又a3<0,a7<0,∴a5<0,∴a5=-3.
答案:C

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(2)在等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

1+3+9 2+4+10

等于多少?

解:由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,

∴ 32 = 1a9.

∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得 a1=d.



1 + 3 + 9 2 + 4 + 10

=

13 16

=

13 16.

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题型三

易错辨析

易错点:忽视等比数列中项的符号致错

【例 3】 在等比数列{an}中,a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,

则 a7=

.

错解:∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,

18 ∴ 5 + 9 = 7 ,
59 = 1. 又 a7 是 a5,a9 的等比中项, ∴ 72 = 5a9=1,即 a7=±1. 答案:±1

错因分析:在等比数列中,所有奇数项同号,所有偶数项同号,所以

a7 与 a5,a9 同号,错解中忽略了这一点.
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D典例透析 IANLI TOUXI

正解:∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,



18 5 + 9 = 7 , ∴
59 = 1.

5 > 0, 9 > 0.

又72 = 5a9=1,且 a5 与 a7 同号,∴a7=1.

答案:1

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