当前位置:首页 >> 数学 >>

2016新课标三维人教A版数学选修2-1 2. 2 椭 圆





2.2.1 椭圆及其标准方程

预习课本 P38~42,思考并完成以下问题 1.平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆?椭圆的焦点、焦距分别是什么?

2.椭圆的标准方程是什么?

[新知初探] 1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. [点睛] 定义中的条件 2a>|F1F2|>0 不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边

得出来的.否则: ①当 2a=|F1F2|时,其轨迹为线段 F1F2; ②当 2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的 关系 x y + =1(a>b>0) a2 b2 (-c,0),(c,0) c2=a2-b2 [小试身手]
2 2

焦点在 y 轴上 y x2 + =1(a>b>0) a2 b2 (0,-c),(0,c)
2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )

(2)已知椭圆的焦点是 F1, F2, P 是椭圆上的一动点, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 则动点 Q 的轨迹为圆( ) ) x2 y2 (3)方程 2+ 2=1(a>0,b>0)表示的曲线是椭圆( a b 答案:(1)×
2

(2)√
2

(3)× )

x y 2.若椭圆 +m=1 的一个焦点坐标为(1,0),则实数 m 的值为( 5 A.1 C.4 答案:C x2 y2 3.椭圆 + =1 的焦点坐标是________. 25 169 答案:(0,± 12) B.2 D.6

求椭圆的标准方程 [典例] 求满足下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). [解] x2 y2 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

将点(5,0)代入上式解得 a=5,又 c=4, 所以 b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 y2 x2 (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),

?a +b =1, 所以? 0 1 ?a +b =1
2 2 2 2

4

0

2 ? ?a =4, ? ? 2 ?b =1. ?

y2 故所求椭圆的标准方程为 +x2=1. 4

确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪 条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)“定量”是指确定 a2,b2 的具体数值,常根据条件列方程求解. [活学活用] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过两点(2,- 2), -1,

? ?

14? ; 2 ?

y2 x2 (2)过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同的焦点. 25 9 x2 y2 解:法一:(分类讨论法)若焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

?a +b =1, 由已知条件得? 1 14 ?a +4b =1,
2 2 2 2

4

2

2 ? ?a =8, 解得? 2 ?b =4. ?

x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 y2 x2 若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

?b +a =1, 由已知条件得? 1 14 ?b +4a =1,
2 2 2 2

4

2

2 ? ?b =8, ? 解得 2 ?a =4. ?

则 a2<b2,与题设中 a>b>0 矛盾,舍去. x2 y2 综上,所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 法二:(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2, 4A+2B=1, ? ?A=8, ? 14? ? - 2), -1, 代入,得? 解得? 14 2 ? ? 1 ?A+ 4 B=1, ? ?B=4, x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 y2 x2 (2)因为所求椭圆与椭圆 + =1 的焦点相同,所以其焦点在 y 轴上,且 c2=25-9= 25 9 16.设它的标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0). a2 b2 因为 c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16.① 1

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

又点( 3,- 5)在椭圆上,所以 5 3 即 2+ 2=1.② a b

?- 5?2 ? 3?2 + 2 =1, a2 b

由①②得 b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1. 20 4 椭圆的定义及其应用 [典例] x2 y2 如图所示,已知椭圆的方程为 + =1,若点 P 在第二象限,且 4 3

∠PF1F2=120° , 求△PF1F2 的面积. [解] 由已知得 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2= 4-3=1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 6 将②代入①解得|PF1|= . 5 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· |F1F2|· sin 120° 2 1 6 3 3 3 = × ×2× = , 2 5 2 5 3 3 即△PF1F2 的面积是 . 5

(1)椭圆定义的应用中,要实现两个焦点半径之间的相互转化,将两个焦半径之和看作 个整体. (2) 涉及焦点三角形面积时,可把 |PF1| , |PF2| 看作一个整体,运用 |PF1|2+ |PF2|2 = (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求解. [活学活用] x2 y2 设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=2.则△ 16 12 PF1F2 是( ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

A.钝角三角形 C.锐角三角形

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

解析:选 B 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8. 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3, 又|F1F2|=2c=4,故△PF1F2 为直角三角形. 与椭圆有关的轨迹问题 [典例] x2 y2 (1)已知 P 是椭圆 + =1 上一动点,O 为坐标原点,则线段 OP 中点 Q 的轨 4 8

迹方程为________. (2)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. [解析](1)设 P(xP,yP),Q(x,y),

?x= 2 , 由中点坐标公式得? y ?y= 2 ,
P

xP

? ?xP=2x, 所以? ?yP=2y, ?

x2 y2 ?2x?2 ?2y?2 又点 P 在椭圆 + =1 上,所以 + =1, 4 8 4 8 y2 即 x2+ =1. 2 y2 答案:x2+ =1 2 (2)解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 =3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 x2 y2 椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3

解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法: 用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭 圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可. (2)相关点法: 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的 坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

关点法. [活学活用] 求过点 P(3,0)且与圆 x2+6x+y2-91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程. 解:圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为 C1(-3,0),半径为 R=10.设所求
? ?|PC|=r, 动圆圆心为 C(x,y),半径为 r,依题意有? 消去 r 得 R-|PC|=|CC1|?|PC| ?|CC1|=R-r, ?

+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10. 又 P(3,0),C1(-3,0), 且|PC1|=6<10. 可见 C 点是以 P, C1 为两焦点的椭圆, 且 c=3,2a =10, 所以 a=5,从而 b=4, 故所求的动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 + =1. 25 16

层级一

学业水平达标 )

x2 y2 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 C.8 B.5 D.10

解析:选 D 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,故选 D. x2 2.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 )

解析:选 C 由于△ABC 的周长与焦点有关,设另一焦点为 F,利用椭圆的定义,|BA| +|BF|=2 3,|CA|+|CF|=2 3,便可求得△ABC 的周长为 4 3.

3.命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 C.充分且必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析:选 B 利用椭圆定义.若 P 点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲 是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的. 这是因为: 仅当 2a>|AB|时, P 点轨迹才是椭圆; 而当 2a=|AB|时, P 点轨迹是线段 AB; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

当 2a<|AB|时,P 点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件. x2 y2 4.如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a a+6 A.a>3 C.a>3 或 a<-2
2

)

B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2

2 ? ? ?a -a-6>0, ?a<-2或a>3, 解析: 选 D 由 a >a+6>0 得? 所以? 所以 a>3 或-6<a< ?a+6>0, ? ? ?a>-6,

-2. 5.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 3,若|PF1|与|PF2|的 等差中项为|F1F2|,则椭圆 C 的标准方程为( A. B. x y + =1 12 9
2 2

)

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 12 9 9 12

x2 y2 C. + =1 9 12 D. x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 48 45 45 48

解析:选 B 由已知 2c=|F1F2|=2 3,∴c= 3. ∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 3, ∴a=2 3.∴b2=a2-c2=9. x2 y2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程是 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 x2 y2 6.椭圆m+ =1 的焦距是 2,则 m 的值是________. 4 解析:当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4,又 2c=2,∴c=1. ∴m-4=1,m=5. 当椭圆的焦点在 y 轴上时,a2=4,b2=m, ∴c2=4-m=1, ∴m=3. 答案:3 或 5 7 .已知椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0) 为其右焦点,则椭圆 C 的标准方程为 ________________. x2 y2 解析:法一:依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知左焦点为 F′(- a b 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

2,0).
? ? ?c=2, ?c=2, 从而有? 解得? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?a=4. ? ?

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 12 4 9 ? ?a2+b2=1, x2 y2 法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则? a b ? ?a2-b2=4, 或 b2=-3(舍去),从而 a2=16.所以椭圆 C 的标准方程为 答案: x2 y2 + =1 16 12 x2 y2 + =1. 16 12 解得 b2=12

8.椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点 P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积最大为 12, 则椭圆方程为__________. 解析:

如图,当 P 在 y 轴上时△PF1F2 的面积最大, 1 ∴ ×8b=12,∴b=3. 2 又∵c=4,∴a2=b2+c2=25. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 答案: x2 y2 + =1 25 9

x2 y2 3? ? 9. 设 F1, F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点. 设椭圆 C 上一点 3, a b 2? ? 到两焦点 F1,F2 的距离和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标.

? 3?2 ? 3?2 ? 2 ? 3? ? 解:由点 3, 在椭圆上,得 2 + 2 =1, a b 2? ?
x2 y2 又 2a=4,所以椭圆 C 的方程为 + =1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 4 3 10.已知椭圆 C 与椭圆 x2+37y2=37 的焦点 F1,F2 相同,且椭圆 C 过点 (1)求椭圆 C 的标准方程;

?5 7,-6?. ? 2 ?

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

π (2)若 P∈C,且∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积. 3 x2 解:(1)因为椭圆 +y2=1 的焦点坐标为(-6,0),(6,0). 37 x2 y2 所以设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2 =1(a2>36). a a -36 将点 去), 所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 + =1. 100 64

?5 7,-6?的坐标代入整理得 4a4-463a2+6 300=0,解得 a2=100 或 a2=63(舍 4 ? 2 ?

(2)因为 P 为椭圆 C 上任一点, 所以|PF1|+|PF2|=2a=20. 由(1)知 c=6, 在△PF1F2 中,|F1F2|=2c=12, 所以由余弦定理得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos 即 122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|· |PF2|. |PF2|, 因为|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· 所以 122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|· |PF2|. 所以 122=202-3|PF1||PF2|. 所以|PF1|· |PF2|= 202-122 32×8 256 = = . 3 3 3 π , 3

1 π 1 256 3 64 3 S△PF1F2= |PF1|· |PF2|sin = × × = . 2 3 2 3 2 3 64 3 所以△F1PF2 的面积为 . 3 层级二 1.下列说法中正确的是( ) 应试能力达标

A.已知 F1(-4,0),F2(4,0),平面内到 F1,F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭 圆 B.已知 F1(-4,0),F2(4,0),平面内到 F1,F2 两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭 圆 C.平面内到点 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1,F2 的距离之和 的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点 F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析:选 C A 中,|F1F2|=8,则平面内到 F1,F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹 是线段,所以 A 错误;B 中,到 F1,F2 两点的距离之和等于 6,小于|F1F2|,这样的轨迹不 存在, 所以 B 错误; C 中, 点 M(5,3)到 F1, F2 两点的距离之和为 ?5+4?2+32+ ?5-4?2+32 =4 10>|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以 C 正确;D 中,轨迹应是线段 F1F2 的垂直平分 线,所以 D 错误.故选 C.

???? ? ???? ? x2 y2 2. 椭圆 + =1 的焦点为 F1, F2, P 为椭圆上的一点, 已知 PF1 · =0, 则△F1PF2 PF 2 25 9
的面积为( A.9 C.10 ) B.12 D.8

???? ? ???? ? 解析:选 A ∵ PF1 · PF2 =0,
∴PF1⊥PF2. ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 且|PF1|+|PF2|=2a. 又 a=5,b=3,∴c=4,
2 2 ? ?|PF1| +|PF2| =64, ① ? ∴ ? ② ?|PF1|+|PF2|=10.

②2-①,得 2|PF1|· |PF2|=36, ∴|PF1|· |PF2|=18, ∴△F1PF2 的面积为 1 S= · |PF1|· |PF2|=9. 2 π? 2 2 3.若 α∈? ?0,2?,方程 x sin α+y cos α=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范 围是( ) π? B.? ?0,4 ? π π? D.? ? 4 ,2 ? x2 y2 + =1. 因 1 1 sin α cos α

π π? A.? ? 4 ,2 ? π? C.? ?0,4?

解析: 选 A 易知 sin α≠0, cos α≠0, 方程 x2sin α+y2cos α=1 可化为

为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以 4.已知 P 为椭圆

π 1 1 π π 0, ? , > >0, 即 sin α>cos α>0. 又 α∈? ? 2? 所以4<α<2. cos α sin α

x2 y2 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2 25 16 ) B.7

=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

C.13

D.15

解析: 选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心: 且|PF1|+|PF2|=10, 从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 5.若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点为(0,-4),则 k 的值为________. y2 x2 1 1 1 解析:易知 k≠0,方程 2kx2+ky2=1 变形为 + =1,所以k- =16,解得 k= . 1 1 2k 32 k 2k 答案: 1 32

x2 y2 6.已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点 9 4 分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 |AN|+|BN|=________. 解析:取 MN 的中点 G,G 在椭圆 C 上,因为点 M 关于 C 的焦点 F1,F2 的对称点分 1 1 别为 A,B,故有|GF1|= |AN|,|GF2|= |BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. 2 2 答案:12 7.已知点 P 在椭圆上,且 P 到椭圆的两个焦点的距离分别为 5,3.过 P 且与椭圆的长 轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程. x2 y2 y2 x2 解:法一:设所求的椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0), a b a b
?2a=5+3, ?a=4, ? ? 由已知条件得? 解得? 2 2 2 ??2c? =5 -3 , ? ? ?c=2,

所以 b2=a2-c2=12. 于是所求椭圆的标准方程为 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 16 12 16 12

x2 y2 y2 x2 法二: 设所求的椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0), 两个焦点分别为 F1, a b a b F2. 由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以 a=4. x2 y2 b2 在方程 2+ 2=1 中,令 x=± c,得|y|= ; a a b y2 x2 b2 在方程 2+ 2=1 中,令 y=± c,得|x|= a . a b b2 依题意有 a =3,得 b2=12. 于是所求椭圆的标准方程为 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 16 12 16 12

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

8. 如图在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0).Q 为圆 C 上一点,AQ 的垂直平分 线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程. 解:如图,连接 MA.由题意知点 M 在线段 CQ 上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,

则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5. 又 A(1,0),C(-1,0),故点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且 2a=5,故 a 5 25 21 = ,c=1,b2=a2-c2= -1= . 2 4 4 故点 M 的轨迹方程为 x2 y2 + =1. 25 21 4 4

2.2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质

预习课本 P43~47,思考并完成以下问题 1.椭圆有哪些几何性质?什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴?

2.什么是椭圆的离心率?随着离心率的变化椭圆的形状有何变化?

[新知初探] 椭圆的简单几何性质

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b 2 -a≤x≤a 且-b≤y≤b A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -b≤x≤b 且-a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

长轴长=2a,短轴长=2b F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c 对称轴 x 轴和 y 轴,对称中心(0,0) c e= (0<e<1) a [小试身手] F1(0,-c),F2(0,c)

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长等于 a( a b (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a-c( (3)椭圆的离心率 e 越小,椭圆越圆( 答案:(1)× (2)√ (3)√ ) ) ) )

2.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( A.5,3, C.5,3, 答案:B 4 5 3 5 B.10,6, 4 5 3 5

D.10,6,

x2 3. 若椭圆 2+y2=1 的焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则椭圆的离心率为( a A. C. 3 2 2 2 B. 1 2 5 2

)

D.

答案:A x2 y2 1 4.若焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为________. m 2 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

答案:

3 2

由标准方程研究几何性质 [典例] [解] 求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. x2 y2 椭圆方程变形为 + =1, 9 4 a2-b2= 9-4= 5.

∴a=3,b=2,∴c=

∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), c 5 离心率 e= = . a 3

求椭圆的性质时,应把椭圆化为标准方程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写 出 a,b 的数值,进而求出 c,求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等 几何性质. [活学活用] 已知椭圆 C1: x2 y2 + =1,设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆 100 64

C2 的焦点在 y 轴上. (1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2 的方程,并研究其性质. 解:(1)由椭圆 C1: 3 (-6,0),离心率 e= ; 5 y2 x2 (2)椭圆 C2: + =1, 100 64 性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于 x 轴、y 轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); ④焦点:(0,6),(0,-6); 3 ⑤离心率:e= . 5 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn x2 y2 + =1 可得其长半轴长为 10,短半轴长为 8,焦点坐标(6,0), 100 64

利用几何性质求标准方程 [典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

4 (1)长轴长是 10,离心率是 ; 5 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. [解]
2

(1)设椭圆的方程为
2

x y y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a2 b2 a b 由已知得 2a=10,a=5. c 4 又∵e= = ,∴c=4. a 5 ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 25 9 25 9 x2 y2 (2)依题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 如图所示, △A1FA2 为一等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, 则 c=b=3, a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 18 9

(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置 或分类讨论.一般步骤是:①求出 a2,b2 的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方 程. [活学活用] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 5 倍,且过点 A(5,0). 3 (2)离心率 e= ,焦距为 12. 5 x2 y2 解:(1)若椭圆焦点在 x 轴上,设其标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意得 a b

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

2a=5×2b, ? ? ? ?a=5, ?25 0 解得? ?b=1. ? ? ? a2 +b2=1, x2 故所求椭圆的标准方程为 +y2=1; 25 y2 x2 若焦点在 y 轴上,设其标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意,得 a b 2a=5×2b, ? ?a=25, ? ? ? 0 25 解得? ?b=5. ? ? ?a2+ b2 =1, y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 625 25 x2 y2 x2 综上所述,所求椭圆的标准方程为 +y2=1 或 + =1. 25 625 25 c 3 (2)由 e= = ,2c=12,得 a=10,c=6, a 5 则 b2=a2-c2=64. 当焦点在 x 轴上时, x2 y2 所求椭圆的标准方程为 + =1; 100 64 当焦点在 y 轴上时, y2 x2 所求椭圆的标准方程为 + =1. 100 64 综上所述,所求椭圆的标准方程为 x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1. 100 64 100 64

求椭圆的离心率 [典例] x2 y2 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2 a b ) 1 3 3 3

⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( A. C. 3 6 1 2 B.

D.

[解析]

法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心

c 2c |F1F2| 3m 3 率 e=a= = = = . 2a |PF1|+|PF2| 2m+m 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

b2 法二:由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=± ,所 a b2 b2 2 2 以|PF2|= a .又由∠PF1F2=30° 可得|F1F2|= 3|PF2|,故 2c= 3· a ,变形可得 3(a -c ) =2ac,等式两边同除以 a2,得 3(1-e2)=2e,解得 e= [答案] D 3 或 e=- 3(舍去). 3

[一题多变] 1.[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ”改为“∠PF2F1=75° ,∠PF1F2 =45° ”,求 C 的离心率. 解:在△PF1F2 中, ∵∠PF1F2=45° ,∠PF2F1=75° , ∴∠F1PF2=60° , 设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为 2a, 则在△PF1F2 中, 有 ∴ m n 2c = = , sin 75° sin 45° sin 60° m+n 2c = , sin 60° sin 75° +sin 45°

c 2c sin 60° ∴e=a= = 2a sin 75° +sin 45° = 6- 2 . 2

2.[变条件,变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ”改为“C 上存在点 P, 使∠F1PF2 为钝角”,求 C 的离心率的取值范围. 解:由题意,知 c>b,∴c2>b2. 又 b2=a2-c2,∴c2>a2-c2, 即 2c2>a2. c2 1 2 ∴e2= 2> ,∴e> . a 2 2 故 C 的离心率的取值范围为

? 2,1?. ?2 ?

求椭圆离心率及范围的两种方法 c (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e=a求解.若已知 a,b 或 b,c 可借助于 a2=b2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

c +c2 求出 c 或 a,再代入公式 e= 求解. a (2)方程法:若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2 +c2,转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂, 得到关于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或范围.

层级一

学业水平达标

1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐 标为( ) B.(0,± 10) D.(0,± 69)

A.(± 13,0) C.(0,± 13)

解析:选 D 由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10,则 c= a2-b2= 69, 故焦点坐标为(0,± 69). 2. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形, 则该椭圆的离心率为( A. C. 1 2 3 4 B. 3 2 6 4 )

D.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析:选 A 依题意,△BF1F2 是正三角形, ∵在 Rt△OBF2 中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60° , c 1 1 ∴cos 60° =a= ,即椭圆的离心率 e= ,故选 A. 2 2 x2 y 2 x2 y2 x2 y2 3.已知椭圆 2+ 2=1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 2+ 2=1 的短轴长与椭 a b 25 16 a b y2 x2 圆 + =1 的短轴长相等,则( 21 9 A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 x2 y2 y2 x2 解析:选 D 因为椭圆 + =1 的长轴长为 10,焦点在 x 轴上,椭圆 + =1 的短 25 16 21 9 轴长为 6,所以 a2=25,b2=9. x2 y 2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a b 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP =2 PB ,则椭圆的离心率是( A. C. 3 2 1 3 B. D. 2 2 1 2 )

????

??? ?

)

解析:选 D ∵ AP =2 PB ,∴| AP |=2| PB |. 又∵PO∥BF,∴ 即 |PA| |AO| 2 = = , |AB| |AF| 3

????

??? ?

????

??? ?

a c 1 2 = ,∴e=a= . 3 2 a+c )

5.椭圆 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( A.(0,± m-n) C.(0,± n-m) 解析:选 C 化为标准方程是 ∵m<n<0,∴0<-n<-m. ∴焦点在 y 轴上,且 c= -m-?-n?= n-m. x2 y2 1 6.椭圆 +m=1 的离心率为 ,则 m=________. 4 2 解析:当焦点在 x 轴上时, 4-m 1 = ?m=3; 2 2

B.(± m-n,0) D.(± n-m,0) x2 y2 + =1, -n -m

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

当焦点在 y 轴上时, 综上,m=3 或 m= 答案:3 或 16 3

m-4 1 16 = ?m= . 2 3 m

16 . 3

7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 方程为________________. c 5 解析:∵e=a= , 5
2 2 c2 a -b 1 ∴ 2= 2 = , a a 5

5 , 且过 P(-5,4),则椭圆的 5

∴5a2-5b2=a2 即 4a2=5b2. x2 5y2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>0), a 4a ∵椭圆过点 P(-5,4),∴ 25 5×16 + =1. a2 4a2 x2 y2 + =1. 45 36

解得 a2=45.∴椭圆方程为 答案: x2 y2 + =1 45 36

???? ? ???? ? x2 8. 设 F 1, F2 分别为椭圆 +y2=1 的左, 右焦点, 点 A, B 在椭圆上, 若 F1 A =5 F2 B , 3
则点 A 的坐标是________. 解析:设 A(m,n).

???? ? ???? ? ?m+6 2 n?. 由 F1 A =5 F2 B ,得 B? ? ? 5 ,5 ?
+n =1, ? ?3 又 A,B 均在椭圆上,所以有??m+6 2? ? 5 ? ? ? n? ? ? 3 +? ?5 ? =1,
2 2 2

m2

?m=0, ?m=0, ? ? 解得? 或? ?n=1 ? ? ?n=-1,

所以点 A 的坐标为(0,1)或(0,-1). 答案:(0,1)或(0,-1) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 2 ,过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,求椭圆 C 的标准 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

方程. x2 y2 解:设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由 e= a2-b2 1 b2 1 c2 1 2 c 2 知 = ,故 2= ,从而 2 = , 2= .由△ABF2 的周长为|AB|+|BF2| 2 a 2 a 2 a 2 a 2

+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,得 a=4,∴b2=8. x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 8 x2 y2 10.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P,使∠APO=90° ,求椭 a b 圆离心率的取值范围. a?2 解:设 P(x,y),由∠APO=90° 知,点 P 在以 OA 为直径的圆上,圆的方程是? ?x-2? a?2 +y2=? ?2? . ∴y2=ax-x2.① x2 y2 又 P 点在椭圆上,故 2+ 2=1.② a b 把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即 (x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,∵x≠a,x≠0, ab2 ∴x= 2 ,又 0<x<a, a -b2 ab2 ∴0< 2 <a,即 2b2<a2. a -b2 由 b2=a2-c2,得 a2<2c2,∴e> 又∵0<e<1,∴ 2 <e<1. 2 层级二 应试能力达标 ) 2 . 2

x2 y2 x2 y2 1.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 25 9 9-k 25-k A.有相等的长轴长、短轴长 C.有相同的焦点 B.有相等的焦距 D.有相同的顶点

2 解析:选 B c2 1=25-9=16,c2=(25-k)-(9-k)=25-9=16,所以两椭圆有相等的

焦距.故选 B. x2 y2 2.过椭圆 + =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( 4 3 A.8,6 C.2, 3 B.4,3 D.4,2 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

解析: 选 B 过椭圆焦点的最长弦为长轴, 其长度为 2a=4; 最短弦为垂直于长轴的弦, x2 y2 12 y2 9 3 因为 c=1,将 x=1 代入 + =1,得 + =1,解得 y2= ,即 y=± ,所以最短弦的长 4 3 4 3 4 2 3 为 2× =3.故选 B. 2 3.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为( x2 y2 A. + =1 2 4 x2 C. +y2=1 6 y2 B.x2+ =1 6 x2 y2 D. + =1 8 5 )

x2 y2 解析:选 B 椭圆 9x2+4y2=36 可化为 + =1, 4 9 可知焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0,± 5), y2 x2 故可设所求椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 c= 5. a b 又 2b=2,即 b=1,所以 a2=b2+c2=6, y2 则所求椭圆的标准方程为 x2+ =1. 6 x2 y2 4.(全国丙卷)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分 a b 别为 C 的左、 右顶点. P 为 C 上一点, 且 PF⊥x 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( A. C. 1 3 B. 1 2 3 4 )

2 3

D.

解析:选 A 如图所示,由题意得 A(-a,0),B(a,0),F(-c,0). 设 E(0,m), 由 PF∥OE,得 |MF| |AF| = , |OE| |AO|

m?a-c? 则|MF|= a .① 1 |OE| 2 |BO| 又由 OE∥MF,得 = , |MF| |BF| m?a+c? 则|MF|= .② 2a 1 由①②得 a-c= (a+c),即 a=3c, 2 c 1 ∴e=a= .故选 A. 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),A,B 分别为椭圆的左顶点和上顶点,F 为右焦点,且 a b AB⊥BF,则椭圆的离心率为________. 解析:在 Rt△ABF 中, |AB|= a2+b2,|BF|=a,|AF|=a+c, 由|AB|2+|BF|2=|AF|2, 得 a2+b2+a2=(a+c)2. 将 b2=a2-c2 代入,得 a2-ac-c2=0, 即 e2+e-1=0,解得 e= 因为 e>0,所以 e= 答案: 5-1 2 -1± 5 . 2

5-1 . 2

6.已知椭圆的长轴长为 20,短轴长为 16,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范 围是________. x2 y2 解析:由题意,知 a=10,b=8,不妨设椭圆方程为 + =1,其上的点 M(x0,y0), 100 64 x2 y2 0 0 2 2 则|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点 M 到椭圆中心的距离 d= x2 + =1,所以 y0 0+y0.因为 100 64 x2 16 2 0 1- ?=64- x0 =64? ,则 d= ? 100? 25 9 64≤ x2 +64≤100,即 8≤d≤10. 25 0 答案:[8,10] 7.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 短轴长,并写出焦点坐标和顶点坐标. x2 y2 解:椭圆方程可化为m+ m =1, m+3 由 m- m?m+2? m m = >0,可知 m> , m+3 m+3 m+3 m ,c= a2-b2= m+3 m?m+2? , m+3 3 ,求实数 m 的值及椭圆的长轴长和 2 x2 0+64- 16 2 x= 25 0 9 2 x +64,因为 0≤x2 0≤100,所以 25 0

所以 a2=m,b2= 由 e= 3 ,得 2

m+2 3 = ,解得 m=1. m+3 2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

y2 于是椭圆的标准方程为 x2+ =1, 1 4 1 3 则 a=1,b= ,c= . 2 2 所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为 - 1? ? 1? 点坐标分别为(-1,0),(1,0),? ?0,-2?,?0,2?.

? ?

3 ? ? 3,0?;四个顶 ,0 , 2 ? ?2 ?

x2 y2 8.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 a b E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得,|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得, |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|· |BF2|· cos∠AF2B, 6 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)· (2a-k). 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= c 2 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e=a= . 2 2

第二课时

直线与椭圆的位置关系

预习课本 P47~48,思考并完成以下问题 1.点与椭圆的位置关系有哪几种?如何判断? 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

2.直线与椭圆有哪几种位置关系?如何确定?

3.直线被椭圆截得的弦长公式是什么?

[新知初探] 1.点与椭圆的位置关系 x2 y2 点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系: a b
2 x2 y2 x0 y2 x2 y2 0 0 0 0 0 点 P 在椭圆上? 2+ 2=1;点 P 在椭圆内部? 2+ 2<1;点 P 在椭圆外部? 2+ 2>1. a b a b a b

2.直线与椭圆的位置关系 x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系,判断方法: a b y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y 消 y 得一元二次方程. 2+ 2=1, ? ?a b 当 Δ>0 时,方程有两解,直线与椭圆相交; 当 Δ=0 时,方程有一解,直线与椭圆相切; 当 Δ<0 时,方程无解,直线与椭圆相离. 3.直线与椭圆相交的弦长公式 (1)定义:连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. (2)求弦长的方法 ①交点法:将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的 距离公式来求. ②根与系数的关系法: 如果直线的斜率为 k,被椭圆截得弦 AB 两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长 公式为: |AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[小试身手] x2 y2 1.已知点(2,3)在椭圆 2+ 2=1 上,则下列说法正确的是( m n A.点(-2,3)在椭圆外 C.点(-2,-3)在椭圆内 答案:D x2 y2 2.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是( 4 2 2 5? A.? ?3,3? 2 1? C.? ?-3,3? 答案:C x2 y2 3. 设 F1, F2 分别是椭圆 + =1 的左、 右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1P 的中点, 25 16 |OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为________. 答案:4 4 7? B.? ?3,3? 13 17? D.? ?- 2 , 2 ? ) B.点(3,2)在椭圆上 D.点(2,-3)在椭圆上 )

直线与椭圆的位置关系 [典例] x2 2 对不同的实数值 m,讨论直线 y=x+m 与椭圆 +y =1 的位置关系. 4

y=x+m, ? ? 2 [解] 由?x 消去 y, 2 ? ? 4 +y =1, x2 得 +(x+m)2=1, 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0. Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当- 5<m< 5时,Δ>0,直线与椭圆相交; 当 m=- 5或 m= 5时,Δ=0,直线与椭圆相切; 当 m<- 5或 m> 5时,Δ<0,直线与椭圆相离.

判断直线与椭圆的位置关系, 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组, 消去方程组中 的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0? 直线与椭圆相交;

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

Δ=0? 直线与椭圆相切; Δ<0? 直线与椭圆相离. [活学活用] x2 y2 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 +m=1 总有公共点,求 m 的取值范围. 5 解:∵直线 y=kx+1 过定点 A(0,1). x2 y2 由题意知,点 A 在椭圆 +m=1 内或椭圆上, 5 02 12 ∴ + ≤1,∴m≥1. 5 m 又椭圆焦点在 x 轴上∴m<5, 故 m 的取值范围为[1,5). 弦长及中点弦问题 [典例] 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 x2 y2 + =1 所截得的线段的中点. 36 9

(1)求直线 l 的方程. (2)求直线 l 被椭圆截得的弦长. [解] (1)[法一 根与系数关系法]

由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4), 而椭圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 所以 x1+x2= 8k?4k-2? 1 =8,解得 k=- . 2 4k2+1

1 所以直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 即 x+2y-8=0. [法二 点差法]

设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? ?x1+4y1-36=0, ? 所以 2 2 ?x2+4y2-36=0. ?

两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)· (y1-y2)=0. y1-y2 1 又 x1+x2=8,y1+y2=4,所以 =- , 2 x1-x2 1 即 k=- .所以直线 l 的方程为 x+2y-8=0. 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)由题意可知直线 l 的方程为 x+2y-8=0,联立椭圆方程得 x2-8x+14=0. x =4+ 2, ? ? 1 法一:解方程得? 2 ? ?y1=2- 2 , 所以直线 l 被椭圆截得的弦长为 [?4+ 2?-?4- 2?]2+ 2- = 10. 法二:因为 x1+x2=8,x1x2=14. 所以直线 l 被椭圆截得的弦长为 1?2 2 1+? ?-2? 8 -4×14= 10. x =4- 2, ? ? 2 ? 2 ? ?y2=2+ 2 ,

?? ??

2? ? 2??2 - 2+ 2? ? 2 ??

解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用 一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决; (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后 x2 y2 作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2= a b 1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段 AB 的中点,

? 则? x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b ②



y1-y2 b2 x1+x2 b2 x0 1 1 2 2 2 由①-②,得 2(x2 =- 2· =- 2· ,即 kAB 1-x2 )+ 2(y1 -y2)= 0,变形得 a b a y1+y2 a y0 x1-x2 b2x0 =- 2 . a y0 [活学活用] x2 y2 2 (全国卷Ⅱ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, 2)在 C 上. a b 2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 解:(1)由题意有 a2-b2 2 4 2 a = 2 ,a2+b2=1,

解得 a2=8,b2=4. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

x2 y2 所以 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)证明:法一:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). x2 y2 将 y=kx+b 代入 + =1,得 8 4 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM= x1+x2 -2kb b = 2 ,yM=k· xM+b= 2 . 2 2k +1 2k + 1

yM 1 于是直线 OM 的斜率 kOM=x =- , 2k M 1 即 kOM· k=- . 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),



? ?x y ? 8 + 4 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 8 4

① ②

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? ①-②得 + =0, 8 4 ∴kAB= y1-y2 4?x1+x2? 1 xM =- =- · . 2 yM x1-x2 8?y1+y2?

yM 1 又 kOM= ,∴kAB· kOM=- . xM 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 与椭圆有关的综合问题

[典例]

x2 (浙江高考)已知椭圆 +y2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 2

1 y=mx+ 对称. 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). [解] (1)由题意知 m≠0,

1 可设直线 AB 的方程为 y=-mx+b.



? ? 1 ?y=-mx+b

x2 2 +y =1, 2

消去 y,得

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

?1+ 12?x2-2bx+b2-1=0. ?2 m ? m
x2 1 4 因为直线 y=-mx+b 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点,所以 Δ=-2b2+2+ 2> 2 m 0.① 2mb m 2b m2+2 1 将线段 AB 中点 M?m2+2,m2+2?代入直线方程 y=mx+ 解得 b=- .② 2 2m 2 ? ? 由①②得 m<- 6 6 或 m> . 3 3

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t=m∈ - ,0 ∪ 0, , 2? ? 2 ? ? -2t4+2t2+ 则|AB|= t2+1· t2+ 1 2 3 2



t2+ 且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t),所以 1 1 S(t)= |AB|· d= 2 2

1 2

t2+1



1?2 2 2 -2? ?t -2? +2≤ 2 ,

1 当且仅当 t2= ,即 m=± 2时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为 2 . 2

解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法:利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解. (3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理,注意椭圆的范围. [活学活用] x2 y2 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB| a b = 3 |F F |. 2 1 2 (1)求椭圆的离心率. (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的 直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 解:(1)设椭圆的右焦点 F2 的坐标为(c,0). 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由|AB|=
2 2

3 |F F |,可得 a2+b2=3c2, 2 1 2
2

c2 1 2 又 b =a -c ,则 2= .所以椭圆的离心率 e= . a 2 2 x2 y2 (2)由(1)知 a2= 2c2,b2=c2.故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有 F1 P =(x0+c,y0), F1 B =(c,c). 由已知,有 F1 P · F1 B =0, 即(x0+c)c+y0c=0.又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.①
2 x0 y2 0 又因为点 P 在椭圆上,故 2+ 2=1.② 2c c

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

4c c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- ,代入①得 y0= , 3 3 4c c ? 即点 P 的坐标为? ?- 3 ,3?. 设圆的圆心为 T(x1,y1),则 c 4 - c+0 +c 3 3 2 2 x1= =- c,y1= = c, 2 3 2 3 进而圆的半径 r= ?x1-0?2+?y1-c?2= 5 c, 3

设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx. |kx1-y1| 由 l 与圆相切,可得 2 =r, k +1



?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3?
k +1
2



5 c, 3

整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15. 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

层级一

学业水平达标 )

x2 y2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定

解析:选 B 直线 y=kx-k+1 可变形为 y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

x2 y2 x2 y2 点在椭圆 + =1 内部,所以直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 相交,故选 B. 9 4 9 4 2.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点,过原点与线段 MN 中点所在直 线的斜率为 A. C. 2 2 9 2 2
?mx2+ny2=1, ? ? ?y=1-x

m 2 ,则 n 的值是( 2

) B. 2 3 3 2 3 27

D.

解析:选 A 由?

消去 y 得,

(m+n)x2-2nx+n-1=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点为(x0,y0), 2n n 则 x1+x2= ,∴x0= , m+n m+n m 代入 y=1-x 得 y0= . m+n y0 m 2 2 由题意 = ,∴ = ,选 A. n 2 x0 2 3.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是( A.(0,1) C.0, 2 2 ) 1 B.0, 2 D. 2 ,1 2

????? ????? ?

解析: 选 C ∵ MF1 ⊥ MF2 , ∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上, 又点 M 在椭圆内部, c2 1 c 2 2 ∴c<b,∴c2<b2=a2-c2,即 2c2<a2,∴ 2< ,即a< .又 e>0,∴0<e< . a 2 2 2 x2 4.已知椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交椭圆 C 2 于点 B,若 FA =3 FB ,则| AF |=( A. 2 C. 3

?????

????? ?

??? ?

??? ?

????

) B.2 D.3

解析:选 A 设点 A(2,n),B(x0,y0). x2 由椭圆 C: +y2=1 知 a2=2,b2=1, 2 ∴c2=1,即 c=1.∴右焦点 F(1,0). 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由 FA =3 FB 得(1,n)=3(x0-1,y0). ∴1=3(x0-1)且 n=3y0. 4 1 ∴x0= ,y0= n. 3 3 x2 将 x0,y0 代入 +y2=1, 2 1 ?4?2 ?1 ?2 得 × + n =1. 2 ?3? ?3 ? 解得 n2=1, ∴| AF |= ?2-1?2+n2= 1+1= 2. x2 y2 5.(全国卷Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 a b A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A. C. x y + =1 45 36 x2 y2 + =1 27 18
2 2

??? ?

??? ?

????

)

B.

x y + =1 36 27 x2 y2 + =1 18 9

2

2

D.

解析:选 D 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1), 1 所以直线 AB 的方程为 y= (x-3), 2 x2 y2 代入椭圆方程 2+ 2=1 消去 y, a b a2 3 2 9 2 2? 2 2 2 得? ? 4 +b ?x -2a x+4a -a b =0, 3 2 a 2 所以 AB 的中点的横坐标为 2 =1,即 a2=2b2, a 2? 2? ? 4 +b ? 又 a2=b2+c2,所以 b=c=3. x2 y2 所以 E 的方程为 + =1. 18 9 1 6.椭圆 x2+4y2=16 被直线 y= x+1 截得的弦长为______. 2 x +4y =16, ? ? 解析:由? 1 ? ?y=2x+1, 消去 y 并化简得 x2+2x-6=0. 设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=-2,x1x2=-6. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn
2 2

∴弦长|MN|= 1+k2|x1-x2| = 5 [?x +x ?2-4x1x2]= 4 1 2 5 ?4+24?= 35. 4

答案: 35

???? ? ???? ? ???? ? x2 y2 7. 已知动点 P(x, y)在椭圆 + =1 上, 若 A 点坐标为(3,0), | AM |=1, 且 PM · AM 25 16
=0,则| PM |的最小值是________. 解析:易知点 A(3,0)是椭圆的右焦点. ∵ PM ·AM =0, ∴ AM ⊥ PM . ∴| PM |2=| AP |2-| AM |2=| AP |2-1, ∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,故| AP |min=2,∴| PM |min= 3. 答案: 3 x2 y2 8.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 4 3 则 OP · FP 的最大值为________. x2 y2 解析:由 + =1 可得 F(-1,0). 4 3

???? ?

???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

????

???? ?

????

????

???? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? x2 1 1 FP =x2+x+y2=x2+x+31- 4 =4x2+x+3=4(x+ 设 P(x,y),-2≤x≤2,则 OP ·
2)2+2,

FP 取得最大值 6. 当且仅当 x=2 时, OP ·
答案:6 x2 9.已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y2=1 的右焦点,交椭圆于 A,B 两点,求弦 AB 4 的长. 解:∵a2=4,b2=1,∴c= a2-b2= 3, ∴右焦点 F( 3,0),∴直线 l 的方程 y=x- 3.

??? ? ??? ?

? ?y=x- 3, 由?x2 2 消去 y 并整理,得 5x2-8 3x+8=0. + y = 1 , ? ?4
设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 8 3 8 ,x1x2= , 5 5

∴|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn



2

??8 3?2-4×8?=8, 5? 5 ?? 5 ?

8 即弦 AB 的长为 . 5 x2 y2 3 10.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1, b a2-b2 9 c 3 ∴b=4.又 e= = ,得 2 = , a 5 a 25 16 9 即 1- 2 = ,∴a=5, a 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 5 5 x2 4 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 25 ?x-3?2 x1+x2 3 y1+y2 + =1, 即 x2-3x-8=0, 解得 x1+x2=3, ∴AB 的中点坐标 x0= = , y0= 25 2 2 2 3 6? 2 6 = (x1+x2-6)=- ,即中点坐标为? ?2,-5?. 5 5 层级二 应试能力达标

x2 1.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 y2 =1 的交点个数为( 4 A.2 C.0 解析:选 A 由题意,得
2

) B.1 D.0 或 1 4 2 2 2>2,所以 m +n <4,则-2<m<2,-2<n<2,所以点 m +n

x2 y2 x2 y2 P(m,n)在椭圆 + =1 内,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 有 2 个交点.故选 A. 9 4 9 4 2.若直线 kx-y+3=0 与椭圆 A. - B.? x2 y2 + =1 有两个公共点,则实数 k 的取值范围是( 16 4 )

? ?

5 5? , 4 4?

? 5 5? ,- ? 4? ?4

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

C. -∞,- D. -∞,-

? ? ? ?

5? ? 5 ? ∪ ,+∞ 4? ?4 ? 5? ? 5 5? ∪ - , 4? ? 4 4?

y=kx+3, ? ? 2 2 解析:选 C 由? x y 得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当 Δ=16(16k2-5)>0,即 ? ?16+ 4 =1 k> 5 5 或 k<- 时,直线与椭圆有两个公共点.故选 C. 4 4 y 3.若点(x,y)在椭圆 4x2+y2=4 上,则 的最小值为( x-2 A.1 C.- 2 3 3 B.-1 D.以上都不对 )

y 解析:选 C 设 =k,则 y=k(x-2). x-2
?4x2+y2=4, ? 由? 消去 y,整理得 ?y=k?x-2? ?

(k2+4)x2-4k2x2+4(k2-1)=0, Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)=0, 2 3 解得 k=± , 3 2 3 ∴kmin=- .选 C. 3 x2 y2 4. 已知 F1(-c,0), F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点, P(不在 x 轴上)为椭圆上一点, a b 且满足 PF1 · PF2 =c2,则椭圆离心率的取值范围是( A. C.

???? ? ???? ?
? 3,1? ?3 ?

)

1 1? B.? ?3,2? D. 0,

? 3, 2? 2? ?3


? ?

2? 2?

解析:选 C =4a2.

由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|

???? ? ???? ? 又 PF1 · PF2 =c2,
∴|PF1|· |PF2|cos∠F1PF2=c2,
2 2

② ③

由余弦定理,得|PF1| +|PF2| -2|PF1|· |PF2|· cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2, 由①②③,得 cos∠F1PF2= c <1, 2a -3c2
2 2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

所以 2c<a,即 e<

2 . 2

|PF1|+|PF2|?2 2 又|PF1|· |PF2|≤? 2 ? ? =a , ∴2a2-3c2≤a2,a2≤3c2,e≥ 则椭圆离心率的取值范围是 3 , 3

? 3, 2?,故选 C. 2? ?3

x2 y2 5. 若过椭圆 + =1 内一点(2,1)的弦被该点平分, 则该弦所在的直线方程是________. 16 4 解析:设弦的两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 并将 x1+x2=4, y1+y2=2 代入, 得 即 x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 x2 y2 1 6.过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 2 a b M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 解析: 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 分别代入椭圆方程相减得 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + a2 b2
2 x2 y1 x2 y2 1 2 2 + =1, + =1,两式相减 16 4 16 4

y1-y2 1 1 =- , 所以所求直线的方程为 y-1=- (x-2), 2 2 x1-x2

y1-y2 1 1 2 2 - ?= =0,根据题意有 x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且 =- ,所以 2+ 2×? 2 a b ? 2? x1-x2 c 2 2 0,得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2,所以a= ,即 e= . 2 2 答案: 2 2

x2 7.已知 F1,F2 分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交 4 于不同的两点 A,B,且∠AOB(O 为坐标原点)为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解:显然直线 x=0 不满足题设条件,故设直线 l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2, ? ? 2 1 k2+ ?x2+4kx+3=0, 联立?x 消去 y 并整理,得? 2 4? ? ? 4 + y =1 ? 所以 x1+x2=- 3 ,x1x2= . 1 1 2 k+ k+ 4 4
2

4k

1? 3 3 2 2 由 Δ=(4k)2-12? ?k +4?=4k -3>0,得 k> 2 或 k<- 2 .① 又 0° <∠AOB<90° ?cos∠AOB>0? OA · OB >0, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

??? ? ??? ?

所以 OA · OB =x1x2+y1y2>0. -8k2 -k2+1 3k2 又 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4= + +4= , 1 1 1 k2+ k2+ k2+ 4 4 4 -k2+1 所以 + >0,即 k2<4,所以-2<k<2.② 1 1 2 2 k+ k+ 4 4 3 综合①②,得直线 l 的斜率 k 的取值范围为-2,- 3 ? 3 ?. ∪ 2 ? 2 , 2?

??? ? ??? ?

x2 y2 1 8.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左右焦 a b 2 点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直 2 径的圆交于 C,D 两点,且满足 |AB| 5 3 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

b= 3, ? ?c 1 解:(1)由题设知? = , a 2 ?b =a -c , ?
2 2 2

解得 a=2,b= 3,c=1, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= , 5 由 d<1 得|m|< 5 .(*) 2 4 2 1- m2= 5-4m2. 5 5

∴|CD|=2 1-d2=2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=-2x+m, 由? x y ? 4 + 3 =1
2 2

1

得 x2-mx+m2-3=0,

由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴|AB|= = 由

?1+?-1?2?[m2-4?m2-3?] ? ? 2? ?

15 4-m2. 2 |AB| 5 3 = 得 |CD| 4 4-m2 =1, 5-4m2

3 解得 m=± ,满足(*). 3 1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn


赞助商链接
相关文章:
2.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 教案(人教A版选修1-1)
2.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 教案(人教A版选修1-1)_数学_高中教育_教育... 的实际应用问题, 掌握好椭圆方程与性质, 类比直线与的位置关系的研究方法...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.2《椭圆》教案
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.2椭圆》教案 - 【课题】 椭圆 【课型】 高三复习课 【授课教师】 扶沟县高中 温馨 【教材分析】 圆锥曲线是...
金版学案 数学选修2-1 2.2.3 椭圆的简单几何性质(一)
章 圆锥曲线与方程 数学·选修 2-1(人教 A 版) 圆锥曲线与方程 2.2....答案:D y2 2. x2+y2=4 上的点横坐标变为原来的两倍(纵坐标不变),...
高中新课标数学选修2-1椭圆练习_图文
高中新课标数学选修2-1椭圆练习_数学_高中教育_教育...则(x+cosα)2+(y+sinα)2=1 的圆心在第 ...使∠APO=90° ,求此 a b 的离心率的取值...
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.2.1椭圆的...
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学2.2.2.1椭圆的简单几何性质》课时提升...的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= ,则 的标准方程...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:椭圆及其标准方程方程...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:椭圆及其标准方程...《椭圆及其标准方程方程》教案 尼尔基一中 【三维目标...会根据所条件求出 标准方程,注重培养数形结合...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.2.1《椭圆及其标准...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.2.1《椭圆及其标准方程》教案 - 教案:椭圆及其标准方程 一、教学内容 新课标人教版选修 2-1章第节第一课时内容:...
...《2.2.1椭圆及其标准方程(2)》导学案 新人教A版选修...
(新课程)高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(2)》导学案 新人教A版选修2-1_...6 , b ? 35 ,则 的标准方程是 . 、新课导学 ※ 学习探究 问题:...
高中数学选修2-1人教A教案导学案2.2.2椭圆的简单几何性质
高中数学选修2-1人教A教案导学案2.2.2椭圆的简单几何性质_数学_高中教育_教育...(1)椭圆的顶点: 与对称轴有 ___ 个交点,分别为: A1 ( , ) A2 (...
人教课标版高中数学选修2-1:《椭圆及其标准方程(第2课...
人教课标版高中数学选修2-1:《椭圆及其标准方程(第2课时)》教案[精]_数学_...2.2.1 椭圆及其标准方程(第课时) (杨军君) 一、教学目标 ...
更多相关标签: