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2013年兰州一中高考数学复习资料(分专题整理)-含答案(1)


2013 年兰州一中高考数学复习资料(分专题整理)
高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑 一、复习要求
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义; 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法; 3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法; 4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系; 5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

为真时,非 p 为假;当 p 为假时,非 p 为真。 (3)四种命题:记“若 q 则 p”为原命题,则否命题为“若非 p 则非 q” ,逆命题为“若 q 则 p“,逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种 命题为真的个数只能是偶数个。 5、充分条件与必要条件 (1)定义:对命题“若 p 则 q”而言,当它是真命题时,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要 条件,当它的逆命题为真时,q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件,两种命题均为真时,称 p 是 q 的充要条件; (2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次, 结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不 必要条件。从集合角度看,若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A,满足条件 q 的所有对象组成 集合 q,则当 A ? B 时,p 是 q 的充分条件。B ? A 时,p 是 q 的充分条件。A=B 时,p 是 q 的充要 条件; (3)当 p 和 q 互为充要时,体现了命题等价转换的思想。

二、学习指导
1、集合的概念: (1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2)集合的分类: ①按元素个数分:有限集,无限集; ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x },表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x }表 示开口向上,以 y 轴为对称轴的抛物线; (3)集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如 N+={0,1,2,3,?};②描述法。 2、两类关系: (1)元素与集合的关系,用 ? 或 ? 表示; (2)集合与集合的关系,用 ? , ? ,=表示,当 A ? B 时,称 A 是 B 的子集;当 A ? B 时,称 ? ? A 是 B 的真子集。 3、集合运算 (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},CUA={x|x∈U, 且 x ? A} ,集合 U 表示全集; (2)运算律,如 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) U(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ,C , CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。 4、命题: (1)命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; (2)复合命题的形式:p 且 q,p 或 q,非 p; (3)复合命题的真假:对 p 且 q 而言,当 q、p 为真时,其为真;当 p、q 中有一个为假时, 其为假。对 p 或 q 而言,当 p、q 均为假时,其为假;当 p、q 中有一个为真时,其为真;当 p
1
2 2

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、 集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。 学会用集合的思想处理数学问题。

三、典型例题
例 1、已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N。 解题思路分析: 在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集,不能误认 为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x +1,x∈ R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1} 说明:实际上,从函数角度看,本题中的 M,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地, 集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数 y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合 {(x,y)|y=x +1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线 y=x +1 上的所有点,属于 图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。 例 2、已知集合 A={x|x -3x+2=0},B+{x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。 解题思路分析: 化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B=φ 时,△=m -8<0
2 2 2 2 2 2 2

∴ ?2 2 ?m?2 2
?? ? 0 当 B={1}或{2}时, ? ,m 无解 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? m 当 B={1,2}时, ? ?1 ? 2 ? 2

∴ 17a+4b=11 充分性:设 a,b 满足 17a+4b=11 ∴ b?

11 ? 17a 4
11 ? 17a ?0 4

代入?方程: ax ? y ? 整理得: ( y ?

∴ m=3 综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要 方面,如本题当 B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。 例 3、用反证法证明:已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、y 中至少有一个大于 1。 解题思路分析: 假设 x<1 且 y<1,由不等式同向相加的性质 x+y<2 与已知 x+y≥2 矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ x、y 中至少有一个大于 1 说明;反证法的理论依据是:欲证“若 p 则 q”为真,先证“若 p 则非 q”为假,因在条件 p 下,q 与非 q 是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立) ,所以当“若 p 则非 q”为假时, “若 p 则 q”一定为真。 例 4、若 A 是 B 的必要而不充分条件,C 是 B 的充要条件,D 是 C 的充分而不必要条件,判 断 D 是 A 的什么条件。 解题思路分析: 利用“ ? ”“ ? ”符号分析各命题之间的关系 、 D ?C ?B ?A ∴ D ? A,D 是 A 的充分不必要条件 说明:符号“ ? ”“ ? ”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。 、 例 5、求直线?:ax-y+b=0 经过两直线?1:2x-2y-3=0 和?2:3x-5y+1=0 交点的充要条件。 解题思路分析: 从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
?2x ? 2 y ? 3 ? 0 17 11 由 ? 得?1,?2 交点 P( , ) 4 4 ?3x ? 5y ? 1 ? 0

11 17 ) ? a (x ? ) ? 0 4 4
11 17 17 11 ? 0, x ? ? 0 的交点( , ) 4 4 4 4

此方程表明,直线?恒过两直线 y ? 而此点为?1 与?2 的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述,命题为真

说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“ ? ” ,双向传输,同时证明 充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。

四、同步练习
(一) 选择题
2

1、设 M={x|x +x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与 M 的关系是 A、{a}=M B、M ? {a} C、{a} ? M D、M ? {a} ? ? 2、已知全集 U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B=φ ,则 a 的取值范围是 A、 [0,2] B、 (-2,2)
2

C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3、已知集合 M={x|x=a -3a+2,a∈R},N、{x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是 A、 M ? N B、M ? N C、M=N D、不确定 ? ? 4、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 A、11 B、10 C、16 D、15

5、集合 M={1,2,3,4,5}的子集是 A、15 B、16 C、31 D、32

6、对于命题“正方形的四个内角相等” ,下面判断正确的是 A、所给命题为假 C、它的逆命题为真 7、 ≠β ”是 cosα ≠cosβ ”的 “α A、充分不必要条件 C、充要条件
2

B、它的逆否命题为真 D、它的否命题为真

∵ ?过点 P

17 11 ∴ a? ? ?b?0 4 4

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合 A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3?+1,?∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是 A、S ? B ? A B、S=B ? A C、S ? B=A D、S ? B=A ? ? ? ? ? 9、方程 mx +2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 A、0<m≤1 或 m<0 C、m<1
2 2

高三一轮复习讲座二 ----函 一、复习要求
7、函数的定义及通性; 2、函数性质的运用。



B、0<m≤1 D、m≤1

10、已知 p:方程 x +ax+b=0 有且仅有整数解,q:a,b 是整数,则 p 是 q 的 A、充分不必要条件 充要条件 (二) 填空题 B、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

二、学习指导
1、函数的概念: (1)映射:设非空数集 A,B,若对集合 A 中任一元素 a,在集合 B 中有唯一元素 b 与之对

11、已知 M={ m |

m?4 x?3 ? Z },N={x| ? N} ,则 M∩N=__________。 2 2

应,则称从 A 到 B 的对应为映射,记为 f:A→B,f 表示对应法则,b=f(a)。若 A 中不同元素的 象也不同,则称映射为单射,若 B 中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。既是单 射又是满射的映射称为一一映射。 (2)函数定义:函数就是定义在非空数集 A,B 上的映射,此时称数集 A 为定义域,象集 C={f(x)|x∈A}为值域。定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲,定义域, 对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。逆过来,值域也会限制定义域。 求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义 域,通过四则运算构成的初等函数,其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域, 不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域,应紧密联 系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知 类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。 求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式

12、在 100 个学生中,有乒乓球爱好者 60 人,排球爱好者 65 人,则两者都爱好的人数最 少是________人。 13、关于 x 的方程|x|-|x-1|=a 有解的充要条件是________________。 14、命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? {1,2,3,4,5}, (2)若元素 a∈p,则 6-a ? ∈p,则集合 p 个数是__________。 (三) 解答题

16、设集合 A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范 围。

17、已知抛物线 C:y=-x +mx-1,点 M(0,3) ,N(3,0) ,求抛物线 C 与线段 MN 有两个不 同交点的充要条件。

2

及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围 内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建 立函数解析式,借助于求函数值域的方法。

18、设 A={x|x +px+q=0}≠φ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M=φ ,A∩N=A, 求 p、q 的值。

2

2、函数的通性 (1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时, 应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如 f (?x) ? f (x ) ? 0 ,
f (? x ) ? ?1 (f(x) f (x)

19、已知 a ? x 2 ?

1 2 ,b=2-x,c=x -x+1,用反证法证明:a、b、c 中至少有一个不小于 1。 2
3

≠0) 。 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质,定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。 (2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上 是不等式性质) ;④复合函数单调性判断法则。 函数单调性是单调区间上普遍成立的性质,是单调区间上恒成立的不等式。 函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小, 解抽象函数不等式等。 (3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。 求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则 T=2|a-b|。 (4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一,在求反函数之前首先要判 断函数是否具备反函数,函数 f(x)的反函数 f (x)的性质与 f(x)性质紧密相连,如定义域、值 域互换,具有相同的单调性等,把反函数 f (x)的问题化归为函数 f(x)的问题是处理反函数问 题的重要思想。 设函数 f(x)定义域为 A,值域为 C,则 f [f(x)]=x,x∈A f[f (x)]=x,x∈C 8、函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中, 充分发挥图象的工具作用。 图象作法:①描点法;②图象变换。应掌握常见的图象变换。 4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具 体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。 对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。 联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。 应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意,找准数量关系,把握好模型是解应用题的 关键。 5、主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。
-1 -1 -1 -1

的值。 分析: 利用数形对应的关系,可知 y=g(x)是 y=f (x+1)的反函数,从而化 g(x)问题为已知 f(x)。 ∵ y=f (x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1 ∴ y=f (x+1)的反函数为 y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴ g(11)=f(11)-1=
-1 -1 -1

3 2

评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系,当 f(x)存在反函数时,若 b=f(a),则 a=f (b)。 例 2、设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x)+f(x+2)=0,当-1<x ≤1 时,f(x)=2x-1,求当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式。 解题思路分析: 利用化归思想解题 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切 x∈R 成立 ∴ 以 x-2 代 x 得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当 1<x≤3 时,-1<x-2≤1 ∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5 ∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3) 评注:在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对应 的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。 例 3、已知 g(x)=-x -3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x) 的最小值,且 f(x)+g(x)
2 -1

三、典型例题
例 1、 已知 f (x) ?

2x ? 3 -1 , 函数 y=g(x)图象与 y=f (x+1)的图象关于直线 y=x 对称, g(11) 求 x ?1
4

为奇函数,求 f(x)解析式。 分析:

用待定系数法求 f(x)解析式 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) 则 f(x)+g(x)=(a-1)x +bx+c-3
?a ? 1 ? 0 由已知 f(x)+g(x)为奇函数 ? ?c ? 3 ? 0 ?a ? 1 ∴ ? ?c ? 3
2 2

基本题型之一。在已知最值结果的条件下,仍需讨论何时取得最小值。 例 4、定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。
2

∴ f(x)=x +bx+3 下面通过确定 f(x)在[-1,2]上何时取最小值来确定 b,分类讨论。
b b2 b f (x) ? (x ? ) 2 ? 3 ? ,对称轴 x ? ? 2 4 2

2

分析: (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x ) ?
1 f (x)
2

b (1)当 ? ≥2,b≤-4 时,f(x)在[-1,2]上为减函数 2
∴ (f (x)) min ? f (2) ? 2b ? 7 ∴ 2b+7=1 ∴ b=3(舍) (2)当 ?

由已知 x>0 时,f(x)>1>0 当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f (x) ?
1 ?0 f (? x )

b ,-4<b<2 时 ? (-1,2) 2
2

b b (f ( x )) min ? f (? ) ? ? ?3 2 4 b2 ? 3 ?1 ∴ ? 4

又 x=0 时,f(0)=1>0 ∴ 对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f (x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x 1 ) ? f ( x 2 ? x 1 ) ? 1 f (x 1 )

∴ b ? ?2 2 (舍负)

b (3)当 ? ≤-1,b≥2 时,f(x)在[-1,2]上为增函数 2
∴ (f(x)min=f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3 ∴ f (x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,或 f (x) ? x 3 ? 3x ? 3 评注:二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论,是求值域的
5

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x) 又 1=f(0),f(x)在 R 上递增 ∴ 由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3
2 2 2 2 2

评注:根据 f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点,对 a、b 适当赋值。利用单调性的性质去 掉符号“f”得到关于 x 的代数不等式,是处理抽象函数不等式的典型方法。 例 5、已知 lgx+lgy=2lg(x-2y),求 log 分析: 在化对数式为代数式过程中,全面挖掘 x、y 满足的条件
2

x 的值。 y

?a ? ?0.8 ? ∴ ? b ? 0 .5 ?c ? 1.4 ?

∴ g(4)=-0.8×0.5 +1.4=1.35 ∵ |1.35-1.37|<|1.3-1.37| ∴ 选用 y=-0.8×(0.5) +1.4 作为模拟函数较好。
x

4

?x ? 0 , y ? 0 ? 由已知得 ?x ? 2 y ? 0 ? 2 ?xy ? ( x ? 2 y)
∴ x=4y, ∴ log
x ?4 y
2

四、巩固练习
(一) 选择题

1、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设 a=f(3),
4?4

2

x ? log y

b=f( 2 ),c=f(2),则 a,b,c 大小关系是 A、a>b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a

例 6、某工厂今年 1 月,2 月,3 月生产某产品分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估 测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月 份数 x 的关系,模拟函数可选用 y=ab +c(其中 a,b,c 为常数)或二次函数,已知 4 月份该产 品的产量为 1.37 万件,请问用哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。 分析: 设 f(x)=px +qx+r(p≠0)
?f (1) ? p ? q ? r ? 1 ? 则 ?f (2) ? 4p ? 2q ? r ? 1 ?f (3) ? 9p ? 3q ? r ? 1.3 ? ?p ? 0.05 ? ∴ ?q ? 0.35 ? r ? 0 .7 ?
2 x

2、方程 loga (x ? 2) ? ? x (a>0 且 a≠1)的实数解的个数是 A、0 B、1 C、2 D、3

1 3、 y ? ( ) |1?x| 的单调减区间是 3
A、 (-∞,1) B、 (1,+∞) C、 (-∞,-1)∪(1,+∞) D、 (-∞,+∞)

9、函数 y ? log 1 (x 2 ? 4x ? 12) 的值域为
2

A、 (-∞,3] 10、 A、

B、 (-∞,-3]

C、 (-3,+∞)

D、 (3,+∞)

函数 y=log2|ax-1|(a≠b)的图象的对称轴是直线 x=2,则 a 等于 B、 ?

1 2

1 2

C、2

D、-2

6、有长度为 24 的材料用一矩形场地,中间加两隔墙,要使矩形的面积最大,则隔壁的长
2

∴ f(4)=-0.05×4 +0.35×4+0.7=1.3 设 g(x)=ab +c
x

度为 A、 3 (二) 填空题 B、4 C、6 D、12

?g(1) ? ab ? c ? 1 ? 则 ?g(2) ? ab 2 ? c ? 1.2 ? 3 ?g(3) ? ab ? c ? 1.3
6

7、已知定义在 R 的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则

f(

15 ) =__________。 2

8、 已知 y=loga(2-x)是 x 的增函数,则 a 的取值范围是__________。 9、 函数 f(x)定义域为[1,3],则 f(x +1)的定义域是__________。 10、函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 __________。 11、已知 f(x)=log3x+3,x∈[1,9],则 y=[f(x)] +f(x )的最大值是__________。 12、已知 A={y|y=x -4x+6,y∈N},B={y|y=-x -2x+18,y∈N},则 A∩B 中所有元素的和是 __________。 13、若φ (x),g(x)都是奇函数,f(x)=mφ (x)+ng(x)+2 在(0,+∞)上有最大值,则 f(x) 在(-∞,0)上最小值为__________。 14、函数 y=log2(x +1)(x>0)的反函数是__________。 15、求值: (三)
2 2 2 2 2 2 x x 2

(2)求 a 的取值范围。

高三一轮复习讲座三 ----数
一、复习要求 11、



等差数列及等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式及性质;

2、一般数列的通项及前 n 项和计算。 二、学习指导 1、数列,是按照一定顺序排列而成的一列数,从函数角度看,这种顺序法则就是函数的 对应法则,因此数列可以看作是一个特殊的函数,其特殊性在于:第一,定义域是正整数集或 其子集;第二,值域是有顺序的,不能用集合符号表示。
c ?b

1 1? x
a ?b

?x

a ?c

?

1 1? x
b ?c

?x

b ?a

?

1 1? x
c ?a

?x

=__________。

研究数列,首先研究对应法则——通项公式:an=f(n),n∈N+,要能合理地由数列前 n 项写 出通项公式,其次研究前 n 项和公式 Sn:Sn=a1+a2+?an,由 Sn 定义,得到数列中的重要公式:
n ?1 ?S an ? ? 1 。 ?S n ? S n ?1 n ? 2

解答题

16、若函数 f (x) ?

ax ? 1 x2 ? c

的值域为[-1,5],求 a,c。

17、设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围。 18、已知 0<a<1,在函数 y=logax(x≥1)的图象上有 A,B,C 三点,它们的横坐标分别是 t,t+2,t+4 (1)若△ABC 面积为 S,求 S=f(t); (2)判断 S=f(t)的单调性; (3)求 S=f(t)最大值。 19、设 f(x)= a ?

一般数列的 an 及 Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求 Sn 还有下列基本题型:列项相 消法,错位相消法。 2、等差数列 (1)定义,{an}为等差数列 ? an+1-an=d(常数) ,n∈N+ ? 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+) ; (2)通项公式:an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d; 前 n 项和公式: Sn ? na1 ?

n(a 1 ? a n ) n(n ? 1) ; d? 2 2

(3)性质:an=an+b,即 an 是 n 的一次型函数,系数 a 为等差数列的公差; Sn=an +bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数; 若{an},{bn}均为等差数列,则{an±nn},{
2

2 2 ?1
x

,x∈R

?a
i ?1

k

k

},{kan+c}(k,c 为常数)均为等差数列;

(1)证明:对任意实数 a,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数; (2)当 f(x)为奇函数时,求 a; (3)当 f(x)为奇函数时,对于给定的正实数 k,解不等式 f ?1 (x) ? log2 20、设 0<a<1,函数 f(x)= loga (1)求证:m>3;
7

当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?;

1? x 。 k

当 2n=p+q 时,2an=ap+aq; 当 n 为奇数时,S2n-1=(2n-1)an;S 奇= 3、等比数列

x ?3 的定义域为[m,n],值[logaa(n-1),logaa(m-1)], x?3

n ?1 n ?1 a 中,S 偶= a 中。 2 2

(1)定义:

a n ?1 2 =q(q 为常数,an≠0) n =an-1an+1(n≥2,n∈N+) ;a ; an
n-1 n-m

∴ k n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ∴ k1 ? k 2 ? ?k n ? (2 ? 30 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? n
? 3n ? n ? 1

(2)通项公式:an=a1q ,an=amq ;
q ?1 ?na1 ? n 前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q ) a 1 ? a n q ; q ?1 ? 1? q ? 1? q ?

注:本题把 k1+k2+?+kn 看成是数列{kn}的求和问题,着重分析{kn}的通项公式。这是解决数 列问题的一般方法,称为“通项分析法” 。 例 2、设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 的前 n 项和,求 Tn。 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法
7?6 ? ?S 7 ? 7a 1 ? 2 d ? 7 ? 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?

(3)性质 当 m+n=p+q 时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=?, 当 2n=p+q 时,an =apaq,数列{kan},{ 4、等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项、公比为基本量,借助于消元思想及解方程组 思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ; 若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。 三、典型例题 例 1、已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 a k1 , a k 2 ,?, a k n 恰为等比数列,若 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+?+kn。 解题思路分析: 从寻找新、旧数列的关系着手 设{an}首项为 a1,公差为 d ∵ a1,a5,a17 成等比数列 ∴ a5 =a1a17 ∴(a1+4d) =a1(a1+16d) ∴ a1=2d 设等比数列公比为 q,则 q ? 对 a k n 项来说, 在等差数列中: a k n ? a 1 ? (k n ? 1)d ? 在等比数列中: a k n ? a1q n ?1 ? a1 3n ?1
8
2 2 2

Sn } n

?a
i ?1

k

i

}成等比数列。

?a ? ?2 ∴ ? 1 ?d ? 1

∴ Sn ? ?2 ? ∴

n(n ? 1) 2

Sn n ?1 n 5 ? ?2 ? ? ? n 2 2 2

此式为 n 的一次函数 ∴ {

Sn }为等差数列 n
1 2 a n ? n 4 4
2

∴ Tn ?

法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn
?S 7 ? A ? 7 2 ? 7B ? 7 ? ∴ ? ?S15 ? A ? 152 ? 15B ? 75 ?

a 5 a n ? 4d ? ?3 a1 a1

kn ?1 a1 2

1 ? ?A ? 2 ? 解之得: ? ?B ? ? 5 ? 2 ?

∴ Sn ?

1 2 5 n ? n ,下略 2 2

注:法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 3、正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn ? a n ? 1 ,求: (1)数列{an}的通项公式;
1 1 (2)设 b n ? ,数列{bn}的前 n 项的和为 Bn,求证:Bn ? . a n a n ?1 2



2n ? 1 77 ? n ? 1 33

∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又 a1-am=18 ∴ a1=20,am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23

解题思路分析: (I)涉及到 an 及 Sn 的递推关系,一般都用 an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化归。 ∵ 2 Sn ? a n ? 1 ∴ 4Sn=(an+1)
2 2

∴ 4Sn-1=(an-1+1) (n≥2) ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1) -(an-1+1) ∴ 4an=an -an-1 +2an-2an-1 整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0 ∵ an>0 ∴ an-an-1=2 ∴ {an}为公差为 2 的等差数列 在 2 Sn ? a n ? 1 中,令 n=1,a1=1 ∴ an=2n-1 (II) b n ?
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
2 2 2 2

1 21 1 例 5、设{an}是等差数列,b n ? ( ) a n ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求等差数列的通项 an。 2 8 8
解题思路分析: ∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列 从求解{bn}着手 ∵ b1b3=b2 ∴ b2 = ∴ b2=
3 2

1 8

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? ( ? )? ? ? ∴ B n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 a1 a 2 a2 a3 a n a n ?1 2 a 1 a n ?1 2 2a n ?1 2

注:递推是学好数列的重要思想,例本题由 4Sn=(an+1) 推出 4Sn-1=(an-1+1) ,它其实就是函 数中的变量代换法。在数列中一般用 n-1,n+1 等去代替 n,实际上也就是说已知条件中的递推 关系是关于 n 的恒等式,代换就是对 n 赋值。 例 4、等差数列{an}中,前 m 项的和为 77(m 为奇数) ,其中偶数项的和为 33,且 a1-am=18, 求这个数列的通项公式。 分析: 利用前奇数项和和与中项的关系 令 m=2n-1,n∈N+

2

2

17 ? ?b 1 ? b 3 ? 8 ? ∴ ? ?b b ? 1 ? 1 2 4 ?

?b 1 ? 2 ? ∴ ? 1 ?b 3 ? 8 ?

1 ? ?b ? 或 ? 1 8 ?b 2 ? 2 ?

1 1 ∴ b n ? 2( ) n ?1 ? 2 3?2n 或 b n ? ? 4 n ?1 ? 2 2n ?5 4 8 1 ∵ b n ? ( )an 2
∴ a n ? log 1 b n
2

?S 2n ?1 ? (2n ? 1)a n ? 77 则 ? ?S偶 ? (n ? 1)a n ? 33
9

∴ an=2n-3 或 an=-2n+5

注:本题化归为{bn}求解,比较简单。若用{an}求解,则运算量较大。 例 6、已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得 解题思路分析: (1)∵ Sn ? 4(1 ? ∴ Sn ?1 ? 4(1 ?
S k ?1 ? c ? 2 成立。 Sk ? c

∴ 当 k=1,2 时,C<Sk 不成立 ∴ 式①不成立 ∵

1 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和, 2

3 13 3 3 Sk ? 2 ? ? c , Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2 2 4 2 2

3 ∴ 当 k≥3 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2
综上所述,不存在自然数 c,k,使
S k ?1 ? c ? 2 成立 Sk ? c

1 2n

)

例 7、某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为资金发给 n 位职工,资金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩 (工作业绩均不相等) 从大到小, 1 到 n 排序, 1 位职工得资金 由 第

1 2
n ?1

1 ) ? Sn ? 2 2

b 元, n

3 c ? ( S k ? 2) S k ?1 ? c 2 (2) ?2? ? 0 (*) Sk ? c c ? Sk

然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将资金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分 作为公司发展基金。 (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得资金额,试求 a2,a3,并用 k,n 和 b 表示 ak(不 必证明) ; (2)证明:ak<ak+1(k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义。 解题思路分析:

∵ Sk ? 4(1 ?

1 2k

)?4

3 1 ∴ Sk ? ( Sk ? 2) ? 2 ? Sk ? 0 2 2

3 ∴ 式(*) ? Sk ? 2 ? c ? Sk 2
∵ Sk+1>Sk ∴



谈懂题意,理清关系,建立模型 第 1 位职工的奖金 a 1 ? 第 2 位职工的奖金 a 2 ? 第 3 位职工的奖金 a 3 ? ?? 第 k 位职工的奖金 a k ? (2) a k ? a k ?1 ?

b n
1 1 (1 ? )b n n
1 1 (1 ? ) 2 b n n

3 3 Sk ? 2 ? S1 ? 2 ? 1 2 2

又 Sk<4 ∴ 由①得:c=2 或 c=3 当 c=2 时 ∵ S1=2 ∴ k=1 时,c<Sk 不成立,从而式①不成立

1 1 (1 ? ) k ?1 b n n

3 5 ∵ S2 ? 2 ? ? c 2 2 3 3 ∴ 由 Sk<Sk+1 得: S k ? 2 ? Sk ?1 ? 2 2 2 3 ∴ 当 k≥2 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2
当 c=3 时,S12,S2=3
10

1 (1 ? ) k ?1 b ? 0 n n
2

1

此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。 例 8、试问数列{ lg100sinn ?1 解题思路分析: 法一: a n ? 2 ? (? lg 2 )(n ? 1)

? }的前多少项的和最大,并求这个最大值(lg2=0.3010) 4

∴ {an}为首项为 2,公差为 ? lg 2 的等差数列 ∴

A、 8204
2

B、8192
2

C、9218

D、8021

S n ? 2n ?

n (n ? 1) (? lg 2) ? ?0.07525n 2 ? 2.07525 n 2 ? ?0.07525(n ? 13.8) 2 ? 13.8 2 ? 0.07525

7、若 x 的方程 x -x+a=0 和 x -x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为 的值为 A、

1 的等差数列,则 a+b 4

∵ n∈N+ ∴ n=14 时,(Sn)max=14.35 法二:∵ a1=2>0,d= ? lg 2 ? 0 ∴ {an}是递减数列,且 Sn 必为最大值
?a ? 0 设? k ?a k ?1 ? 0

3 8

B、

11 24

C、

13 24

D、

31 72

8、 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数和是 A、1557 B、1473 C、1470 D、1368

9、从材料工地运送电线杆到 500m 以外的公路,沿公路一侧每隔 50m 埋栽一根电线杆,已 知每次最多只能运 3 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,最佳方案是使运输车运行 A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m

?2 ? (k ? 1)(? lg 2 ) ? 0 ? ∴ ? ?2 ? k (? lg 2 ) ? 0 ?
?k ? 14.2 ∴ ? ?k ? 13.2

10、已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 是 A、4 或 5 (二)填空题 11、已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2),则它的前 n 项和 Sn=______。 12、设等差数列{an}共有 3n 项,它的前 2n 项之和为 100,后 2n 项之和为 200,则该等差数 列的中间 n 项的和等于________。 13、设数列{an},{bn}(bn>0) ,n∈N+满足 an ? 等差数列是{bn}为等比数列的________条件。 14、长方体的三条棱成等比数列,若体积为 216cm ,则全面积的最小值是______cm 。 15、若不等于 1 的三个正数 a,b,c 成等比数列,则(2-logba)(1+logca)=________。 (三)解答题 B、x1+x2≥y1+y2 D、x1+x2>y1+y2
n 3 2

B、5 或 6

C、6 或 7

D、8 或 9

∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14=14.35 四、同步练习 (一)选择题 1、已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logmab<1,则 m 取值范围是 A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1 或 m>8

lg b1 ? lg b 2 ? ? ? lg b n (n∈N+) ,则{an}为 n

2、设 a>0,b>0,a,x1,x2,b 成等差数列,a,y1,y2,b 成等比数列,则 x1+x2 与 y1+y2 的 大小关系是 A、x1+x2≤y1+y2 C、x1+x2<y1+y2 12、

16、已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,求 这个数列的公比和项数。

已知 Sn 是{an}的前 n 项和,Sn=P (P∈R,n∈N+) ,那么数列{an} B、当 P≠0 时是等比数列 D、不是等比数列 17、已知等比数列{an}的首项为 a1>0,公比 q>-1(q≠1) ,设数列{bn}的通项 bn=an+1+an+2(n ∈N+) ,数列{an},{bn}的前 n 项和分别记为 An,Bn,试比较 An 与 Bn 大小。

A、 是等比数列 C、 当 P≠0,P≠1 时是等比数列 13、 A、5 14、 A、 0 15、

{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 等于 B、10 C、15
2

D、20

已知 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax +2bx+c 的图象与 x 轴交点个数是 B、1 C、2 D、1 或 2

设 m∈N+,log2m 的整数部分用 F(m)表示,则 F(1)+F(2)+?+F(1024)的值是
11

cos ? ?
18、数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an(n∈N+) (1)求数列{an}通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 b n ?
1 (n∈N+)Tn=b1+b2+?+bn,是否存在最大的整数 m,使得对于任意的 n n (12 ? a n )

x y x , tan ? ? , cot ? ? 。 y r x

利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即

k , ?t ? ? 与α 之间函数值关系(k∈Z) 2

其规律是“奇变偶不变,符号看象限”(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数 ; 关系。 3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地 正 用 、 逆 用 、 变 用 。 如 倍 角 公 式 : cos2 α =2cos α -1=1-2sin α , 变 形 后 得
2 2

∈N+,均有 Tn ?

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由。 32

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? ,可以作为降幂公式使用。 , sin2 ? ? 2 2

高三一轮复习讲座四 ----三角函数
一、复习要求 16、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;

三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。 4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性 的定义:设 T 为非零常数,若对 f(x)定义域中的每一个 x,均有 f(x+T)=f(x),则称 T 为 f(x) 的周期。当 T 为 f(x)周期时,kT(k∈Z,k≠0)也为 f(x)周期。 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作 图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
0

2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等; 3、三角函数的图象及性质。 二、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 360 的角。 这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在 x 轴正 半轴上,角的顶点与原点重合,下同) 。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念, 凡是与终边α 相同的角,都可以表示成 k·360 +α 的形式,特例,终边在 x 轴上的角集合{α | α =k·180 ,k∈Z},终边在 y 轴上的角集合{α |α =k·180 +90 ,k∈Z},终边在坐标轴上的角 的集合{α |α =k·90 ,k∈Z}。 在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。 弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。 在弧度制下,扇形弧长公式?=|α |R,扇形面积公式 S ? 角的弧度数。 2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定 义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。 设 P(x,y)是角α 终边上任一点(与原点不重合) ,记 r ?| OP |? x 2 ? y 2 ,则 sin ? ?
0 0 0 0 0

5、本章思想方法 (1)等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题; (2)数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; (3)分类讨论。 三、典型例题 例1、 已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x)
2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性。 分析: (1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ?

1 1 ?R ? R 2 | ? | ,其中α 为弧所对圆心 2 2

y , r

? 5 ? x ? 2k? ? ? ,k∈Z 4 4

∴ 函数定义域为 (2k? ?
12

? 5 , 2k? ? ?) ,k∈Z 4 4

? ∵ sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) 4
∴ 当 x∈ (2k? ?



? ? 9 3 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 时, sin ? cos ? 0 2 2 4 2 2 2 ? 2

? 5 , 2k? ? ?) 时, 4 4

∴ 原式= 2 sin 当

? 0 ? sin(x ? ) ? 1 4
∴ 0 ? sin x ? cos ? 2 ∴ y ? log 1
2

3 ? 3 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? 2? 时, sin ? cos ? 0 4 2 2 2 2 ? ? ? ? 4 cos ? ?2 5 sin( ? arctan 2) 2 2 2

∴ 原式= ? 2 sin

2 ??

1 2

∴ 函数值域为[ ?

1 , ?? ) 2

? 3 ? ???? ? ?2 sin 2 ? 2 ∴ 原式= ? 3 ?? 2 5 sin(? ? arctan 2) ? ? ? ? 2? ? 2 2 ?

(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号; 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号,如图。 例2、 化简 2 1 ? sin ? ? 2(1 ? cos ?) ,α ∈(π ,2π ) 分析: 凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式

注: 1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化 1 为 sin2

? ? ? cos 2 ,是欲擒故纵原则。一般地有 2 2

1 ? sin 2? ?| sin ? ? cos ? | , 1 ? cos 2? ? 2 | cos ? | , 1 ? cos 2? ? 2 | sin ? | 。
2 、 三 角 函 数 式 asinx+bcosx 是 基 本 三 角 函 数 式 之 一 , 引 进 辅 助 角 , 将 它 化 为

b a 2 ? b 2 sin(x ? ?) (取 ? ? arctan )是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 sin±cosx,± a
sinx± 3 cosx,要熟练掌握变形结论。 例3、 求 ( 分析: 原式=
? ?
3 cos 2 1400 ? sin 2 1400 sin 140 cos 140
2 0 2 0

3 sin 140
2 0

?

1 cos 140
2 0

)?

1 2 sin100



? ? ? ? ? ? ∵ 1 ? sin ? ? sin2 ? cos 2 ? 2 sin cos ? (sin ? cos ) 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2(1 ? cos ?) ? 2(1 ? 2 cos ? 1) ? 4 cos 2 2 2
2

?

1 2 sin100

( 3 cos1400 ? sin1400 )( 3 cos1400 ? sin1400 ) (? sin 40 cos 40 )
0 0 2

?

1 2 sin10 0

? ? ? ∴ 原式= 2 | sin ? cos | ?2 | cos | 2 2 2
∵ α ∈(π ,2π ) ∴

? ? ? ( , ?) 2 2 ? ?0 2

? 4 sin 80 0 ? sin 2000 1 ? 1 2 sin10 0 sin 2 80 0 4 sin 2000 sin 2000 ? ?8 ? ?16 ? 16 sin 80 0 cos 80 0 sin1600

∴ cos

注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平 方差公式。
13

例 4、已知 0 <α <β <90 ,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 )x ? cos 2 400 ?
0 0

1 =0 的 2

∵ ∴

2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3 2 tan ? ? 1 ? ?5 tan ? ? 3

两个实数根,求 sin(β -5α )的值。 分析: 由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos40 ,sinα sinβ =cos 40 0 2 0

1 2

∴ tanθ =2 ∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ?
3(cos 2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan 2 ? ? 7 5

∴ sinβ -sinα = (sin ? ? sin ?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 4 sin ? sin ? ? 2(1 ? cos 2 400 )
? 2 sin 400

注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。 又 sinα +sinβ = 2 cos40
0

例 6、已知函数 f (x ) ? a 性。 分析: 对三角函数式降幂
sin 4

x x sin 4 ?sin 2 2 2 (a∈(0,1)) ,求

f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调

1 ? 0 0 0 ?sin ? ? 2 ( 2 cos 40 ? 2 sin 40 ) ? sin 85 ? ∴ ? ?sin ? ? 1 ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 5 0 ? 2 ?

∵ 0 <α <β < 90

0

0

?? ? 850 ? ∴ ? ?? ? 5 0 ?
∴ sin(β -5α )=sin60 =
0

x x x x x x ? sin 2 ? ? sin 2 (1 ? sin 2 ) ? ? sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? cos 2x cos 2x ? 1 ? ?( sin x ) 2 ? ? sin 2 x ? ? ? ? 2 4 4 2 8
cos 2 x ?1 8

3 2

∴ f(x)= a

注:利用韦达定理变形寻找与 sinα ,sinβ 相关的方程组,在求出 sinα ,sinβ 后再利用 单调性求α ,β 的值。 例 5、 (1)已知 cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )·tanα 的值; (2)已知 分析: (1)从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0 展开得: 13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = (2)以三角函数结构特点出发
14

1 1 令 u ? cos 2x ? 8 8
则 y=a
u

∴ 0<a<1 ∴ y=a 是减函数 ∴ 由 2x ? [2k? ? ? , 2k?] 得 x ?[k? ?
u

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

? , k?] ,此为 f(x)的减区间 2

? 由 2x ?[2k? , 2k? ? ?] 得 x ?[k? , k? ? ] ,此为 f(x)增区间 2
∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x) ∴ f(x)为偶函数

13 3

∵ u(x+π )=f(x) ∴ f(x+π )=f(x) ∴ f(x)为周期函数,最小正周期为π

当 x=kπ (k∈Z)时,ymin=1 当 x=kπ +

A、5.5
1

B、6.5

C、7

D、8

? (k∈Z)时,ynax= a 4 2

8、若θ ∈(0,2π ],则使 sinθ <cosθ <cotθ <tanθ 成立的θ 取值范围是 A、 (

注:研究三角函数性质,一般降幂化为 y=Asin(ω x+φ )等一名一次一项的形式。

? ? , ) 4 2

3 B、 ? , ? ) ( 4

5 3 C、 ? , ? ) ( 4 2

7 D、 ? , 2? ) ( 4

9、下列命题正确的是 A、若α ,β 是第一象限角,α >β ,则 sinα >sinβ 四、同步练习 (一) 选择题 C、函数 y ? B、函数 y=sinx·cotx 的单调区间是 (2k? ?

? ? , 2k? ? ) ,k∈Z 2 2

? 1、下列函数中,既是(0, )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 2
A、y=lgx 17、 A、 - 2
2

1 ? cos 2x 的最小正周期是 2π sin 2x k? ? ? ,k∈Z 2 4

B、y=|sinx|

C、y=cosx

D、y= 2 sin 2 x

D、函数 y=sinxcos2φ -cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称,则 ? ? 10、函数 f (x) ? log1 (sin 2x ? cos 2x) 的单调减区间是
3

如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=B、-1 C、1

? 对称,则 a 值为 8
D、 2

A、 (k? ?

3、函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,φ >0) ,在一个周期内,当 x= ymin=-2,则此函数解析式为

? 5 时,ymax=2;当 x= ? 时, 8 8

? ? , k? ? ) 4 8 ? 3 , k? ? ?) 8 8

B、 (k? ? D、 (k? ?

? ? , k? ? ] 8 8 ? 5 , k? ? ?) k∈Z 8 8

B、 (k? ? (二)

x ? A、 y ? 2 sin( ? ) 2 4 ? C、 y ? 2 sin(x ? ) 4
4、已知 A、1997

? B、 y ? 2 sin(2x ? ) 4 ? D、 y ? ?2 sin(2x ? ) 8

填空题

11、函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(x-θ )的图象关于 y 轴对称,则θ =________。 12、已知α +β =

? ,且 3 (tanα tanβ +c)+tanα =0(c 为常数) ,那么 tanβ =______。 3
2 2

tan ? ? 1 =1998,则 sec 2? ? tan 2? 的值为 1 ? tan ?
B、1998
2

13、函数 y=2sinxcosx- 3 (cos x-sin x)的最大值与最小值的积为________。 D、2000 14、已知(x-1) +(y-1) =1,则 x+y 的最大值为________。 15、函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心是________。
2 2

C、1999

? ? 5、已知 tanα ,tanβ 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且α ,β ? (? , ) ,则α +β 等于 2 2
A、 ?

2 ? 3

B、 ?

2 ? ?或 3 3

C、 ?

? 2 或 ? 3 3

D、

? 3

(三)

解答题

6、若 x ? y ? A、-1

? ,则 sinx·siny 的最小值为 3
B、-

16、已知 tan(α -β )=

1 1 ,tanβ = ? ,α ,β ∈(-π ,0) ,求 2α -β 的值。 2 7

1 2
0 0

C、 ?

3 4

D、

1 4

5 3 ? 2 17、是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的最大值是 1? 8 2 2
若存在,求出对应的 a 值。

7、函数 f(x)=3sin(x+10 )+5sin(x+70 )的最大值是
15

18、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)单调区间;

2

5 3 (x∈R) 2

OA + AB = OB

???

???

???

(3)求 f(x)图象的对称轴,对称中心。

实数与向量 的乘积 两个向量 的数量积
?

???

AB =λ a
λ ∈R

?

记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y)
? ?

?

高三一轮复习讲座五 ----平面向量 一、复习要求
18、 向量的概念; 2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义, 运算律; 3、向量运算的运用

a · b =| a || b |
cos< a , b >
? ?

?

?

记 a =(x1,y1), b =(x2,y2) 则 a · b =x1x2+y1y2
? ?

?

?

20、
?

运算律
? ? ? ? ? ? ? ? ?

加法: a + b = b + a ,( a + b )+ c = a +( b + c ) 实数与向量的乘积:λ ( a + b )=λ a +λ b ;(λ +μ ) a =λ a +μ a ,λ (μ a )=(λ μ ) a
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

二、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向 量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时 甚至更简捷。 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几 何意义——共线;③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。 19、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
?

两 个 向 量 的 数 量 积 : a · b = b · a ; ( λ a ) · b = a · ( λ b )= λ ( a · b ) , ( a + b )· c = a · + b · c c
? ? ? ? ? ?

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则, 正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( a ± b ) = a ? 2 a ? b ? b
2

?

?

?2

? ?

?

2

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的 结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、 坐标语言。 主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2) 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2)
??? ??? ??? ??? ???

21、

重要定理、公式
?

?

(1)平面向量基本定理;如果 e 1 + e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内 任一向量 a ,有且只有一对数数λ 1,λ 2,满足 a =λ 的线性组合。
? ?
?
1

e 1 +λ

?
2

e 2 ,称λ 1 e 1 λ +λ 2 e 2 为 e 1 , e 2

?

?

?

?

OA + OB = OC
加法与减法
???

???

???

???

根据平面向量基本定理,任一向量 a 与有序数对(λ 1,λ 2)一一对应,称(λ 1,λ 2)为 a 在基 底{ e 1 , e 2 }下的坐标,当取{ e 1 , e 2 }为单位正交基底{ i , j }时定义(λ 1,λ 2)为向量 a 的 平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系: 当向量起点在原点时, 定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x, y), 则 OA = (x,y) 当向量起点不在原点时, ; 向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标, 即若 A 1,y1) (x ,
16
???
???
?

?

?

?

?

?

?

?

?

OB - OA = AB

???

???

OB - OA =(x2-x1,y2-y1)

???

B(x2,y2) ,则 AB =(x2-x1,y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言:若 a ∥ b , a ≠ 0 ,则 a =λ b
? ? ? ? ? ?

???

1。 (5)平移公式:
? ?x ' ? x ? h ①点平移公式,如果点 P(x,y)按 a =(h,k)平移至 P’(x’,y’) ,则 ? ? y' ? y ? k

? ? ? ? ? x ? ?x 2 坐标语言为:设 a =(x1,y1) b =(x2,y2),则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2),即 ? 1 , , ? y 1 ? ?y 2

分别称(x,y)(x’,y’)为旧、新坐标, a 为平移法则 , 在点 P 新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

?

或 x1y2-x2y1=0 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。
?

?

?

?

?

②图形平移: 设曲线 C: y=f(x)按 a = h, 平移, ( k) 则平移后曲线 C’对应的解析式为 y-k=f(x-h) 当 h,k 中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

?

|λ |=

|a|
?

,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确定了。

?

?

?

?

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质 (6)正弦定理,余弦定理 正弦定理:

|b|

这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ⊥ b ? a · b =0 坐标语言:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 (4)线段定比分点公式 如图,设 P1 P ? ? PP2
??? ???

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2

?

?

?

?

余弦定理:a =b +c -2cbcosA
? ?

?

?

b =c +a -2cacosB c =a +b -2abcosc 定理变形:cosA=
b2 ? c2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ,cosB= ,cosC= 2bc 2ac 2ab
2 2 2

2

2

2

1 ??? ? ??? OP1 ? OP2 则定比分点向量式: OP ? 1? ? 1? ?
???

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法 推导正、余弦定理的重要思想方法。 5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平 行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。

定比分点坐标式:设 P(x,y) 1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,P
x 1 ? ?x 2 ? ?x ? 1 ? ? ? 则? ? y ? y 1 ? ?y 2 ? 1? ? ?

三、典型例题
例 1、如图, OA , OB 为单位向量, OA 与 OB 夹角为 120 , OC 与 OA 的夹角为 45 , | OC |=5,用 OA , OB 表示 OC 。 分析: 以 OA , OB 为邻边, OC 为对角线构造平行四边形
?? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
0

???

???

0

特例:当λ =1 时,就得到中点公式:
???

x1 ? x 2 ? ?x 1 ? 1 ? 2 OP ? (OP1 ? OP2 ) , ? y1 ? y 2 2 ?y ? ? 1 2 ?
??? ???

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 OP , OP 1 , OP 2 (O 与 P1P2 不共线) ,总有
?? ?

把向量 OC 在 OA , OB 方向上进行分解,如图,设 OE =λ OA , OD =μ OB ,λ >0,μ >0 则 OC =λ OA +μ OB
17
??? ??? ???

???

???

???

???

???

???

???

OP =u OP1 +v OP 2 ,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为

?? ?

?? ?

∵ | OA |=| OB |=1 ∴ λ =| OE |,μ =| OD |
?? ? ?? ? ?? ?

???

???

分析:
???

???

用解方程组思想 法一:设 c =(x,y) ,则 a · c = 3 x-y, b · c =x+ 3 y 得: ∵ < a , c >=< b , c >
? ?

?

?

?

?

?

△OEC 中,∠E=60 ,∠OCE=75 ,由
? ??

0

0

| OE | sin 750

?

| OC | sin 600

?

| CE | sin 450

?

?

?

?

| OE |?
? ??

| OC | sin 750 sin 60
?? ? 0

?? ?

5(3 2 ? 6 ) ? 6 ? 5 6 3



a? c

? ?

?

?

?

b? c

?

?

| a || c |

| b || c |

| CE |?

| OC | sin 450 sin 60
0



3x ? y ? x ? 3y


5(3 2 ? 6 ) 5 6 , ?? ∴ ?? 6 3

即 x ? (2 ? 3 ) y 又| c |= 2 ∴ x +y =2
2 2

?

∴ OC ?

?? ?

5(3 2 ? 6 ) ?? ? 5 6 ?? ? OA? OB 6 3



说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通 过构造平行四边形来处理 例 2、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上的高为 AD,求点 D 和向 量 AD 坐标。 分析: 用解方程组思想 设 D(x,y) ,则 AD =(x-2,y+1) ∵ BC =(-6,-3) AD · BC =0 , ∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0 ∵ BD =(x-3,y-2), BC ∥ BD ∴ -6(y-2)=-3(x-3),即 x-2y+1=0
?x ? 1 由①②得: ? ?y ? 1
??? ???
???

? 3 ?1 ?x ? ? 2 由①②得 ? 3 ?1 ? ?y ? 2 ?
∴ c =(
?

? 3 ?1 ?x ? ? ? 2 (舍) 或? 3 ?1 ? ?y ? ? 2 ?

3 ?1 3 ?1 , ) 2 2

法二:从分析形的特征着手 ∵ | a |=| b |=2
?
???

?

?

???

???

a · b =0

?

∴ △AOB 为等腰直角三角形,如图 ① ∵ | OC |= 2 ,∠AOC=∠BOC ∴ C 为 AB 中点 ② ∴ C(
3 ?1 3 ?1 , ) 2 2
?? ?

???

???

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。 例 4、在△OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N,使| OM |∶| OA |=1∶3,| ON |∶| OB |=1∶
? ?
?? ?

∴ D(1,1) AD =(-1,2) , 例 3、求与向量 a = ( 3 ,-1)和 b =(1, 3 )夹角相等,且模为 2 的向量 c 的坐标。
18
?

???

?? ?

?? ?

?? ?

4,设线段 AN 与 BM 交于点 P,记 OA = a , OB = b ,用 a , b 表示向量 OP 。

?? ?

?

?? ?

?

?

?

?? ?

分析: ∵ B、P、M 共线 ∴ 记 BP =s PM ∴ OP ?
?? ? ?? ? ? 1 ?? ? s ?? ? 1 ?? ? s 1 ? s OB? OM ? OB? OA ? b? a 1? s 1? s 1? s 3(1 ? s) 1? s 3(1 ? s)

?? ? ?? ?

代入 cos45 =

0

ED? EP

? ??

? ??

| ED || EP |

?? ?

?? ?

解之得 y ? ? ①

1 (舍) ,或 y=2 2

∴ 点 P 为靠近点 A 的 AB 三等分处 (3)当∠PED=45 时,由(1)知 P(0,2)
0

同理,记 AP ? t PN
? 1 ? t a? b ∴ OP = 1? t 4(1 ? t )

?? ?

?? ?

?? ?



∴ PD =(2,1) EP =(-1,2) , ∴ EP · PD =0 ∴ ∠DPE=90 又∠DCE=90
0 0

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

∵ a , b 不共线

?

?

s ? 1 ? 9 ?1 ? t ? 3(1 ? s) ?s ? 2 ? ? ∴ 由①②得 ? 解之得: ? t ?t ? 8 ? 1 ? ? 3 ?1 ? s 4(1 ? t ) ? ?

∴ D、P、E、C 四点共圆 说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求 出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

8? 2? ∴ OP ? a ? b 11 11
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如 s,t)是常用技巧之一。平面向量基 本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于 s,t 的方程。 例 5、已知长方形 ABCD,AB=3,BC=2,E 为 BC 中点,P 为 AB 上一点 (1)利用向量知识判定点 P 在什么位置时,∠PED=45 ; (2)若∠PED=45 ,求证:P、D、C、E 四点共圆。 分析: 利用坐标系可以确定点 P 位置 如图,建立平面直角坐标系 则 C(2,0) ,D(2,3) ,E(1,0) 设 P(0,y) ∴ ED =(1,3) EP =(-1,y) , ∴ | ED |? 10, | EP |? y 2 ? 1
?? ?
?? ? ?? ?
0 0

?? ?

四、同步练习
(一) 选择题 1、平面内三点 A(0,-3) ,B(3,3) ,C(x,-1) ,若 AB ∥ BC ,则 x 的值为: A、 -5 B、-1 C、1
?? ?

?? ?

?? ?

D、5

2、平面上 A(-2,1) ,B(1,4) ,D(4,-3) 点满足 AC ? ,C 使| CE |=
?? ?

1 ?? ? CB ,连 DC 并延长至 E, 2

1 ?? ? | ED |,则点 E 坐标为: 4 5 ) 3 8 11 B、 ? , ( ) 3 3
?

A、 (-8, ?

C、 (0,1)

D、 (0,1)或(2,
?

11 ) 3

2、点(2,-1)沿向量 a 平移到(-2,1) ,则点(-2,1)沿 a 平移到:
?? ?

?? ?

3、A、 (2,-1)

B、 (-2,1)

C、 (6,-3)

D、 (-6,3)

4、△ABC 中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是: A、 直角三角形
? ? ?

B、等腰三角形

C、等边三角形

D、以上均有可能

ED · EP =3y-1

?? ?

5、设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

19

①( a · b ) c -( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b · c ) a -( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a -2 b )=9| a | -4 b | 中, 真命题是: A、①②
4 4

?

?

?

?

?

?

OD 的坐标,其中 O 为坐标原点。

?? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

?

2

B、②③
4 2 2 2

C、③④

D、②④

14、若 a + b =(2,-8) a - b =(-8,16) , ,求 a 、 b 及 a 与 b 夹角θ 的余弦值。

?

?

?

?

?

?

?

?

6、△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则∠C 度数是: A、60
0

B、45 或 135
?? ? ? ?? ? ?

0

0

C、120
?? ?
? ?

0

D、30
? ?

0

7、△OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上

a
?

?

b
?

) ,t∈R,则点 P 在

|a|

|b|

B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
?? ? ?? ?

8、正方形 PQRS 对角线交点为 M,坐标原点 O 不在正方形内部,且 OP =(0,3) OS =(4, , 0) ,则 RM =
?? ?

15、已知| a |= 2 ,| b |=3, a 和 b 夹角为 45 ,求当向量 a +λ b 与λ a + b 夹角为锐角 时,λ 的取值范围。

?

?

?

?

0

?

?

?

?

7 1 A、 ? , ? ) ( 2 2
(二) 填空题

7 1 B、 , ) ( 2 2

C、 (7,4)

7 7 D、 , ) ( 2 2

9、已知{ e 1 , e 2 |是平面上一个基底,若 a = e 1 +λ e 2 , b =-2λ e 1 - e 2 ,若 a , b 共线, 则λ =__________。 10、已知| a |= 6 3 ,| b |=1, a · b =-9,则 a 与 b 的夹角是________。 11、设 e 1 , e 2 是两个单位向量,它们夹角为 60 , 则(2 e 1 - e 2 )·(-3 e 1 +2 e 2 )=____________。 12、把函数 y=cosx 图象沿 b ? (2k? ? (三) 解答题 13、设 OA =(3,1) OB =(-1,2) OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,试求满足 OD + OA = OC 的 , ,
20
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
?
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

高三一轮复习讲座六 ----不等式 一、复习要求
22、 不等式的概念及性质; 2、不等式的证明; 3、不等式的解法; 4、不等式的应用。

?

?

?

?

?

?

?

0

?

?

?

二、学习指导
1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有: (1)对称性或反身性:a>b ? b<a; (2)传递性:若 a>b,b>c,则 a>c; (3)可加性:a>b ? a+c>b+c,此法则又称为移项法则; (4)可乘性:a>b,当 c>0 时,ac>bc;当 c<0 时,ac<bc。

? , 1) (k ? Z) 平移,得到函数___________的图象。 2

不等式运算性质: (1)同向相加:若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (2)正数同向相乘:若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd。 特例: (3)乘方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ;
1 1

分析: 从条件和结论相互化归的角度看,用 f(1),f(2)的线性组合来表示 f(3),再利用不等式的 性质求解。 设 f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c
?m ? 4 n ? 9 ∴ ? ?m ? n ? 1

(4)开方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ; (5)倒数法则:若 ab>0,a>b,则 掌握不等式的性质,应注意: (1)条件与结论间的对应关系,如是“ ? ”符号还是“ ? ”符号; (2)不等式性质的重点是不等号方向,条件与不等号方向是紧密相连的。 2、均值不等式;利用完全平方式的性质,可得 a +b ≥2ab(a,b∈R) ,该不等式可推广为 a +b ≥2|ab|;或变形为|ab|≤
2 2 2 2

1 1 ? 。 a b

5 ? ?m ? ? 3 ? ∴ ? ?n ? 8 ? 3 ?

a 2 ? b2 ; 2
2

5 8 ∴ f(3)= ? f (1) ? f (2) 3 3
∵ -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5 ∴

?a ? b? 当 a,b≥0 时,a+b≥ 2 ab 或 ab≤ ? ? . ? 2 ?

在具体条件下选择适当的形式。 3、不等式的证明: (1)不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法; (2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用; (3)证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。 4、 不等式的解法: 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要 恒等。 一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用 序轴标根法可以解分式及高次不等式。 含参数的不等式应适当分类讨论。 5、不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域,值域,研究函数单调性等。在解决问题过 程中,应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等。

5 5 20 8 8 40 ≤ f (1) ≤ , ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3 3 3 3

∴ -1≤f(3)≤20 说明:

1 1 1、本题也可以先用 f(1),f(2)表示 a,c,即 a= [f(2)-f(1)],c= [f(2)-4f(1)],然后 3 3
代入 f(3),达到用 f(1),f(2)表示 f(3)的目的。 2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5 中解出 a,c 的范围,然后再用不等式的 运算性质求 f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时,不等式之间出现 了不等价变形。 23、 本题还可用线性规划知识求解。
a b ? b a

例2、 设 a>0,b>0,求证: 分析:

≥ a ? b。

法一:比差法,当不等式是代数不等式时,常用比差法,比差法的三步骤即为函数单调性 证明的步骤。 左-右=
a b ? b a ? a? b? a?b b ? b?a a ? (a ? b)( 1 b ? 1 a ) ? ( a ? b) a? b ab

三、典型例题
例1、 已知 f(x)=ax -c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,试求 f(3)的取值范围。
21
2

? ( a ? b)2

a? b ab

≥0

途径一:由 ∴ x?y?

ay a b ? ? 1得 x ? x y y?b

∴ 左≥右 法二:基本不等式 根据不等号的方向应自左向右进行缩小,为了出现右边的整式形式,用配方的技巧。 ∵
a b ? b ≥2 a

ay a ( y ? b) ? ab ab ab ?y? ?y?a? ?y? ? ( y ? b) ? a ? b y?b y?b y?b y?b

∵ x>0,y>0,a>0 ∴ 由
ay >0 得 y-b>0 y?b

b a

? a ≥2 b a b ? b a

∴ x+y≥ 2 ab ? a ? b

∴ 两式相加得:

≥ a? b
2

例3、 设实数 x,y 满足 y+x =0,0<a<1,求证: loga (a x ? a y ) ≤ loga 2 ? 分析: ∵ a ?a ≥2 a
x y

1 。 8

? ab ?y ? b ? y ? b ? y ? b ? ab ? ? 当且仅当 ? ,即 ? 时,等号成立 ? x ? a ? ab ?a ? b ?1 ? ?x y ?
途径二:令 ∴ x?
b a ? ? cos 2 ? , ? sin 2 ? , ? ∈(0, ) y x 2

x?y

?
1 8

x ?x 2 2a 2

? 2a

1 1 1 ? ( x ? )2 ? 2 2 8

,?

1 1 1 1 (x ? ) 2 ? ≤ ,0<a<1 2 2 8 8

a cos ?
2

? a sec 2 ? , y ? b csc 2 ?



1 1 1 ? ( x ? )2 ? 2 2 8 2a

∴ x+y= a(1 ? tan 2 ?) ? b(1 ? cot 2 ?) ? a ? b ? a tan 2 ? ? b cot 2 ? ≥ a ? b ? 2 ab
? a tan ? ? b cot ? ? 当且仅当 ? a b 时,等号成立 ?x ? y ?1 ?
1 8

≥ 2a
1 8

∴ a x ? a y ≥ 2a

1

∴ loga (a x ? a y ) ≤ loga (2a 8 ) ? loga 2 ?

说明:本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。 例 5、已知 f(x)=-3x +a(6-a)x+b (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)当不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)时,求实数 a,b 的值。 分析: (1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a +6a+b-3 ∵ f(1)>0 ∴ a -6a+3-b<0 △=24+4b 当 b≤-6 时,△≤0 ∴ f(1)>0 的解集为φ ; 当 b>-6 时, 3 ? b ? 6 ? a ? 3 ? b ? 6 ∴ f(1)>0 的解集为 x | 3 ? b ? 6 ? a ? 3 ? b ? 6
22
2 2 2

说明:本题在放缩过程中,利用了函数的单调性,函数知识与不等式是紧密相连的。 例 4、已知 a,b 为正常数,x,y 为正实数,且 分析:
a b bx ay ? 法一:直接利用基本不等式: x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? a ? b ? ≥ a ? b ? 2 ab 当且仅 x y y x a b ? ? 1 ,求 x+y 的最小值。 x y

? ay bx ?x ? y ? x ? a ? ab ? ? 当? ,即 ? 时等号成立 a b ? y ? b ? ab ? ? ?1 ? ?x y ?
说明:为了使得等号成立,本题利用了“1”的逆代换。 法二:消元为一元函数

?

?

(2)∵ 不等式-3x +a(6-a)x+b>0 的解集为(-1,3) ∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解 ∵ 3x -a(6-a)x-b<0 解集为(-1,3)
a (6 ? a ) ? ?2 ? ? 3 ∴ ? b ?3 ? ? 3 ?
2

2

案比较适合? 分析: 设 A 地到 B 地距离为 mkm,起步价内行驶的路为 akm 显然,当 m≤a 时,选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 m>a 时,设 m=a+x(x>0) ,乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P(x)元,乘坐起步价为 8 元的出租车费用为 Q(x)元,则 P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x ∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ∴ 当 x>0 时,P(x)<Q(x),此时起步价为 10 元的出租车比较合适

?a ? 3 ? 3 ? 解之得 ? ?b ? 9 ?
例 6、设 a,b∈R,关于 x 方程 x +ax+b=0 的实根为α ,β ,若|a|+|b|<1,求证: |α |<1,|β |<1。 解题思路分析: 在不等式、方程、函数的综合题中,通常以函数为中心。 法一:令 f(x)=x +ax+b 则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0 又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1 ∴ -1<a<1
2 2

当 x<10 时,P(x)>Q(x),此时选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 x=10 时,此时两种出租车任选

四、同步练习
(一)选择题 1、 “a>0 且 b>0”是“ A、充分而非必要条件 C、充要条件
2

a?b ≥ ab ”的 2
B、必要而非充要条件 D、既非充分又非必要条件
2

2、设 a<0,则关于 x 的不等式 42x +ax-a <0 的解集为

1 a 1 ∴ ? ?? ? 2 2 2
∴ f(x)=0 的两根在(-1,1)内,即|α |<1,|β |<1 法二:∵α +β =-a,α β =b ∴ |α +β |+|α β |=|α |+|β |<1 ∴ |α |-|β |+|α ||β |<|α +β |+|α β |<1 ∴(|α |-1) (|β |+1)<0 ∵ |β |+1>0 ∴ |α |<1 同理:|β |<1 说明:对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩,如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选 择等。 例 7、某人乘坐出租车从 A 地到乙地,有两种方案:第一种方案,乘起步价为 10 元,每 km 价 1.2 元的出租车;第二种方案,乘起步价为 8 元,每 km 价 1.4 元的出租车,按出租车管理条 例,在起步价内,不同型号的出租车行驶的里路是相等的,则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方
23

a a A、 , ? ) ( 7 6
24、 A、

B、 ? (

a a , ) 6 7

a 2 C、 , ? a ) ( 7 7

D、φ

若 0<a<b 且 a+b=1,则四个数 B、b

1 2 2 ,b,2ab,a +b 中最大的是 2
C、2ab D、a +b
2 2

1 2

25、

1 1 (x ? ) 6 ? (x 6 ? 6 ) ? 2 x x 已知 x>0,f(x)= ,则 1 3 1 3 (x ? ) ? (x ? 3 ) x x

A、f(x)≤2 26、 A、 p>q 27、

B、f(x)≥10

C、f(x)≥6

D、f(x)≤3

已知 p ? a ?

2 1 ,则 (a ? 2) , q ? 2 ?a ?4a ?2 (a>2) a?2

B、p<q

C、p≥q

D、p≤q

若|a-c|<h, |b-c|<h,则下列不等式一定成立的是 B、|a-b|>2h
x x

A、 |a-b|<2h 28、

C、|a-b|<h

D、|a-b|>h

关于 x 的方程 9 +(a+4)·3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围是

A、 (-∞,-8]∪[0,+∞) B、 [-8,4) 29、 A、

B、 (-∞,-4) D、 (-∞,-8]
2 2

18、商店经销某商品,年销售量为 D 件,每件商品库存费用为 I 元,每批进货量为 Q 件, 每次进货所需费用为 S 元,现假定商店在卖完该货物时立即进货,使库存量平均为 批进货量 Q 为多大时,整个费用最省?

若 a>0,b>0,且 2a+b=1,则 S=2 ab -4a -b 的最大值是
2 ?1 2

B、 2 ? 1

C、

2 ?1 2

Q 件,问每 2

D、 2 ? 1

(二)填空题 30、 设 a>0, a, 是常数, b>0, b 则当 x>0 时, 函数 f(x)=

(x ? a)(x ? b) 的最小值是______。 x

10、周长为 2 ? 1 的直角三角形面积的最大值为__________。 11、记 S=

1 2
10

?
2

1 2
10

?1

?

1 2
10

?2

???

1 2 ?1
11

,则 S 与 1 的大小关系是__________。

高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程 一、复习要求
31、 直线方程的五种表现形式,如何求直线方程;二元一次不等式的几何意义及运用。 2、圆的方程三种形式,如何求圆的方程。 3、直线和圆位置关系的研究。

12、不等式|x -2x+3|<|3x-1|的解集为__________。 (三)解答题 13、要使不等式 x ? y ≤ k x ? y 对所有正数 x,y 都成立,试问 k 的最小值是多少?

二、学习指导
14、解关于 x 的不等式

a?x x ?x?2
2

?0

2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系,形和数可以得到 高度的统一, 它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。 当点运动形成轨迹时, 对应坐标便会满足一个方程。当曲线 C 和方程 F(x,y)=0 满足如下关系时:①曲线 C 上

15、已知 a≠0,求证:

| a 2 ? b2 | | a | | b | ≥ ? 2|a | 2 2

点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解;②以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上, 则称曲线 C 为方程 F(x,y)=0 表示的曲线;方程 F(x,y)=0 是曲线 C 表示的方程。从集 合角度看,点集(曲线)与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线 C,如何 求出它所对应的方程,并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐

16、已知不等式

1 1 1 1 11 11 ? ? ??? ? loga ?1 a ? loga (a ? 1) 对 n∈N+都成立, n n ?1 n ? 2 2n ? 1 6 3

标法是几何问题代数化的重要方法。 2、 直线的倾斜角α 和斜率 k 是描述直线位置的重要参数, 它们之间关系是正切函数关系: k=tan

试求实数 a 的取值范围。

? ? ? α ,α ∈[0, ) ? ( , ?) ,当α = 时,直线斜率不存在,否则由α 求出唯一的 k 与之对应。 2 2 2
当已知 k,求倾斜角α 时:k≥0 时,α =arctank;k<0 时,α =π +arctank。或:k=0 时,

17、若 a 是正实数,2a +3b =10,求 a 2 ? b 2 的最值。
2 2

α =0;k≠0 时,cotα =

1 1 ,α =arccot 。 k k ? ? ) 递增时,斜率 k→+∞。当α ∈( ,π ) 递减 ,α ,α 2 2

由正切函数可知,当α ∈(0,
24

时,斜率 k→-∞。 当涉及到斜率参数时,通常对 k 是否存在分类讨论。 3、直线是平面几何的基本图形,它与方程中的二元一次方程 Ax+By+C=0(A +B ≠0)一一对应。 从几何条件看,已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线;从对应方程 看,直线方程两种典型形式:点斜式(斜截式) ,两点式(截距式) ,因此求直线方程,常用待 定系数法。即根据题意,选择方程的适当形式;由已知条件,列关于参数的方程(组) 。 当点 P(x0,0)在直线 Ax+By+C=0 上时, y 其坐标满足方程 Ax0+By0+C=0; P 不在直线 Ax+By+C=0 当 上时,Ax0+By0+C≠0,即 Ax0+By0+C>0 或 Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义:二元 一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示直线 Ax+By+C=0 上方或下方区域,其具体位置的确定常用原 点(0,0)代入检验。利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划 的内容。 因直线与二元一次方程 Ax+By+C=0(A +B ≠0)一一对应,即由有序数组(A,B,C)确定, 因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。 设直线?1:A1x+B1y+C1=0(A1 +B1 ≠0) ,直线?2:A2x+B2y+C2=0(A2 +B2 ≠0)
?A B ? A 2 B1 则:?1∥?2 ? ? 1 2 ?A1C 2 ? A 2 C1
2 2 2 2 2 2 2 2

这些直线系还有其它表示形式: (1)已知直线?:Ax+By+C=0,则 方程 Ax+By+m=0(m 为参数)表示与?平行的直线系;方程-Bx+Ay+n=0(n 为参数)表示与? 垂直的直线系。 (2)已知直线?1:A1x+B1y+C=1=0,直线?2:A2x+B2y+C2=0,则方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0 表示过?1 与?2 交点的直线系(不含?2) 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,不仅可以加深数形结合的思想,还可以优化解 题思想。 5、圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为: (1)二次项中无 xy 交叉 项; (2)x ,y 项前面系数相等; (3)x,y 的一次项系数 D,E 及常数项 F 满足 D +E -4F>0。 圆方程常见形式: (1)标准式:(x-a) +(y-b) =R (R>0) ,其中(a,b)为圆心,R 为半径; (2)一般式:x +y +Dx+Ey+F=0; (3)参数式:(x-a) +(y-b) =R (R>0)的参数式为:x=a+Rcos θ ,y=b+Rsinθ ,其中θ 为参数,表示旋转角,参数式常用来表示圆周上的点。 求圆方程的原理与求直线方程完全类似。 直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识, 而不采用方程组理论 (△法) 。 6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上,理解曲线与曲线之 间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。 7、本章主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数与方程,等价变换等。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?1 与?2 相交 ? A1B2≠A2B1 其夹角公式为 tan ? ?
k1 ? k 2 ,其中 k1,k2 分别表示?1 及?2 斜率,当?1 或?2 斜率不存在时, 1 ? k 1k 2

三、典型例题
例 1、已知定点 P(6,4)与定直线?1:y=4x,过 P 点的直线?与?1 交于第一象限 Q 点,与 x 轴正半轴交于点 M,求使△OQM 面积最小的直线?方程。 分析:直线?是过点 P 的旋转直线,因此是选其斜率 k 作为参数,还是选择点 Q(还是 M)

画图通过三角形求解,?1 与?2 夹角为θ ∈(0,

? ] 2

特例:?1⊥?2 ? A1A2+B1B2=0(此时不能用夹角公式求解) 利用点 P(x0,y0)到直线?:Ax+By+C=0 的距离公式 d=
| C1 ? C 2 | A 2 ? B2

Ax 0 ? By 0 ? C a 2 ? B2


可以求出两平行直线:

作为参数是本题关键。 通过比较可以发现,选 k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设 Q(x0,4x0) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴
4 ? 4x 0 4 ? 6 ? x0 6?m

Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离 d=

4、当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形,它 们的对应的直线是有规律的,即旋转直线系和平行直线系。 在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中,当(x0,y0)确定,k 变化时,该方程表示过定点(x0,y0) 的旋转直线系,当 k 确定,(x0,y0)变化时,该方程表示平行直线系。
25

解之得: m ? ∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0 ∴ S ?OMQ

5x 0 x0 ?1

∴ AE 所在直线方程为( 10 -3)x-y-2 10 +5=0 评注:在求角 A 平分线时,必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类 问题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程,设 P(x,y)为直线 AE 上任
2

一点,则 P 到 AB、AC 距离相等,得 关于 AE 对称。

| 2x ? y ? 5 | 5

?

| x ? y ? 1| 2

,化简即可。还可注意到,AB 与 AC

10x 0 1 ? | OM | 4x 0 ? 2mx 0 ? 2 x0 ?1

令 x0-1=t,则 t>0
S? 10( t ? 1) 2 1 ? 10( t ? ? 2) ≥40 t t

例 3、 (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程; (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相 交的弦长为 2 2 ,求圆方程。 分析:研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定 义的运用,以降低运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。 (1)法一:从数的角度 若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得:(x0-5) +(y0-2) =(x0-3) +(y0-2) 又 2x0-y0-3=0
?x ? 4 两方程联立得: ? 0 ,|PA|= 10 ?y 0 ? 5
2 2 2 2

当且仅当 t=1,x0=11 时,等号成立 此时 Q(11,44) ,直线?:x+y-10=0 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基本不等式再此 目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k,截距 b,角度θ ,点的坐标都 是常用参数,特别是点参数。 例 2、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程; (2)AB 边中垂线方程; (3)∠A 平分线所在直线方程。 分析: (1)∵ kBC=5

∴ 圆标准方程为(x-4) +(y-5) =10

2

2

∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ? ∴ AD 所在直线方程 y+1= ? 即 x+5y+3=0 (2)∵ AB 中点为(3,1) AB=2 ,k ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0

1 5

若选用一般式:设圆方程 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心( ?
2 2

D E ,? ) 2 2

1 (x-2) 5

? 2 ?5 ? 2 2 ? 5D ? 2E ? F ? 0 ? ∴ ?3 2 ? 2 2 ? 3D ? 2E ? F ? 0 ? D E ?2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 ? 0 2 2 ?

(3)设∠A 平分线为 AE,斜率为 k,则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 ∵ kAC=-1,kAB=2 ∴

? D ? ?8 ? 解之得: ?E ? ?10 ?F ? 31 ?

法二:从形的角度
?2 x ? y ? 3 ? 0 AB 为圆的弦,由平几知识知,圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上,则由 ? 得圆心 P ?x ? 4

k ?1 2 ? k ? 1 ? k 1 ? 2k
2

∴ k +6k-1=0 ∴ k=-3- 10 (舍) ,k=-3+ 10
26

(4,5) ∴ 半径 r=|PA|= 10

显然,充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2) +(a-3)
2 2

又? ∴

1 ? m ?1 7 20 ?x?4 7
2

∴ 所求轨迹方程为(x-3) =
2 2

1 20 (y+1)( ? x ?4) 4 7

例 5、如图,过圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线?,M 为?上任一点,过 M 作
| ?2a ? a ? 1 | 2

又弦长 2 2 ? 2 R 2 ? d 2 , d ? ∴ R2 ? 2 ?
2

圆 O 的另一条切线,切点为 Q,求△MAQ 垂心 P 的轨迹方程。 分析:从寻找点 P 满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连 OQ,则由 OQ⊥MQ,AP⊥MQ 得 OQ∥AP 同理,OA∥PQ 又 OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2
2 2

(3a ? 1) 2
2

2

(3a ? 1) 2 ∴ 4(a+1) +(a-3) =2+ 2

∴ a=-7 或 a=-3 当 a=-7 时,R= 52 ;当 a=-3 时,R= 244 ∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 例 4、已知方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆, (1)求实数 m 取值范围; (2)求圆半径 r 取值范围; (3)求圆心轨迹方程。 分析: (1)m 满足[-2(m+3)] +[2(1-4m )] -4(16m +9)>0,即 7m -6m-1<0
2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2

?x ? x 设 P(x,y),Q(x0,y0),则 ? 0 ?y 0 ? y ? 2

又 x0 +y0 =4 ∴ x +(y-2) =4(x≠0) 评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆 的弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
2 2

2

2

1 ∴ ? ? m ?1 7
3 16 (3)半径 r= ? 7m 2 ? 6m ? 1 ? ? 7(m ? ) 2 ? 7 7

四、同步练习
(一)选择题 1、若直线(m -1)x-y+1-2m=0 不过第一象限,则实数 m 取值范围是 A、-1<m≤
2

∵ ?

1 ? m ?1 7
4 7 3 时, rmax ? 7 7

∴ m?

1 2

B、 ?

1 ≤m≤1 2

C、

1 <m<1 2

D、

1 ≤m≤1 2

∴ 0<r≤

4 7 7

2、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、 ?

? ,则 m 值为 4 1 D、 或 3 3

?x ? m ? 3 (3)设圆心 P(x,y) ,则 ? 2 ? y ? 4m ? 1
消去 m 得:y=4(x-3) -1
2

1 或-3 3

B、-3 或

1 3

C、-3 或 3

3、点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 A、 2 B、 6 C、 2 2 D、 10

4、过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有
27

A、 1 条
2 2

B、2 条

C、3 条

D、4 条
0

|OB|=b,a>2,b>2, (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3) 求△AOB 面积的最小值。 17、已知两圆 x +y =4 和 x +(y-8) =4, (1)若两圆分别在直线 y=
2 2 2 2

5、圆 x +y -4x+2y+C=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90 ,则 C 的值是 A、 -3
2

B、3
2 2

C、 2 2

D、8

6、 若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 距离等于 1, 则半径 r 取值范 围是 A、 (4,6) B、[4,6) C、 (4,6] D、[4,6]
2 2

5 x+b 两侧,求 b 取值范 2

围; (2)求过点 A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率 k 的范围。 18、当 0<a<2 时,直线?1:ax-2y-2a+4=0 与?2:2x+a y-2a -4=0 和坐标轴成一个四边形,要 使围成的四边形面积最小,a 应取何值?

7、将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)顺时针旋转 x +(y-1) =R 相切,则正数 R 等于 A、
2 2 2

? 后,再向上平移一个单位,此时恰与圆 2

1 2
2 2

B、

2 2

C、1

D、 2

8、 方程 x +y +2ax-2ay=0 所表示的圆 A、关于 x 轴对称 C、关于直线 x-y=0 对称 (二)填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为(3,-2) ,则过点(a,b)(d,e)的直线 , 方程是___________________。 10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ ,则直线(m+3)x+y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
?3x ? 8 y ? 15 ? 0 ? 11、已知 x,y 满足 ?5x ? 3y ? 6 ? 0 ,则 x-y 的最大值为________,最小值为________。 ?2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ?

高三一轮复习讲座八 ----圆锥曲线方程
B、关于 y 轴对称 D、关于直线 x+y=0 对称

一、复习要求
32、 三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。 2、直线和圆锥曲线位置关系。 3、求轨迹方程的常规方法。

二、学习指导
1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分 为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典 型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设 法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过 程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系) ,侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的 几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 33、 三种圆锥曲线的研究

12、过点 A(2,1) ,且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆:(x-1) +y =1,作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是__________________。 (三)解答题 14、已知 y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程,A(-4,2) ,B(3,1) ,求点 C 坐标, 并判断△ABC 形状。 15、已知 n 条直线:x-y+ci=0(i=1,2,?,n) ,其中 C1= 2 ,C1<C2<C3<?<Cn,且每相邻 两条之间的距离顺次为 2,3,4,?,n, (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与坐标轴围成的 三角形面积: (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形面积。 16、已知与曲线 C: +y -2x-2y+1=0 相切的直线?交 x、 轴于 A、 两点, 为原点, x y B O |OA|=a,
28
2 2 2 2

(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:
? | PF | ? ? e, e ? 0? ,其中 F 为定点,d 为 P 到定直线的?距离,F ? ?,如 ?P | d ? ?

图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方 法都具有规律性。

当 0<e<1 时,点 P 轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 轨迹是双曲线;当 e=1 时,点 P 轨迹是抛 物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2 为定点},双 曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2 为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变 而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短 轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 ②定量: 椭 焦 距 2a —— 2b P=2
b2 c b2 a



心 |x|≤a |y|≤b

(0,0) |x|≥a x≥0

有界性

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2 分别为左、右焦点 P 在右支时: |PF1|=a+ex0 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 |PF2|=-a+ex0 P 在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 抛 物 线 总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合, |PF|=x0+

p 2

圆 2c

双 曲 线

长轴长 实轴长 短轴长 焦点到对应 准线距离 通径长 离心率 基本量关系

—— 2a

既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 34、 直线和圆锥曲线位置关系

(1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0) 。 p 其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种 情形;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情 况;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法。 C =a +b
2 2 2



2p 1

e?
a =b +c
2 2 2

c a

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求 范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。 抛 物 线
2

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变)举焦点在 x 轴上的方程如下: 椭
x
2 2


? y b
2 2

双 曲 线
x a
2 2

三、典型例题
例1、 根据下列条件,求双曲线方程。 (1)与双曲线
x 2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) ; 9 16 x 2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) 。 16 4 x 2 y2 4 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x 9 16 3

标准方程

a

?1

?

y

2

b2

?1

y =2px(p>0)

(a>b>0) 顶 焦 准 点 点 线 (±a,0) (0,±b) (±c,0) X=±
a2 c

(a>0,b>0) (±a,0) (0,0) (

(2)与双曲线

p ,0) 2 p 2
29

分析:法一: (1)双曲线

x= ?

4 令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 ,故点(-3, 2 3 )在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之 3

间, ∴ 双曲线焦点在 x 轴上 设双曲线方程为
x2 a
2


?1, (a>0,b>0)

(3 2 ) 2 22 ? ?1 16 ? k 4?k

?

y2 b
2

解之得:k=4 ∴ 双曲线方程为 评注:与双曲线
x 2 y2 ? ?1 12 8

?b 4 ?a ? 3 ? ? 2 2 ? (?3) ? (2 3 ) ? 1 ? a2 b2 ?
? 2 9 ?a ? 4 解之得: ? ?b 2 ? 4 ?

x2 a2

?

y2 b2

? 1 共渐近线的双曲线方程为 x2 a2 ?

x2 a2 y2 b2

?

y2 b2

? ? (λ ≠0) ,当λ >0 时,

焦点在 x 轴上;当λ <0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线
x2 a ?k
2

? 1 共焦点的双曲线为

?

y2 b ?k
2

? 1 (a +k>0,b -k>0) 。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题
2 2

∴ 双曲线方程为

y x ? ?1 9 4 4
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>0,b>0)

2

2

质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2、设 F1、F2 为椭圆
x 2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一个直 9 4

(2)设双曲线方程为
?a 2 ? b 2 ? 20 ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 ? 2 ?1 ? b ? a2

角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 解题思路分析:

| P F1 | 的值。 | P F2 |

当题设涉及到焦半径这个信息时,通常联想到椭圆的两个定义。

?a 2 ? 12 ? 解之得: ? ?b 2 ? 8 ?
∴ 双曲线方程为
x 2 y2 ? ?1 12 8 x2 y2 ? ? ? (λ ≠0) 9 16

?| PF | ? | PF2 |? 6 1 ? 法一:当∠PF2F1=90 时,由 ?| PF | 2 ?| PF2 | 2 ?(2c) 2 得: 1 ? 2 ?c ? 5
0

| PF |? 1


14 4 , | PF2 |? 3 3

法二: (1)设双曲线方程为 ∴
(?3) 2 (2 3 ) 2 ? ?? 9 16

| PF | 7 1 ? | PF2 | 2
0

当∠F1PF2=90 时,同理求得|PF1|=4,|PF2|=2 ∴
| P F1 | ?2 | P F2 |
0

1 ∴ ?? 4
x 2 y2 ∴ 双曲线方程为 ? ?1 9 4 4
(3)设双曲线方程为
?16 ? k ? 0 ? y2 x2 ? ?1 ? ?4 ? k ? 0 ? ? 16 ? k 4 ? k ? ?
30

法二:当∠PF2F1=90 , x P ? 5 ∴ yP ? ?

4 3

∴ P( 5 , ?

4 ) 3

又 F2( 5 ,0)

∴ |PF2|=

4 3

例 4、已知 x +y =1,双曲线(x-1) -y =1,直线?同时满足下列两个条件:①与双曲线交于不 同两点;②与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线?方程。 分析:选择适当的直线方程形式,把条件“?是圆的切线” “切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关 于参数的方程组。 法一:当?斜率不存在时,x=-1 满足; 当?斜率存在时,设?:y=kx+b ?与⊙O 相切,设切点为 M,则|OM|=1 ∴
2

2

2

2

2

14 ∴ |PF1|=2a-|PF2|= 3
?x 2 ? y 2 ? ( 5 ) 2 ? 0 当∠F1PF2=90 ,由 ? x 2 y 2 得: ? ?1 ? 4 ? 9

P( ?

3 4 。下略。 5, ? 5) 5 5

|b| k2 ?1
2

?1

评注:由|PF1|>|PF2|的条件,直角顶点应有两种情况,需分类讨论。 例 3、设点 P 到 M(-1,0) ,N(1,0)的距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴的距离之比为 2,求 m 取值范围。 分析:根据题意,从点 P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m ∴ 点 P 轨迹为双曲线,方程为 又 y=±2x(x≠0) ①②联立得: x ?
2

∴ b =k +1



?y ? kx ? b 2 2 2 由? 得:(1-k )x -2(1+kb)x-b =0 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 1
当 k≠±1 且△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则中点 M(x0,y0) ,
y2 1? m
2

x2 m
2

?

? 1 (|m|<1)



x1 ? x 2 ?

2(1 ? kb) 1? k
2

, x0 ?

1 ? kb 1? k2


m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

∴ y0=kx0+b=

k?b 1? k2

∵ M 在⊙O 上 ∴ x0 +y0 =1 ∴ (1+kb) +(k+b) =(1-k )
2 2 2 2 2 2

将此式看成是 范围。

m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

关于 x 的二次函数式,下求该二次函数值域,从而得到 m 的取值



根据双曲线有界性:|x|>m,x >m ∴
m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m
2 2

2

2

2

? m2

? ? 3 3 ?k ? ?k ? ? ? ? 3 3 由①②得: ? 或 ? ?b ? ? 2 3 ?b ? 2 3 ? ? 3 3 ? ?

又 0<m <1 ∴ 1-5m >0 ∴ | m |?
5 且 m≠0 5

∴ ?: y ?

3 2 3 2 x? 3或y?? ? 3 3 3 3 3

法二:设 M(x0,y0) ,则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时,x0=±1,显然只有 x=-1 满足; 当 y0≠0 时, y ? ?
2 2

5 5 , 0) ? (0, ) ∴ m ? (? 5 5

x0 1 x? y0 y0
2 2 2 2

评注:利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步,当题目条件有等量关系时,一般考虑 利用函数思想,建立函数关系式。

代入(x-1) -y =1 得:(y0 -x0 )x +2(x0-y0) x-1=0 ∵ y0 +x0 =1 ∴ 可进一步化简方程为:(1-2x0 )x +2(x0 +x0-1)x-1=0
31
2 2 2 2 2

由中点坐标公式及韦达定理得: x 0 ? ? 即 2x0 -x0 -2x0+1=0 解之得:x0=±1(舍),x0= ∴ y0= ?
3 。下略 2
3 2

x0 ? x0 ?1
2

1 ? 2x 0

2



∴ 直线 AB: y ? y 1 ? ∴ y?

2p (x ? x 1 ) y1 ? y 2

1 2

2px1 2px ? y1 ? y1 ? y 2 y1 ? y 2

∴ y?

y 2 ? 2px1 ? y1 y 2 2px ? 1 y1 ? y 2 y1 ? y 2

∵ y12 ? 2px1 , ∴ y? ∴ y?

y1 y 2 ? ?4p 2

评注:不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件( “相切”和“中点” )转化为关于参 数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例 5、A、B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB, (1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线 AB 过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求△AOB 面积的最小值; (5)O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程。 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) (1) k OA
y y ? 1 , k OB ? 2 x1 x2
2

2px ? 4p 2 ? y1 ? y 2 y1 ? y 2
2p ( x ? 2p) y1 ? y 2

∴ AB 过定点(2p,0) ,设 M(2p,0) (3)设 OA∶y=kx,代入 y =2px 得:x=0,x= ∴ A(
2

2p k2

2p 2p ) , k2 k
1 2 代 k 得 B(2pk ,-2pk) k

同理,以 ?

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∴
y1 2 y 2 2 ? ? y1 y 2 ? 0 2 p 2p
2 2

1 ? 2 ? x 0 ? p( k ? 2 ) ? k ∴ ? 1 ? y ? P( ? k ) ? 0 k ?

∵ k2 ? ∴

1 k ? ( ? )2 ? 2 k k k
2

1

∵ y1≠0,y2≠0 ∴ y1y2=-4p ∴ x1x2=4p
2 2 2 2

x0 y ? ( 0 )2 ? 2 p p
2 2 2 2

即 y0 =px0-2p

∴ 中点 M 轨迹方程 y =px-2p

(2)∵ y1 =2px1,y2 =2px2 ∴ (y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴
y1 ? y 2 2p ? x 1 ? x 2 y1 ? y 2
2p y1 ? y 2
32

(4) S?AOB ? S?AOM ? S?BOM ?

1 | OM | (| y1 | ? | y 2 |) ? p(| y1 | ? | y 2 |) 2

≥ 2p | y1 y 2 | ? 4p 2 当且仅当|y1|=|y2|=2p 时,等号成立 评注:充分利用(1)的结论。

∴ k AB ?

(5)法一:设 H(x3,y3) ,则 k OH ? ∴ k AB ? ?
x3 y3

y3 x3

? 2 y1 2 ?1 ?x 1 ? ? 2 则? 2 ? 2 y2 x2 ? ?1 ? 2 ?

∴ AB: y ? y 3 ? ?

x3 (x ? x 3 ) y3
2

两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= ∵ x1≠x2 ∴
y1 ? y 2 2( x 1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 y1 ? y 2

1 (y1-y2)(y1+y2) 2

y 2py 3 2p 2 y ? 3 ? 2px 3 ? 0 即 x ? ? 3 ( y ? y 3 ) ? x 3 代入 y =2p 得 y 2 ? x3 x3 x3

由(1)知,y1y2=-4p

2

2py3 2 ? 2px 3 ? 4p 2 ∴ x3

∴ k AB ?

2 ?1 ?1 2

∴ AB:y=x+1
2

整理得:x3 +y3 -2px3=0 ∴ 点 H 轨迹方程为 x +y -4x=0(去掉(0,0) ) 法二:∵ ∠OHM=90 ,又由(2)知 OM 为定线段 ∴ H 在以 OM 为直径的圆上 ∴ 点 H 轨迹方程为(x-p) +y =p ,去掉(0,0) 例 6、设双曲线 x 2 ?
y ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2
2
2 2 2 0 2

2

2

代入 x 2 ?

y2 ? 1 得:△>0 2

评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。 在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所 有条件。 本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦,故圆 心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
?y ? x ? 1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4) ?1 ?x ? 2 ?

(1)求直线 AB 方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什 么? 分析:法一:显然 AB 斜率存在 设 AB:y-2=k(x-1)
? y ? kx ? 2 ? k ? 2 2 2 由 ? 2 y2 得:(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0 ?1 ?x ? 2 ?

又 CD 方程:y=-x+3
?y ? ?x ? 3 ? 2 由 ? 2 y2 得:x +6x-11=0 ?1 ?x ? 2 ?

当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则? ?
x 1 ? x 2 k (2 ? k ) ? 2 2 ? k2

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) 则 x0 ?

∴ k=1,满足△>0 ∴ 直线 AB:y=x+1 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

x3 ? x4 ? ?3, y 0 ? ?x 0 ? 3 ? 6 2

∴ M(-3,6) ∴ |MC|=|MD|=

1 |CD|= 2 10 2

33

又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|

C、x +y = (二)填空题

2

2

1 1 (x ? ) 2 2

D、x +y =

2

2

1 1 (x ? ) 4 4

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评注:充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视。 9、已知 A(4,0) ,B(2,2)是椭圆 的最大值是____________。 10、椭圆 1、方程 3(x ? 1) 2 ? 3( y ? 1) 2 ?| x ? y ? 2 | 表示的曲线是 A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定 A、

x 2 y2 ? ? 1 内的点,M 是椭圆上的动点,则|MA|+|MB| 25 9

四、同步练习
(一)选择题

y2 x2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 a=__________。 loga 8 9 2

11、高 5 米和 3m 的旗竿在水平地面上,如果把两旗竿底部的坐标分别定为 A(-5,0) ,B (5,0) ,则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。 12、若 x,y∈R,且 3x +2y =6,则 x +y 最大值是________,最小值是________。 13、抛物线 y =2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为__________。 (三)解答题 14、求以达原点与圆 x +y -4x+3=0 相切的两直线为渐近线且过椭圆 4x +y =4 两焦点的双曲 线方程。
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x 2 y2 ? ? ? 1 绕它的左焦点顺时针方向旋转 ,则所得新椭圆的准线方程是 2、把椭圆 25 9 2

y?

9 41 , y? 4 4
41 9 , y?? 4 4

B、 x ?

9 41 , x?? 4 4
41 9 , x?? 4 4

C、 y ?

D、 x ?

3、方程 (x ? y ? 1) x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 的曲线形状是 A、圆 4、F1、F2 是椭圆
0

B、直线
x2 a
2

C、圆或直线

D、圆或两射线 15、已知 P(x,y)为平面上的动点且 x≥0,若 P 到 y 轴距离比到点(1,0)距离小 1 (1)求点 P 轨迹 C 的方程; (2)设过 M(m,0)的直线交双曲线 C 于 A、B 两点,问是否存在这样的 m,使得以线段 AB

?

y2 b
2

? 1 (a>b>0)的两焦点,过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形

ABF2,其中∠BAF2=90 ,则椭圆的离心率是 A、
2

B、 6 ? 3

C、 3

D、 6

为直径的圆恒过原点。

5、若方程

y2 x2 ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则它的半焦距 C 的取值范围是 | m | ?2 m ? 1

A、 (0,1)
2

B、 (1,2)

C、 (1,+∞)

D、与 m 有关

16、设抛物线 y =4ax(a>0)的焦点为 A,以 B(a+4,0)为圆心,|BA|为半径,在 x 轴上 方画圆,设抛物线与半圆交于不同两点 M、N,点 P 是 MN 中点 (1)求|AM|+|AN|的值; (2)是否存在这样的实数 a,恰使|AM|,|AP|,|AN|成等差数列?若存在,求出 a;若不存 在,说明理由。

2

6、以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置关系是 A、相交 B、相切
2

C、相离

D、以上三种均有可能

7、直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,若 AB 中点横坐标为 2,则|AB|为 A、 15
2 2

B、 2 15

C、 42

D、 2 15
0

8、已知圆 x +y =1,点 A(1,0) ,△ABC 内接于圆,∠BAC=60 ,当 BC 在圆上运动时,BC 中点的轨迹方程是 A、x +y =
2 2

1 2

B、x +y =

2

2

1 4

17、设椭圆中心为 0,一个焦点 F(0,1) ,长轴和短轴长度之比为 t (1)求椭圆方程; (2)设过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分交点为 Q,点 P 在该直线上,且
34

| OP | ? t t 2 ? 1 ,当 t 变化时,求点 P 轨迹。 | OQ |

结论 二垂线定理及逆 定理 如果 a⊥b,a⊥ 线面垂直 c,b ? α ,c ? α ,b∩c=P,那 么 a⊥α 面面垂直 定义(二面角等 于 90 )
0

线线垂直 18、已知抛物线 y =2px(p>0) ,过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线?与该抛物线交于不同 两点 A、B,|AB|≤2p, (1)求 a 取值范围; (2)若线段 AB 垂直平分线交 x 同于点 N,求△NAB 面积的最大值。
2

如果 a⊥α , ? b α ,那么 a⊥b

如果三个平面两 两垂直,那么它 们交线两两垂直 如果α ⊥β ,α

如果 a∥b,a⊥ c,那么 b⊥c

——

∩β =b, ? α ,a a ⊥b,那么 a⊥β

如果 a⊥α ,b∥ a,那么 b⊥α

如果 a⊥α , ? a β ,那么β ⊥α

——

——

高三一轮复习讲座九 ----立体几何 一、复习要求
空间几何图形的证明及计算。

2、空间元素位置关系的度量 (1)角:异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相 交直线所成的角。 异面直线所成的角:通过平移的变换手段化归,具体途径有:中位线、补形法等。 直线和平面所成的角:通过作直线射影的作图法得到。 二面角:化归为平面角的度量,化归途径有:定义法,三垂线定理法,棱的垂面法及面积 垂直关系

二、学习指导
1、空间基本元素:直线与平面之间位置关系的小结。如下图: 条件 结论 线线平行 线面平行 如果 a∥α , ? a β ,β ∩α =b, 那么 a∥b 面面平行 如果α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,那么 a∥b 如果α ∥β , ? a α ,那么α ∥β

射影法。 (2)距离:异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离。

线线平行

如果 a∥b,b∥ c,那么 a∥c 如果 a∥b,a ?

如果 a⊥α ,b⊥ α ,那么 a∥b

异面直线的距离:除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离 和面面距离。 线面距离,面面距离常化归为点面距离。

线面平行

α , ?α , b 那么 a∥α 如果 a ? α , ? b α ,c ? β ,d ? β , a∥c, b∥d, a∩b=P,那么α ∥β

——

——

3、两个重要计算公式 (1)cosθ =cosθ 1·cosθ
2

其中θ 1 为斜线 PA 与平面α 所成角,即为∠PAO,θ 2 为 PA 射 如果 a ? α , ? b α ,a ∩ b=P,a ∥ β ,b∥β ,那么 α ∥β 如果α ∥β ,β ∥γ ,那么α ∥ γ 影 AO 与α 内直线 AB 所成的角,θ 为∠PAB。 如果 a⊥α ,a⊥ β ,那么α ∥β 显然,θ >θ 1,θ >θ
2

面面平行

(2)异面直线上两点间距离公式 设异面直线 a,b 所成角为θ 则 EF =m +n +d ±2mncosθ
2 2 2 2

条件

线线垂直

线面垂直

面面垂直

平行关系

4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂 直的性质解题,在正棱锥中,要熟记由高 PO,斜高 PM,侧棱 PA,底
35

面外接圆半径 OA,底面内切圆半径 OM,底面正多边形半边长 OM,构 成的三棱锥,该三棱锥四个面均为直角三角形。 5、球是由曲面围成的旋转体。研究球,主要抓球心和半径。 6、立体几何的学习,主要把握对图形的识别及变换(分割,补形,旋转等) ,因此,既要 熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系,也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。

评注:化“动”为“定”是处理“动”的思路 例 3、如图,三棱锥 D—ABC 中,平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角三角形,∠ABC= ∠BAD=90 ,其腰 BC=a,且二面角 D—AB—C=60 。 (1)求异面直线 DA 与 BC 所成的角; (2)求异面直线 BD 与 AC 所成的角; (3)求 D 到 BC 的距离; (4)求异面直线 BD 与 AC 的距离。 解析: (1)在平面 ABC 内作 AE∥BC,从而得∠DAE=60 ∴ DA 与 BC 成 60 角 (2)过 B 作 BF∥AC,交 EA 延长线于 F,则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由△DAF 易得 AF=a,DA=a,∠DAF=120 ∴ DF =a +a -2a ·( ?
2 2 2 2 0 0 0 0 0

三、典型例题
例 1、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点(如图) ,求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H; (3)A1O⊥平 面 BDF; (4)平面 BDF⊥平面 AA1C。 解析: (1)欲证 EG∥平面 BB1D1D,须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线,构造 辅助平面 BEGO’及辅助直线 BO’,显然 BO’即是。 (2)按线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内寻找 B1D1 和 O’H 两条关键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面 BDF,O’H∥平面 BDF。 (3)为证 A1O⊥平面 BDF,由三垂线定理,易得 BD⊥A1O,再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一 条直线。 猜想 A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得:A1O +OF =A1F ? A1O⊥OF。
2 2 2

1 2 )=3a 2

∴ DF= 3 a △DBF 中,BF=AC= 2 a ∴ cos∠DBF=

(4)∵ CC1⊥平面 AC ∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC ∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD ? 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 例 2、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意 一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是 A、

1 4 1 4

∴ 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos (3)∵ BA⊥平面 ADE ∴ 平面 DAE⊥平面 ABC

故取 AE 中点 M,则有 DM⊥平面 ABC;取 BC 中点 N,由 MN⊥BC,根据三垂线定理,DN⊥BC ∴ DN 是 D 到 BC 的距离 在△DMN 中,DM= C、
3 a,MN=a 2

? 6

B、

? 4

? 3

D、

? 2

∴ DN=

解析: 取 P 点的特殊点 A1,连 OA1,在底面上过 O 作 OE⊥AD 于 E,连 A1E ∵ OE⊥平面 ADD1A1,AM⊥A1E 根据三垂线定理,得:AM⊥OA1 ∴ 选D
36

7 a 2

(4)∵ BF ? 平面 BDF,AC ? 平面 BDF,AC∥BF ∴ AC∥平面 BDF 又 BD ? 平面 BDF ∴ AC 与 BD 的距离即 AC 到平面 BDF 的距离

1 ∵ VA?BDF ? h ? S?BDF , VA?BDF ? VB?ADF 3


∴ V= S ?DBC ·AA’=

a 2b 4

1 1 h ? S ?BDF ? AB ? S ?ADF 3 3
S ?BDF ? S ?ADF ? 1 1 15 15 2 ? BD ? BF ? sin ?DBF ? ? 2a ? 2a ? ? a 2 2 4 4 1 1 3 3 2 AF ? DM ? a ? a? a 2 2 2 4

评注:求斜棱柱的侧面积有两种方法,一是判断各侧面的形状,求各侧面的面积之和,二 是求直截面的周长与侧棱的乘积,求体积时同样可以利用直截面,即 V=直截面面积×侧棱长。 例 6、在三棱锥 P—ABC 中,PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥的体积 VP-ABC。 解析: 取 PC 和 AB 的中点 M 和 N ∴ VP?ABC ? VP?AMB ? VC?AMB ?
2 2 2 2

由h ?

AB ? S ?ADF 5 5 a ? a ,即异面直线 BD 与 AC 的距离为 5 S ?BDF 5
0 0

1 ? PC ? S?AMB 3

评注:三棱锥的等体积变换求高,也是求点到面距离的常用方法。 例 4、 如图, 60 的二面角α —CD—β 中, ? α , ? β , ACD=45 , 在 AC BD 且 tg∠BDC=2, CD=a, AC= 2 x,BD= 5 x,当 x 为何值时,A、B 的距离最小?并求此距离。 解析: 作 AE⊥CD 于 E,BF⊥CD 于 F,则 EF 为异面直线 AE、BF 的公垂段,AE 与 BF 成 60 角,可求得|AB|= 7x 2 ? 4ax ? a 2 ,当 x=
0

在△AMB 中,AM =BM =17 -8 =25×9 ∴ AM=BM=15cm,MN =15 -9 =24×6 ∴ S△AMB=
2 2 2

1 1 2 ×AB×MN= ×18×12=108(cm ) 2 2

1 3 ∴ VP-ABC= ×16×108=576(cm ) 3
评注:把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法,这样 分割的结果,一方面便于求体积,另一方面便于利用体积的相关性质,如等底等高的锥 体的体积相等,等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比,等等。

21 2a a。 时,|AB|有最小值 7 7

评注:转化为求异面直线上两点间距离的最小值。 例 5、如图,斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’ 与底面相邻两边 AB、AC 都成 45 角,求此三棱柱的侧面积和体积。 解析: 在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D 连结 CD ∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=45 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=90 ,BD=CD ∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’ ∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在 Rt△ADB 中,BD=AB·sin45 =
0 0 0 0

同步练习
(一)选择题 1、?1∥?2,a,b 与?1,?2 都垂直,则 a,b 的关系是 A、平行 B、相交 C、异面
0

D、平行、相交、异面都有可能

2、异面直线 a,b,a⊥b,c 与 a 成 30 ,则 c 与 b 成角范围是 A、[60 ,90 ]
0 0

B、[30 ,90 ]

0

0

C、[60 ,120 ]

0

0

D、[30 ,120 ]

0

0

3、正方体 AC1 中,E、F 分别是 AB、BB1 的中点,则 A1E 与 C1F 所成的角的余弦值是 A、
2 a 2
a2 4

1 2

B、

2 2

C、

2 5

D、

21 5

4、在正△ABC 中,AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B—AD—C 后,BC= —AD—C 大小为 A、60
0

1 AB,这时二面角 B 2

∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=( 2 +1)a,△DBC 的面积= ∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab

B、90

0 0

C、45

0

D、120

0

5、一个山坡面与水平面成 60 的二面角,坡脚的水平线(即二面角的棱)为 AB,甲沿山坡
37

自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m,同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m,P、Q 都是 AB 上的点,若 PQ=10m,这时甲、乙 2 个人之间的距离为 A、 20 7 m B、 10 10m C、 30 3m D、 10 19m

16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形,那么它的面数是__________。 (三)解答题 17、如图,在斜边为 AB 的直角三角形 ABC 中,过 A 作 AP⊥平面 ABC,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,CG⊥AB 于 G,CD⊥PB 于 D。 (1)求证∠AEF=∠CDG; (2)求△AEF 面积的最大值。

6、E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形折成 直二面角如图,则∠BOD= A、135
0 0 0 0

B、120

C、150

D、90

7、三棱锥 V—ABC 中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为α , β ,γ (都是锐角) ,则 cosα +cosβ +cosγ 等于 A、1 B、2 C、

1 2

D、

3 2 2? n

8、正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β ,tanα ∶tanβ 等于 A、 sin

? n

B、 cos

? n

C、 sin

2? n

D、 cos

18、等边三角形 ABC 的边长为 a,沿平行 BC 的线段 PQ 折起,使平面 APQ⊥平面 PBCQ,设点 A 到直线 PQ 的距离为 x,AB 的长为 d (1)x 为何值时,d 取得最小值,最小值是多少? (2)若∠BAC=θ ,求 cosθ 的最小值。
2

9、一个简单多面体的各面都是三角形,且有 6 个顶点,则这个简单多面体的面数是 A、4 B、6 C、8 D、10

10、三棱锥 P—ABC 中,3 条侧棱两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,△ABC 的面积为 S,则 P 到平面 ABC 的距离为 A、

abc S

B、

abc 2S

C、

abc 3S

D、

abc 6S

11、三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,且满足 AP=C1Q,则四棱 锥 B—APQC 的体积是 A、

1 V 2

1 B、 V 3

C、

1 V 4

D、

2 V 3
3 ,EF 与面 AC 的 2

19、如图,ABCD 是矩形,其 4 个顶点在平面α 的同一侧,且它们在平面α 内的射影分别为 A’,B’,C’,D’,直线 A’B 与 C’D’不重合, (1)求证:A’B’C’D’是平行四边形; (2)在怎样的条件下,A’B’C’D’是矩形?并证明你的结论。

12、多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 距离为 2,则该多面体的体积为 A、

9 2

B、5

C、6

D、

15 2

(二)填空题 13、已知异面直线 a 与 b 所成的角是 50 ,空间有一定点 P,则过点 P 与 a,b 所成的角都是 30 的直线有________条。 14、线段 AB 的端点到平面α 的距离分别为 6cm 和 2cm,AB 在α 上的射影 A’B’的长为 3cm, 则线段 AB 的长为__________。 15、正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________。
38
0 0

20、正三棱锥 V—ABC 的底面边长为 a,侧棱与底面所成的角等于θ (θ >

? ) ,过底面一边 4

(3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是 前提 (4)基本题型及方法:捆绑法,插空法,错位法,分组分配法,均匀分组法,逆向思考法 等 4、二项式定理

作此棱锥的截面,当截面与底面所成二面角为何值时,截面面积最小?并求出最小值。

(a ? b) n ? C 0 a n ? C1 a n ?1b ? ? ? C r a n ?r b r ? ? ? C n b n n n n n
通项公式 Tr ?1 ? C r a n ?1b r ,r=0,1,2,?,n n

高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率 一、复习要求
1、排列数、组合数的计算、化简、证明等;会解排列、组合应用题,掌握常见应用题的处 理思路。 2、掌握二项式定理,会用展开式通项求有关展开式的问题。 3、理解随机事件的概率,会求等可能事件的概率,能用加法公式和乘法公式求互斥事件和 相互独立事件同时发生的概率。

二项式系数的性质: (1)对称性,在展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C 0 ? C n , n n

C1 ? C n ?1 , C 2 ? C n ?2 , ?, C r ? C n ?r ; n n n n n n
(2)增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值,
n

n ?1

n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 C n2 最大;当 n 是奇数时,中间两项 C n 2 , C n 2 相等,且为最大值; (3) C 0 ? C1 ? C 2 ? ? ? C n ? 2 n , C 0 ? C 2 ? C 4 ? ? ? C1 ? C3 ? C5 ? ? n n n n n n n n n n 5、概率 (1)概率是频率的近似值,两者是不同概念 (2)等可能事件中概率 P(A) ?

二、复习指导
1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数 公式,也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不 过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分 步。利用分类计数原理,重在分“类” ,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理, 重在分步;步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题,常先分类再分步。 2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式,排列数是研究排列(既取又排)个 数的公式,组合数是研究组合(只取不排)个数的公式,是否有序是它们之间的本质区别。 排列数公式: A m ? n (n ? 1)(n ? 2) ?[n ? (m ? 1)] ? n
n! ,当 m=n 时, (n ? m)!

m ,P(A)∈[0,1] n

(3)互斥事件 A,B 中有一个发生的概率:加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 特例: B ? A 时, P(A) ? P(A) ? 1 ,即对立事件的概率和为 1 (4)相互独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)=P(A)P(B) (5)事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=Cn P (1-P) ,其中 P 为事件 A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P] 展开的第 k+1 项
n k k n-k

三、典型例题
例 1、用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图) ,要求在①,②,③,④个区域中相 邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色。 (1)若 n=6,为甲着色时共有多少种不同方法? (2)若为乙着色时共有 120 种不同方法,求 n。 解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数, 再由乘法原理确定决的着色方法数。因此 (1)为①着色有 6 种方法,为②着色有 5 种方法,为③着色有 4 种方法,为④着色也只有 4
39

A m ? n(n ? 1) ?2 ? 1 ? n! ,其中 m,n∈N+,m≤n,规定 0!=1 n
组合数公式: C m ? n 组合数性质: C m n
Am n Am m n (n ? 1)(n ? 2) ?[n ? (m ? 1)] n! ? ? m! m!(n ? m)!

? C n ?m , n

Cm n

? C m?1 n

? C n ?1

m

,规定 C 0 n

? 1 ,其中 m,n∈N+,m≤n

3、处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路:直接法,间接法 (2)两种途径:元素分析法,位置分析法

种方法。 ∴ 共有着色方法 6×5×4×4=480 种 (2)与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是 n(n-1)(n-2)(n-3) 由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120 ∴ (n -3n)(n -3n+2)-120=0 即(n -3n) +2(n -3n)-12×10=0 ∴ n -3n-10=0 ∴ n=5 例 2、计算下列各题: (1)
2A 5 7 ? 6!?5! A6 6
98 97 3 (2) (C100 ? C100 ) ? A100 2 2 (3) C 2 ? C3 ? C 2 ? ? ? C10 2 4
2 2 2 2 2 2

例 4、四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 ( ) A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种

4 解:从 10 个点中任取 4 个点有 C10 种取法,其中 4 点共面的情况有三类。第一类,取出的

4 个点位于四面体的同一个面内, 4C 6 种; 有 4 第二类, 取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点, 这 4 点共面,有 6 种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相 对的两条棱) ,它的 4 个点共面,有 3 种。以上三种情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有
4 4 C10 ? 4C 6 ? 6 ? 3 ? 141(种)

例 5、求(4+2x+x )(2-x) 的展开式中 x 的系数。 解:(4+2x+x )(2-x) =(8-x )(x-2)
3 6 2 7 3 6 1 5 2 2 4 3 3 3 4 4 2

2

7

5

=(8-x )[(x -2C6 x +(-2) C6 x +(-2) C6 x +(-2) C6 x +?] ∴ 含 x 的项为-2×8×C6 ·x -(-2) C6 x =-336x ∴ x 的系数为-336 例 6、已知 ( x ?
1 A3 3 ? 1 6
1 2 x
4
5 5 1 5 4 4 5 5

7!?6! (7 ? 6 ? 6) ? 5! 36 ? ? 解: (1)原式= 6!?5! (6 ? 1) ? 5! 7
98 3 3 3 (2)原式= C101 ? A 101 ? C101 ? A 101 ?

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列。

(1)求展开式里所有的 x 的有理项; (2)求展开式里系数最大的项。 解: (1)∵ C 0 ? 1 , C1 ? n n 由题设可知 2 ?

2 2 2 2 (3)原式= (C3 ? C3 ) ? C 2 ? ?C10 ? (C3 ? C 2 ) ? C5 ? ? ? C10 3 4 4 4 2 2 2 3 = (C3 ? C5 ) ? C 6 ? ? ? C10 ? ? ? C11 ? 165 5

1 n 1 1 ? , C 2 ( ) 2 ? n(n ? 1) n 2 2 2 8

例 3、按以下要求分配 6 本不同的书,各有几种分法? (1)平均分给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (2)平均分成三份,每份 2 本; (3)甲、乙、丙三人一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (4)分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; (5)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另二人每人得 1 本; (6)分成三份,一份 4 本,另两份每份 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本(均只要求列式)
2 解: (1) C 6 ? C 2 ? C 2 ; 4 2
2 (2) C 6 ? C 2 ? 4

n 1 ? 1 ? n(n ? 1), n 2 ? 9n ? 8 ? 0 2 8

解得 n=8 或 n=1(舍去) 当 n=8
r 时,通项 Tr ?1 ? C8 (

x)

8? r

? (2 x )

4

?r

r ? C8

?2

?r

3 4? r ?x 4

据题意, 4 ?

3r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数,而 0≤r≤8 4

∴ r=0,4,8,故 x 的有理项为 T1 ? x 4 , T5 ?
2 (3) C1 ? C5 ? C3 ? A 3 6 3 3

1 35 x , T9 ? 8 256x 2
t t r ?1 ≥1 且 r ? 2 ≤1 t r ?1 tr

C2 2 A3 3
? A3 3

(3)设第 r+1 项的系数 tr+1 最大,显然 tr+1>0,故有

(4) C1 6

2 ? C5

? C3 3

(5)

4 C 6 ? C1 ? C1 2 1

A2 2

(6) C1 6

? C1 5

?

C4 4 A2 2



t t ?1 C r ? 2 ?r 9?r ? r ?8 ? r ?1 ? 1 tr 2r C8 ? 2

(7) C1 ? C1 ? C 4 6 5 4 评注:有关排列组合混合题常常是先组合再排列。
40



9?r ≥1 得 r≤3 2r

又∵

r t r ? 2 C 8?1 ? 2 ?( r ?1) 8?r ? ? r ?r t r ?1 2(r ? 1) C8 ? 2

解:记“甲译出密码”为事件 A, “甲译不出密码”这事件 A ;记“乙译出密码”为事件 B, “乙译不出密码”为事件 B ; “两人都译出密码”为事件 C, “两人都译不出密码”为事件 D; “恰 有 1 人译出密码”为事件 E; “至多 1 人译出密码”为事件 F。 (1) “恰有 1 人译出密码”是包括 2 种情况:一种是 A ? B ,另一种是 A ? B 。这两种情况不



8?r ≤1 得:r≥2 2( r ? 1)
5 7x 2

∴ r=2 或 r=3 所求项为 T3 ?

和 T4 ?
n

7 7x 4

能同时发生,是互斥的。

a ?1 例 7、设 a>1,n∈N,且 n≥2,求证: a ? 1 ? n
证明:设 a ? 1 ? x ,则(x+1) =a
n

1 1 1 1 5 ∴ P(E) ? P(A ? B) ? P( B ? B) ? P(A) ? P( B) ? P(A) ? P(B) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 3 4 3 4 12
(2) “至多 1 人译出密码”包括两种情况: 人都译不出密码”或“恰有 1 人译出密码” “2 , 即事件 D+E,且事件 D、E 是互斥的

n

欲证原不等式,即证 nx<(x+1) -1,其中 x>0 ∵ (x ? 1)
n

n

n

? C0 x n n
n

? C1 x n ?1 n

? ? ? C n ?1 x n

? 1 ? C n ?1 x n

?1

∴ P(F) ? P(D) ? P(E) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ?

1 5 11 ? ? 2 12 12

即(x+1) >nx+1,原不等式成立。 评注:由于(a+b) 的展开式共有 n+1 项,故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明 不等式的目的。 例 8、盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只, 试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品。 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 6 =36 种不同取法 (1)取到的 2 只都是次品情况为 2 =4 种,因而所求概率为
2 2

1 1 99 (3)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 (1 ? ) n ,根据题意得: 1 ? (1 ? ) n ? 4 4 100
解得:n=16 例 10、某数学家有两盒火柴,每盒都有 n 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从 中抽出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有 r 根(1≤r≤n)的概率。 解析:由题意知:数学家共用了 2n-r 根火柴,其中 n 根取自一盒火柴,n-r 根取自另一盒 火柴。 由于数学家取火柴时,每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根,故他用完的那一盒取出 火柴的概率是

1 1 ,他不从此盒中取出一根火柴的概率也是 。 2 2

4 1 ? 36 9

由于所取的 2n-r 根火柴,有 n 根取自用完的那一盒的概率为:

(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品; 及第一次取到次品,第二次取到正品。因而所求概率为 P ?

4? 2 2? 4 4 ? ? 36 36 9

1 1 1 C nn ?r ( ) n (1 ? ) n ?r ? C nn ?r ( ) 2n ?r 2 2 2 2 2

四、同步练习
(一)选择题 1、某一排共 12 个座位,现甲、乙、丙三人按如下要求入座,每人左右两旁都有空座位, 且三人的顺序是甲必须在另两人之间,则不同的座法共有 A、60 种 B、112 种 C、242 种 D、672 种

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件, 因而所求概率为 P ? 1 ?

1 8 ? 9 9

1 1 例 9、甲、乙两人独立地破译 1 个密码,他们能译出的密码的概率分别为 和 ,求: 4 3
(1)恰有 1 人译出的密码的概率; (2)至多 1 人译出的密码的概率;

2、某同学从 6 门课中选学 2 门,其中有 2 门课上课时间有冲突,另有 2 门不 允许同时选学,则该同学可选学的方法总数有 A、8 种 B、13 种 C、12 种 D、9 种

99 (3)若达到译出的密码的概率为 ,至少需要多少个乙这样的人。 100
41

3、如图,在某城市中,M、N 两地间有整齐的道路网,若规定只能向东或向

北两个方向沿图中的矩形的边前进,则从 M 到 N 不同的走法共有 A、13 种 B、15 种 C、25 种 D、10 种

A、

4 5

B、

3 4

C、

2 5

D、

1 2

4、将 n 个不同的小球放入 n 个不同的盒子里,恰好有一个空盒的放法种数是 A、 C1 C 2 A n ?1 n n n ?1
9

(二)填空题 15、 空间 12 个点, 其中 5 个点共面, 此外无任何 4 个点共面, 12 个点最多可决定_________ 这 个不同的平面。 16、(4+2x+x )(2-x) 展开式中 x 的系数为________。 17、 1 ?
2 7 5

B、 C1 C n ?1A1 ?1 n n n
2 8 9

C、 A n ?1 A1 ?1 n n

D、 C 2 A n ?1 n n ?1

5、若(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a8x +a9x ,则 a1+a2+?+a8 的值为 A、-1 B、-2
4

C、-512

D、510

6、 ( x ? 1) 4 (x ? 1) 5 展开式中,x 的系数为 A、-40
3

1 1 1 2 1 C n ? C n ? ? ? (?1) n C n =__________。 n 2 3 n ?1 1 1 ,乙能解决它的概率是 ,两 2 3

B、10

C、40

D、45

18、有 1 个数字难题,在半小时内,甲能解决它的概率是 人试图独立地在半小时内解决它,则:

7、 ( 2 ? 3)100 的展开式中无理项的个数是 A、84 8、 ( x ? A、第 3 项
1 2 x
4 8

B、85

C、86

D、87

(1)两人都未解决的概率为__________; (2)问题得到解决的概率为__________。 19、一次考试出了 10 个选择题,每道题有 4 个可供选择的答案,其中 1 个是正确的,3 个

) 的展开式中系数最大的项是

B、第 4 项

C、第 2 或第 3 项

D、第 3 或第 4 项

是错误的,某学生只知道 5 个题的正确答案,对其他 5 个题全靠猜回答,那么这个学生卷面上 正确答案不少于 7 个题的概率是________________。 (三)解答题

9、掷三颗骰子(各面上分别标以数字 1 到 6 的均匀正方体玩具) ,恰有一颗骰子出 1 点或 6 点的概率是

8 A、 27

19 B、 27

4 C、 9

5 D、 9

20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共 6 节课,如果第 1 节不 排体育,最后 1 节不排数学,那么共有多少种不同的排课表的方法。 21、有甲、乙、丙三位老师,分到 6 个班上课: (1)每人上 2 个班课,有多少种分法? (2)甲、乙都上 1 个班课,丙上 4 个班课,有多少种分法? (3)2 人各上 1 个班课,1 个人上 4 个班课,有多少种分法? 22、在 x(1-x) +x (1+2x) +x (1+3x) 的展开式中,含 x 的系数是 144,求 k 的值并求出含
k 2 8 3 12 4

10、 一工人看管三台机床, 在一小时内甲、 乙、 丙三台机床需要工人照看的概率分别是 0.9, 0.8 和 0.85,那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是 A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.027

11、在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概 率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 P 的取值范围是 A、[0.4,1] B、 (0,0.4] C、 (0,0.6] D、[0.6,1)
2

x 项的系数等于多少? 23、某气象站天气预报的准确率为 80%,求: (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率(结果保留 2 位有效数字) 。 24、有 6 个房间安排 4 个旅游者住,每人可以进住任一房间,且进住房间是等可能的,试 求下列事件的概率: (1)事件 A:指定的 4 个房间各有 1 人;

12、一批零件 10 个,其中有 8 个合格品,2 个次品,每次任取一个零件装配机器,若第一 次取得合格品的概率是 P1,第二次取得合格品的概率是 P2,则 A、P1>P2 B、P1=P2 C、P1<P2 D、P1=2P2

13、一个学生通过某种英语听力测试的概率是 1/2,他连续测试 n 次,要保证他至少有一次 通过的概率大于 0.9,那么 n 的最小值为 A、3 B、4 C、5 D、6

(2)事件 B:恰有 4 个房间中各有 1 人; (3)事件 C:指定的某个房间中有 2 人; (4)事件 D:第 1 号房间有 1 人,第 2 号房间有 3 人。 25、有甲、乙两批种子,发芽率分别为 0.8,0.7,从两批种子中各取 1 粒,求:
42

14、甲、乙两人投篮命中的概率分别为 p、q,他们各投两次,若 p=1/2,且甲比乙投中次 数多的概率恰好等于 7/36,则 q 的值为

(1)2 粒种子都能发芽的概率; (2)至少有 1 粒种子发芽的概率; (3)恰好有 1 粒种子发芽的概率。 26、如图构成系统的每个元件的可靠性为 r(0<r,r<1) ,且各个元件能否正常工作是相互 独立的,试求图中两种系统的可靠 性。

16、 a ? ? 5 , c ?

1 1 17.[-1, ] 4 2 t ( t ? 4) 18、 (1) S ? loga (t≥1) ( t ? 2) 2
(2)在[1,+∞)上是减函数 (3)t=1 时, S nax ? loga

5 9

19、 (1)a=1; (2)当 0<k≤2 时,1-k<x<1;当 k>2 时,-1<x<1 20、 0 ? a ?
2? 3 4

高三一轮复习讲座三 ----数列参考答案
高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑参考答案
(一)选择题 1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A (一)选择题 1、C 2、B 3、D 4、A 5、D 6、A 7、D 8、B 9、D 10、B

(二)填空题 11、
3n 2 ? 9 n 2

(二)填空题 11、φ 12、25,60 13、-1≤a≤1 14、若 a、b 均不为 0,则 ab≠0 15、7

12、75

13、充分且必要

14、216

15、2

(三)解答题 16、a≥1 或 a≤-1,提示:画图 17、3<m≤

(四)解答题 16、公比为 2,项数为 8 17、当 ? 1 ? q ? An=Bn
?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 时,An>Bn;当 q ? ,q≠1 时,An<Bn;当 q ? 时, 2 2 2

10 3

? p ? ?8 ?p ? ?20 ?p ? ?14 18、 ? ,或 ? ,或 ? ?q ? 16 ?q ? 10 ?q ? 40

高三一轮复习讲座二 ----函数参考答案
(一)选择题 1、 D 2、B 3、B 4、B 5、A 6、A

?? n 2 ? 9n 1? n ? 5 ? 18、 (1)an=-2m=10; (2) S n ? ? ; (3)m=7 ?n 2 ? 9n ? 40 n ? 6 ?

高三一轮复习讲座四 ----三角函数参考答案
(一)选择题 1、B 8、 (0,1) 9、[ ? 2 , 2 ] 10、f(b )≤f(c ) 15、1
x x

(二)填空题

2、B

3、B

4、B

5、A

6、C

7、C

8、C

9、D

10、B

1 7、 ? 2
12、189

11、13

(二)填空题 11、 k? ?

13、-1

14、 f ?1 (x) ? 2 x ? 1 (x>0)

? ,k∈Z 6

12、 3 (c ? 1)

13、-4

14、 2 ? 2

15、 (

k ? ,0) 3

(三)解答题

(三)解答题 16、 ?
43

7 ? 4

17、 a ?

3 2

=

|a |?|b| 2
1? 5 3? 5 或2?a ? 2 2

18、 (1)T=π (2)增区间[kπ -

? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12

16、 1 ? a ?

k? ? k 5 (3)对称中心( ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0) 2 12 2 6

?a ? 2 4 ? 17、 6 ,此时 ? 6 3 ?b ? ? 2 ?

18、 Q ?

2DS I

高三一轮复习讲座五 ----平面向量参考答案
(一)1、C (二)9、 ?
2 2

高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程参考答案
8、A (一)1、D 2、C 3、C 10、2 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D

2、B

3、D

4、B 11、 ?

5、D

6、B

7、A

5 10、 ? 6

9 2

(二)9、3x-2y+C=0 12、y=sinx+1

11、6,-5

12、x+y=3 或 x-2y=0

(三)13、 (11,6)

1 1 13、 (x ? ) 2 ? y 2 ? (x≠0) 2 4
(三)14、C(2,4) ,∠C=90 15、 (1) C n ?
0

63 14、 a =(-3,4) b =(5,-12) ? , , 65
15、λ <
11 ? 85 ? 11 ? 85 ,或λ > 且λ ≠1 6 6

?

?

2 n (n ? 1) 2

(2)

n 2 ( n ? 1) 2 4

(3)n

3

16、 (1)利用圆心到直线距离等于半径 (2)(x-1)(y-1)= (3) 2 2 ? 3 17、 (1)画图 3≤b≤5
5 5 , ) 2 2

高三一轮复习讲座六 ----不等式参考答案
(一)选择题 1、A 2、A 3、B 4、C 5、A 6、A 7、D 8、A

1 (x>1,y>1) 2

(二)填空题 9、 ( a ? b ) 2 (三)解答题 13、 2 14、当 a≤-1 时,x∈(-∞,a)∪(-1,2) 当-1<a<2 时,x∈(-∞,-1)∪(a,2) 当 a=2 时,x∈(-∞,-1) 当 a>2 时,x∈(-∞,-1)∪(2,a) 15、当|a|≤|b|时,不等式显然成立 当|a|>|b|时, 左=
| a ? b || a ? b | | a ? b || a ? b | ≥ ? | (a ? b)(a ? b) | |a ? b|?|a ? b|

10、

1 4

11、S<1

12、 (1,4)

(2)k∈( ? 18、

1 2

高三一轮复习讲座八 ----圆锥曲线方程参考答案
(一)选择题 1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D

(二)填空题 9、 10 ? 2 10
1 1 1 ? |a ? b| |a ? b|

10、 2 或 16

4

9

11、圆, (x ?

85 2 75 ) ? y2 ? ( )2 8 8

12、3,2



1 1 1 ? |a|?|b| |a|?|b|
44

1 13、 ( ,1) 2
(三)解答题

14、

y2 x 2 ? ?1 3 9
2

20、504 23、 (1)0.41 (2)0,4 24、 (1)

21、 (1)90 (2)0.74 (2)

(2)30

(3)90

22、4,-3

15、 (1)y =4x 16、 (1)8 17、 (1)
y2 t2 t ?1
2

(2)不存在
? x2 1 t ?1
2

1 54
n n

5 18
n

(3)

25 216

(4)

1 324

?1

25、 (1)0.56

(2)0.94

(3)0.38
n

26、 (1)r (2-r ) (2)r (2-r)

(2)比(1)可靠

(2)抛物线的部分弧, x 2 ? 18、 (1) ?

2 2 2 2 y (x ? ) , x2 ? ? y (x ? ? ) 2 2 2 2

p p ?a?? 2 4

(2) 2p 2

高三一轮复习讲座九 ----立体几何参考答案
(一)选择题 1、D 2、A 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B

11、B 12、D (二)填空题 13、2 14、5 或 73 15、 (

n?2 ?, ? ) n

16、偶数

(三)解答题 17、 (2)

1 2 5 2 a 8
(2)

18、 (1) d 2 ?

19、 (2)一边与α 平行或在α 内 20、

? ?? 2

3 2 a sin ? 4

高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率参考答案
(一)选择题 1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、C 10、C

11、A 12、B 13、B 14、C (二)填空题 15、211 16、-336 17、

1 n ?1

18、 (1)1/3 (2)2/3

19、0.3671875

(三)解答题
45


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