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全国新课标2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲概率课件文_图文

第二编 专题整合突破
专题七 概率与统计

第一讲 概率

主干知识整合

[必记公式] 1.古典概型的概率 特点:有限性,等可能性. m A中所含的基本事件数 P(A)= n = . 基本事件总数 2.几何概型的概率 特点:无限性,等可能性. 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

[重要性质及结论] 1.随机事件的概率范围: 0≤P(A)≤1 必然事件的概率为 1; 不可能事件的概率为 0.



如果事件 A 与事件 B 互斥, 则 P(A∪B)= P(A)+P(B) . 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,那么 P(A∪B)= P(A)+P(B) = 1 ,即 P(A)= 1-P(B) . 2.互斥事件概率公式的推广 P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)

[失分警示] 1.混淆互斥事件与对立事件,对立事件是互斥事件的 特殊情况,互斥事件不一定是对立事件. 2.不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语 的含义. 3.几何概型中,线段的端点、图形的边框等是否包含 在事件之内不影响所求结果. 4.在几何概型中,构成事件区域的是长度、面积,还 是体积判断不明确,不能正确区分几何概型与古典概型.

热点考向探究

考点 典例示法 典例 1

古典概型

(1)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出 )

的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是(

1 1 A.2 B.3 1 1 C.4 D.6 [解析] 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有以下六种情

况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足取出的 2 2 1 个数之差的绝对值为 2 的有(1,3), (2,4), 故所求概率是6=3.

(2)[2016· 南昌一模]现有甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参 加学校社团文学社与街舞社的活动, 每人参加且只能参加一 个社团的活动,且参加每个社团是等可能的. ①求文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率; ②求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的 概率.

[解] 甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学 社与街舞社的情况如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

文学社 甲乙丙丁 甲乙丙 甲乙丁 甲丙丁 乙丙丁 甲乙 甲丙 乙丙 甲丁 乙丁

街舞社 丁 丙 乙 甲 丙丁 乙丁 甲丁 乙丙 甲丙

11 丙丁 甲乙 12 甲 乙丙丁 13 乙 甲丙丁 14 丙 甲乙丁 15 丁 甲乙丙 16 甲乙丙丁 共有 16 种情形,即有 16 个基本事件. ①文学社或街舞社没有人参加的基本事件有 2 个,故 14 7 文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率为16=8.

②甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的 基本事件有 4 个, 4 1 则所求概率为16=4.

利用古典概型求概率的方法及注意点 (1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来, 再利用公式求解,列举时必须按照某一顺序做到不重复、不 遗漏. (2)事件 A 的概率的计算方法,关键要分清基本事件总 数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下三个 方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验 的基本事件有多少个;第三,事件 A 是什么,它包含的基本 事件有多少.

针对训练 1.[2014· 全国卷Ⅰ]将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在

2 书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为_______ . 3
解析 设 2 本不同的数学书为 a1、a2,1 本语文书为 b, 在书架上的排法有 a1a2b, a1ba2, a2a1b, a2ba1, ba1a2, ba2a1, 共 6 种, 其中 2 本数学书相邻的有 a1a2b, a2a1b, ba1a2, ba2a1, 4 2 共 4 种,因此 2 本数学书相邻的概率 P=6=3.

2.[2016· 郑州质检]为了整顿道路交通秩序,某地考虑 将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在 普通行人中随机选取了 200 人进行调查,当不处罚时,有 80 人会闯红灯,处罚时,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 5 50 10 40 15 20 20 10

若用表中数据所得频率代替概率. (1)当罚金定为 10 元时,行人闯红灯的概率会比不进行 处罚降低多少?

(2)将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类: A 类市 民在罚金不超过 10 元时就会改正行为; B 类是其他市民. 现 对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深 度问卷,则前两位均为 B 类市民的概率是多少?



(1)设“当罚金定为 10 元时, 闯红灯的市民改正行

为”为事件 A, 80-40 1 则 P(A)= 200 =5. ∴当罚金定为 10 元时,比不制定处罚,行人闯红灯的 1 概率会降低5.

(2)由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人,故分别 从 A 类市民和 B 类市民中各抽出 2 人,设从 A 类市民中抽 出的 2 人分别为 A1、A2,从 B 类市民中抽出的 2 人分别为 B1、B2.设“A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依 次进行深度问卷”为事件 M, 则事件 M 中首先抽出 A1 的事 件有:(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2, B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1, A2),共 6 种. 同理首先抽出 A2、B1、B2 的事件也各有 6 种.

故事件 M 共有 24 种. 设“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N,则 事件 N 有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1, A1,A2),(B2,B1,A2,A1). 4 1 ∴P(N)=24=6. 1 ∴抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是6.

考点 典例示法

几何概型

题型 1 与面积(或体积)有关的几何概型 典例 2 [2015· 福建高考]如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)
?x+1,x≥0, ? =? 1 ?- x+1,x<0 ? 2

的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一 )

点,则此点取自阴影部分的概率等于(

1 A.6 3 C.8

1 B.4 1 D.2

[解析] 依题意得,点 C 的坐标为(1,2),所以点 D 的 坐标为(-2,2), 所以矩形 ABCD 的面积 S 矩形 ABCD=3×2=6, 1 3 阴影部分的面积 S 阴影=2×3×1=2,根据几何概型的概率 3 S阴影 2 1 求解公式,得所求的概率 P= = = ,故选 B. S矩形ABCD 6 4

题型 2 与长度(角度)有关的几何概型 典例 3 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作 ) 2 C.3 4 D.5 一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积 小于 32 cm2 的概率为( 1 A.6 1 B.3

[解析] 设 AC=x(0<x<12),则 CB=12-x,则矩形面 积 S=x(12-x)=12x-x2<32, 即(x-8)(x-4)>0, 解得 0<x<4 或 8<x<12,在数轴上表示,如图所示.由几何概型概率公 8 2 式,得所求概率为12=3,故选 C.

几何概型的适用条件及求解关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、 体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)求解关键: 寻找构成试验的全部结果的区域和事件发 生的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区 域.

考点 典例示法

概率与统计的综合

题型 1 频率分布直方图与概率综合 典例 4 [2015· 全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品 的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根 据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分 的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度 评分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) [90,100] 10 6

(1)作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并 通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不 要求计算出具体值,给出结论即可); B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等 级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 说明理由. 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?

[解] (1)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看 出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意 度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散.

(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满 意 ”; CB 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满 意”. 由直方图得 P(CA) 的估计值为 (0.01 + 0.02 + 0.03)×10 =0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

题型 2 茎叶图与概率综合 典例 5 [2016· 开封模拟] 甲、乙两人参加数学竞赛 培训, 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随 机抽取 8 次,画出茎叶图如图所示,乙的成绩中有一个数的 个位数字模糊,在茎叶图中用 c 表示.(把频率当作概率)

(1)假设 c=5,现要从甲、乙两人中选派一人参加数学 竞赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适? (2)假设数字 c 的取值是随机的, 求乙的平均分高于甲的 平均分的概率. [解] (1)若 c=5,则派甲参加比较合适,理由如下:
1 x 甲=8(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5 +3)=85, 1 x 乙 = 8 (70×1 + 80×4 + 90×3 + 5 + 3 + 5 + 2 + 5) = 85 ,

1 s 甲= 8 [(78 - 85)2+ (79 - 85)2+ (81 - 85)2+ (82 - 85)2+
2

(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5, 1 s 乙= 8 [(75 - 85)2+ (80 - 85)2+ (80 - 85)2+ (83 - 85)2+
2

(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.
2 ∵ x 甲= x 乙,s2 < s 甲 乙,

∴ 两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲 参加比较合适.

1 (2) 若 x 乙 > x 甲 ,则 8 (75 + 80×4 + 90×3 + 3 + 5 + 2 + c)>85,∴c>5,∴c=6,7,8,9, 又 c 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 2 ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为5.

题型 3 独立性检验与概率综合 典例 6 [2016· 武汉调研]某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下: AQI 空气 质量 天数 (50,10 (100,15 (150,20 (200,30 [0,50] >300 0] 0] 0] 0] 优 6 良 14 轻度污 中度污 重度污 严重 染 18 染 27 染 20 污染 15

(1)已知某企业每天的经济损失 y(单位:元)与空气质量
?0,0≤x≤100 ? 指数 x 的关系式为 y=?4x-400,100<x≤300 ? ?2000,x>300

,若在本年

内随机抽取一天,试估计这一天的经济损失超过 400 元的概 率;

(2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为严重污染.根据提供的统计数据,完成下面的 2×2 列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该城市本年的空气 严重污染与供暖有关”? 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 非供暖季 总计 100

2 n ? ad - bc ? 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k0) k0

0.100 0.050 0.025 0.010

0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

[解] (1)记“在本年内随机抽取一天, 该天的经济损失 超过 400 元”为事件 A. 由 y>400,得 x>200. 由统计数据可知, 空气质量指数大于 200 的频数为 35, 35 7 所以 P(A)=100=20.

(2)根据题设中的数据得到如下 2×2 列联表: 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 总计 22 63 85 8 7 15 总计 30 70 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得
2 100 × ? 22 × 7 - 63 × 8 ? K2= ≈4.575. 30×70×85×15

因为 4.575>3.841, 所以有 95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染 与供暖有关”.

求解概率与统计综合题的两点注意 (1)明确频率与概率的关系,频率可近似替代概率. (2)此类问题中的概率模型多是古典概型, 在求解时, 要 明确基本事件的构成.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2016· 全国卷Ⅰ]为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中, 余下的 2 种花种 在另一个花坛中, 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) 1 A.3 2 C.3 1 B.2 5 D.6

解析 本题考查古典概型的求法.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,共有 6 种选法;红色和紫色的花不在 同一花坛的有 4 种选法,根据古典概型的概率公式,所求 4 2 的概率为6=3,故选 C.

2.[2015· 全国卷Ⅰ]如果 3 个正整数可作为一个直角三 角形三条边的边长, 则称这 3 个数为一组勾股数, 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数, 则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ( ) 3 A.10 1 C.10 1 B.5 1 D.20

解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个 不同的结果: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4),(2,3,5).(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5), 1 所以概率为10.

3.[2014· 全国卷Ⅱ]甲、乙两名运动员各自等可能地从 红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同

1 颜色运动服的概率为________ . 3

解析 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、 白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝 9 种,其中颜色相同的有 3 3 1 种,所以所求概率为9=3.

[其它省市高考题借鉴] 4.[2016· 天津高考]甲、乙两人下棋,两人下成和棋的 1 1 概率是2,甲获胜的概率是3,则甲不输的概率为( )

5 2 A.6 B.5 1 1 C.6 D.3 解析 本题考查概率, 考查考生的运算求解能力. 甲不

输有两人下成和棋和甲获胜两种情况, 由互斥事件的概率公 1 1 5 式可得甲不输的概率2+3=6,故选 A.

5.[2015· 湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数 x,y, 1 1 记 p1 为事件“x+y≤2”的概率,p2 为事件“xy≤2”的概 率,则( ) 1 B.p2<2<p1 1 D.p1<2<p2 1 A.p1<p2<2 1 C.2<p2<p1

解析 (x, y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部, 1 其中满足 x+y≤2的区域如图 1 中阴影部分所示,所以 p1 1 1 1 2×2×2 1 1 = =8,满足 xy≤2的区域如图 2 中阴影部分所示, 1×1 1 S1+S2 2+S2 1 1 所以 p2= = 1 >2,所以 p1<2<p2,故选 D. 1×1

6.[2015· 安徽高考]某企业为了解下属某部门对本企业 职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对 该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本 数据分组区间为:[40,50),[50,60),?,[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中, 随机抽取 2 人, 求此 2 人的评分都在[40,50)的概率. 解 (1) 因为 (0.004 + a + 0.018 + 0.022×2 + 0.028)×10
=1,所以 a=0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低 于 80 的频率为(0.022+0.018)×10=0.4, 所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计 值为 0.4.

(3) 受 访 职 工 中 评 分 在 [50,60) 的 有 50×0.006×10 = 3(人),记为,A1,A2,A3; 受访职工中评分在[40,50)的有 50×0.004×10=2(人), 记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果 共有 10 种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1, B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2}, {B1,B2},又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 1 种,即{B1,B2},故所求的概率为 P=10.