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湖北省黄冈中学2011届高三第一次八校联考数学(理)试题


2011 届高三第一次联考
数学试题(理科)
命题学校:荆州中学 命题人:荣培元 审题人:李祥知 考试时间:2010 年 12 月 30 日下午 15∶00 ~ 17∶00 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 5 0 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 ( 有一项是符合题目要求的)
1 . 已 知 集 合 A ? {0,1, 2, 3} , 集 合 B ? { x | x ? 2 a , a? A} 则 ( , B. C. A ? B ? B A? B? A ? ? ? ? 2 .命题 p : 若 a ?b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角. A.
A? B ? A


D.
A? B? A

命 题 q : 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 及 (0, ? ? ) 上 都 是 增 函 数 , f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上 定 则 是增函数. 下列说法正确的是(
A. “ p 或 q ” 是 真 命 题 C.
?


B. “ p 且 q ” 是 假 命 题 D.
?

p 为假命题
2

q 为假命题

3 . a ? ? 1 ” 是 “ 直 线 a x ? y ? 6 ? 0 与 直 线 4 x ? ( a ? 3 )y ? 9 ? 互 相 垂 直 ” 的 ( “ 0 A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 要 条 件 B. 必 要 不 充 分 条 件 D.既不充分也不必要条件



函 最 则 4 . 数 y ? sin x (3 sin x ? 4 cos x ) ( x ? R ) 的 最 大 值 为 M , 小 正 周 期 为 T , 有 序 数 对 ( M , T ) 为(
A.
(5, ? )


B.
(4, ? )

C.

( ? 1, 2 ? )

D.

( 4, 2 ? )
0

5 . 在 ? A B C 中 , 角 A、 B、 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a、 b、 c , 若 C ? 1 2 0 , ? c

2,则 b


A.


B ? 45
0

B.

A ? 45

0

C.
x 2
2 x

b?a

D.

b?a

6 . 定 义 在 区 间 ( 0 ,a 上 的 函 数 f ( x ) ? )
2 ln 2 ln 2 2

有反函数,则 a 最大为(
1 2



A.

B.

C.

D.

2

? ? ?? ? ? ?? 2 2 7 . 已 知 P ( x , y )是 圆 x ? ( y ? 3) ? 1 上 的 动 点 , 定 点 A (2, 0), B ( ? 2, 0) , 则 P A ? P B

的最大值为(



C. D . 12 0 ? 12 ? ? ? ? 1 ? ? ?? ??? ? ??? ? 2 ???? 8 . 如 图 , 在 ?ABC 中 , A N ? N C, P 是 B N 上 的 一 点 , 若 A P ? m A B ? AC ,则 实 数 m 3 11 A.
4

B.

的值为(
A. C.
3 11 9 11


B. D.
2

A

5 11 2 11

N P B
1 c ?1 ?

C
9 a?9

9 . 设 二 次 函 数 f ( x ) ? a x ? 4 x ? c ( x ? R ) 的 值 域 为 [0, ? ? ) , 则

的最大值为


A.
31 25


B.
38 33

C.

6 5

D.

31 26

10 . 有 下 列 数 组 排 成 一 排 :
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ), ( , , , , ), ? ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

如果把上述 数组中的括号都去掉会形成一个数列:
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , ,? ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

则 此 数 列 中 的 第 2011 项 是 (
A.
7 57


C.
5 59

B.

6 58

D.

4 60

二、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 2 5 分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 中 相 应 的 横 线 上 ) (
1 1 .已 知 点 A (0, b ), B 为 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 准 线 与 x 轴 的 交 点 .若 线 段 A B 的 中 点

C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为



?x ? y ? 5 ? 0 ? 12 .已 知 实 数 x , y 满 足 ? x ? y ? 0 , 则 z ? x ? 2 y的 最 小 值 是 ? x?3 ?



13 . 奇 函 数 f ( x ) 满 足 对 任 意 x ? R 都 有 f ( 2 ? x ) ? f ( 2? x )? , 且 f ( 1 )? 9 则 , 0
f (2010) ? f (2011) ? f (2012) 的 值 为

.

14 .已 知 等 比 数 列 { a n } 的 各 项 都 为 正 数 , 且 当 n ? 3 时 , a 4 ? a

2n ? 4

? 10

2n

,则数列 .

lg a 1 , 2 lg a 2 , 2 lg a 3 , 2 lg a 4 , ? , 2
2 3

n ?1

lg a n , ? 的 前 n 项 和 S n 等 于

15 . 对 于 连 续 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) , 函 数 f ( x )? g ( x ) 闭 区 间 [ a ,b ] 的 最 大 值 称 为 f ( x ) 与 在 上 ...

, g ( x) 在 闭 区 间 [a, b] 上 的 “ 绝 对 差 ” 记 为

a? x?b

?

( f ( x ), g ( x )). 则

1? x ? 4

?

(

1 x ?1

,

2 9

x ? x) ?
2

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 7 5 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
16 . (本小题满分 12 分)在 ? A B C 中,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c ,向量 ?? ? ?? ? 12 p ? (1 ? sin A , ), q ? (co s 2 A , 2 sin A ) ,且 p // q . 7

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 b ? 2, ? A B C 的面积为 3 ,求 a .
1 ? mx 1? x
2

1 7 .(本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ?
4

( x ? R ) 是偶函数.

(Ⅰ)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x ) 的单调区间(不要求证明) ; (Ⅱ) k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x ? k ) ? f ( 3 x ? 1 ) .

18 . (本小题满分 12 分) 在股票市场上, 投资者常参考

股价 (每一股的价格) 的某条平滑均线 (记作 M A )

的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的 M A 均线近期走 得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系 xo y ,则股价 y (元)和时间 x 的关系在 A B C 段可近似地用解析式 y ? a sin (? x ? ? ) ? b ( 0 ? ? ? ? )来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑 底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 3 4 对称.老张预计这 只股票未来的走势如图中虚线所示,这里 D E 段与 A B C 段关于直线 l 对称, E F 段是股价延续 D E 段的 趋势(规律)走到这波上升行情的最高点 F . 现在老张决定取点 A (0, 2 2 ) ,点 B (12, 19) 中的常数 a , b , ? , ? ,并且已经求得 ? ?
?
72

,点 D (44, 16) .

来确定解析式

(Ⅰ)请你帮老张算出 a , b , ? ,并回答股价什么时 候见顶(即求 F 点的横坐标). (Ⅱ)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5 000 股, 到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其它 费用,这次操作他能赚多少元?

19 . (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 1 的左、
2 2 2 2

右顶点分别为 A1、 A2 ,

动直线 l : y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 1 相切,且与双曲线左、右两支的交点分

别为 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) . (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求 x 2 ? x1 的最小值; (Ⅱ)记直线 P1 A1 的斜率为 k 1 ,直线 P2 A 2 的斜率为 k 2 ,那么, k 1 ? k 2 是定值吗?证明你的结论.

20 . (本小题满分 13 分)已知数列 { a n } 满足 a1 ? 7 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2

n ?1

? 8n . (n ? N )
*

(Ⅰ)李四同学欲求 { a n } 的通项公式,他想,如能找到一个函数 f ( n ) ? A ? 2

n ?1

?B ?n

? C ( A、 B、 C 是 常 数 ) ,把递推关系变成 a n ? 1 ? f ( n ? 1) ? 3[ a n ? f ( n )] 后,就容易求出 { a n } 的通项

了.请问:他设想的 f ( n ) 存在吗? { a n } 的通项公式是什么? (Ⅱ)记 S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ,若不等式 S n ? 2 n 2 ? p ? 3 n 对任意 n ? N * 都成立,求实数 p 的取 值范围.
1 2 1 2

2 1 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln (

?

a x ) ? x ? a x .( a 为常数, a ? 0 )
2

(Ⅰ)若 x ?

1 2

是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;
1

(Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ? ? ) 上是增函数;
2

(Ⅲ)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x 0 ? [ , 1] ,使不等式 f ( x 0 ) ? m (1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的取值 .. .. 2 范围.

1

又 co s A ? ? 1 ? sin A ? ?
2
2 2 2

4 5



? a ? b ? c ? 2 bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 cos A ? 29 ? 20 cos A ,

当 co s A ?

4 5

时, a ? 1 3, a ?
2

13 ;

10 分 12 分

当 co s A ? ?

4 5

时, a ? 45, a ? 3 5 .
2

1 7 .(Ⅰ)? f ( x ) 是偶函数, ? f ( ? x ) ? f ( x ) ,
? lo g 2 (1 ? x ) ?
4

1 ? mx 1? x
2

? lo g 2 (1 ? x ) ?
4

mx ? 1 1? x
2

, 2分

? m x ? 0 ,? m ? 0 .
? f ( x ) ? lo g 2 (1 ? x ) ?
4

1 1? x
2

, f ( x ) 的递增区间为 [0, ? ? ) ,递减区间为 ( ? ? , 0 ] . 4分

(Ⅱ)? f ( x ) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) , 不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3 x ? 1 ) ,由于 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上是增函数,
? x ? k ? 3 x ? 1 , ? x ? 2 kx ? k ? 9 x ? 6 x ? 1 ,
2 2 2

即 8 x ? (6 ? 2 k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,? ( x ?
2 2

k ?1 2

)( x ?

k ?1 4

)?0,

7分

18 . (Ⅰ)? C , D 关于直线 l 对称? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,
? ? 2 2 ? a sin ? ? b ? ? ? ?1 9 ? a sin ( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?1 6 ? a sin ( ? ? ) ? b 3 ?

① ② ③

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

② ? ①,得 ③ ? ①,得
?
6

a [sin ( a [sin (

?
6

? ? ) ? sin ? ] ? ? 3 , ? ? ) ? sin ? ] ? ? 6 ,

?
3

? 2 sin (

? ? ) ? 2 sin ? ? sin (

?
3

? ? ) ? sin ? ,? co s ? ?

3 s in ? ?

3 2

co s ? ?

3 2

sin ? ,

? (1 ?

3 2

) co s ? ? (

3 2

?

3 ) sin ? ?

3(

3 2

? 1) sin ? ,

? tan ? ? ?

3 3

,? 0 ? ? ? ?

?? ? ? ?

?
6

?

5? 6

, 代入②,得 b ? 1 9 , . 7分

再由①,得 a ? 6 ,

? a ? 6, b ? 1 9 , ? ?

5? 6

于是, A B C 段的解析式为 y ? 6 sin (

?
72

x?

5? 6

) ? 19 , (6 8 ? x ) ? 5? 6 ] ? 19 ,

由对称性得, D E F 段的解析式为 y ? 6 sin [
?

?
72

?
72

(6 8 ? x F ) ?

5? 6

?

?
2

, 解得 x F ? 9 2 ,

? 当 x ? 92 时,股价见顶.

10 分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 , y F ? 6 ? 19 ? 25 12 分

, 故 这 次 操 作 老 张 能 赚 5000 ? (25 ? 16) ? 45 000 元 .

由于 x1 ? x 2 ?

2mk 1? k
2

? x 2 ? x1 ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

2 2 1? k
2

?

2 2 1? k
2



?0 ? k ?1
2

? 当 k ? 0 时, x 2 ? x1 取最 小值 2 2 .
2

6分

(Ⅱ)由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 ( ? 1, 0 ), (1, 0 ) ,
? k1 ? y1 x1 ? 1 , k2 ? y2 x2 ? 1

, ? k1 ? k 2 ?

y1 y 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2mk

?

( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

?

k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m
2

2

k ?
2

m ?1
2

x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? 1

?

k ?1
2 2 2

? mk ? ?

k ?1
2

?m

2

m ?1 k ?1

2 2 k ?1
2
2

?1

?

m k ? k ? 2m k ? m k ? m
2 2 2 2 2 2 2

2

m ?1? 2 2 ? k ?1
2 2

?

k ?m
2 2 2

m ?k ?2?2 2
?1 3?2 2



由 ①,得

m ? k ? 1,
2 2

? k1 ? k 2 ?

? ? (3 ? 2 2 ) 为定值.

12 分

2 0 . (Ⅰ)? a n ? 1 ? f ( n ? 1) ? 3[ a n ? f ( n )]

? a n ? 1 ? 3 a n ? f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ,

所以只需 f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? 2
? f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? ? A ? 2
n ?1

n ?1

? 8n ,

? 2 B n ? ( B ? 2 C ) ,? ? A ? 1, ? 2 B ? ? 8, B ? 2 C ? 0 ,

b

n ?1

? bn ? 1 ?

2

n ?1

? 4 ( n ? 1) 3
n ?1

?1?

2 ? 4n
n

3
n?2 1

n

?

2 ? 8n ? 4
n

3
2

n ?1

?

2 ? 4 ( 2 n ? 1)
n

3
n?3 n?2

n ?1

,

当 n ? 6 时, 2

n?2

? (1 ? 1)

? 1 ? C n?2 ? C n?2 ? ? ? C n?2 ? C n?2

? 2 (1 ? n ? 2 ) ?

( n ? 2 )( n ? 3) 2

? 2 n ? 2 ? 2 ( n ? 3) ? 4 n ? 8 ? 2 n ? 1 ,(用数学归纳法证也行) 689 729

? n ? 6 时, b n ? 1 ? b n .

容易验证 , 1 ? n ? 5 时, b n | ? 1 ? b n ,? p ? ( b n ) m in ? b 6 ? 13 分

,

? p 的取值范

围为 ( ? ? ,

689 729

).

1

a 1 2
1

2ax( x ? ? 2x ? a ? ax
2

a ?2
2

)

2 1 . f ?( x ) ?

2 1 2 ?

2a 1 ? ax

.

(Ⅰ)由已知,得 f ? ( ) ? 0 且
2

a ?2 2a

? 0 ,? a ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 .
2

2分 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?
a ?2
2

?

1 2

?

a ?a?2
2

?

( a ? 2 )( a ? 1) 2a

? 0 ,?

1 2

?

a ?2
2

,

2a

2a

2a

? 当x?

1 2

时, x ?

a ?2
2

? 0 .又

2ax 1 ? ax

? 0 , ? f ?( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在 [

1 2

, ? ? ) 上是增函数.

2a

5分



1 2m

?1 ? 1 , 可知 g ( a ) 在区间 (1, m in {2, 1 2m

1 2m

? 1} ) 上递减, 在此区间上, g ( a ) ? g (1) ? 0 , g ( a 0 有 与 ) ?

恒成立矛盾,故

? 1 ? 1 ,这时, g ? ( a ) ? 0 , g ( a ) 在 (1, 2) 上递增,恒有 g ( a ) ? g (1) ? 0 ,满足题设要

?m ? 0 1 ? 求,? ? 1 ,即 m ? , 4 ?1 ? 1 ? ? 2m

所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ? ) .
4

1

14 分


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