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江苏省苏州大学2016届高考考前指导卷数学试卷1 Word版含答案


苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {1, a} , B ? {1,3, 4} ,且 A ? B ? {1,3} ,则实数 a 的值为 ▲ 2.i 是虚数单位,复数 z 满足 .

z ? 3i ? i ,则 | z | = ▲ . 4i

3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 200, 右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在 区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品, 其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ . 4.某学校高三有 A,B 两个自习教室,甲、乙、丙三名同学随机选择其中一 个教室自习,则他们在同一自习教室上自习的概率为 ▲ . 5. 执行如图所示的流程图, 会输出一列数, 则这列数中的第 3 个数是 ▲ .

x2 y 2 6.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y a b
=2x+10,且它的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为 ▲ . 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2S3-3S2=12,则数列{an}的公差是 ▲ 8.已知一个圆锥的底面积为 2 ? ,侧面积为 4 ? ,则该圆锥的体积为 ▲ . 9.已知直线 x ? y ? b 错误!未找到引用源。是函数 y ? ax ? .

2 的图象在错误!未找到引用 x

源。点 P(1, m) 处的切线,则 a ? b ? m ? 错误!未找到引用源。 ▲ . π 3 5π π 10.若 cos(6-θ)= 3 ,则 cos( 6 +θ)-sin2(θ-6)= ▲ . 11.在等腰直角△ABC 中,?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 错误!未找到引用源。 ,M,N 为 AC ? ?? ? ? MN ? 2 , MB N ? 边上的两个动点, 且满足 错误! 未找到引用源。 则B 的取值范围为 ▲ . 12.已知圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线 l: 3x ? 4 y ? 17 ? 0 .若在直线 l 上任取一点 M 作圆 C 的切线 MA, MB, 切点分别为 A, B, 则 AB 的长度取最小值时直线 AB 的方程为 ▲ .

?e x , x ≤1, g ( x ) ? kx ? 1 ,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个不同的实根, 13.已知函数 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), x ? 1,
则实数 k 的取值范围是 ▲
2



14.已知不等式 (ax ? 3)( x ? b) ≤0 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,其中 a , b 是整数,则 a ? b 的 取值的集合为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必 ........ 要的文字说明、证明过程或演算步骤.
1

15. (本小题满分 14 分)

? 已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ?? A ? 0,0 ? ? ? ?? 的最小值是-2,其图象经过点 M ( ,1) . 3 (1)求 f ( x) 的解析式; ? 8 24 (2)已知 ? , ? ? (0, ) ,且 f (? ) ? , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 2 5 13

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,侧面
PBC 是直角三角形, ?PCB ? 90? ,点 E 是 PC 的中点,且平面 PBC ? 平面 ABCD .证明:

A

D

(1) AP // 平面 BED ; (2)平面 APC ? 平面 BED .

B E P

C

17. (本小题满分 14 分) 如图,OM,ON 是两条海岸线,Q 为海中一个小岛,A 为海岸线 OM 上的一个码头.已 6 10 知 tan ?MON ? ?3 , OA ? 6 km ,Q 到海岸线 OM,ON 的距离分别为 3 km, km.现 5 要在海岸线 ON 上再建一个码头,使得在水上旅游直线 AB 经过小岛 Q.
2

(1)求水上旅游线 AB 的长; (2)若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P,从水波生成 t h 时 的半径为 r ? 3 at (a 为大于零的常数) .强水波开始生成时,一游轮以 18 2 km/h 的速度 自码头 A 开往码头 B,问实数 a 在什么范围取值时,强水波不会波及游轮的航行.
N B P

Q O A M

18. (本小题满分 16 分) 椭圆 M: 圆 M 上. (1)求椭圆 M 的方程; (2)如图,椭圆 M 的上、下顶点分别为 A,B, 过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C,D.
C Q O D B x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,点 P(0, 2) 关于直线 y ? ?x 的对称点在椭 a 2 b2
y P A

???? ???? ①求 OC ? OD 的取值范围;
②当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵 坐标是否是定值?若是,求出该定值;若不是,说明 理由.

19. (本小题满分 16 分) 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,其中 n ? N * . (1)若 a1 ? b1 ? 2 , a3 ? b3 ? 9 , a5 ? b5 ,试分别求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 A ? ?k ak ? bk , k ? N *? ,当数列 ?bn ? 的公比 q ? ?1 时,求集合 A 的元素个数的最
3

大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x ?

? ?

2 x

? b ? ,其中 a, b ? R, e ? 2.71828 是自然对数的底数.

? ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 的切线方程为 y ? e( x ? 1) ,求实数 a , b 的值; (2)①若 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值,求实数 b 的取值范围; ②若 a ? 2 ,b ? ?2 ,若 f ( x) ? kx 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的最大值(用

b 表示).

苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)参考答案
1. 3. 2.5 . 3. 50. 4. .

1 4

5. 30.

x2 y2 ? 1. 6. ? 5 20

7. 4.

2 6 ?. 8. 3

9. 2.

? 10.

2? 3 . 3

11. [ , 2] .

3 2

6 x ? 8 y ? 19 ? 0 . 13. 12. (

e ?1 ) ? (1,e ? 1] . 2

{?2,8} . 14.

4

解答与提示 1.由 A ? B ? {1,3} 可知 1 ? A 且 3 ? A ,有 a ? 3 . 2.由题意得 z ? 4i 2 ? 3i ? ?4 ? 3i ,那么

| z |? 5 .

P? 3. 三等品总数 n ? [1 ? (0,05 ? 0.0375 ? 0.0625) ? 5] ? 200 ? 50 . 4.

2 2? 2? 2

?

2 8

?

1 . 4

5. A ? 3 , N ? 1,输出 3; A ? 6 , N ? 2 ,输出 6; A ? 30 , N ? 3 ,输出 30;则这列 数中的第 3 个数是 30. 6.由双曲线的渐近线方程 y ? ? 那 么 a? 5 , 双 曲 线 方 程 为

b a

x 可知 b ? 2a ;又由题意 c ? 5 ,

x2 5

?

y2 20

?1 .

7 . 方 法

1 : 2 S3 -

3S2= 2(3a1 ? 3d ) ? 3(2a1 ? d ) ? 3d ? 12 ,则 d ? 4 . 方法 2 :因为

Sn n ?1 ? a1 ? d ,则 n 2

S3 S 2 d ? ? 2 ? ,得到 d ? 4 . 8.设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 ?r 2 ? 2 ,? r l? 4 , 2 3 2
1 1 2 6 ?. 解得 r ? 2, l ? 2 2 , 故高 h ? 6 , 所以 V ? ?r 2 h ? ? ? ? ? 6 ? 9. 由于 P 错误! 3 3 3
未找到引用源。点在函数 y ? ax ? 由函数 y ? ax ?

2 图象和直线 x ? y ? b 上,则 m ? a ? 2 , m ? 1 ? b . 又 x

2 2 的导函数 y ' ? a ? 2 可知,切线的斜率 k ? ?1 ? a ? 2 ,有 x x
π 3

a ? 1 , m ? 3 和 b ? 4 ,则 a ? b ? m ? 2 . 10.设 t=6-θ,有 cos t= 3 . 那么
5π π 2+ 3 cos( 6 +θ)-sin2(θ-6)=cos(π?t)? sin2 t=? 3 . 11.方法 1:建立直角坐标 系 , 设 B(0,0) , A(2, 0) , C (0, 2) , 则 利 用 MN ? 2 可 设 N ( x0 , 2 ? x0 ) ,
???? ? ???? ? 3 ? ???? ? ???? ?3 ? M ( x0 ? 1,3 ? x0 ) ,其中 x0 ? [1, 2] ,那么 BM ? BN ? 2( x02 ? 3x0 ? 3) ? ? , 2? ,则 BM ? BN ? ? , 2? . ?2 ? ?2 ?





2


2



MN
2







D





???? ? ???? ???? ? ???? BM ? BN BM ? BN ?

?

? ? ? BM ? BN ?
4

???? ? ????

??? ? 2 ???? ?2 ??? ?2 1 4 BD ? MN ? ? BD ? ;由图形得到 4 2

??? ? ? ???? ? ???? ? 3 ? 10 ? BD ? ? 2, ? ,那么 BM ? BN ? ? , 2? . 12.当 AB 的长 2 ? ?2 ? ?
度 最 小 时 , 圆 心 角 ?A C B最 小 , 设 为 2 ? , 则 由

cos ? ?

AC CM

?

1 CM

可知当 ? 最小时, cos ? 最大,

5

CM ? l , 即 CM 最小, 那么, 可知 k AB ? kl ? ?

4 , 设直线 AB 的方程为 3x ? 4 y ? m . 3
1 ,即 2
A O



由 CM ? 2 可 知 , 点 C 到 直 线 AB 的 距 离 为

19 9 19 1 3? 4? m ? ,解得 m ? 或 ;经检验 m ? ,则 2 2 2 2 5
直线 AB 的方程为 6 x ? 8 y ? 19 ? 0 . 13. 画出函数 f ( x ) 的大致图象如下:则考虑临界情况,可知当函数

D

g ( x) ? kx ? 1 的 图 象 过 A(1, e ), B(2, e) 时 直 线 斜 率

B E P

C

k1 ? e ? 1,k2 ?

e ?1 , 并且当 k ? 1 时, 直线 y ? x ? 1 与 2

x 曲线 y ? e 相切于点 (0,1) ,则得到当函数 f ( x ) 与 g ( x) 图象有两个交点时,实数 k 的取值

范围是 (

e ?1 ,1) ? (1, e ? 1] . 14. 首先, 当 b ? 0 时, 由 (ax ? 3)( x2 ? b) ≤0 得到 ax ? 3 ? 0 在 2

x ? (0, ??) 上恒成立,则 a ? 0 ,且 a ? 0 ? 3 ? 0 ,得到矛盾,故 b ? 0 . 当 b ? 0 时,由

(ax ? 3)(x2 ? b )≤ 0可设 f ( x) ? ax ? 3 , g ( x) ? x2 ? b ,又 g ( x) 的大致图象如下,那么由

?a ? 0, ?a ? ?1, ?a ? ?3, ? 题意可知: ? 3 再 由 a, b 是 整 数 得 到 ? 或? 因此 a ?b =8 或 b ? 9 b ? 1, ? ? b , ? ? ? ? a
? 12.15. (1)因为 f ( x) 的最小值是-2,所以 A=2.又由 f ( x) 的图象经过点 M ( ,1) , 3 ? ? 1 ? ? ? ?? 可得 f ( ) ? 1 , sin( ? ? ) ? ,所以 ? ? ? 2k ? ? 或 ? ? ? 2k ? ? ,又 0 ? ? ? ? ,所 3 3 2 3 6 3 6
以? ?

? , 故 f (x) ? 2s i n ( 2

x )?

? 8 2c o s x . 2c o s x , , 即 f (x) ? (2 ) 由 (1) 知 f (x) ? 又 f (? ) ? , 2 5

f (? ) ?


24 8 24 4 12 ? ,故 2cos? ? ,2cos ? ? ,即 cos? ? , cos? ? ,又因为 ? , ? ? (0, ) ,所 13 5 13 5 13 2 3 5 sin ? ? ,sin ? ? 5 13
, 所 以

f (? ?

?) ?

2

? ? ?2

4 c 5

? ?( ? o . 16 . ( 1 ) s? ?

1 1

2 3

? )

(

设 AC ? BD ? O , ABCD 是平行四边形,故 O 为 BD 中点.连结 OE , 因为点 E 是 PC 的中 点,所以 AP //OE . OE ? 平面 BED , AP ? 平面 BED , 所以 AP // 平面 BED . (2) 因为平面
PBC ? 平 面 A B C D, ?PCB ? 90? , 故 PC ? 平 面 A B C D. 又 BD ? 平 面 A B C D, 所 以 PC? BD . 而底面 ABCD 是菱形, 故 AC ? BD ,又 AC ? PC ? C , 所以 BD ? 平面 APC . BD ?

平面 BED ,所以平面 APC ? 平面 BED .
6

17. (1)以点 O 为坐标原点,直线 OM 为 x 轴,建立直角坐标系如图所示.则由题设得:

A ? 6,0? ,直线 ON 的方程为 y ? ?3x, Q ? x0 ,3?? x0 ? 0? .


3x0 ? 3 10

?

6 10 ,及 x0 ? 0 得 x0 ? 3 ,∴ 5
N B

y

Q ? 3,3? .∴直线 AQ 的方程为 y ? ? ? x ? 6? ,即
? y ? ?3x, ? x ? ?3, 得? 即 x? y ?6 ? 0, 由? ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

.
C O

.P . .Q

B ? ?3,9? ,∴ AB ?

? ?3 ? 6?

2

? 92 ? 9 2 ,即水上

旅游线 AB 的长为 9 2km . (2)设试验产生的强水波 圆 P ,由题意可得 P(3,9) ,生成 t 小时时,游轮在线 段 AB 上的点 C 处,则 AC ? 18 2t , 0 ≤ t ≤ 的航行即 PC ? r 对t ? 0,
2 2

. A

xM

1 ,∴ C ? 6 ?18t,18t ? .强水波不会波及游轮 2

? 1? 恒成立. PC 2 ? (18t ? 3)2 ? (18t ? 9)2 ? r 2 ? 9at ,当 t ? 0 ? ? ? 2? ? 1?
10

a ? 72t ? ? 48 . 时 , 上式恒成立, 当 t ? 0时,即t ? ? 0, ? 时, t ? 2?

令g (t ) ? 72t ? t?

10 10 ? 1? ? 48, t ? ? 0, ? , g (t ) ? 72t ? ? 48 ? 24 5 ? 48 ,当且仅当 t t ? 2?

5 1 ? (0, ] 时等号成立,所以,在 0 ? a ? 10 时 r ? PC 恒成立,亦即强水波不会波及 6 2

游轮的航行.18. (1)因为点 P(0, 2) 关于直线 y ? ?x 的对称点为 (?2,0) ,且 (?2,0) 在椭圆 M 上,所以 a ? 2 .又 2c ? 2 3 ,故 c ? 3 ,则 b2 ? a 2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 .所以椭圆 M 的方程为

???? ???? x2 (2)①当直线 l 的斜率不存在时, C (0,1), D(0, ?1) ,所以 OC ? OD =-1.当 ? y2 ? 1 . 4
? y ? kx ? 2, ? 直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , ? x 2 消去 y 2 ? ? y ? 1, ?4

整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 由? ? 0, 可得 4k 2 ? 3 , 且 x1 ? x 2 ?? 所以 OC ? OD ? x1x2 ? y1 y2

16k 12 , , 1x 2 x ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

??? ? ????

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?1 ?

???? ???? 13 17 ? 1 ? OC ? OD ? ,综上 ,所以 1 ? 4k 2 4

7

???? ???? 13 y ?1 y ?1 OC ? OD ? [?1, ) .②由题意得,AD: y ? 2 x ? 1 ,BC: y ? 1 x ? 1 ,联立方程组, x2 x1 4
消去 x 得 y ? 值
2kx1 x2 ? x1 ? 3 x2 1 ,又 4kx1 x2 ? ?3( x1 ? x2 ) ,解得 y ? ? ,故点 Q 的纵坐标为定 3x2 ? x1 2

1 . 19. (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0 ? ,数列 ?bn ? 的公差为 q ? q ? 0,1? ,则 2

15 ? ?2 ? 2d ? 2q 2 ? 9, 15 11 n ?d ? , n 解得 (2)不妨设 2 ∴ an ? n ? , bn ? 2 或 ? ? ?2? . ? ? 4 2 2 ? 2 ? 4d ? 2q , ? ? q ? ?2,
an ? a ? bn ?b ? 0? , bn ? pqn ? pq ? 0, q ? 1? ,则 a ? bn ? pqn ,即
s? a b ? n ? qn , p p



a b , t ? ? t ? 0 ? ,问题转化为求关于 n 的方程 q n ? tn ? s ? 0 (*)最多有多少个解.① 当 p p
n

t ? 0 时,因为 q ? ?1 ,若 n 为奇数,则方程为 q ? tn ? s ? 0 ,左边关于 n 单调递增,方程

(*)最多有 1 个解;若 n 为偶数,则方程为 q ? tn ? s ? 0 ,令 f ( x) ? q ? tx ? s ,则
f ?( x) ? q ln q ? t ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x0 ? log q
x

n

x

t ,由于 q ? 1 ,∴函数 f ?( x) 单调递增, ln q

∴当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,∴方程 (*)在 ? ??, x0 ? 和 ? x0 , ?? ? 上最多各有 1 个解. 综上:当 n ? N* 时,方程(*)最多有 3 个解. ② 当 t ? 0 时, 同理可知方程 (*) 最多有 3 个解. 事实上, 设 an ? 6n ? 8, bn ? (?2)n 时, 有 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a4 ? b4 , 所以 A 的元素个数最大值为 3. 20. (1) 由题意知曲线 y ? f ( x) 过

'1 ) ? e ;又因为 f '( x) ? e x ? a ln x ? 点(1,0),且 f (
解得 a ? 3, b ? ?2 .

? ?

2 x2

?

a?2 x

? b ? ,则有 ?

? ?

? f (1) ? e(2 ? b) ? 0, ? f '(1) ? e(a ? b) ? e,

(2) ①当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的导函数

f '( x) ? e x ? ?2 ln x ?

? ?

2 x
2

? b ? ? 0 ,若 f '( x) ? 0 时,得 b ? 2 ln x ?

? ?

2 ,设 x2

g ( x) ? 2 ln x ?

2 4 2 x2 ? 4 2 ? 0 ,得 x ? 2 , g '( x ) ? ? ? . 由 ( x ? 0) x2 x x3 x3
当0 ? x ?

g ( 2) ? 1 ? ln 2 .

2 时,g '( x) ? 0 , 函数 y ? g ( x) 在区间 (0, 2) 上为减函数,

g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ; 当 x ? 2 时,g '( x ) ? 0 , 函数 y ? g ( x) 在区间 ( 2, ??) 上为增函数, g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;所以,当且仅当 b ? 1 ? ln 2 时,b ? g ( x) 有两个不同的解,设为 x1 ,

x2 ( x1 ? x2 ) .
x

f '( x)

(0,x1) ?

x1 0
8

(x1,x2) ??

x2 0

(x2,+∞) ?

↘ 极大值 此时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值. ②由题意 e x ? a ln x ?

f ( x)



极小值



? ?

2 x

? b ? ? kx 对一切正实数 x 恒成立,取 x ? 1 得 k ? (2 ? b)e . 下证

? ?

e x ? a ln x ?

? ?

2 x

? b? ? (2 ? b ) e x 对 一 切 正 实 数 x 恒 成 立 . 首 先 , 证 明 e x ≥ex . 设 函 数

? ?

x x , 当 x ? 1 时 , u ' (x )? 0; 当 x ? 1 时 , u ' (x )? 0; 得 u( x) ? e ? e x, 则 u '(x )? e ? e

e x ? ex≥u (1) ? , 0 即 e x ≥ex , 当 且 仅 当 都 在 x ? 1 处取 到 等 号 .
v( x) ? ln x ? 1 x ? 1 , 则 v '(x ) ?
1 x

再证 ln x ?

1 x

≥ 1. 设

x ?1 x2

, 当 x ? 1 时 , v '(x ) ? 0; 当 x ? 1 时 , v '(x ) ? 0; 得

v( x)≥ v(1)? 0, 即 l nx ?

≥ 1 , 当 且 仅 当 都 在 x ?1 处 取 到 等 号 . 由 上 可 得

e x ? a ln x ?

? ?

2 x

所以 ? ? b ? ? (2 ? b) e x ,

? ?

? f ( x) ? 即实数 k 的最大值为 (2 ? b)e . ? ? (2 ? b)e , ? x ?min

9


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苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1) ? 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 ....
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苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1) 、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 .....
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