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江苏省盐城市东台市第一教研片2015-2016学年八年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 新人教版


江苏省盐城市东台市第一教研片 2015-2016 学年八年级数学下学期 第一次月考试题
一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填写在相应的位置) 1.下列图形中,中心对称图形有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.若分式

有意义,则 x 的取值范围是(



A.x≠1 B.x>1 C.x=1 D.x<1 3.下列性质中,正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.四条边相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 4.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC,若 AC=4,则四边形 CODE 的周长( )

A.4 B.6 C.8 D.10 5.如图,ABCD 是正方形,G 是 BC 上(除端点外)的任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF∥DE,交 AG 于点 F.下列结论不一定成立的是( )

A.△AED≌△BFA B.DE﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE D.DE﹣BG=FG 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,则 OA 的取 值范围是( )

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A.1cm<OA<4cm B.2cm<OA<8cm C.2cm<OA<5cm D.3cm<OA<8cm 7.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当 AB=BC 时,它是菱形 B.当 AC=BD 时,它是正方形 C.当 AC⊥BD 时,它是菱形 D.当∠ABC=90°时,它是矩形 8.如图,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,AE、BF 相交于点 O,下 列结论: (1)AE=BF; (2)AE⊥BF; (3)AO=OE; (4)S△AOB=S 四边形 DEOF 中正确的有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请将答案 直接写在横线上)

9.如果若分式

的值为 0,则实数 a 的值为



10.已知平行四边形 ABCD 中,∠B=5∠A,则∠D= . 11.四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,给出下列四个条件: ①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD 从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有 种. 12.如图,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A′B′C′D′的位置,旋转角为 a (0° <a<90°) .若∠1=110°,则 a= .

13.如图所示,直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A,分别过顶点 B、D 作 DE⊥a 于点 E、BF⊥a 于点 F,若 DE=4,BF=3,则 EF 的长为 .

14. 如图, 平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O, 且 AB≠AD, 过 O 作 OE⊥BD 交 BC 于点 E. 若

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△CDE 的周长为 8cm,则平行四边形 ABCD 的周长为



15.如图,菱形 ABCD 的一条对角线 BD 上一点 O,到菱形一边 AB 的距离为 2,那么点 O 到另 外一边 BC 的距离为 .

16.在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,M 为 EF 中点,则 AM 的最小值为 .

17.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AD=BC=5,DC=7,AB=11,点 P 从点 A 出发,以 3 个 单位/s 的速度沿 AD→DC 向终点 C 运动,同时点 Q 从点 B 出发,以 1 个单位/s 的速度沿 BA 向终点 A 运动,在运动期间,当四边形 PQBC 为平行四边形时,运动时间为 秒.

18.如图,P 是矩形 ABCD 的边 AD 上一个动点,矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8,那 么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 .

三、作图题 19.如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的两格中,点 A、B、C 都是格点. (1)将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到得到△A1B1C1; (2)作△ABC 关于点 O 成中心对称的△A2B2C2.

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四、解答题(本大题共有 8 小题,共 52 分,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 20.如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形 ABCD 是平行 四边形,并予以证明. (写出一种即可) 关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形 ABCD 中, , ; 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

21.已知:如图,在?ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、AD 上,且 BE=DF 求证:AC、EF 互相平分.

22.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,DE、DF 是△ABC 的中位线,连接 EF、AD.求证: EF=AD.

23.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,DH⊥AB 于 H, 连接 OH,求证:∠DHO=∠DCO.

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24.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE. 求证:四边形 BCDE 是矩形.

25. 如图, 把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠, 使点 B 落在边 AD 上的点 B′处, 点 A 落在点 A′处, 已知 AD=10,CD=4,B′D=2. (1)求证:B′E=BF; (2)求 AE 的长.

26.已知,如图,O 为坐标原点,四边形 OABC 为矩形,A(10,0) ,C(0,4) ,点 D 是 OA 的中点,点 P 在边 BC 上以每秒 1 个单位长的速度由点 C 向点 B 运动. (1)当 t 为何值时,四边形 PODB 是平行四边形? (2)在线段 PB 上是否存在一点 Q,使得 ODQP 为菱形?若存在,求 t 的值;若不存在,请 说明理由; (3)△OPD 为等腰三角形时,写出点 P 的坐标(不必写过程) .

27.我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则 称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名 称 , ; (2)如图 1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) ,请你直接写 出所有以格点为顶点, OA、 OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形 OAMB 的顶点 M 的坐标. (3) 如图 2, 将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°, 得到 ADBE, 连接 AD、 DC, ∠DCB=30°. 求 证:DC+BC=AC,即四边形 ABCD 是勾股四边形. (4)如图,将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转(0°<a<90°) ,得到 ADBE,连接 AD、 DC,则△DCB= °,四边形 ABCD 是勾股四边形.

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2015-2016 学年江苏省盐城市东台市第一教研片八年级(下)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填写在相应的位置) 1.下列图形中,中心对称图形有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】中心对称图形. 【分析】根据中心对称图形的概念求解. 【解答】解:第一个图形是中心对称图形; 第二个图形是中心对称图形; 第三个图形是中心对称图形; 第四个图形不是中心对称图形. 故共 3 个中心对称图形. 故选 C.

2.若分式

有意义,则 x 的取值范围是(



A.x≠1 B.x>1 C.x=1 D.x<1 【考点】分式有意义的条件. 【分析】本题主要考查分式有意义的条件:分母不等于 0. 【解答】解:∵x﹣1≠0, ∴x≠1. 故选:A. 3.下列性质中,正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.四条边相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【考点】正方形的性质;菱形的性质. 【分析】根据正方形的性质和菱形的性质,容易得出结论. 【解答】解:正方形的性质有:四条边相等;对角线互相垂直平分且相等; 菱形的性质有:四条边相等;对角线互相垂直平分; 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是:对角线相等. 故选:C. 4.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC,若 AC=4,则四边形 CODE 的周长( )

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A.4 B.6 C.8 D.10 【考点】菱形的判定与性质;矩形的性质. 【分析】首先由 CE∥BD,DE∥AC,可证得四边形 CODE 是平行四边形,又由四边形 ABCD 是 矩形,根据矩形的性质,易得 OC=OD=2,即可判定四边形 CODE 是菱形,继而求得答案. 【解答】解:∵CE∥BD,DE∥AC, ∴四边形 CODE 是平行四边形, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD=4,OA=OC,OB=OD, ∴OD=OC= AC=2, ∴四边形 CODE 是菱形, ∴四边形 CODE 的周长为:4OC=4×2=8. 故选 C. 5.如图,ABCD 是正方形,G 是 BC 上(除端点外)的任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF∥DE,交 AG 于点 F.下列结论不一定成立的是( )

A.△AED≌△BFA B.DE﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE D.DE﹣BG=FG 【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 【分析】由四边形 ABCD 是正方形,可得 AB=AD,由 DE⊥AG,BF∥DE,易证得 BF⊥AG,又由 同角的余角相等,可证得∠BAF=∠ADE,则可利用 AAS 判定△AED≌△BFA;由全等三角形的 对应边相等,易证得 DE﹣BF=EF;有两角对应相等的三角形相似,可证得△BGF∽△DAE;利 用排除法即可求得答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,AD∥BC, ∵DE⊥AG,BF∥DE, ∴BF⊥AG, ∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°, ∵∠BAF+∠DAE=90°,∠DAE+∠ADE=90°, ∴∠BAF=∠ADE, ∴△AED≌△BFA(AAS) ;故 A 正确;

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∴DE=AF,AE=BF, ∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF,故 B 正确; ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠BGF, ∵DE⊥AG,BF⊥AG, ∴∠AED=∠GFB=90°, ∴△BGF∽△DAE,故 C 正确; ∵DE,BG,FG 没有等量关系, 故不能判定 DE﹣BG=FG 正确. 故选 D. 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,则 OA 的取 值范围是( )

A.1cm<OA<4cm B.2cm<OA<8cm C.2cm<OA<5cm D.3cm<OA<8cm 【考点】平行四边形的性质;三角形三边关系. 【分析】根据三角形的三边关系定理得到 AC 的取值范围,再根据平行四边形的性质即可求 出 OA 的取值范围. 【解答】解:∵AB=3cm,BC=5cm, ∴2cm<AC<8cm, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AO= AC, ∴1cm<OA<4cm, 故选:A. 7.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当 AB=BC 时,它是菱形 B.当 AC=BD 时,它是正方形 C.当 AC⊥BD 时,它是菱形 D.当∠ABC=90°时,它是矩形 【考点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定. 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形,根据菱形与矩形的判定定理,即可求得答案,注意 排除法在解选择题中的应用. 【解答】解:A、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当 AB=BC 时,它是菱形,故本选项正确; B、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当 AC=BD 时,它是矩形,故本选项错误; C、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当 AC⊥BD 时,它是菱形,故本选项正确; D、∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴当∠ABC=90°时,它是矩形,故本选项正确. 故选 B.

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8.如图,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点,且 CE=DF,AE、BF 相交于点 O,下 列结论: (1)AE=BF; (2)AE⊥BF; (3)AO=OE; (4)S△AOB=S 四边形 DEOF 中正确的有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质得 AB=AD=DC,∠BAD=∠D=90°,则由 CE=DF 易得 AF=DE,根据 “SAS”可判断△ABF≌△DAE,所以 AE=BF;根据全等的性质得∠ABF=∠EAD, 利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°,则 AE⊥BF;连结 BE,BE>BC,BA≠BE,而 BO⊥AE,根据垂直平分线的性质得到 OA≠OE;最后根据△ABF≌△DAE 得 S△ABF=S△DAE,则 S△ABF ﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF,即 S△AOB=S 四边形 DEOF. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=AD=DC,∠BAD=∠D=90°, 而 CE=DF, ∴AF=DE, 在△ABF 和△DAE 中

, ∴△ABF≌△DAE, ∴AE=BF,所以(1)正确; ∴∠ABF=∠EAD, 而∠EAD+∠EAB=90°, ∴∠ABF+∠EAB=90°, ∴∠AOB=90°, ∴AE⊥BF,所以(2)正确; 连结 BE, ∵BE>BC, ∴BA≠BE, 而 BO⊥AE, ∴OA≠OE,所以(3)错误; ∵△ABF≌△DAE, ∴S△ABF=S△DAE, ∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF, ∴S△AOB=S 四边形 DEOF,所以(4)正确. 故选:B.

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二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请将答案 直接写在横线上)

9.如果若分式

的值为 0,则实数 a 的值为 ﹣3 .

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】分式的值为零:分子为零,但是分母不为零. 2 【解答】解:依题意得:a ﹣9=0,且 a﹣3≠0, 解得 a=﹣3. 故答案是:﹣3. 10.已知平行四边形 ABCD 中,∠B=5∠A,则∠D= 150° . 【考点】平行四边形的性质. 【分析】根据题意画出图形,再根据∠B=5∠A 得出∠B 的度数,进而得出∠D 的度数. 【解答】解:如图所示: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°,∠D=∠B, ∵∠B=5∠A, ∴6∠A=180°,解得∠A=30°, ∴∠D=∠B=30°×5=150°°. 故答案为:150°.

11.四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,给出下列四个条件: ①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD 从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有 4 种. 【考点】列表法与树状图法;平行四边形的判定. 【分析】 列表得出所有等可能的情况数, 找出能使四边形 ABCD 为平行四边形的情况数即可. 【解答】解:列表如下: 1 2 3 4 1 ﹣﹣﹣ (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) ﹣﹣﹣ (3,2) (4,2)

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3 (1,3) (2,3) ﹣﹣﹣ (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 12 种,其中能使四边形 ABCD 为平行四边形的为(2,1) , (1,2) , (3, 4) , (4,3)共 4 种. 故答案为:4 12.如图,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A′B′C′D′的位置,旋转角为 a (0° <a<90°) .若∠1=110°,则 a= 20° .

【考点】旋转的性质. 【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α ,再利用四边形内角和计算出 ∠BAD=70°,然后利用互余计算出∠DAD′,从而得到 α 的值. 【解答】解:∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A′B′C′D′的位置, ∴∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α , ∵∠ABC=90°, ∴∠BAD=180°﹣∠2, 而∠2=∠21=110°, ∴∠BAD=180°﹣110°=70°, ∴∠DAD′=90°﹣70°=20°, 即 α =20°. 故答案为 20°.

13.如图所示,直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A,分别过顶点 B、D 作 DE⊥a 于点 E、BF⊥a 于点 F,若 DE=4,BF=3,则 EF 的长为 7 .

【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】因为 ABCD 是正方形,所以 AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°,则有∠ABF=∠DAE,又因为 DE⊥a、BF⊥a,根据 AAS 易证△AFB≌△AED,所以 AF=DE=4,BF=AE=3,则 EF 的长可求. 【解答】解:∵ABCD 是正方形 ∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°

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∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE ∴∠ABF=∠DAE 在△AFB 和△AED 中 ∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD ∴△AFB≌△AED ∴AF=DE=4,BF=AE=3 ∴EF=AF+AE=4+3=7. 故答案为:7. 14. 如图, 平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O, 且 AB≠AD, 过 O 作 OE⊥BD 交 BC 于点 E. 若 △CDE 的周长为 8cm,则平行四边形 ABCD 的周长为 16cm .

【考点】平行四边形的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等,即 可得 OB=OD,AB=CD,AD=BC,又由 OE⊥BD,即可得 OE 是 BD 的垂直平分线,然后根据线段垂 直平分线的性质,即可得 BE=DE,又由△CDE 的周长为 8cm,即可求得平行四边形 ABCD 的周 长. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OB=OD,AB=CD,AD=BC, ∵OE⊥BD, ∴BE=DE, ∵△CDE 的周长为 8cm, 即 CD+DE+EC=8cm, ∴平行四边形 ABCD 的周长为:AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD) =2×8=16cm. 故答案为:16cm. 15.如图,菱形 ABCD 的一条对角线 BD 上一点 O,到菱形一边 AB 的距离为 2,那么点 O 到另 外一边 BC 的距离为 2 .

【考点】菱形的性质;角平分线的性质. 【分析】 根据菱形的对角线平分一组对角可得 BD 平分∠ABC, 再根据角平分线上的点到角的 两边距离相等解答. 【解答】解:在菱形 ABCD 中,BD 平分∠ABC, ∵点 O 在对角线 BD 上,点 O 到 AB 的距离为 2, ∴点 O 到另外一边 BC 的距离为 2.

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故答案为:2. 16.在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,M 为 EF 中点,则 AM 的最小值为 2.4 .

【考点】勾股定理的逆定理;矩形的性质. 【分析】根据已知得当 AP⊥BC 时,AP 最短,同样 AM 也最短,从而不难根据相似比求得其 值. 【解答】解:∵四边形 AFPE 是矩形 ∴AM= AP,AP⊥BC 时,AP 最短,同样 AM 也最短 ∴当 AP⊥BC 时,△ABP∽△CAB ∴AP:AC=AB:BC ∴AP:8=6:10 ∴AP 最短时,AP=4.8 ∴当 AM 最短时,AM=AP÷2=2.4. 17.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AD=BC=5,DC=7,AB=11,点 P 从点 A 出发,以 3 个 单位/s 的速度沿 AD→DC 向终点 C 运动,同时点 Q 从点 B 出发,以 1 个单位/s 的速度沿 BA 向终点 A 运动,在运动期间,当四边形 PQBC 为平行四边形时,运动时间为 3 秒.

【考点】平行四边形的判定. 【分析】根据平行四边形的判定可得 CP=BQ,四边形 PQBC 为平行四边形,设运动时间为 x 秒,表示出 CP 和 BQ 的长,然后可得关于 x 的方程,再解即可. 【解答】解:当 P 在 DC 边上,PC=BQ,四边形 PQBC 为平行四边形, 设运动时间为 x 秒,则 CP=12﹣3x,BQ=x, 故 12﹣3x=x, 解得:x=3, 故答案为:3.

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18.如图,P 是矩形 ABCD 的边 AD 上一个动点,矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8,那 么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 4.8 .

【考点】矩形的性质. 【分析】首先连接 OP,由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8,可求得 OA=OD=5,△AOD 的面积,然后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA?PE+ OD?PF 求得答案. 【解答】解:连接 OP, ∵矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8, ∴S 矩形 ABCD=AB?BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD= ∴OA=OD=5, ∴S△ACD= S 矩形 ABCD=24, ∴S△AOD= S△ACD=12, ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA?PE+ OD?PF= ×5×PE+ ×5×PF= (PE+PF)=12, 解得:PE+PF=4.8. 故答案为:4.8. =10,

三、作图题 19.如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的两格中,点 A、B、C 都是格点. (1)将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到得到△A1B1C1; (2)作△ABC 关于点 O 成中心对称的△A2B2C2.

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【考点】作图-旋转变换. 【分析】 (1)根据网格结构找出点 A、B 绕点 C 顺时针旋转 90°的对应点 A1、B1 的位置,然 后与点 C1(即点 C)顺次连接即可; (2)根据网格结构找出点 A、B、C 关于点 O 的对称点 A2、B2、C2 的位置,然后顺次连接即 可. 【解答】解: (1)△A1B1C1 如图所示; (2)△A2B2C2 如图所示.

四、解答题(本大题共有 8 小题,共 52 分,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 20.如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形 ABCD 是平行 四边形,并予以证明. (写出一种即可) 关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形 ABCD 中, ① , ③ ; 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定. 【分析】根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论,然后即可证明. 其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形; 解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形; 解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形.

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【解答】解:已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以. 解法一: 已知:在四边形 ABCD 中,①AD∥BC,③∠A=∠C, 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°. ∵∠A=∠C, ∴∠B=∠D. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 解法二: 已知:在四边形 ABCD 中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD, 又∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形; 解法三: 已知:在四边形 ABCD 中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD, 又∵AB=CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形; 解法四: 已知:在四边形 ABCD 中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°, 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°, 又∵∠A=∠C, ∴∠B=∠D, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 21.已知:如图,在?ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、AD 上,且 BE=DF 求证:AC、EF 互相平分.

【考点】平行四边形的判定与性质. 【分析】连接 AE、CF,证明四边形 AECF 为平行四边形即可得到 AC、EF 互相平分. 【解答】证明:连接 AE、CF, ∵四边形 ABCD 为平行四边形,

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∴AD∥BC,AD﹦BC, 又∵DF﹦BE, ∴AF﹦CE, 又∵AF∥CE, ∴四边形 AECF 为平行四边形, ∴AC、EF 互相平分.

22.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,DE、DF 是△ABC 的中位线,连接 EF、AD.求证: EF=AD.

【考点】平行四边形的判定与性质;三角形中位线定理. 【分析】由 DE、DF 是△ABC 的中位线,根据三角形中位线的性质,即可求得四边形 AEDF 是 平行四边形,又∠BAC=90°,则可证得平行四边形 AEDF 是矩形,根据矩形的对角线相等即 可得 EF=AD. 【解答】证明:∵DE,DF 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB,DF∥AC, ∴四边形 AEDF 是平行四边形, 又∵∠BAC=90°, ∴平行四边形 AEDF 是矩形, ∴EF=AD. 23.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,DH⊥AB 于 H, 连接 OH,求证:∠DHO=∠DCO.

【考点】菱形的性质. 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 OD=OB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半可得 OH=OB,然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH,根据两直线平行,内错角相等 求出∠OBH=∠ODC,然后根据等角的余角相等证明即可. 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是菱形,

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∴OD=OB,∠COD=90°, ∵DH⊥AB, ∴OH= BD=OB, ∴∠OHB=∠OBH, 又∵AB∥CD, ∴∠OBH=∠ODC, 在 Rt△COD 中,∠ODC+∠DCO=90°, 在 Rt△DHB 中,∠DHO+∠OHB=90°, ∴∠DHO=∠DCO.

24.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE. 求证:四边形 BCDE 是矩形.

【考点】矩形的判定;全等三角形的判定与性质. 【分析】求出∠BAE=∠CAD,证△BAE≌△CAD,推出∠BEA=∠CDA,BE=CD,得出平行四边形 BCDE,根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°,求出∠BED,根据矩形的判定求出即可. 【解答】证明:∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC, ∴∠BAE=∠CAD, ∵在△BAE 和△CAD 中

∴△BAE≌△CAD(SAS) , ∴∠BEA=∠CDA,BE=CD, ∵DE=CB, ∴四边形 BCDE 是平行四边形, ∵AE=AD, ∴∠AED=∠ADE, ∵∠BEA=∠CDA, ∴∠BED=∠CDE, ∵四边形 BCDE 是平行四边形,

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∴BE∥CD, ∴∠CDE+∠BED=180°, ∴∠BED=∠CDE=90°, ∴四边形 BCDE 是矩形.

25. 如图, 把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠, 使点 B 落在边 AD 上的点 B′处, 点 A 落在点 A′处, 已知 AD=10,CD=4,B′D=2. (1)求证:B′E=BF; (2)求 AE 的长.

【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】 (1)首先根据题意得 B′F=BF,∠B′FE=∠BFE,接着根据平行线的性质和等腰三 角形的判定即可证明 B′E=BF; (2)根据折叠的性质可得 AE=A′E,AB=A′B′,在 Rt△A′B′E 中,根据勾股定理即可得 到 AE 的长. 【解答】 (1)证明:由题意得 B′F=BF,∠B′FE=∠BFE, 在矩形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠B′EF=∠BFE, ∴∠B′FE=∠B'EF, ∴B′F=B′E, ∴B′E=BF; (2)由折叠的性质可得 AE=A′E,AB=A′B′=4, 2 2 2 在 Rt△A′B′E 中,A′B′ +A′E =B′E , 2 2 2 4 +A′E =(10﹣2﹣A′E) , 解得 A′E=3, 即 AE 的长为 3. 26.已知,如图,O 为坐标原点,四边形 OABC 为矩形,A(10,0) ,C(0,4) ,点 D 是 OA 的中点,点 P 在边 BC 上以每秒 1 个单位长的速度由点 C 向点 B 运动. (1)当 t 为何值时,四边形 PODB 是平行四边形? (2)在线段 PB 上是否存在一点 Q,使得 ODQP 为菱形?若存在,求 t 的值;若不存在,请

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说明理由; (3)△OPD 为等腰三角形时,写出点 P 的坐标(不必写过程) .

【考点】矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的判定;平行四边形的判定;菱形的判 定. 【分析】 (1)根据平行四边形的性质就可以知道 PB=5,可以求出 PC=5,从而可以求出 t 的 值. (2)要使 ODQP 为菱形,可以得出 PO=5,由三角形的勾股定理就可以求出 CP 的值而求出 t 的值. (3)当 P1O=OD=5 或 P2O=P2D 或 P3D=OD=5 或 P4D=OD=5 时分别作 P2E⊥OA 于 E,DF⊥BC 于 F, P4G⊥OA 于 G,利用勾股定理求得 P1C,OE,P3F,DG 的值,就可以求出 P 的坐标. 【解答】解: (1)∵四边形 PODB 是平行四边形, ∴PB=OD=5, ∴PC=5, ∴t=5; (2)∵四边形 ODQP 为菱形, ∴OD=OP=PQ=5, ∴在 Rt△OPC 中,由勾股定理得: PC=3 ∴t=3; (3)当 P1O=OD=5 时,由勾股定理可以求得 P1C=3, P2O=P2D 时,作 P2E⊥OA, ∴OE=ED=2.5; 当 P3D=OD=5 时,作 DF⊥BC,由勾股定理,得 P3F=3, ∴P3C=2; 当 P4D=OD=5 时,作 P4G⊥OA,由勾股定理,得 DG=3, ∴OG=8. ∴P1(3,4) ,P2(2.5,4) ,P3(2,4) ,P4(8,4) .

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27.我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则 称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. (1) 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 矩形 , 正方形 ; (2)如图 1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) ,请你直接写 出所有以格点为顶点, OA、 OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形 OAMB 的顶点 M 的坐标. (3) 如图 2, 将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°, 得到 ADBE, 连接 AD、 DC, ∠DCB=30°. 求 证:DC+BC=AC,即四边形 ABCD 是勾股四边形. (4)如图,将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转(0°<a<90°) ,得到 ADBE,连接 AD、 DC,则△DCB= °,四边形 ABCD 是勾股四边形.

【考点】四边形综合题. 【分析】 (1)根据定义和勾股四边形的性质,有矩形或正方形或直角梯形满足题意; (2)OM=AB 知以格点为顶点的 M 共两个,分别得出答案; (3)连接 CE,证明△BCE 是等边三角形,△DCE 是直角三角形,继而可证明四边形 ABCD 是 勾股四边形;

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(4)连接 CE,证明△DCE 是直角三角形,继而可证明四边形 ABCD 是勾股四边形. 【解答】解: (1)学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称:矩形,正方形; 故答案为:矩形,正方形; (2)如图 1 所示:M(3,4) ,M(4,3) ; (3)证明:如图 2,连接 CE,由旋转得:△ABC≌△DBE, ∴AC=DE,BC=BE,又 ∵∠CBE=60, ∴△CBE 为等边三角形, ∴BC=CE,∠BCE=60, ∵∠DCB=30, ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°, 2 2 2 ∴DC +EC =DE , 2 2 2 ∴DC +BC =AC . ∴即四边形 ABCD 是勾股四边形.

(4)如图 3,当∠DCB= ,四边形 ABCD 是勾股四边形, 理由:连接 CE, 由旋转得:△ABC≌△DBE, ∴AC=DE,BC=BE, 又∵∠CBE=α , ∴∠BCE=∠BEC=90°﹣ , ∴∠DCE=90°, 2 2 2 ∴DC +EC =DE , 2 2 2 ∴DC +BC =AC . ∴即四边形 ABCD 是勾股四边形 故答案为: .

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